**Số Cực Trị Của Hàm Số Là Gì? Cách Xác Định Chuẩn Nhất?**

Số Cực Trị Của Hàm Số là một khái niệm quan trọng trong giải tích toán học, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự biến thiên và hình dạng của đồ thị hàm số. Bạn muốn nắm vững kiến thức này để chinh phục các bài toán liên quan? Hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình khám phá chi tiết về số cực trị của hàm số, các định lý liên quan, và phương pháp giải bài tập hiệu quả, giúp bạn tự tin đạt điểm cao trong các kỳ thi. Tại XETAIMYDINH.EDU.VN, chúng tôi cam kết cung cấp thông tin chính xác, dễ hiểu và luôn cập nhật để bạn có thể áp dụng kiến thức một cách hiệu quả nhất.

1. Số Cực Trị Của Hàm Số Là Gì?

Bạn đã bao giờ tự hỏi số cực trị của hàm số là gì chưa? Nói một cách đơn giản, số cực trị của hàm số là số điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất (cực đại) hoặc giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) trong một khoảng lân cận. Theo nghiên cứu của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2023, việc hiểu rõ về cực trị giúp học sinh nắm vững hơn về sự biến thiên của hàm số.

Xét về mặt hình học, cực trị của hàm số biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến điểm khác và ngược lại trên đồ thị. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng giá trị cực đại và cực tiểu không phải là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tuyệt đối của hàm số trên toàn bộ tập xác định. Để hiểu rõ hơn về khái niệm cực trị, bạn có thể tham khảo thêm về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ:

Hàm số y = x² có một cực trị tại x = 0 (cực tiểu).
Hàm số y = -x² có một cực trị tại x = 0 (cực đại).
Hàm số y = x³ không có cực trị nào.

2. Lý Thuyết Tổng Quan Về Số Cực Trị Của Hàm Số Lớp 12

2.1. Các Định Lý Liên Quan Đến Số Cực Trị Của Hàm Số

Để giải quyết các bài toán liên quan đến số cực trị của hàm số, việc nắm vững các định lý là vô cùng quan trọng. Dưới đây là 3 định lý cơ bản mà học sinh cần ghi nhớ:

Định lý 1: Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x₀ và có đạo hàm tại điểm đó thì f'(x₀) = 0.

Lưu ý:
- Điều ngược lại của định lý này không đúng. Tức là, nếu f'(x₀) = 0 thì hàm số f(x) chưa chắc đã đạt cực trị tại điểm x₀.
- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

Định lý 2: Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x₀ (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x₀. Theo tài liệu “Giải tích 12 Nâng cao” của Bộ Giáo dục và Đào tạo, việc xét dấu đạo hàm giúp xác định sự biến thiên của hàm số và tìm cực trị.

Định lý 2: Điều kiện cực tiểu của hàm số

Ngược lại, nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x₀ (theo chiều giảm) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x₀.

Định lý 2: Điều kiện cực đại của hàm số

Định lý 3: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x₀, f'(x₀) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x₀.

Nếu f”(x₀) < 0 thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x₀.
Nếu f”(x₀) > 0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x₀.
Nếu f”(x₀) = 0, ta chưa thể kết luận và cần phải lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số.

2.2. Số Lượng Cực Trị Của Hàm Số

Số cực trị của hàm số phụ thuộc vào dạng của hàm số đó. Một số hàm số không có cực trị, trong khi các hàm số khác có thể có một hoặc nhiều cực trị.

Hàm bậc hai: Có tối đa 1 cực trị.
Hàm bậc ba: Có thể có 0 hoặc 2 cực trị.
Hàm bậc bốn trùng phương: Có thể có 1 hoặc 3 cực trị.

Khi xét số lượng cực trị của hàm số, cần lưu ý:

Điểm cực đại (cực tiểu) x₀ chính là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x₀) gọi chung là cực trị.
Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x₀) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f mà chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa x₀.
Nếu điểm x₀ là một điểm cực trị của f thì điểm (x₀; f(x₀)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

3. Điều Kiện Để Hàm Số Có Cực Trị

Để hàm số có cực trị, cần phải thỏa mãn cả điều kiện cần và điều kiện đủ. Theo “Giáo trình Giải tích” của Đại học Quốc gia Hà Nội, việc hiểu rõ các điều kiện này giúp giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

Điều kiện cần: Cho hàm số f đạt cực trị tại điểm x₀. Nếu điểm x₀ là điểm đạo hàm của f thì f'(x₀) = 0.

Lưu ý:
- Điểm x₀ có thể khiến đạo hàm f’ bằng 0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại x₀.
- Hàm số không có đạo hàm nhưng vẫn có thể đạt cực trị tại một điểm.
- Tại điểm đạo hàm của hàm số bằng 0 thì hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại 1 điểm hoặc không có đạo hàm.
- Nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại (x₀; f(x₀)) và hàm số đạt cực trị tại x₀ thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

Điều kiện đủ: Giả sử hàm số có đạo hàm trên các khoảng (a;x₀) và (x₀;b) và hàm số liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x₀ thì khi đó:

Điểm x₀ là cực tiểu của hàm số f(x) khi:

Định lý 2: Điều kiện cực tiểu của hàm số

Diễn giải theo bảng biến thiên: Khi x đi qua điểm x₀ và f'(x) đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực đại tại x₀.

Điểm x₀ là cực đại của hàm số f(x) khi:

Diễn giải theo bảng biến thiên: Khi x đi qua điểm x₀ và f'(x) đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại tại điểm x₀.

Định lý 2: Điều kiện cực đại của hàm số

4. Tìm Điểm Cực Trị Của Hàm Số

Để tìm cực trị của hàm số f(x) bất kỳ, ta sử dụng 2 quy tắc sau:

4.1. Tìm Cực Trị Của Hàm Số Theo Quy Tắc 1

Tìm đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm xᵢ (i= 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Xét dấu của đạo hàm f'(x). Nếu f'(x) thay đổi chiều khi x đi qua x₀ thì hàm số có cực trị tại điểm x₀.

4.2. Tìm Cực Trị Của Hàm Số Theo Quy Tắc 2

Tìm đạo hàm f'(x).
Giải phương trình f'(x) = 0, tìm các nghiệm xᵢ (i= 1, 2, 3,…).
Tính f”(xᵢ) với mỗi xᵢ:
- Nếu f”(xᵢ) < 0 thì xᵢ là điểm tại đó hàm số đạt cực đại.
- Nếu f”(xᵢ) > 0 thì xᵢ là điểm tại đó hàm số đạt cực tiểu.

5. Cách Giải Các Dạng Bài Tập Toán Về Số Cực Trị Của Hàm Số

5.1. Dạng Bài Tập Tìm Điểm Cực Trị Của Hàm Số

Đây là dạng toán rất cơ bản về cực trị của hàm số lớp 12. Để giải dạng bài này, các em học sinh áp dụng 2 quy tắc kèm theo quy trình tìm cực trị của hàm số đã nêu trên.

Cực trị của hàm bậc 2:

Hàm số bậc 2 có dạng: y = ax² + bx + c (a≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 2ax + b

y’ đổi dấu tại điểm x₀ = -b/2a.
Hàm số đạt cực trị tại điểm x₀ = -b/2a.

Cực trị của hàm bậc 3:

Hàm số bậc 3 có dạng: y = ax³ + bx² + cx + d (a≠ 0) xác định trên D = R. Ta có: y’ = 3ax² + 2bx + c → Δ

Δ ≤ 0: y’ không đổi dấu → hàm số không có cực trị.
Δ > 0: y’ đổi dấu 2 lần → hàm số có cực trị (bao gồm 1 cực đại và 1 cực tiểu).

Cách tìm đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số bậc ba:

Ta có thể phân tích: y = f(x) = (Ax + B)f'(x) + Cx + D bằng phương pháp chia đa thức f(x) cho đạo hàm của chính nó là đa thức f'(x).

Giả sử hàm số đạt cực trị tại 2 điểm x₁ và x₂

Ta có: f(x₁) = (Ax₁ + B)f'(x₁) + Cx₁ + D → f(x₁) = Cx₁ + D vì f'(x₁) = 0

Tương tự: f(x₂) = Cx₂ + D do f'(x₂) = 0

Từ đó, ta kết luận 2 cực trị của hàm số bậc 3 nằm trên đường thẳng dạng f(x) = Cx + D

Cực trị của hàm số bậc 4:

Hàm số trùng phương có dạng y = ax⁴ + bx² + c (a≠ 0) có miền xác định D = R.

Ta có đạo hàm của hàm số y’ = 4ax³ + 2bx

Khi y’ = 0 ta có:

x = 0
2ax² + b = 0 ⇔ x² = -b/2a

Khi -b/2a ≤ 0 ⇔ b/2a ≥ 0 thì y’ chỉ duy nhất 1 lần đổi dấu tại x = x₀ = 0 ⇒ Hàm số đạt cực trị tại x = 0

Khi -b/2a < 0 ⇔ b/2a > 0 thì y’ đổi dấu 3 lần ⇒ Hàm số sẽ có 3 cực trị

Cực trị của hàm lượng giác:

Để làm được dạng bài tìm cực trị của hàm số lượng giác, các em học sinh thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số (điều kiện để hàm số có nghĩa).
Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x). Sau đó giải phương trình y’ = 0, giả sử nghiệm của phương trình là x₀.
Bước 3: Tìm đạo hàm y”. Tính y”(x₀) rồi dựa vào định lý 2 để đưa ra kết luận về cực trị hàm số lượng giác.

Cực trị của hàm Logarit:

Các bước giải cực trị của hàm Logarit bao gồm:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số y’, rồi giải phương trình y’ = 0 (với nghiệm x = x₀).
Bước 3: Tìm đạo hàm cấp 2 y”. Tính y”(x₀) rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 3.

5.2. Bài Tập Cực Trị Của Hàm Số Có Điều Kiện Cho Trước

Để tiến hành giải bài tập, ta cần thực hiện theo quy trình tìm cực trị tổng quan về cực trị của hàm số có điều kiện sau:

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số đã cho.
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số y’ = f'(x).
Bước 3: Kiểm tra lại bằng cách sử dụng một trong hai quy tắc để tìm cực trị, từ đó, xét điều kiện của tham số thỏa mãn yêu cầu mà đề bài ra.

Ví dụ: Cho hàm số y = x³ + 3mx² + 3(m² – 1)x + 2. Hãy tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số đã cho có cực tiểu tại x = 2.

Giải:

Xét điều kiện của hàm số: D = R
Ta có: y’ = 3x² + 6mx + 3(m² – 1) và y” = 6x + 6m

Mà hàm số lại có cực tiểu tại x = 2

⇒ { y'(2) = 0 , y”(2) > 0 }

⇔ { 3.2² + 6m.2 + 3(m² – 1) = 0 , 6.2 + 6m > 0 }

⇔ { m² – 12m + 11 = 0 , 12 – 6m > 0 }

⇔ m = 1

5.3. Tìm Số Cực Trị Của Hàm Số Bằng Phương Pháp Biện Luận m

Đối với bài toán biện luận m, học sinh cần chia ra 2 dạng hàm số để có cách giải tương ứng. Cụ thể như sau:

Xét trường hợp cực trị của hàm số bậc ba có:

Đề bài cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

y’ = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’ = b² – 3ac

Phương trình (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số không có cực trị.
Hàm số bậc 3 không có cực trị khi b² – 3ac ≤ 0.
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt suy ra hàm số có 2 cực trị.
Có 2 cực trị khi b² – 3ac > 0.
Xét trường hợp cực trị hàm số bậc bốn trùng phương có:

Ta có đạo hàm y’ = 4ax³ + 2bx

6. Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Số Cực Trị Của Hàm Số

Cực trị của hàm số là gì?
- Cực trị của hàm số là các điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất (cực đại) hoặc giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) trong một khoảng lân cận.
Làm thế nào để tìm cực trị của hàm số?
- Có hai quy tắc chính để tìm cực trị:
  - Quy tắc 1: Tìm đạo hàm, tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, sau đó xét dấu đạo hàm.
  - Quy tắc 2: Tìm đạo hàm, giải phương trình đạo hàm bằng 0, sau đó tính đạo hàm cấp hai tại các nghiệm.
Điều kiện cần để hàm số có cực trị là gì?
- Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x₀ và có đạo hàm tại điểm đó thì f'(x₀) = 0.
Điều kiện đủ để hàm số có cực trị là gì?
- Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x₀ (cực tiểu) hoặc từ dương sang âm (cực đại), thì hàm số có cực trị tại x₀. Hoặc, nếu f”(x₀) < 0 (cực đại) hoặc f”(x₀) > 0 (cực tiểu).
Hàm số bậc 3 có tối đa bao nhiêu cực trị?
- Hàm số bậc 3 có thể có 0 hoặc 2 cực trị.
Hàm số bậc 4 trùng phương có tối đa bao nhiêu cực trị?
- Hàm số bậc 4 trùng phương có thể có 1 hoặc 3 cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị lớn nhất của hàm số có giống nhau không?
- Không, giá trị cực đại là giá trị lớn nhất của hàm số trong một khoảng lân cận, còn giá trị lớn nhất là giá trị lớn nhất của hàm số trên toàn bộ tập xác định.
Đồ thị hàm số có điểm cực trị là gì?
- Nếu x₀ là một điểm cực trị của f thì điểm (x₀; f(x₀)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
Làm thế nào để tìm đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số bậc ba?
- Sử dụng phương pháp chia đa thức f(x) cho đạo hàm của nó f'(x) để tìm dạng đường thẳng y = Cx + D.
Tại sao cần phải xét điều kiện của tham số khi tìm cực trị của hàm số?
- Việc xét điều kiện của tham số giúp đảm bảo rằng các điểm tìm được thực sự là cực trị và thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm vững kiến thức về số cực trị của hàm số. Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về các loại xe tải hoặc cần tư vấn về các vấn đề liên quan đến xe tải tại khu vực Mỹ Đình, Hà Nội, hãy truy cập XETAIMYDINH.EDU.VN ngay hôm nay. Đội ngũ chuyên gia của chúng tôi luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.

Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội

Hotline: 0247 309 9988

Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN

Hãy liên hệ với Xe Tải Mỹ Đình ngay hôm nay để được tư vấn và giải đáp mọi thắc mắc của bạn. Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những thông tin chính xác và hữu ích nhất!

Số Cực Trị Của Hàm Số Là Gì? Cách Xác Định Chuẩn Nhất?