Дискриминант Равен Нулю Là Gì? Ứng Dụng Và Cách Tính Chi Tiết?

Bài viết này từ Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ giải thích chi tiết về дискриминант равен нулю, cách tính và ứng dụng của nó trong giải toán. Chúng tôi sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này, từ đó áp dụng hiệu quả vào các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai và hơn thế nữa. Khám phá ngay các khái niệm liên quan như phương trình bậc hai, nghiệm kép, và ứng dụng thực tế.

1. Дискриминант Равен Нулю Là Gì Trong Phương Trình Bậc Hai?

Дискриминант равен нулю (biệt thức bằng 0) xảy ra khi nào trong phương trình bậc hai và nó mang ý nghĩa gì?

Khi дискриминант (Δ hoặc D) của một phương trình bậc hai bằng 0, điều này có nghĩa là phương trình đó có nghiệm kép. Theo nghiên cứu của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Khoa Toán – Tin, vào tháng 5 năm 2024, nghiệm kép này là giá trị duy nhất của ẩn số làm cho phương trình thỏa mãn. Điều này xảy ra khi biểu thức dưới dấu căn bậc hai trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai bằng 0.

Để hiểu rõ hơn, ta cùng xem xét công thức tổng quát của phương trình bậc hai:

ax² + bx + c = 0

Trong đó:

• a, b, c là các hệ số, với a ≠ 0
• x là ẩn số cần tìm

Công thức tính дискриминант (Δ):

Δ = b² - 4ac

Ý nghĩa của дискриминант равен нулю:

• Nghiệm kép: Khi Δ = 0, phương trình có nghiệm kép, tức là hai nghiệm trùng nhau. Nghiệm này được tính theo công thức:

  x = -b / 2a

• Đồ thị hàm số: Trên đồ thị hàm số y = ax² + bx + c, khi Δ = 0, parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất, điểm đó chính là nghiệm kép của phương trình.

Ví dụ minh họa:

Xét phương trình:

x² - 4x + 4 = 0

Ta có:

• a = 1
• b = -4
• c = 4

Tính дискриминант:

Δ = (-4)² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0

Vì Δ = 0, phương trình có nghiệm kép:

x = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2

Vậy, phương trình có nghiệm kép x = 2.

2. Công Thức Tính Дискриминант Равен Нулю Của Phương Trình Bậc Hai?

Làm thế nào để tính дискриминант равен нулю cho phương trình bậc hai một cách chính xác?

Để tính дискриминант равен нулю của một phương trình bậc hai, bạn cần áp dụng công thức Δ = b² – 4ac và thiết lập nó bằng 0. Công thức này giúp xác định số lượng và loại nghiệm của phương trình. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.

Phương trình bậc hai tổng quát có dạng:

ax² + bx + c = 0

Trong đó:

• a là hệ số của x² (a ≠ 0)
• b là hệ số của x
• c là hệ số tự do

Bước 2: Áp dụng công thức tính дискриминант (Δ).

Công thức tính дискриминант là:

Δ = b² - 4ac

Bước 3: Thiết lập дискриминант bằng 0.

Để phương trình có nghiệm kép (дискриминант равен нулю), ta thiết lập:

b² - 4ac = 0

Bước 4: Giải phương trình để tìm điều kiện của a, b, c.

Từ phương trình b² – 4ac = 0, ta có thể giải để tìm ra mối quan hệ giữa các hệ số a, b, c sao cho phương trình có nghiệm kép.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm kép:

x² - 2mx + m² = 0

Giải:

1. Xác định các hệ số:

   • a = 1
   • b = -2m
   • c = m²

2. Tính дискриминант:

   Δ = (-2m)² - 4 * 1 * m² = 4m² - 4m² = 0

Vì Δ = 0 với mọi giá trị của m, phương trình luôn có nghiệm kép với mọi m.

Ví dụ 2:

Cho phương trình:

2x² + 4x + c = 0

Tìm giá trị của c để phương trình có nghiệm kép.

Giải:

1. Xác định các hệ số:

   • a = 2
   • b = 4
   • c = c

2. Tính дискриминант:

   Δ = 4² - 4 * 2 * c = 16 - 8c

3. Thiết lập Δ = 0:

   16 - 8c = 0

4. Giải phương trình:

   8c = 16
   c = 2

Vậy, khi c = 2, phương trình có nghiệm kép.

Lưu ý:

• Khi giải các bài toán liên quan đến дискриминант равен нулю, việc xác định chính xác các hệ số a, b, c là rất quan trọng.
• Hãy kiểm tra lại kết quả sau khi giải để đảm bảo tính chính xác.

3. Điều Kiện Để Phương Trình Bậc Hai Có Nghiệm Kép Là Gì?

Điều kiện tiên quyết để một phương trình bậc hai có nghiệm kép là gì?

Để một phương trình bậc hai có nghiệm kép, điều kiện cần và đủ là дискриминант của nó phải bằng 0. Điều này có nghĩa là biểu thức b² – 4ac phải bằng 0. Khi đó, phương trình sẽ có một nghiệm duy nhất, được gọi là nghiệm kép.

Điều kiện:

Cho phương trình bậc hai:

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi:

Δ = b² - 4ac = 0

Giải thích:

• Khi Δ = 0, công thức nghiệm của phương trình bậc hai trở thành:

  x = (-b ± √Δ) / 2a = (-b ± √0) / 2a = -b / 2a

  Vì vậy, phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất là x = -b / 2a.

• Nghiệm kép có nghĩa là nghiệm đó xuất hiện hai lần. Ví dụ, phương trình (x – 2)² = 0 có nghiệm kép x = 2.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Xác định xem phương trình sau có nghiệm kép hay không:

4x² - 4x + 1 = 0

Giải:

1. Xác định các hệ số:

   • a = 4
   • b = -4
   • c = 1

2. Tính дискриминант:

   Δ = (-4)² - 4 * 4 * 1 = 16 - 16 = 0

Vì Δ = 0, phương trình có nghiệm kép. Nghiệm kép là:

x = -(-4) / (2 * 4) = 4 / 8 = 1/2

Ví dụ 2:

Tìm giá trị của k để phương trình sau có nghiệm kép:

x² + 2kx + k = 0

Giải:

1. Xác định các hệ số:

   • a = 1
   • b = 2k
   • c = k

2. Tính дискриминант:

   Δ = (2k)² - 4 * 1 * k = 4k² - 4k

3. Thiết lập Δ = 0:

   4k² - 4k = 0

4. Giải phương trình:

   4k(k - 1) = 0
   k = 0 hoặc k = 1

Vậy, khi k = 0 hoặc k = 1, phương trình có nghiệm kép.

Ứng dụng:

Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép được sử dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến:

• Tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm kép.
• Xác định tính chất của nghiệm phương trình.
• Giải các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của parabol.

4. Ứng Dụng Của Дискриминант Равен Нулю Trong Giải Toán?

Дискриминант равен нулю được ứng dụng như thế nào trong việc giải quyết các bài toán toán học?

Дискриминант равен нулю có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải toán, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai, đồ thị hàm số và các vấn đề liên quan đến tiếp tuyến. Dưới đây là một số ứng dụng cụ thể:

1. Xác định nghiệm của phương trình bậc hai:

• Nghiệm kép: Khi дискриминант равен нулю, phương trình bậc hai có nghiệm kép, giúp ta xác định được nghiệm duy nhất của phương trình. Điều này rất hữu ích trong việc giải các bài toán mà nghiệm kép mang ý nghĩa đặc biệt.

2. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm kép:

• Bài toán tham số: Trong các bài toán chứa tham số, việc sử dụng điều kiện дискриминант равен нулю giúp tìm ra giá trị của tham số để phương trình có nghiệm kép.

Ví dụ: Tìm m để phương trình x² – 2mx + m = 0 có nghiệm kép.

Giải:

• Δ = (-2m)² – 4 1 m = 4m² – 4m
• Để phương trình có nghiệm kép, Δ = 0 => 4m² – 4m = 0 => 4m(m – 1) = 0 => m = 0 hoặc m = 1

3. Xác định tiếp tuyến của parabol:

• Tiếp tuyến: Khi một đường thẳng tiếp xúc với parabol, phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol là một phương trình bậc hai có nghiệm kép. Điều này có nghĩa là дискриминант của phương trình đó bằng 0.

Ví dụ: Tìm điều kiện để đường thẳng y = kx + 1 tiếp xúc với parabol y = x².

Giải:

• Phương trình hoành độ giao điểm: x² = kx + 1 => x² – kx – 1 = 0
• Để đường thẳng tiếp xúc với parabol, Δ = (-k)² – 4 1 (-1) = k² + 4 = 0
• Phương trình k² + 4 = 0 vô nghiệm, vậy không có giá trị k nào để đường thẳng tiếp xúc với parabol.

4. Giải các bài toán liên quan đến cực trị:

• Cực trị: Trong một số bài toán tìm cực trị của hàm số, việc đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện дискриминант равен нулю có thể giúp tìm ra giá trị cực trị.

5. Ứng dụng trong các lĩnh vực khác:

• Vật lý: Trong các bài toán về dao động điều hòa, điều kiện nghiệm kép có thể xuất hiện khi xét các trường hợp đặc biệt.
• Kỹ thuật: Trong các bài toán thiết kế, việc đảm bảo một hệ thống có nghiệm kép có thể liên quan đến tính ổn định của hệ thống đó.

Tổng kết:

Дискриминант равен нулю là một công cụ mạnh mẽ trong giải toán, giúp chúng ta giải quyết nhiều vấn đề khác nhau liên quan đến phương trình bậc hai, đồ thị hàm số, tiếp tuyến và các bài toán cực trị. Việc nắm vững lý thuyết và biết cách áp dụng linh hoạt sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán phức tạp.

5. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Дискриминант Равен Нулю?

Bạn sẽ thường xuyên gặp những dạng bài tập nào liên quan đến дискриминант равен нулю?

Các dạng bài tập liên quan đến дискриминант равен нулю thường xuất hiện trong chương trình toán học phổ thông và các kỳ thi. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp và cách tiếp cận để giải quyết chúng:

1. Tìm giá trị của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm kép:

Dạng bài: Cho phương trình bậc hai chứa tham số m, tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép.

Phương pháp giải:

• Xác định các hệ số a, b, c của phương trình theo tham số m.
• Tính дискриминант Δ = b² – 4ac.
• Đặt Δ = 0 và giải phương trình để tìm m.
• Kiểm tra lại điều kiện a ≠ 0.

Ví dụ: Tìm m để phương trình x² – 2mx + m + 2 = 0 có nghiệm kép.

Giải:

• a = 1, b = -2m, c = m + 2
• Δ = (-2m)² – 4 1 (m + 2) = 4m² – 4m – 8
• Đặt Δ = 0 => 4m² – 4m – 8 = 0 => m² – m – 2 = 0 => (m – 2)(m + 1) = 0
• Vậy m = 2 hoặc m = -1

2. Chứng minh phương trình có nghiệm kép:

Dạng bài: Chứng minh rằng phương trình bậc hai luôn có nghiệm kép với mọi giá trị của tham số.

Phương pháp giải:

• Xác định các hệ số a, b, c của phương trình.
• Tính дискриминант Δ = b² – 4ac.
• Chứng minh rằng Δ = 0 với mọi giá trị của tham số.

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình (m + 1)x² – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 (với m ≠ -1) luôn có nghiệm kép.

Giải:

• a = m + 1, b = -2(m – 1), c = m – 3
• Δ = [-2(m – 1)]² – 4(m + 1)(m – 3) = 4(m² – 2m + 1) – 4(m² – 2m – 3) = 4m² – 8m + 4 – 4m² + 8m + 12 = 16
• Vì Δ > 0, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt (không có nghiệm kép). Vậy đề bài sai.

3. Tìm điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với parabol:

Dạng bài: Cho đường thẳng y = kx + b và parabol y = ax², tìm điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với parabol.

Phương pháp giải:

• Viết phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol: ax² = kx + b => ax² – kx – b = 0
• Để đường thẳng tiếp xúc với parabol, phương trình hoành độ giao điểm phải có nghiệm kép.
• Tính дискриминант Δ = (-k)² – 4 a (-b) = k² + 4ab
• Đặt Δ = 0 => k² + 4ab = 0. Đây là điều kiện cần tìm.

Ví dụ: Tìm điều kiện để đường thẳng y = 2x + b tiếp xúc với parabol y = x².

Giải:

• Phương trình hoành độ giao điểm: x² = 2x + b => x² – 2x – b = 0
• Δ = (-2)² – 4 1 (-b) = 4 + 4b
• Đặt Δ = 0 => 4 + 4b = 0 => b = -1. Vậy b = -1 là điều kiện cần tìm.

4. Bài toán liên quan đến định lý Viète:

Dạng bài: Cho phương trình bậc hai có nghiệm kép, sử dụng định lý Viète để tìm mối liên hệ giữa các nghiệm và hệ số.

Phương pháp giải:

• Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép x₁, thì x₁ = -b / 2a.
• Áp dụng định lý Viète:
  • Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -b / a (trong trường hợp nghiệm kép thì x₁ = x₂ = -b / 2a)
  • Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = c / a (trong trường hợp nghiệm kép thì x₁² = c / a)

Ví dụ: Cho phương trình x² – 2mx + m = 0 có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó theo m.

Giải:

• Phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = -(-2m) / (2 * 1) = m

5. Bài toán thực tế:

Dạng bài: Các bài toán thực tế mô tả tình huống có thể được giải quyết bằng cách sử dụng phương trình bậc hai có nghiệm kép.

Phương pháp giải:

• Xây dựng mô hình toán học của bài toán, đưa về phương trình bậc hai.
• Xác định điều kiện để phương trình có nghiệm kép.
• Giải phương trình và kiểm tra tính hợp lý của nghiệm.

6. Sai Lầm Thường Mắc Phải Khi Giải Bài Toán Về Дискриминант Равен Нулю?

Những lỗi nào thường gặp khi giải các bài toán liên quan đến дискриминант равен нулю và làm thế nào để tránh chúng?

Khi giải các bài toán về дискриминант равен нулю, có một số sai lầm phổ biến mà học sinh và người học thường mắc phải. Nhận biết và tránh những sai lầm này sẽ giúp bạn giải quyết bài toán một cách chính xác và hiệu quả hơn.

1. Sai lầm trong việc xác định hệ số a, b, c:

• Mô tả: Xác định sai các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.
• Nguyên nhân: Nhầm lẫn vị trí các hệ số, bỏ sót dấu âm, hoặc không đưa phương trình về dạng chuẩn.
• Cách phòng tránh:
  • Luôn viết phương trình bậc hai về dạng chuẩn: ax² + bx + c = 0.
  • Kiểm tra kỹ dấu của các hệ số.
  • Nếu phương trình có dạng phức tạp, hãy đơn giản hóa trước khi xác định hệ số.

Ví dụ: Cho phương trình 2x – 3x² + 1 = 0. Xác định đúng các hệ số: a = -3, b = 2, c = 1.

2. Sai lầm trong tính toán дискриминант:

• Mô tả: Tính toán sai giá trị của дискриминант (Δ = b² – 4ac).
• Nguyên nhân: Tính toán sai các phép toán số học (bình phương, nhân, trừ), sai dấu, hoặc sử dụng máy tính không đúng cách.
• Cách phòng tránh:
  • Thực hiện các phép tính một cách cẩn thận, từng bước một.
  • Sử dụng máy tính để kiểm tra lại kết quả.
  • Nhớ rằng b² luôn là một số không âm.

Ví dụ: Tính đúng дискриминант cho phương trình x² – 4x + 4 = 0: Δ = (-4)² – 4 1 4 = 16 – 16 = 0.

3. Quên điều kiện a ≠ 0:

• Mô tả: Khi giải các bài toán chứa tham số, quên kiểm tra điều kiện a ≠ 0 để phương trình là phương trình bậc hai.
• Nguyên nhân: Tập trung vào việc giải phương trình Δ = 0 mà bỏ qua điều kiện cần để phương trình có dạng bậc hai.
• Cách phòng tránh:
  • Luôn kiểm tra điều kiện a ≠ 0 trước khi kết luận nghiệm của bài toán.
  • Nếu a chứa tham số, hãy xét trường hợp a = 0 để loại bỏ các giá trị không hợp lệ.

Ví dụ: Cho phương trình (m – 1)x² + 2x + 1 = 0. Cần kiểm tra điều kiện m – 1 ≠ 0 => m ≠ 1.

4. Kết luận sai về nghiệm của phương trình:

• Mô tả: Kết luận sai về số lượng và tính chất của nghiệm dựa trên giá trị của дискриминант.
• Nguyên nhân: Nhầm lẫn giữa các trường hợp Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0.
• Cách phòng tránh:
  • Nhớ rõ các trường hợp:
    • Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
    • Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép.
    • Δ < 0: Phương trình vô nghiệm (không có nghiệm thực).
  • Đọc kỹ yêu cầu của bài toán để đưa ra kết luận chính xác.

Ví dụ: Nếu Δ = 0, kết luận đúng là phương trình có nghiệm kép, không phải là hai nghiệm phân biệt.

5. Sai lầm khi áp dụng định lý Viète:

• Mô tả: Áp dụng sai định lý Viète trong trường hợp phương trình có nghiệm kép.
• Nguyên nhân: Không nhớ rõ công thức hoặc áp dụng công thức cho trường hợp nghiệm phân biệt.
• Cách phòng tránh:
  • Nhớ rằng nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép x₁, thì x₁ = -b / 2a.
  • Trong trường hợp này, tổng hai nghiệm x₁ + x₂ = 2x₁ = -b / a và tích hai nghiệm x₁ * x₂ = x₁² = c / a.

Ví dụ: Nếu phương trình x² – 4x + 4 = 0 có nghiệm kép x₁ = 2, thì x₁ + x₂ = 4 và x₁ * x₂ = 4.

6. Không kiểm tra lại kết quả:

• Mô tả: Không kiểm tra lại kết quả sau khi giải bài toán.
• Nguyên nhân: Chủ quan hoặc thiếu thời gian.
• Cách phòng tránh:
  • Luôn dành thời gian kiểm tra lại kết quả.
  • Thay nghiệm tìm được vào phương trình gốc để kiểm tra tính đúng đắn.
  • Sử dụng các phương pháp khác để giải bài toán và so sánh kết quả.

Bằng cách nhận biết và tránh những sai lầm này, bạn sẽ nâng cao khả năng giải quyết các bài toán liên quan đến дискриминант равен нулю một cách chính xác và tự tin hơn.

7. Phân Biệt Nghiệm Kép Và Nghiệm Phân Biệt Trong Phương Trình Bậc Hai?

Làm thế nào để phân biệt rõ ràng giữa nghiệm kép và nghiệm phân biệt trong phương trình bậc hai?

Để phân biệt rõ ràng giữa nghiệm kép và nghiệm phân biệt trong phương trình bậc hai, chúng ta cần dựa vào giá trị của дискриминант (Δ) và ý nghĩa hình học của chúng trên đồ thị hàm số.

1. Định nghĩa:

• Nghiệm kép: Phương trình bậc hai có nghiệm kép khi дискриминант (Δ) bằng 0. Điều này có nghĩa là phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất, nghiệm này được tính hai lần.
• Nghiệm phân biệt: Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi дискриминант (Δ) lớn hơn 0. Điều này có nghĩa là phương trình có hai nghiệm khác nhau.

2. Công thức:

Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0):

• Дискриминант (Δ): Δ = b² – 4ac

• Nghiệm kép (Δ = 0):

  x = -b / 2a

• Nghiệm phân biệt (Δ > 0):

  x₁ = (-b + √Δ) / 2a
  x₂ = (-b - √Δ) / 2a

3. Dấu hiệu nhận biết:

Đặc điểm	Nghiệm kép (Δ = 0)	Nghiệm phân biệt (Δ > 0)
Số lượng nghiệm	Một nghiệm duy nhất (tính hai lần)	Hai nghiệm khác nhau
Công thức nghiệm	x = -b / 2a	x₁ = (-b + √Δ) / 2a, x₂ = (-b – √Δ) / 2a
Ví dụ	x² – 4x + 4 = 0 => x = 2 (nghiệm kép)	x² – 5x + 6 = 0 => x₁ = 2, x₂ = 3 (nghiệm phân biệt)

4. Ý nghĩa hình học:

• Nghiệm kép: Trên đồ thị hàm số y = ax² + bx + c, parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất. Điểm tiếp xúc này có hoành độ là nghiệm kép của phương trình.

• Nghiệm phân biệt: Trên đồ thị hàm số y = ax² + bx + c, parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Hoành độ của hai điểm này là hai nghiệm phân biệt của phương trình.

5. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Nghiệm kép

Phương trình: x² + 6x + 9 = 0

• a = 1, b = 6, c = 9
• Δ = 6² – 4 1 9 = 36 – 36 = 0

Vì Δ = 0, phương trình có nghiệm kép: x = -6 / (2 * 1) = -3

Ví dụ 2: Nghiệm phân biệt

Phương trình: 2x² – 7x + 3 = 0

• a = 2, b = -7, c = 3
• Δ = (-7)² – 4 2 3 = 49 – 24 = 25

Vì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = (-(-7) + √25) / (2 * 2) = (7 + 5) / 4 = 3
x₂ = (-(-7) - √25) / (2 * 2) = (7 - 5) / 4 = 1/2

6. Tổng kết:

Đặc điểm	Nghiệm kép (Δ = 0)	Nghiệm phân biệt (Δ > 0)
Số lượng nghiệm	Một nghiệm duy nhất (tính hai lần)	Hai nghiệm khác nhau
Công thức nghiệm	x = -b / 2a	x₁ = (-b + √Δ) / 2a, x₂ = (-b – √Δ) / 2a
Đồ thị	Parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất	Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

Bằng cách nắm vững các dấu hiệu và đặc điểm trên, bạn sẽ dễ dàng phân biệt được nghiệm kép và nghiệm phân biệt trong phương trình bậc hai, từ đó giải quyết các bài toán liên quan một cách chính xác.

8. Bài Tập Về Дискриминант Равен Нулю Và Hướng Dẫn Giải Chi Tiết?

Bạn có thể cung cấp một số bài tập điển hình về дискриминант равен нулю cùng với hướng dẫn giải chi tiết không?

Dưới đây là một số bài tập điển hình về дискриминант равен нулю, kèm theo hướng dẫn giải chi tiết để bạn có thể nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán liên quan đến chủ đề này.

Bài 1:

Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm kép:

x² - 2(m + 1)x + m² + 2m = 0

Hướng dẫn giải:

1. Xác định các hệ số:

   • a = 1
   • b = -2(m + 1)
   • c = m² + 2m

2. Tính дискриминант (Δ):

   Δ = b² - 4ac = [-2(m + 1)]² - 4 * 1 * (m² + 2m)
   = 4(m² + 2m + 1) - 4(m² + 2m)
   = 4m² + 8m + 4 - 4m² - 8m
   = 4

3. Điều kiện để phương trình có nghiệm kép:

   Δ = 0. Tuy nhiên, trong trường hợp này, Δ = 4 ≠ 0 với mọi giá trị của m.

4. Kết luận:

   Không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Bài 2:

Cho phương trình:

(m - 2)x² + 2(m - 1)x + m = 0

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép.

Hướng dẫn giải:

1. Điều kiện để phương trình là bậc hai:

   m – 2 ≠ 0 => m ≠ 2

2. Xác định các hệ số:

   • a = m – 2
   • b = 2(m – 1)
   • c = m

3. Tính дискриминант (Δ):

   Δ = b² - 4ac = [2(m - 1)]² - 4 * (m - 2) * m
   = 4(m² - 2m + 1) - 4(m² - 2m)
   = 4m² - 8m + 4 - 4m² + 8m
   = 4

4. Điều kiện để phương trình có nghiệm kép:

   Δ = 0. Tuy nhiên, trong trường hợp này, Δ = 4 ≠ 0 với mọi giá trị của m.

5. Kết luận:

   Không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ≠ 2.

Bài 3:

Tìm giá trị của m để đường thẳng y = x + m tiếp xúc với parabol y = x² – x + 1.

Hướng dẫn giải:

1. Viết phương trình hoành độ giao điểm:

   x² - x + 1 = x + m
   => x² - 2x + 1 - m = 0

2. Xác định các hệ số:

   • a = 1
   • b = -2
   • c = 1 – m

3. Tính дискриминант (Δ):

   Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * (1 - m)
   = 4 - 4 + 4m
   = 4m

4. Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với parabol (phương trình có nghiệm kép):

   Δ = 0 => 4m = 0 => m = 0

5. Kết luận:

   m = 0. Khi đó, đường thẳng y = x tiếp xúc với parabol y = x² – x + 1.

Bài 4:

Cho phương trình:

x² - 2mx + 4 = 0

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.

Hướng dẫn giải:

1. Xác định các hệ số:

   • a = 1
   • b = -2m
   • c = 4

2. Tính дискриминант (Δ):

   Δ = b² - 4ac = (-2m)² - 4 * 1 * 4
   = 4m² - 16

3. Điều kiện để phương trình có nghiệm kép:

   Δ = 0 => 4m² – 16 = 0 => m² = 4 => m = 2 hoặc m = -2

4. Tìm nghiệm kép:

   • Khi m = 2: Phương trình trở thành x² – 4x + 4 = 0 => (x – 2)² = 0 => x = 2 (nghiệm kép)
   • Khi m = -2: Phương trình trở thành x² + 4x + 4 = 0 => (x + 2)² = 0 => x = -2 (nghiệm kép)

5. Kết luận:

   • Khi m = 2, phương trình có nghiệm kép x = 2.
   • Khi m = -2, phương trình có nghiệm kép x = -2.

Bài 5:

Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm kép với mọi giá trị của m:

(x - m)² + (x + m)² = 2(x² + m²)

Hướng dẫn giải:

1. Khai triển và đơn giản hóa phương trình:

   (x - m)² + (x + m)² = 2(x² + m²)
   => x² - 2mx + m² + x² + 2mx + m² = 2x² + 2m²
   => 2x² + 2m² = 2x² + 2m²
   => 0 = 0

2. Nhận xét:

   Phương trình trên luôn đúng với mọi giá trị của x và m. Điều này có nghĩa là phương trình có vô số nghiệm, không chỉ là nghiệm kép.

3. Tuy nhiên, nếu ta xem xét phương trình ban đầu dưới dạng khác:

   Phương trình có thể được viết lại thành: