Phương Trình đường Hypebol là một khái niệm quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng thực tế. Hãy cùng XETAIMYDINH.EDU.VN khám phá chi tiết về phương trình này, từ định nghĩa, phương trình chính tắc đến các bài tập áp dụng. Chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức và công cụ cần thiết để hiểu rõ và vận dụng hiệu quả phương trình đường hypebol.
1. Đường Hypebol Được Định Nghĩa Như Thế Nào?
Đường hypebol, hay còn gọi là hyperbol, là một đường conic đặc biệt, được tạo thành từ giao tuyến của một mặt nón và một mặt phẳng cắt cả hai nửa của hình nón.
Nói một cách khác, đường hypebol là tập hợp các điểm trong mặt phẳng mà hiệu khoảng cách tuyệt đối từ mỗi điểm đó đến hai điểm cố định (gọi là tiêu điểm) là một hằng số. Hằng số này bằng 2a, với a là độ dài bán trục thực của đường hypebol.
Hai điểm cố định đó được gọi là tiêu điểm của đường hypebol. Đường thẳng đi qua hai tiêu điểm là trục thực, và trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm là tâm của đường hypebol.
Đường Hypebol và các yếu tố cơ bản
Định nghĩa bằng ký hiệu:
Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và hằng số a > 0. Đường hypebol là tập hợp các điểm M thỏa mãn:
|MF1 – MF2| = 2a
Ký hiệu: (H)
- F1 và F2: Tiêu điểm của đường (H)
- Khoảng cách F1F2 = 2c: Tiêu cự của (H)
2. Phương Trình Chính Tắc Của Đường Hypebol Là Gì?
2.1. Phương trình đường cong hypebol
Trong hệ tọa độ Oxy, nếu tiêu điểm F1(-c; 0), F2(c; 0), thì phương trình đường hypebol có dạng:
x²/a² – y²/b² = 1
trong đó b² = c² – a²
Phương trình này được gọi là phương trình chính tắc của hypebol.
Phương trình chính tắc của đường Hypebol
2.2. Ví dụ về phương trình đường hypebol
Ví dụ 1: Xác định phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) có trục thực và trục ảo lần lượt là 10 và 6.
Hướng dẫn giải:
- Độ dài trục thực = 2a = 10 => a = 5
- Độ dài trục ảo = 2b = 6 => b = 3
Phương trình chính tắc của hypebol là: x²/a² – y²/b² = 1
Vậy hypebol (H) có dạng: x²/5² – y²/3² = 1
Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A2(5; 0) và một đường tiệm cận là y = -3x.
Hướng dẫn giải:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x²/a² – y²/b² = 1 (a > 0, b > 0)
- Hypebol có một đỉnh là A2 (5; 0) => a = 5
- Hypebol có một đường tiệm cận là y = -3x => b/a = 3 => b = 3a = 15
Vậy phương trình chính tắc của đường hypebol đã cho là x²/5² – y²/15² = 1 hay x²/25 – y²/225 = 1
3. Hình Dạng và Tính Chất Của Đường Hypebol Như Thế Nào?
Đường hypebol có những đặc điểm sau:
- Tiêu điểm: Hai tiêu điểm F1(-c; 0) và F2(c; 0)
- Đỉnh: Hai đỉnh A1(-a; 0) và A2(a; 0)
- Trục đối xứng: Trục Ox là trục thực, trục Oy là trục ảo.
- Độ dài trục: Khoảng cách 2a giữa 2 đỉnh gọi là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo.
- Nhánh: Đường hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là một nhánh của hypebol.
- Hình chữ nhật cơ sở: Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = ± a, y = ± b.
- Đường tiệm cận: Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở là hai đường tiệm cận của hypebol và có phương trình là y = ± (b/a)x
- Tâm sai: e = c/a > 1
- Bán kính qua tiêu điểm: Với M(xm; ym) thuộc (H):
- MF1 = |a + exM| = |a + (c/a)xM|
- MF2 = |a – exM| = |a – (c/a)xM|
Các yếu tố của đường Hypebol
Ví dụ 1: Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh; độ dài trục thực, trục ảo và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol có phương trình sau:
a) x²/9 – y²/4 = 1
b) x²/9 – y²/16 = 1
c) x² – 9y² = 9
Hướng dẫn giải:
a) a = 3, b = 2, c = √(a² + b²) = √13
- Tiêu điểm: F1(-√13; 0), F2(√13; 0)
- Đỉnh: A1(-3; 0), A2(3; 0)
- Độ dài trục thực: 2a = 6
- Độ dài trục ảo: 2b = 4
- Phương trình tiệm cận: y = ± (2/3)x
b) a = 3, b = 4, c = √(a² + b²) = 5
- Tiêu điểm: F1(-5; 0), F2(5; 0)
- Đỉnh: A1(-3; 0), A2(3; 0)
- Độ dài trục thực: 2a = 6
- Độ dài trục ảo: 2b = 8
- Phương trình tiệm cận: y = ± (4/3)x
c) x² – 9y² = 9 <=> x²/9 – y² = 1
- a = 3, b = 1, c = √(a² + b²) = √10
- Tiêu điểm: F1(-√10; 0), F2(√10; 0)
- Đỉnh: A1(-3; 0), A2(3; 0)
- Độ dài trục thực: 2a = 6
- Độ dài trục ảo: 2b = 2
- Phương trình tiệm cận: y = ± (1/3)x
Ví dụ 2: Cho hypebol (H) như hình vẽ:
a) Chứng minh rằng: Nếu M(x, y) nằm trên hypebol (H) thì x ≤ -a hoặc x ≥ a
b) Phương trình hai đường thẳng PR và QS có dạng như thế nào?
Hướng dẫn giải:
a) Nếu M(x, y) thuộc hypebol (H) thì x²/a² – y²/b² = 1
Mà y²/b² ≥ 0 => x²/a² ≥ 1
Do đó x² ≥ a² => x ≤ -a hoặc x ≥ a
b) P(-a, b), R(a; -b) => PR = (a – (-a); -b – b) = (2a; -2b)
Chọn n(b; a) là một vector pháp tuyến của PR
Phương trình đường thẳng PR có dạng:
b(x + a) + a(y – b) = 0
Hay, bx + ay = 0 hay y = -(b/a)x
Tương tự, Q(a; b), S(-a; -b) => QS = (-a – a; -b – b) = (-2a; -2b)
Chọn n(b; a) là một vector pháp tuyến của QS
Phương trình đường thẳng QS có dạng:
-b(x – a) + a(y – b) = 0
Hay, -bx + ay = 0 hay y = (b/a)x
4. Bài Tập Vận Dụng Về Đường Hypebol
Câu 1: Khái niệm nào sau đây là định nghĩa về đường hypebol?
A. Cho điểm F và đường thẳng Δ cố định không đi qua F. Đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện khoảng cách từ M đến Δ bằng khoảng cách từ M đến F.
B. Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c, (c>0). Hypebol (H) là tập hợp điểm M sao cho |MF1 – MF2|=2a với a là một số không đổi và a
C. Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c, (c>0) và một độ dài 2a không đổi (a>c) . Hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho M ∊ (P)=MF1+MF2=2a .
D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Hypebol .
Câu 2: Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc là x²/a² – y²/b² = 1, với a, b > 0. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu c² = a² + b² thì (H) có các tiêu điểm là F1( c ; 0), F2 (-c ; 0)
B. Nếu c² = a² + b² thì (H) có các tiêu điểm là F1 (0 ; c), F2 (0 ; –c).
C. Nếu c² = a² – b² thì (H) có các tiêu điểm là F1 (c ; 0), F2 (- c ; 0).
D. Nếu c² = a² – b² thì (H) có các tiêu điểm là F1 (0 ; c), F2 (0 ; –c).
Câu 3: Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc là x²/a² – y²/b² = 1, với a,b > 0. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là e = c/a
B. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là e = c/a
C. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là e = -c/a
D. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là e = -c/a
Câu 4: Cho đường hypebol (H) có phương trình chính tắc là x²/a² – y²/b² = 1, với a, b>0. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục thực là (a;0) và (-a;0).
B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục ảo là B1 (0;b), A1 (0;–b).
C. Với c² = a² + b² (c > 0) , độ dài tiêu cự là 2c.
D. Với c² = a² + b² (c > 0) , tâm sai của hypebol là e = e = c/a.
Câu 5: Hypebol x²/16 – y²/9 = 1 có hai tiêu điểm là:
A. F1(-5;0) , F2(5;0)
B. F1(-2;0) , F2(2;0)
C. F1(-3;0) , F2(3;0)
D. F1(-4;0) , F2(4;0)
Câu 6: Đường hypebol có nửa trục thực là 4, tiêu cự bằng 10 có phương trình chính tắc là:
A. x²/16 – y²/9 = 1
B. x²/16 + y²/9 = 1
C. y²/16 – x²/9 = 1
D. x²/16 – y²/25 = 1
Câu 7: Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol (H) mà hình chữ nhật cơ sở có một đỉnh là (2;–3)
A. x²/2 – y²/(-3) = 1
B. x²/4 – y²/9 = 1
C. x²/9 – y²/3 = 1
D. x²/2 – y²/3 = 1
Câu 8: Đường hypebol x²/4 – y²/9 = 1 có:
A. Hai đỉnh A1(-2;0) , A2(2;0) và tâm sai e = 2/√13
B. Hai đường tiệm cận y = ± (3/2)x và tâm sai e = 2/√13
C. Hai đường tiệm cận y = ± (3/2)x và tâm sai e = 2/√13
D. Hai tiêu điểm F1(-2;0) , F2(2;0) và tâm sai e = 2/√13
Câu 9: Phương trình hai đường tiệm cận y = ± (3/2)x là của đường hypebol có phương trình chính tắc nào sau đây?
A. x²/4 – y²/9 = 1
B. x²/3 – y²/2 = 1
C. x²/2 – y²/3 = 1
D. x²/9 – y²/4 = 1
Câu 10: Tìm phương trình chính tắc của Hypebol H biết nó đi qua điểm là (5;4) và một đường tiệm cận có phương trình là x + y = 0
A. x² – y²/9 = 1
B. x² – y² = 9
C. x² – y² = 1
D. x²/5 – y²/4 = 1
Câu 11: Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol (H) biết nó tiêu điểm là (3;0) và một đường tiệm cận có phương trình là : √2x + y = 0
A. x²/6 – y²/3 = 1
B. x²/3 – y²/6 = 1
C. x²/1 – y²/2 = 1
D. x²/1 – y²/8 = 1
Câu 12: Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol nếu một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của đường hyperbol đó là M (4 ; 3) .
A. x²/16 – y²/9 = 1
B. x²/16 – y²/9 = 1
C. x²/16 – y²/4 = 1
D. x²/4 – y²/3 = 1
Câu 13: Cho điểm M nằm trên đường hypebol (H): x²/16 – y²/9 = 1. Nếu hoành độ điểm M bằng 8 thì khoảng cách từ M đến các tiêu điểm của H là bao nhiêu?
A. 8 ± 4√2
B. 8 ± 4√5
C. 5 và 13
D. 6 và 14
Câu 14: Viết phương trình chính tắc của đường hypebol, biết giá trị tuyệt đối hiệu các bán kính qua tiêu điểm của điểm M bất kỳ trên hypebol là 8, tiêu cự bằng 10 .
A. x²/16 – y²/9 = 1 hoặc -x²/16 – y²/9 = 1
B. x²/16 – y²/9 = 1
C. x²/4 + y²/3 = 1
D. x²/4 – y²/3 = 1
Câu 15: Đường hypebol có hai đường tiệm cận vuông góc với nhau, độ dài trục thực bằng 6, có phương trình chính tắc là:
A. x²/46 – y²/6 = 1
B. x²/9 – y²/9 = 1
C. x²/1 – y²/9 = 1
D. x²/16 – y²/9 = 1
Câu 16: Điểm nào trong 4 điểm M (5 ; 0) , N (10 ; 33 ) , P (52 ; 32 ) , Q (5 ; 4) nằm trên một đường tiệm cận của đường hypebol x² 25 – y² 9 = 1?
A. N
B. M
C. Q
D. P
Câu 17. Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol H biết nó có một đường tiệm cận là x – 2y = 0 và hình chữ nhật cơ sở của nó có diện tích bằng 24 .
A. x²/12 – y²/48 = 1
B. x²/3 – y²/12 = 1
C. x²/12 – y²/3 = 1
D. x²/48 – y²/12 = 1
Câu 18: Lập phương trình chính tắc của đường hypebol ( H ) với Ox là trục thực , tổng hai bán trục a + b = 7, phương trình hai tiệm cận : y = ±.3/4x
A. (H): x²/3 – y²/4 = 1
B. (H): x²/4 – y²/3 = 1
C. (H): x²/28 – y²/21 = 1
D. (H): x²/21 – y²/28 = 1
Câu 19: Cho đường hypebol (H): x²/25 – y²/16 = 1 có 2 tiêu điểm F1, F2. Với M là một điểm tùy ý thuộc (H). Hãy tính S=(MF1 + MF2)² – 4OM²
A. 8
B. 1
C. 1/64
D. 64
Câu 20: Cho đường hypebol (H): x²/4 – y²/3 = 1. Lập phương trình tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng d : 5x – 4y + 10 = 0
A. 5x – 4y + 4 = 0 , 5x – 5y – 4 = 0
B. 5x – 4y – 16 = 0 và 5x – 4y + 16 = 0
C. 5x – 4y – 16 = 0
D. 5x – 4y + 16 = 0
Bảng đáp án:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B | A | A | D | A | A | B | C | D | C |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| A | A | D | A | B | D | C | B | D | B |
5. Ứng Dụng Của Đường Hypebol Trong Thực Tế
Đường hypebol không chỉ là một khái niệm toán học thuần túy mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau:
- Thiết kế kiến trúc: Đường hypebol được sử dụng trong thiết kế các công trình kiến trúc độc đáo, tạo nên những hình dáng ấn tượng và thu hút.
- Hàng không và vũ trụ: Quỹ đạo của một số thiên thể, như sao chổi, có dạng hypebol khi chúng bay ngang qua hệ Mặt Trời.
- Vật lý: Đường đi của các hạt mang điện trong điện trường cũng có thể có dạng hypebol.
- Định vị: Hệ thống định vị toàn cầu (GPS) sử dụng các đường hypebol để xác định vị trí của một đối tượng dựa trên thời gian tín hiệu truyền từ các vệ tinh.
6. Câu Hỏi Thường Gặp Về Phương Trình Đường Hypebol (FAQ)
1. Phương trình đường hypebol có những dạng nào?
Phương trình chính tắc của đường hypebol là x²/a² – y²/b² = 1. Ngoài ra, còn có các dạng phương trình khác khi hypebol bị tịnh tiến hoặc quay.
2. Làm thế nào để xác định các yếu tố của đường hypebol từ phương trình chính tắc?
Từ phương trình x²/a² – y²/b² = 1, ta có thể xác định:
- a: Độ dài bán trục thực
- b: Độ dài bán trục ảo
- c: Tiêu cự (c² = a² + b²)
- Tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)
- Đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0)
- Đường tiệm cận: y = ± (b/a)x
3. Đường hypebol và elip khác nhau như thế nào?
Điểm khác biệt chính là:
- Đường hypebol: Hiệu khoảng cách từ một điểm trên đường đến hai tiêu điểm là hằng số.
- Đường elip: Tổng khoảng cách từ một điểm trên đường đến hai tiêu điểm là hằng số.
4. Tâm sai của đường hypebol có ý nghĩa gì?
Tâm sai (e = c/a) cho biết độ “thon” của đường hypebol. Tâm sai càng lớn, hypebol càng “thon” và hai nhánh càng gần nhau.
5. Đường tiệm cận của đường hypebol là gì?
Đường tiệm cận là đường thẳng mà đường hypebol tiến gần đến khi x hoặc y tiến đến vô cực.
6. Làm thế nào để viết phương trình đường hypebol khi biết tiêu điểm và đỉnh?
- Xác định a (khoảng cách từ tâm đến đỉnh) và c (khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm).
- Tính b² = c² – a².
- Viết phương trình chính tắc: x²/a² – y²/b² = 1.
7. Phương trình đường hypebol có ứng dụng gì trong thực tế?
Đường hypebol có nhiều ứng dụng trong thiết kế kiến trúc, hàng không vũ trụ, vật lý và định vị.
8. Làm thế nào để vẽ đường hypebol?
Có thể vẽ đường hypebol bằng cách:
- Xác định các yếu tố (tiêu điểm, đỉnh, đường tiệm cận).
- Vẽ hình chữ nhật cơ sở.
- Vẽ các đường tiệm cận.
- Vẽ hai nhánh của hypebol, tiến gần đến các đường tiệm cận.
9. Tại sao cần phải học về phương trình đường hypebol?
Hiểu về phương trình đường hypebol giúp bạn:
- Nâng cao kiến thức toán học.
- Giải quyết các bài toán liên quan đến đường conic.
- Áp dụng vào các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
10. Có những tài liệu nào để học thêm về phương trình đường hypebol?
Bạn có thể tìm thấy thông tin về phương trình đường hypebol trong sách giáo khoa, sách tham khảo, các trang web giáo dục và các khóa học trực tuyến.
Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về phương trình đường hypebol.
Nếu bạn đang tìm kiếm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về xe tải ở Mỹ Đình, Hà Nội, hãy truy cập XETAIMYDINH.EDU.VN ngay hôm nay. Chúng tôi cung cấp thông tin cập nhật về các loại xe tải, so sánh giá cả và thông số kỹ thuật, cùng với dịch vụ tư vấn chuyên nghiệp để giúp bạn lựa chọn chiếc xe phù hợp nhất với nhu cầu của mình.
Liên hệ với chúng tôi:
- Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội
- Hotline: 0247 309 9988
- Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN
Đừng bỏ lỡ cơ hội tìm hiểu thêm và được tư vấn tận tình từ đội ngũ chuyên gia của Xe Tải Mỹ Đình. Hãy truy cập website của chúng tôi ngay bây giờ để khám phá thế giới xe tải và tìm ra giải pháp vận tải tối ưu cho bạn!
