Bạn đang gặp khó khăn trong việc xác định Miền Nghiệm Của Bất Phương Trình? Đừng lo lắng, Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề này một cách dễ dàng. Chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn định nghĩa chi tiết, cách biểu diễn miền nghiệm và các ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn nắm vững kiến thức. Tìm hiểu ngay về bất đẳng thức, hệ bất phương trình và ứng dụng thực tế của chúng trong bài viết này.
1. Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Là Gì?
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y có dạng tổng quát như sau:
ax + by ≤ c
ax + by ≥ c
ax + by < c
ax + by > cTrong đó:
- a, b, c là những số thực cho trước
- a và b không đồng thời bằng 0
- x và y là các biến (ẩn số)
Cặp số (x₀; y₀) sao cho ax₀ + by₀ ≤ c (hoặc các dạng khác tương ứng với dấu bất đẳng thức) là một bất đẳng thức đúng thì cặp số đó được gọi là một nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c.
Ví dụ về bất phương trình bậc nhất hai ẩn: 4x + 2y > 1; x – 2y < -2;…
Ví dụ minh họa bất phương trình bậc nhất hai ẩn
2. Khái Niệm Miền Nghiệm Của Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
2.1. Định Lý Về Miền Nghiệm
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.
Ví dụ: Miền nghiệm (phần không bị gạch) của bất phương trình 3x – 2y > -6 được biểu diễn như hình trên.
2.2. Cách Biểu Diễn Miền Nghiệm Chi Tiết
Cho mặt phẳng tọa độ Oxy, có đường thẳng d: ax + by + c = 0 chia Oxy thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng đó chứa các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by + c > 0, nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by + c < 0.
Để xác định và biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0, bạn thực hiện theo các bước sau:
-
Bước 1: Vẽ đường thẳng d: ax + by + c = 0 trên mặt phẳng tọa độ. Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
-
Bước 2: Chọn một điểm M(x₀; y₀) không nằm trên đường thẳng d. Điểm này thường là gốc tọa độ O(0;0) nếu nó không nằm trên d.
-
Bước 3: Thay tọa độ (x₀; y₀) của điểm M vào bất phương trình ax + by + c. Tính giá trị ax₀ + by₀ + c và so sánh với 0.
-
Bước 4: Đưa ra kết luận:
- Nếu ax₀ + by₀ + c < 0, thì nửa mặt phẳng chứa điểm M(x₀; y₀) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.
- Nếu ax₀ + by₀ + c > 0, thì nửa mặt phẳng không chứa điểm M(x₀; y₀) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.
-
Bước 5: Gạch bỏ (hoặc tô màu) nửa mặt phẳng không phải là miền nghiệm. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng còn lại.
Lưu ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c (hoặc ax + by ≥ c) bao gồm cả đường thẳng d. Đường thẳng này được vẽ liền nét. Miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c (hoặc ax + by > c) không bao gồm đường thẳng d. Đường thẳng này được vẽ nét đứt.
Ví dụ Minh Họa:
Để hiểu rõ hơn về cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hãy xem các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x – y ≥ 0
Hướng dẫn giải:
- Vẽ đường thẳng (d): 2x – y = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
- Chọn điểm M(1;0) không thuộc đường thẳng (d). Thay tọa độ của M vào bất phương trình, ta được 2(1) – 0 = 2 > 0. Vậy M không phải là nghiệm của bất phương trình 2x – y < 0.
- Miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ (d) và chứa điểm M(1;0). Phần không được tô màu xanh trên hình là miền nghiệm.
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2x-y ≥ 0
Ví dụ 2: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình -x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x)
Hướng dẫn giải:
- Rút gọn bất phương trình:
-x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x) <=> -x + 2 + 2y - 4 < 2 - 2x <=> x + 2y < 4 (1) - Vẽ đường thẳng x + 2y = 4 trên mặt phẳng Oxy.
- Thay tọa độ (0;0) vào bất phương trình (1), ta được 0 + 0 < 4 => (0;0) là một nghiệm của bất phương trình.
- Vậy miền nghiệm của bất phương trình là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình dưới đây.
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn -x+2+2(y-2)<2(1-x)
Ví dụ 3: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3
Hướng dẫn giải:
- Rút gọn bất phương trình:
3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3 <=> 3x - 3 + 4y - 8 < 5x - 3 <=> -2x + 4y < 8 <=> x - 2y > -4 (2) - Vẽ đường thẳng x – 2y = -4 trên mặt phẳng Oxy.
- Thay tọa độ (0;0) vào bất phương trình (2), ta được: 0 – 0 > -4 (đúng) => (0;0) là một nghiệm của bất phương trình.
- Vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ sau.
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn 3(x-1)+4(y-2)<5x-3
3. Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cũng tương tự như hệ bất phương trình một ẩn đã học.
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y mà ta cần tìm những nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.
Tương tự như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn miền nghiệm của hệ với các bước thực hiện giống như xét bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Để hiểu chi tiết hơn cách xét miền nghiệm dạng hệ bất phương trình, ta cùng xem ví dụ dưới đây:
Ví dụ 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
3x + y ≤ 6
x + y ≤ 4
x ≥ 0
y ≥ 0Hình ảnh minh họa hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn – ví dụ 1
Hướng dẫn giải:
-
Vẽ các đường thẳng sau:
- d₁: 3x + y = 6
- d₂: x + y = 4
- d₃: x = 0 (Oy)
- d₄: y = 0 (Ox)
-
Do điểm M₀(1;1) có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ, nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ (d₁), (d₂), (d₃), (d₄) không chứa điểm M₀.
-
Miền không bị tô đậm trong hình dưới đây chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình 2 ẩn đã cho.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn – ví dụ 1
Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau:
x + y - 2 ≥ 0
x - 3y + 3 ≤ 0Hình ảnh minh họa hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn – ví dụ 2
Hướng dẫn giải:
- Vẽ đường thẳng (d): x + y – 2 = 0 và (d’’): x – 3y + 3 = 0 trên mặt phẳng Oxy.
- Xét điểm gốc tọa độ O(0;0): Điểm O không phải là nghiệm của bất phương trình x + y – 2 ≥ 0 và x – 3y + 3 ≤ 0.
- Vậy, miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là phần mặt phẳng không được tô màu ở hình vẽ dưới đây.
Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn – ví dụ 2
Ví dụ 3: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau:
x + y > 0
2x - 3y + 6 > 0
x - 2y + 1 ≥ 0Hình ảnh minh họa hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn – ví dụ 3
Hướng dẫn giải:
-
Vẽ các đường thẳng sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy:
- (d): x + y = 0
- (d’): 2x – 3y + 6 = 0
- (d’’): x – 2y + 1 = 0
-
Xét điểm O(0;0): Điểm 0 là nghiệm của bất phương trình 2x – 3y + 6 > 0 và x – 2y + 1 ≥ 0.
-
Xét điểm M(1;0): Điểm M là nghiệm của bất phương trình x + y > 0 => điểm M thuộc miền nghiệm của bất phương trình x + y > 0.
-
Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trong hình vẽ dưới đây.
Miền nghiệm hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn – ví dụ 3
4. Ứng Dụng Của Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Vào Bài Toán Kinh Tế
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường được áp dụng rất nhiều vào các bài toán kinh tế thực tế. Loại bài toán này có cả một ngành toán học nghiên cứu có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính. Theo một nghiên cứu của Trường Đại học Kinh tế Quốc dân năm 2023, việc áp dụng quy hoạch tuyến tính giúp các doanh nghiệp tối ưu hóa nguồn lực và tăng lợi nhuận lên đến 15%.
Cùng xét ví dụ dưới đây để hiểu cách giải bài toán kinh tế áp dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
Ví dụ: Một xưởng sản xuất 2 loại sản phẩm. Mỗi cân sản phẩm loại I cần 2 cân nguyên liệu và 30 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 40.000 đồng. Mỗi cân sản phẩm loại II cần 4 cân nguyên liệu và 15 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 30.000 đồng. Xưởng có 200 cân nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Hỏi giám đốc của xưởng nên cho sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu cân để có mức lợi nhuận cao nhất?
Hướng dẫn giải:
- Gọi x (x ≥ 0) là số cân loại I cần sản xuất, y (y ≥ 0) là số cân loại II cần sản xuất.
- Từ đề bài suy ra: số nguyên liệu cần dùng là 2x + 4y, thời gian là 30x + 15y, mức lợi nhuận thu được là 40000x + 30000y.
- Theo giả thiết đề bài, xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc => 2x + 4y ≤ 200 hay x + 2y – 100 ≤ 0, 30x + 15y ≤ 1200 hay 2x + y – 80 ≤ 0.
- Từ đó, bài toán trở thành: Tìm x và y thỏa mãn hệ bất phương trình sau:
x + 2y - 100 ≤ 0
2x + y - 80 ≤ 0
x ≥ 0
y ≥ 0Hình ảnh minh họa hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn bài toán kinh tế – ví dụ 1
sao cho H(x;y) = 40000x + 30000y đạt giá trị lớn nhất.
- Trong mặt phẳng Oxy, vẽ các đường thẳng (d’): x + 2y – 100 = 0 và (d’’): 2x + y – 80 = 0.
- Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình 2 ẩn (*) là phần mặt phẳng không được tô màu ở hình vẽ dưới đây.
Miền nghiệm của bài toán kinh tế hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn – ví dụ 1
- Giá trị lớn nhất của H(x;y) = 40000x + 30000y đạt giá trị tại một trong các điểm (0;0), (40;0), (0;50), (20;40).
- Ta có: H(0;0) = 0, H(40;0) = 1600000, H(0;50) = 1500000, H(20;40) = 2000000
- Giá trị lớn nhất của H(x;y) = 2000000 khi (x;y) = (20;40)
- Vậy, xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại II để có mức lợi nhuận lớn nhất.
FAQ – Câu Hỏi Thường Gặp Về Miền Nghiệm Bất Phương Trình
- Miền nghiệm của bất phương trình là gì?
Miền nghiệm của bất phương trình là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà tọa độ của chúng thỏa mãn bất phương trình đó. - Làm thế nào để xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
Để xác định miền nghiệm, bạn vẽ đường thẳng tương ứng với phương trình, sau đó chọn một điểm không nằm trên đường thẳng và kiểm tra xem điểm đó có thỏa mãn bất phương trình hay không. Nếu có, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm đó; nếu không, miền nghiệm là nửa mặt phẳng còn lại. - Miền nghiệm của hệ bất phương trình là gì?
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ. - Đường thẳng trong biểu diễn miền nghiệm vẽ liền hay nét đứt có ý nghĩa gì?
Đường thẳng vẽ liền nét biểu thị các điểm trên đường thẳng đó thuộc miền nghiệm (bất phương trình có dấu ≤ hoặc ≥). Đường thẳng vẽ nét đứt biểu thị các điểm trên đường thẳng không thuộc miền nghiệm (bất phương trình có dấu < hoặc >). - Tại sao cần biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ?
Việc biểu diễn miền nghiệm giúp chúng ta hình dung trực quan tập hợp các nghiệm của bất phương trình và dễ dàng tìm ra các nghiệm cụ thể. - Miền nghiệm có ứng dụng gì trong thực tế?
Miền nghiệm được ứng dụng trong nhiều bài toán thực tế, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế, giúp tối ưu hóa các quyết định sản xuất, kinh doanh. - Làm thế nào để kiểm tra một điểm có thuộc miền nghiệm của bất phương trình không?
Bạn chỉ cần thay tọa độ của điểm đó vào bất phương trình. Nếu bất phương trình đúng, điểm đó thuộc miền nghiệm; nếu sai, điểm đó không thuộc miền nghiệm. - Có thể sử dụng phần mềm nào để vẽ và xác định miền nghiệm?
Có nhiều phần mềm hỗ trợ vẽ đồ thị và xác định miền nghiệm, ví dụ như GeoGebra, Desmos. - Điều gì xảy ra nếu đường thẳng đi qua gốc tọa độ khi xác định miền nghiệm?
Nếu đường thẳng đi qua gốc tọa độ, bạn cần chọn một điểm khác không nằm trên đường thẳng để kiểm tra. - Khi nào hệ bất phương trình vô nghiệm?
Hệ bất phương trình vô nghiệm khi không có điểm nào trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ, tức là các miền nghiệm không có phần chung.
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ chi tiết trên, bạn đã hiểu rõ hơn về miền nghiệm của bất phương trình. Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm thông tin về xe tải hoặc cần tư vấn về các vấn đề liên quan đến vận tải, hãy truy cập XETAIMYDINH.EDU.VN ngay hôm nay! Chúng tôi luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn. Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội. Hotline: 0247 309 9988.
