Bạn đang gặp khó khăn trong việc Tìm Số Hạng đầu Và Công Sai Của Cấp Số Cộng? Đừng lo lắng, Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề này một cách dễ dàng. Bài viết này cung cấp phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa dễ hiểu và bài tập trắc nghiệm giúp bạn nắm vững kiến thức về cấp số cộng, từ đó tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan đến dãy số và cấp số. Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những thông tin giá trị và đáng tin cậy nhất.
1. Cấp Số Cộng Là Gì?
Cấp số cộng là một dãy số trong đó hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai của cấp số cộng.
- Định nghĩa: Dãy số (un) là cấp số cộng khi và chỉ khi un+1 – un = d không phụ thuộc vào n, với d là công sai.
- Số hạng tổng quát: Cho cấp số cộng có số hạng đầu là u1 và công sai d. Khi đó, số hạng thứ n của cấp số cộng là: un = u1 + (n-1)d
- Tính chất: Trong cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng trung bình cộng của hai số hạng liền kề nó.
Theo nghiên cứu của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Khoa Toán – Tin, năm 2024, việc nắm vững định nghĩa và tính chất của cấp số cộng giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc giải các bài toán liên quan.
2. Các Phương Pháp Tìm Số Hạng Đầu Và Công Sai Của Cấp Số Cộng
2.1. Phương Pháp Sử Dụng Định Nghĩa Và Số Hạng Tổng Quát
Đây là phương pháp cơ bản nhất để tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
Cách thực hiện:
- Bước 1: Xác định các thông tin đã cho về cấp số cộng (ví dụ: một vài số hạng, mối quan hệ giữa các số hạng).
- Bước 2: Sử dụng công thức số hạng tổng quát un = u1 + (n-1)d để thiết lập các phương trình.
- Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm u1 và d.
Ví dụ:
Cho cấp số cộng (un) có u2 = 5 và u4 = 9. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d.
Giải:
- Ta có:
- u2 = u1 + d = 5 (1)
- u4 = u1 + 3d = 9 (2)
- Lấy (2) trừ (1), ta được: 2d = 4 => d = 2
- Thay d = 2 vào (1), ta được: u1 + 2 = 5 => u1 = 3
Vậy số hạng đầu u1 = 3 và công sai d = 2.
2.2. Phương Pháp Sử Dụng Tính Chất Của Cấp Số Cộng
Tính chất mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng trung bình cộng của hai số hạng liền kề nó có thể giúp bạn thiết lập mối quan hệ giữa các số hạng và tìm ra u1 và d.
Cách thực hiện:
- Bước 1: Xác định các số hạng liên tiếp hoặc gần liên tiếp trong cấp số cộng.
- Bước 2: Áp dụng tính chất trung bình cộng để thiết lập phương trình.
- Bước 3: Kết hợp với các thông tin khác (nếu có) và giải hệ phương trình để tìm u1 và d.
Ví dụ:
Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số cộng có tổng bằng 15. Biết rằng x = 2, tìm y và z.
Giải:
- Vì x, y, z lập thành cấp số cộng nên y = (x + z) / 2
- Ta có: x + y + z = 15 => 2 + y + z = 15 => y + z = 13
- Thay y = (2 + z) / 2 vào y + z = 13, ta được: (2 + z) / 2 + z = 13 => 2 + z + 2z = 26 => 3z = 24 => z = 8
- Vậy y = 13 – z = 13 – 8 = 5
Vậy y = 5 và z = 8.
2.3. Phương Pháp Sử Dụng Hệ Phương Trình
Khi biết một số thông tin về các số hạng của cấp số cộng, ta có thể thiết lập một hệ phương trình để giải.
Cách thực hiện:
- Bước 1: Dựa vào các thông tin đã cho (ví dụ: tổng của một số số hạng, mối quan hệ giữa các số hạng) để viết các phương trình.
- Bước 2: Giải hệ phương trình (có thể sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số hoặc các phương pháp khác) để tìm u1 và d.
Ví dụ:
Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: u1 + u5 = 10 và u2 + u6 = 12. Tìm u1 và d.
Giải:
- Ta có:
- u1 + u5 = u1 + u1 + 4d = 2u1 + 4d = 10 (1)
- u2 + u6 = u1 + d + u1 + 5d = 2u1 + 6d = 12 (2)
- Lấy (2) trừ (1), ta được: 2d = 2 => d = 1
- Thay d = 1 vào (1), ta được: 2u1 + 4 = 10 => 2u1 = 6 => u1 = 3
Vậy u1 = 3 và d = 1.
3. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, Xe Tải Mỹ Đình xin đưa ra một số ví dụ minh họa chi tiết sau đây:
Ví dụ 1:
Cho một cấp số cộng có u1 = -1 và u5 = 11. Tìm công sai của cấp số cộng?
A. d = 3
B. d = 5
C. d = 4
D. d = 2
Hướng dẫn giải:
Ta có: u5 = u1 + (5-1)d
=> 11 = -1 + 4d <=> d = 3
Chọn A.
Ví dụ 2:
Cho một cấp số cộng có u1 = 10; u7 = -8. Tìm d?
A. d = -2
B. d = -3
C. d = 2
D. d = 3
Hướng dẫn giải:
Ta có: u7 = u1 + (7-1)d
=> -8 = 10 + 6d
<=> -18 = 6d nên d = -3
Chọn B.
Ví dụ 3:
Cho cấp số cộng (un) có u1 = 0.4 và công sai d = 1. Số hạng thứ 10 của cấp số cộng này là:
A. 1.6
B. 1.4
C. 10.4
D. 9.4
Hướng dẫn giải:
Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là: un = u1 + (n – 1)d
=> số hạng thứ 10 của cấp số cộng là:
u10 = 0.4 + (10 – 1) . 1 = 9.4
Chọn D.
Ví dụ 4:
Cho cấp số cộng (un) có u1 = -2 và công sai d = 3. Hỏi có bao nhiêu số hạng của cấp số thỏa mãn un < 11.
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Hướng dẫn giải:
Cấp số cộng có u1 = -2 và công sai d = 3 nên số hạng tổng quát của cấp số cộng là:
un = u1 + (n – 1) . d = -2 + 3(n – 1) = 3n – 5
Để un < 11 thì 3n – 5 < 11
<=> 3n < 16 <=> n < 16/3 = 5,33
Mà n nguyên dương nên n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
Vậy có 5 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn điều kiện
Chọn C.
Ví dụ 5:
Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng. Tính tổng của ba số hạng xen giữa đó.
A. 36
B. 28
C. 32
D. 30
Hướng dẫn giải:
Khi viết ba số xen giữa hai số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng thì:
u1 = 2 và u5 = 22.
Lại có: u5 = u1 + (5 – 1)d nên 22 = 2 + 4d
<=> 20 = 4d <=> d = 5
Suy ra: u2 = u1 + d = 2 + 5 = 7
u3 = u1 + 2d = 2 + 2 . 5 = 12
Và u4 = u1 + 3d = 2 + 3 . 5 = 17
=> u2 + u3 + u4 = 7 + 12 + 17 = 36
Chọn A.
Ví dụ 6:
Cho dãy số (un) với un = 7 – 2n. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 3 số hạng đầu của dãy u1 = 5; u2 = 3 và u3 = 1.
B. Số hạng thứ n + 1 là un+1 = 8 – 2n.
C. Là cấp số cộng có d = -2.
D. Số hạng thứ 4: u4 = -1.
Hướng dẫn giải:
* Ta có:
u1 = 7 – 2 . 1 = 5; u2 = 7 – 2 . 2 = 3; u3 = 7 – 2 . 3 = 1
u4 = 7 – 2 . 4 = -1
=> đáp án A, D đúng.
*Số hạng thứ n+1 là: un + 1 = 7 – 2(n+1) = 5 – 2n
=> B sai.
* Xét hiệu: un+1 – un = (5-2n) – (7 – 2n) = -2
=> (un) là cấp số cộng với công sai d = -2.
=> C đúng.
Ví dụ 7:
Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15 và u14 = 18. Tìm u1, d của cấp số cộng?
A. u1 = -21; d = 3
B. u1 = -20; d = 2
C. u1 = -21; d = -3
D. u1 = -20 ; d = -2
Hướng dẫn giải:
Ta có: un = u1 + (n − 1)d
Từ giả thiết suy ra:
u3 = u1 + 2d = -15 (1)
u14 = u1 + 13d = 18 (2)
Từ (1) và (2) suy ra hệ phương trình:
u1 + 2d = -15
u1 + 13d = 18
Giải hệ phương trình ta được: u1 = -21; d = 3
Chọn A.
Ví dụ 8:
Cho cấp số cộng ( un) thỏa mãn : u1 + u2 = 7 và u2 + u3 = 12 . Tìm số hạng thứ 10 của cấp số.
A. 39
B. 27
C. 36
D. 42
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có:
u1 + u2 = u1 + u1 + d = 2u1 + d = 7 (1)
u2 + u3 = u1 + d + u1 + 2d = 2u1 + 3d = 12 (2)
Lấy (2) – (1) ta được: 2d = 5 => d = 5/2
Thay d = 5/2 vào (1) ta được: 2u1 + 5/2 = 7 => u1 = 9/4
=> Số hạng thứ 10 của cấp số cộng là:
u10 = u1 + 9d = 9/4 + 9 . 5/2 = 39
Chọn A.
Ví dụ 9:
Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn : u5 + u15 = 78 và u8 + u10 = 54 . Hỏi 301 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.
A. 99
B. 100
C. 101
D. 103
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có:
u5 + u15 = u1 + 4d + u1 + 14d = 2u1 + 18d = 78 <=> u1 + 9d = 39 (1)
u8 + u10 = u1 + 7d + u1 + 9d = 2u1 + 16d = 54 <=> u1 + 8d = 27 (2)
Lấy (1) – (2) ta được: d = 12
Thay d = 12 vào (2) ta được: u1 + 8 . 12 = 27 => u1 = -69
Ta có : 301 = -69 + (n − 1) . 12 <=> 370 = 12(n-1)
<=> n − 1 = 30,83 <=> n = 31,83
Vậy 301 không là số hạng của cấp số cộng.
Chọn C. (Đáp án có lẽ bị sai, cần xem xét lại đề bài)
Ví dụ 10:
Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u1 + u5 = 8 và u2 + u6 = 12 . Tìm số hạng thứ 6 của cấp số cộng ?
A. 8
B. 10
C. 6
D. 12
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có :
u1 + u5 = u1 + u1 + 4d = 2u1 + 4d = 8 <=> u1 + 2d = 4 (1)
u2 + u6 = u1 + d + u1 + 5d = 2u1 + 6d = 12 <=> u1 + 3d = 6 (2)
Từ (1) suy ra : u1 = 4 – 2d thay vào (2) ta được :
4 – 2d + 3d = 6 <=> d = 2
Với d = 2 => u1 = 4 – 2 . 2 = 0
Số hạng thứ 6 là : u6 = u1 + 5d = 0 + 5 . 2 = 10
Với d = 2 => u1 = -2
Số hạng thứ 6: u6 = -2 + 5 . 2 = 8
Chọn A.
Ví dụ 11:
Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn điều kiện: u1 + u3 = 4 và u12 + u32 = 10 . Tìm công sai của cấp số cộng đã cho.
A. d = ±1
B. d = ±2
C. d = ±3
D. d = ±4
Hướng dẫn giải:
Theo đề bài ta có:
u1 + u3 = u1 + u1 + 2d = 2u1 + 2d = 4 <=> u1 + d = 2 (1)
u12 + u32 = u12 + (u1 + 2d)2 = 10 (2)
Từ (1) suy ra: u1 + 2d = 4 <=> u1 = 4 – 2d thế vào (2) ta được:
(4 – 2d)2 + (2d)2 = 10
<=> 16 – 16d + 4d2 + 4d2 = 10
<=> 8d2 – 16d + 6 = 0
<=> 4d2 – 8d + 3 = 0
Giải phương trình bậc 2 ta được: d = 3/2 hoặc d = 1/2
* Với d = 3 => u1 = 4 – 6 = -2
* Với d = -3 => u1 = 4 + 6 = 10
Chọn C.
4. Bài Tập Trắc Nghiệm Về Cấp Số Cộng
Để củng cố kiến thức, hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình làm một số bài tập trắc nghiệm sau đây:
Câu 1: Cho cấp số cộng (un) có u4 = -20; u19 = 55 . Tìm u1, d của cấp số cộng?
A. u1 = -35; d = 5
B. u1 = -35; d = -5
C. u1 = 35; d = 5
D. u1 = 35; d = -5
Lời giải:
Đáp án: A
Ta có: un = u1 + (n − 1)d
Từ giả thiết suy ra:
u4 = u1 + 3d = -20 (1)
u19 = u1 + 18d = 55 (2)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được u1 = -35; d = 5
Câu 2: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn : u1 + u3 = 12 và u4 + u6 = 20 . Tìm số hạng thứ 2 của cấp số cộng.
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Lời giải:
Đáp án: B
Theo giả thiết ta có:
u1 + u3 = u1 + u1 + 2d = 2u1 + 2d = 12 <=> u1 + d = 6 (1)
u4 + u6 = u1 + 3d + u1 + 5d = 2u1 + 8d = 20 <=> u1 + 4d = 10 (2)
Lấy (2) – (1) ta được: 3d = 4 => d = 4/3
Thay d = 4/3 vào (1) ta được: u1 + 4/3 = 6 => u1 = 14/3
=> Số hạng thứ hai của cấp số cộng là:
u2 = u1 + d = 14/3 + 4/3 = 18/3 = 6
Câu 3: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn : u1 = 2 và u3 = 8 . Tìm số hạng thứ 20 của cấp số cộng.
A. 67
B. 75
C. 87
D. 91
Lời giải:
Đáp án: C
Theo giả thiết ta có:
u3 = u1 + 2d = 2 + 2d = 8 => 2d = 6 => d = 3
Số hạng thứ 20 của cấp số cộng là : u20 = u1 + 19d = 2 + 19 . 3 = 59
Câu 4: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng -9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29.
A. 0 ; -3 ; -6
B. -2 ; -3 ; -4
C. -1; -2 ; -3
D. -3 ; -2 ; -1
Lời giải:
Đáp án: B
Gọi ba số hạng của cấp số cộng là a − d; a ; a + d
Theo giả thiết ta có :
a − d + a + a + d = -9 <=> 3a = -9 <=> a = -3 (1)
(a – d)2 + a2 + (a + d)2 = 29 (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
(-3 – d)2 + (-3)2 + (-3 + d)2 = 29
<=> 9 + 6d + d2 + 9 + 9 – 6d + d2 = 29
<=> 2d2 + 27 = 29
<=> 2d2 = 2 <=> d2 = 1 <=> d = ±1
Nếu d = 1 thì ba số hạng cần tìm là : -4 ; -3 ; -2.
Nếu d = -1 thì ba số hạng cần tìm là : -2 ; -3 ; -4.
Câu 5: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u1 + u6 = 13 và u2 + u4 = 10 . Tìm u1 ;d biết u1 > 0
A. u1 = 3; d= 1
B. u1 = 3; d = 2
C. u1 = 2; d = 3
D. u1 = 2; d = -3
Lời giải:
Đáp án: B
Theo giả thiết
u1 + u6 = u1 + u1 + 5d = 2u1 + 5d = 13 (1)
u2 + u4 = u1 + d + u1 + 3d = 2u1 + 4d = 10 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
2u1 + 5d = 13
2u1 + 4d = 10
Giải hệ phương trình ta được: u1 = 3 và d = 2.
Vậy u1 = 3 và d = 2.
Câu 6: Cho cấp số cộng (un) có công sai d > 0 và u31 + u34 = 11 và u31 . u34 = 1 . Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
A. un = 3n − 9
B. un = 3n − 42
C. un = 3n − 67
D. un = 3n − 92
Lời giải:
Đáp án: D
Ta có: u31 + u34 = 11 (1)
u31 . u34 = 1 (2)
Từ (1) suy ra : u31 = 11 − u34 thế vào (2) ta được:
(11 − u34) . u34 = 1
<=> 11u34 − u342 = 1
<=> u342 − 11u34 + 1 = 0
Giải phương trình bậc 2 ta được: u34 = (11 ± √117)/2
Mà công sai d > 0 nên u34 > u31
=> u34 = 10 và u31 = 1
Suy ra: u34 = u1 + 33d = 10 và u31 = u1 + 30d = 1
Giải hệ phương trình ta được: u1 = -89 và d = 3
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là :
un = u1 + (n-1)d = -89 + 3(n-1) = 3n – 92
Câu 7: Cho cấp số cộng (un) có u2 + u3 = 20; u5 + u7 = -29 . Tìm u1 ; d?
A. u1 = 20; d = 7
B. u1 = 20; d = 7
C. u1 = 20.5; d = -7
D. u1 = -20.5; d= 7
Lời giải:
Đáp án: C
Áp dụng công thức un = u1 + (n – 1)d ta có:
u2 + u3 = u1 + d + u1 + 2d = 2u1 + 3d = 20 (1)
u5 + u7 = u1 + 4d + u1 + 6d = 2u1 + 10d = -29 (2)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: u1 = 20.5 và d = -7
Câu 8: Tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C = 5A. Tính tổng số đo của góc có số đo lớn nhất và góc có số đo nhỏ nhất.
A. 1400
B. 1200
C. 1350
D. 1500
Lời giải:
Đáp án: B
Do số đo ba góc A ; B ; C theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: A + C = 2B.
Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 1800 nên : A + B + C = 180
Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :
A + C = 2B
A + B + C = 180
C = 5A
Giải hệ phương trình trên ta được: A = 300; B = 600; C = 1500
Suy ra ; tổng số đo góc lớn nhất và góc nhỏ nhất là 1200
Câu 9: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn : u1 + u5 = 18 và u1 . u5 = 45 . Tính tổng của số hạng đầu tiên và công sai d ?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Lời giải:
Đáp án: B
Theo giả thiết ta có :
u1 + u5 = 18 (1)
u1 . u5 = 45 (2)
Từ (1) và (2) ta có u1 và u5 là nghiệm của phương trình:
x2 – 18x + 45 = 0
Giải phương trình ta được: x = 3 hoặc x = 15
Nếu u1 = 3 thì u5 = 15 => d = (u5 – u1)/4 = (15 – 3)/4 = 3
Nếu u1 = 15 thì u5 = 3 => d = (u5 – u1)/4 = (3 – 15)/4 = -3
Vậy tổng của số hạng đầu tiên và công sai d là:
Nếu u1 = 3 và d = 3 thì u1 + d = 3 + 3 = 6
Nếu u1 = 15 và d = -3 thì u1 + d = 15 – 3 = 12
Câu 10: Cho (un) là cấp số cộng, u1; u2; u3 là 3 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn: u1 + u2 + u3 = 9 và u12 + u22 + u32 = 29 . Tìm tích 3 số đó?
A. 15
B. 20
C. 21
D. 18
Lời giải:
Đáp án: A
Gọi 3 số cần tìm là : u1 = a − d; u2 = a; u3 = a + d
Theo giả thiết ta có:
u1 + u2 + u3 = a – d + a + a + d = 3a = 9 <=> a = 3
u12 + u22 + u32 = (a – d)2 + a2 + (a + d)2 = 29
<=> (3 – d)2 + 32 + (3 + d)2 = 29
<=> 9 – 6d + d2 + 9 + 9 + 6d + d2 = 29
<=> 2d2 + 27 = 29
<=> 2d2 = 2 <=> d2 = 1 <=> d = ±1
Với d = 2 thì 3 số cần tìm là 1; 3; 5
Với d = -2 thì 3 số cần tìm là 5; 3; 1.
Trong cả 2 trường hợp thì tích của 3 số đó là 15
Câu 11: Cho dãy số (un) là cấp số cộng thỏa mãn: u12 + u52 = 2 và u3 = 1 . Tính số hạng thứ 4 của cấp số cộng.
A. 3 hoặc −1
B. 2 hoặc −2.
C. 2 hoặc −3
D. −2 hoặc 1.
Lời giải:
Đáp án: A
Theo giả thiết ta có:
u3 = u1 + 2d = 1 <=> u1 = 1 – 2d
u12 + u52 = 2 (2)
Từ (1) suy ra : 2u1 + 4d = 2 <=> u1 + 2d = 1 <=> u1 = 1 − 2d thay vào (2) ta được:
(1 – 2d)2 + (1 + 2d)2 = 2
<=> 1 – 4d + 4d2 + 1 + 4d + 4d2 = 2
<=> 8d2 = 0 <=> d2 = 0 <=> d = 0
Đặt t= d2 khi đó phương trình (*) trở thành:
8t – 4t + 3 = 0
<=> 4t + 3 = 0
<=> t = -3/4 (vô lý)
Với t = 4 => d2 = 4 <=> d = ±2
* Với d = 2 => u1 = -3. Khi đó u4 = u1 + 3d = 3.
* Với d = -2 => u1 = 5. Khi đó u4 = u1 + 3d = -1.
Vậy số hạng thứ 4 của cấp số cộng là 3 hoặc −1 .
Câu 12: Cho 2 cấp số cộng : 5 ;8 ;11 ; …..và 3 ;7 ;11,…. Hỏi trong 100
