Khoảng Cách Giữa đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song được tính bằng cách nào? Xe Tải Mỹ Đình sẽ giúp bạn nắm vững phương pháp giải chi tiết, hỗ trợ ôn tập và tự tin giải quyết các bài tập liên quan đến khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song một cách hiệu quả nhất.
1. Phương Pháp Tính Khoảng Cách Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Để tính khoảng cách giữa d và (P), ta thực hiện theo hai bước sau:
-
Bước 1: Chọn một điểm A bất kỳ trên đường thẳng d sao cho việc xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là dễ dàng nhất.
-
Bước 2: Kết luận: Khoảng cách giữa d và (P), ký hiệu d(d, (P)), chính là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P), tức là d(d, (P)) = d(A, (P)).
Alt: Điểm A nằm trên đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) được chọn để tính khoảng cách.
2. Ví Dụ Minh Họa Cách Tính Khoảng Cách Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song
Để hiểu rõ hơn về phương pháp trên, hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình xét qua một vài ví dụ minh họa cụ thể:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và mặt phẳng (SAD).
Alt: Hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang vuông ABCD, I và J là trung điểm của AB và CD.
Hướng dẫn giải:
Vì I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD. Do đó, IJ song song với AD. Mà AD nằm trong mặt phẳng (SAD), suy ra IJ song song với mặt phẳng (SAD).
Vậy, khoảng cách giữa đường thẳng IJ và mặt phẳng (SAD) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên IJ đến mặt phẳng (SAD). Ta chọn điểm I (hoặc J) vì việc tính khoảng cách từ I đến (SAD) dễ dàng hơn.
Để tính d(I, (SAD)), ta có thể sử dụng phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của I lên (SAD). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AD. Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với IH. Do đó, IH vuông góc với (SAD). Vậy d(I, (SAD)) = IH.
Vì I là trung điểm của AB nên IH = AB/2 = a/2.
Vậy, khoảng cách giữa đường thẳng IJ và mặt phẳng (SAD) là a/2.
Ví dụ 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D; AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S với SD = a√2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng (SAB).
Alt: Hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, điểm S nằm trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại D.
Hướng dẫn giải:
Vì DC song song với AB nên DC song song với mặt phẳng (SAB).
Do đó, d(DC; (SAB)) = d(D; (SAB)).
Kẻ DH vuông góc với SA.
Do AB vuông góc với AD và AB vuông góc với SA nên AB vuông góc với (SAD).
Suy ra DH vuông góc với AB, mà DH cũng vuông góc với SA.
Vậy DH vuông góc với (SAB).
Nên d(CD; (SAB)) = DH.
Trong tam giác vuông SAD, ta có:
1/DH² = 1/SA² + 1/SD²
=> DH = (SA.SD) / √(SA² + SD²)
Tính SA: SA = √(AD² + SD²) = √(4a² + 2a²) = a√6
=> DH = (a√6 * a√2) / √(6a² + 2a²) = (a²√12) / √(8a²) = (a√3)
Vậy d(CD; (SAB)) = a√3.
Ví dụ 3: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH = 2a/√3. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABC) bằng bao nhiêu?
Alt: Hình chóp O.ABC với M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB.
Hướng dẫn giải:
Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên MN là đường trung bình của tam giác OAB.
Suy ra MN song song với AB.
Do đó, MN song song với (ABC).
Khi đó, ta có:
d(MN; (ABC)) = d(M; (ABC))
= (1/2)d(O; (ABC)) (vì M là trung điểm của OA).
= (1/2)OH = (1/2)*(2a/√3) = a/√3.
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a. Tính khoảng cách từ đường thẳng AB đến mặt phẳng (SCD).
Alt: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD với AB = SA = 2a.
Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD; gọi I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD. Khi đó, IM song song với AD song song với BC.
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có O là tâm của hình vuông nên SO vuông góc với (ABCD).
- Do tam giác SAB là đều cạnh 2a
=> SI = a√3
+Xét tam giác vuông SOI:
OI = √(SI² – SO²) = √(3a² – a²) = a√2
Ta có: AB // CD => AB // (SCD)
=> d(AB; (SCD)) = d(I; (SCD)) = d(A; (SCD))
Gọi H là hình chiếu của O lên SI => OH vuông góc (SCD)
=> d(O; (SCD)) = OH
1/OH² = 1/OS² + 1/OI²
=> OH = (OS.OI) / √(OS² + OI²) = (a√3. a√2) / √(3a² + 2a²) = (a√6) / √5
=> d(AB; (SCD)) = 2OH = (2a√6) / √5
3. Bài Tập Vận Dụng Về Khoảng Cách Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song
Để củng cố kiến thức, hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình làm thêm một số bài tập vận dụng sau:
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√2. Gọi E là trung điểm AD. Tính khoảng cách giữa AB và (SOE).
Lời giải:
- Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.
mà (SAB) ∩ (SAD) = SA
⇒ SA ⊥ (ABCD) .
- Do E là trung điểm của AD khi đó
Tam giác ABD có EO là đường trung bình
⇒ EO // AB ⇒ AB // (SOE)
⇒ d(AB, (SOE)) = d(A; (SOE)) = AH
với H là hình chiếu của A lên SE.
Alt: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy và E là trung điểm AD.
Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 (đvdt). Tính khoảng cách giữa AA’ và (BB’D’).
Lời giải:
Ta có: AA’ // BB’ mà BB’ ⊂ ( BDD’B’)
⇒ AA’ // (BDD’B’)
⇒ d( AA’; (BD’B’)) = d(A; (BDD’B’)
Gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ AO ⊥ (BDD’B’) (tính chất hình lập phương)
Alt: Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với cạnh bằng 1.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa (SDA) và BC?
Lời giải:
- Ta có: BC // AD nên BC // (SAD)
⇒ d(BC; (SAD)) = d(B; SAD))
- Ta chứng minh BA ⊥ (SAD) :
Do BA ⊥ AD (vì ABCD là hình chữ nhật)
Và BA ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD))
⇒ BA ⊥ (SAD)
⇒ d(B; (SAD)) = BA
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC có:
AB² = AC² – BC² = 5a² – 2a² = 3a²
⇒ AB = √3 a
⇒ d(CB; (SAD)) = AB = √3 a
Đáp án D
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a; BC = a . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a√2 . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; K là điểm bất kỳ trên BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và (SBK).
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là trung điểm cạnh BC
-
Do SA = SB = SC = SD và OA = OB = OC = OD nên SO ⊥ (ABCD)
-
Ta chứng minh BC ⊥ (SOI)
-
Tam giác SBC cân tại S có SI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: BC ⊥ SI (1).
-
Lại có: BC ⊥ SO (vì SO ⊥ (ABCD)) (2)
Từ ( 1) và ( 2) suy ra: BC ⊥ (SOI)
MÀ OH ⊂ (SOI) nên BC ⊥ OH
⇒ OH ⊥ (SBC)
Do EF // BK nên EF // (SBK)
⇒ d(EF; (SBK)) = d(O; (SBK)) = OH
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB= a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Khoảng cách giữa BC và (SMN) bằng bao nhiêu?
Lời giải:
- Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // BC
⇒ BC // (SMN) nên :
d(BC; (SMN)) = d(B; (SMN)) = d(A; (SMN))
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM.
- Ta chứng minh: MN ⊥ (SAM):
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a√2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và (SBC) là:
Lời giải:
- Do AD // BC nên AD // (SBC)
⇒ d (AD, (SBC)) = d(H; (SBC))
trong đó H là trung điểm AD.
- Gọi M là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của H lên SM
⇒ d(H; (SBC)) = HK.
- Diện tích tam giác SMH là :
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = a√17/2 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường HK và (SBD) theo a
Lời giải:
- Ta có: H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD
⇒ HK // BD ⇒ HK // (SBD)
⇒ d(HK; (SBD)) = d(H, (SBD))
Kẻ HI ⊥ BD và HJ ⊥ SI
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ∠ABC = 60°. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 30°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và (SAB) theo a bằng:
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Kẻ: OI ⊥ AB; OH ⊥ SI
- Do CD // AB nên CD // (SAB)
⇒ d(CD, (SAB)) = d(C; (SAB)) = 2d( O; (SAB))
Ta có: AB ⊥ SO , AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ (SOI) ⇒ AB ⊥ OH
Nên OH ⊥ (SAB) ⇒ d(O, (SAB)) = OH
MÀ tam giác ACB cân tại B có ∠ABC = 60° nên tam giác ABC đều
⇒ OC = (1/2)AC = (1/2)AB = a/2 .
- xét tam giác OAB có:
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao SO = 2, mặt bên hợp với mặt đáy một góc 60°. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và (SCD) bằng
Lời giải:
- Gọi I là trung điểm của CD . Ta có:
⇒ ((SCD), (ABCD)) = (OI, SI) = 60°
- Ta có: AB // CD nên AB // (SCD)
⇒ d(AB, (SCD)) = d(A, ( SCD)) = 2.d(O, (SCD))
-
Trong mp (SOI) , gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SI
-
Tam giác SOI vuông tại O, có đường cao OH nên
Do đó: d(AB; (SCD)) = 2d(O; (SCD)) = 2.OH = 2.1 = 2
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a√2. Gọi M là trung điểm BC. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAC).
Lời giải:
-
Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ ME song song với AB (E thuộc AC).
-
Do ME // AB, AB ⊂ (SAC)
=> ME // (SAC)
=> d(M, (SAC)) = d(E, (SAC))
- Ta có: E thuộc AC => E thuộc (SAC) => d(E, (SAC)) = 0
4. Bài Tập Tự Luyện Về Khoảng Cách Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song
Để tự mình kiểm tra và nâng cao trình độ, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
Bài 1: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D; AD = a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm S với SD = a3. Tính khoảng cách giữa đường thẳng CD và (SAB).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a2. Gọi E là trung điểm AD. Khoảng cách giữa AB và (SOE) bằng bao nhiêu?
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a5 và BC = a2. Tính khoảng cách giữa (SDA) và BC.
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao SO = 2, mặt bên hợp với mặt đáy một góc 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và (SCD).
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = a . Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bằng bao nhiêu?
Hy vọng với những kiến thức và bài tập mà Xe Tải Mỹ Đình vừa chia sẻ, bạn sẽ tự tin hơn khi giải các bài toán về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Bạn đang cần tìm hiểu thêm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về các loại xe tải, giá cả, địa điểm mua bán uy tín, dịch vụ sửa chữa và bảo dưỡng chất lượng tại Mỹ Đình? Đừng lo lắng, Xe Tải Mỹ Đình sẽ giúp bạn giải quyết mọi vấn đề!
Hãy truy cập ngay XETAIMYDINH.EDU.VN để được tư vấn và giải đáp mọi thắc mắc về xe tải ở Mỹ Đình. Với đội ngũ chuyên gia giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết cung cấp cho bạn những thông tin chính xác, cập nhật và hữu ích nhất, giúp bạn đưa ra quyết định sáng suốt và phù hợp nhất với nhu cầu của mình. Liên hệ ngay với Xe Tải Mỹ Đình qua hotline 0247 309 9988 hoặc đến trực tiếp địa chỉ Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội để được hỗ trợ tốt nhất!
5. Câu Hỏi Thường Gặp Về Khoảng Cách Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song (FAQ)
1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là gì?
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng đó đến mặt phẳng.
2. Làm thế nào để xác định một đường thẳng song song với một mặt phẳng?
Một đường thẳng được coi là song song với một mặt phẳng nếu nó không có điểm chung nào với mặt phẳng đó.
3. Tại sao chúng ta cần học cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song?
Việc tính toán khoảng cách này rất quan trọng trong hình học không gian, giúp giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương đối và tính toán khoảng cách trong không gian.
4. Phương pháp nào được sử dụng để tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song?
Phương pháp chính là chọn một điểm trên đường thẳng và tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng.
5. Có những lưu ý nào khi chọn điểm trên đường thẳng để tính khoảng cách?
Nên chọn điểm sao cho việc tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng là dễ dàng nhất, ví dụ như điểm có hình chiếu vuông góc dễ xác định.
6. Nếu đường thẳng không song song với mặt phẳng thì sao?
Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng, khoảng cách giữa chúng bằng 0. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, khoảng cách là độ dài đoạn vuông góc từ đường thẳng đến mặt phẳng.
7. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng có ứng dụng thực tế nào không?
Có, nó được ứng dụng trong kiến trúc, xây dựng, thiết kế cơ khí và nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác để đảm bảo các yếu tố không gian được tính toán chính xác.
8. Làm thế nào để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng?
Có thể sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hoặc tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng và tính độ dài đoạn vuông góc.
9. Điều gì xảy ra nếu đường thẳng nằm trên mặt phẳng?
Nếu đường thẳng nằm trên mặt phẳng, khoảng cách giữa chúng bằng 0.
10. Có những dạng bài tập nào thường gặp về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song?
Các dạng bài tập thường gặp bao gồm tính khoảng cách trong hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp và các hình không gian khác, yêu cầu sử dụng các định lý và tính chất hình học để giải quyết.
