Làm Thế Nào Để Tìm Số Phức Z Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước?

Bạn đang gặp khó khăn trong việc tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện cụ thể? Đừng lo lắng! Xe Tải Mỹ Đình sẽ cùng bạn khám phá các phương pháp hiệu quả để giải quyết dạng bài tập này. Tại XETAIMYDINH.EDU.VN, chúng tôi cung cấp những kiến thức và kỹ năng cần thiết, giúp bạn chinh phục mọi bài toán số phức một cách dễ dàng. Bài viết này sẽ trang bị cho bạn những công cụ và phương pháp giải toán số phức, từ đó mở ra những cơ hội mới trong học tập và công việc liên quan đến kỹ thuật và toán học ứng dụng.

1. Ý Định Tìm Kiếm Của Người Dùng Về “Cho Số Phức Z Thỏa Mãn”

Trước khi đi sâu vào các phương pháp giải toán, hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình điểm qua 5 ý định tìm kiếm phổ biến nhất của người dùng liên quan đến cụm từ “Cho Số Phức Z Thỏa Mãn”:

1. Tìm hiểu định nghĩa và tính chất cơ bản của số phức: Người dùng muốn nắm vững khái niệm số phức, các phép toán trên số phức (cộng, trừ, nhân, chia), số phức liên hợp, môđun của số phức, và biểu diễn hình học của số phức.
2. Tìm kiếm phương pháp giải các bài toán tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước: Người dùng cần các kỹ thuật và chiến lược cụ thể để giải quyết các dạng bài tập khác nhau, ví dụ như sử dụng phương pháp đại số, phương pháp hình học, hoặc kết hợp cả hai.
3. Tìm kiếm ví dụ minh họa và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết: Người dùng muốn tham khảo các bài giải mẫu để hiểu rõ cách áp dụng lý thuyết vào thực hành, đồng thời có thêm bài tập để rèn luyện kỹ năng.
4. Tìm kiếm công cụ hỗ trợ giải toán số phức trực tuyến: Người dùng mong muốn sử dụng các ứng dụng hoặc trang web có khả năng tính toán và giải các bài toán số phức một cách nhanh chóng và chính xác.
5. Tìm kiếm tài liệu tham khảo và khóa học chuyên sâu về số phức: Người dùng có nhu cầu học tập nâng cao về số phức, phục vụ cho các kỳ thi quan trọng hoặc ứng dụng trong các lĩnh vực chuyên môn.

2. Các Phép Biến Đổi Cơ Bản Trên Tập Hợp Số Phức

Để giải quyết các bài toán “cho số phức z thỏa mãn”, việc nắm vững các phép biến đổi cơ bản trên tập số phức là vô cùng quan trọng. Dưới đây là tổng hợp kiến thức từ Xe Tải Mỹ Đình, giúp bạn tự tin hơn khi tiếp cận các bài toán phức tạp:

2.1. Định Nghĩa Số Phức

Số phức z có dạng:

z = a + bi

Trong đó:

• a là phần thực.
• b là phần ảo.
• i là đơn vị ảo, với i² = -1.

2.2. Các Phép Toán Trên Số Phức

• Phép cộng: Cho z₁ = a + bi và z₂ = c + di, ta có:

  z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d) i

• Phép trừ: Cho z₁ = a + bi và z₂ = c + di, ta có:

  z₁ – z₂ = (a – c) + (b – d) i

• Phép nhân: Cho z₁ = a + bi và z₂ = c + di, ta có:

  z₁ z₂ = (ac – bd) + (ad + bc) i

• Phép chia: Cho z₁ = a + bi và z₂ = c + di (với z₂ ≠ 0), ta có:

  z₁ / z₂ = ((ac + bd) / (c² + d²)) + ((bc – ad) / (c² + d²)) i

  Theo nghiên cứu của Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Khoa Toán Ứng dụng, vào tháng 5 năm 2024, việc nắm vững các phép toán số phức là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

• Số phức liên hợp: Cho z = a + bi, số phức liên hợp của z là:

  z̄ = a – bi

• Môđun của số phức: Cho z = a + bi, môđun của z là:

  |z| = √(a² + b²)

2.3. Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức

Số phức z = a + bi được biểu diễn bằng điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy, trong đó trục Ox biểu diễn phần thực và trục Oy biểu diễn phần ảo.

3. Phương Pháp Giải Các Bài Toán “Cho Số Phức Z Thỏa Mãn”

Xe Tải Mỹ Đình xin giới thiệu các phương pháp giải toán hiệu quả, giúp bạn dễ dàng chinh phục dạng bài tập “cho số phức z thỏa mãn”:

3.1. Phương Pháp Đại Số

Phương pháp này bao gồm các bước sau:

1. Đặt z = a + bi, với a, b ∈ R.

2. Thay z = a + bi vào điều kiện bài toán.

3. Sử dụng các phép toán trên số phức để biến đổi và rút gọn biểu thức.

4. Đưa về dạng hai số phức bằng nhau: A + Bi = C + Di.

5. Giải hệ phương trình:

   • A = C
   • B = D

6. Tìm ra a và b, từ đó xác định được số phức z.

   Ví dụ: Tìm số phức z thỏa mãn (1 + i) z + (2 – i) z̄ = 7 + 2i.

   • Bước 1: Đặt z = a + bi. Khi đó, z̄ = a – bi.

   • Bước 2: Thay vào phương trình, ta có:

     (1 + i) (a + bi) + (2 – i) (a – bi) = 7 + 2i

   • Bước 3: Khai triển và rút gọn:

     (a + bi + ai – b) + (2a – 2bi – ai – b) = 7 + 2i

     (3a – 2b) – 2bi = 7 + 2i

   • Bước 4: Đồng nhất phần thực và phần ảo:

     • 3a – 2b = 7
     • -2b = 2

   • Bước 5: Giải hệ phương trình, ta được: a = 3, b = -1.

   • Bước 6: Vậy z = 3 – i.

3.2. Phương Pháp Hình Học

Phương pháp này sử dụng biểu diễn hình học của số phức để giải bài toán. Các bước thực hiện như sau:

1. Biểu diễn các số phức và điều kiện bài toán trên mặt phẳng tọa độ.

2. Sử dụng các tính chất hình học (khoảng cách, góc, đường thẳng, đường tròn,…) để xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z.

3. Dựa vào tập hợp điểm tìm được, suy ra số phức z.

   Ví dụ: Tìm số phức z thỏa mãn |z – 1| = |z + i|.

   • Bước 1: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi.
   • Bước 2: |z – 1| là khoảng cách từ M đến A(1; 0).
   • Bước 3: |z + i| là khoảng cách từ M đến B(0; -1).
   • Bước 4: Theo đề bài, MA = MB. Vậy M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
   • Bước 5: Phương trình đường trung trực của AB là x – y – 1 = 0.
   • Bước 6: Vậy tập hợp các số phức z thỏa mãn là các số phức có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng x – y – 1 = 0.

3.3. Kết Hợp Đại Số và Hình Học

Trong nhiều trường hợp, việc kết hợp cả hai phương pháp đại số và hình học sẽ giúp giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả hơn.

Ví dụ: Tìm số phức z thỏa mãn |z| = 1 và phần thực của z bằng 1/2.

• Phương pháp hình học: |z| = 1 nghĩa là điểm biểu diễn z nằm trên đường tròn tâm O, bán kính 1. Phần thực của z bằng 1/2 nghĩa là điểm biểu diễn z nằm trên đường thẳng x = 1/2.
• Kết hợp: Giao điểm của đường tròn và đường thẳng sẽ cho ta các điểm biểu diễn của z.

4. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Số Phức

Xe Tải Mỹ Đình xin liệt kê một số dạng bài tập phổ biến về số phức, cùng với phương pháp giải gợi ý:

4.1. Tìm Số Phức Thỏa Mãn Phương Trình

• Phương pháp: Sử dụng phương pháp đại số để đưa phương trình về dạng hệ phương trình thực.
• Ví dụ: Tìm z thỏa mãn (2 + i) z + 3i z̄ = 4 – i.

4.2. Tìm Số Phức Thỏa Mãn Điều Kiện Về Môđun

• Phương pháp: Sử dụng phương pháp hình học để biểu diễn tập hợp các điểm thỏa mãn điều kiện về môđun.
• Ví dụ: Tìm z thỏa mãn |z – 2 + i| = 2.

4.3. Tìm Số Phức Thỏa Mãn Điều Kiện Về Phần Thực, Phần Ảo

• Phương pháp: Sử dụng phương pháp đại số để tách phần thực và phần ảo, sau đó giải hệ phương trình.
• Ví dụ: Tìm z thỏa mãn phần thực của z² bằng 0.

4.4. Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Biểu Thức Liên Quan Đến Số Phức

• Phương pháp: Sử dụng các bất đẳng thức về môđun, hoặc đưa về bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến.
• Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết |z – 1 – i| = 1.

5. Ví Dụ Minh Họa

Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách áp dụng các phương pháp trên, Xe Tải Mỹ Đình xin đưa ra một số ví dụ minh họa cụ thể:

Ví dụ 1: Các số thực x, y thỏa mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 + (x – y) i là:

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn: 3z + 2z̄ = (4 – i)². Môđun của số phức z là:

A. -√73. B. -73. C. 73. D. √73.

Lời giải:

Gọi z = a + bi => z̄ = a – bi

Hay 5a + bi = 15 – 8i

Vậy z = 3 – 8i

Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Tìm số phức z, biết z – (2 + 3i) z̄ = 1 – 9i.

A. z = -2 + i. B. z = -2 – i. C. z = 3 + 2i. D. z = 2 – i.

Lời giải:

Gọi z = a + bi ta có:

Vậy z = 2 – i

Chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Cho số phức z = a + bi thỏa mãn: z – (2 + 3i) z̄. Giá trị của ab + 1 là:

A. -1 B. 0. C. 1. D. -2

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = √2 và z² là số thuần ảo?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải:

Gọi z = a + bi.

Ta có và z² = a² – b² + 2abi

Yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi

Vậy có 4 số phức thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn đáp án A.

6. Bài Tập Vận Dụng

Để củng cố kiến thức, Xe Tải Mỹ Đình xin đưa ra một số bài tập vận dụng, bạn hãy tự giải và kiểm tra đáp án:

Câu 1: Các số thực x; y thỏa mãn: (2x + 3y +1) + (-x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y -3)i là

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

(2x + 3y +1) + (-x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y -3)i

Câu 2: Số phức z thỏa mãn: z – (2+3i) z̄ = 1 – 9i là

A. 2+i B.-2-i C.-4+i D.2-i

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi z = a + bi với a,b ∈ R ; i² = -1 => z̄ = a – bi

z – (2 + 3i) z̄ = 1 – 9i

=> a + bi – (2a – 2bi + 3ai + 3b) = 1 – 9i

Hay a + bi – (2a – 2bi + 3ai + 3b) = 1 – 9i

<=> –a – 3b + (-3 + 3b)i = 1 – 9i

Câu 3: Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức

A. z = 3 + 4i; z = 5. B. z = 3 + 4i; z = -4.

C. z = -3 + 4i; z = 5. D. z = 3 – 4i; z = -5.

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Gọi z = a + bi khi đó z̄ = a– bi

Hay (a-2)² + (b-1)² = 10 (*)

Vậy z = 3 + 4i hoặc z = 5.

Câu 4: Tìm số thực x; y để hai số phức z₁ = 9y² – 4 – 10xi⁵ và z₂ = 82 + 20i¹¹ là liên hợp của nhau?

A. x = -2; y = 2. B. x = 2; y = ±2 .

C. x = 2; y = 2. D. x = -2 ; y = ±2 .

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

z₁ và z₂ là liên hợp của nhau khi và chỉ khi:

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn (2z – 1)(1+i) + (z̄ + 1)(1- i) = 2 – 2i . Giá trị của |z| là ?

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Gọi z = a + bi ta có :

(2z – 1)(1+i) + (z̄ + 1)(1- i) = 2 – 2i

<=>[(2a – 1) + 2bi](1 + i) + [(a + 1) – bi](1- i) = 2 – 2i

=< (2a – 2b – 1) + (2a + 2b -1) = (a – b + 1) – (a + b + 1)i = 2 -2i

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z² – 6z + 13 = 0 . Giá trị của là :

A. √17 hoặc 5 B. -√17 hoặc √175

C. √17 hoặc 4 D. √17 hoặc √5.

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Câu 7: Cho số phức z thỏa . Viết z dưới dạng z = a + bi. Khi đó tổng a+b có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 3 B. -1 . C. 1. D. 2.

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Câu 8: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn:

A. 2. B. 3. C. 2. D. 1

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Đặt z = x + yi (x,y ∈ R), ta có

Ta có

=> có 2 số phức thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 9: Tìm số phức z để z – z̄ = z² .

A. z = 0; z = 1-i B. z = 0; z = 1 + i

C.z = 0 ; z = 1 + i; z = 1 – i D. z = 1 + i; z = 1 – i

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi z = a + bi là số phức thỏa mãn đẳng thức trên. Ta có:

Câu 10: Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z = x + yi thỏa mãn z³ = 18 + 26i

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

z³ = 18 + 26i >=< (x + yi)³ = 18 + 26i <=> x³ + 3x² – 3xy² – y³i = 18 + 26i

<=> (x³ – 3 xy²) + (3x² – y³)i = 18 + 26i

Do x; y nguyên nên

Mà y (3x² – y²) = 26 => x = 3; y = 1

Câu 11: Cho số phức z = a + bi thỏa mãn Tính P = a + bi

A.-3 B.-1 C.1 D.2

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Đặt z = a + bi.

Theo giải thiết ta có:

[(a + 1) + (b + 1)i](a – bi – i) + 3i = 9

Do |z| > 2 => a = -1; b = 2 => a + b = 1

7. Bài Tập Tự Luyện

Để nâng cao kỹ năng giải toán, bạn hãy thử sức với các bài tập tự luyện sau:

Bài 1. Cho số phức z thỏa mãn z + 2z̄ = 6 – 3i. Tìm phần ảo b của số phức z.

Bài 2. Cho số phức z thỏa điều kiện |z+1|=|z−i|. Tìm số phức w = z + 2i – 3 có môđun nhỏ nhất.

Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn z(1 + i) = 3 – 5i. Tính môđun của z.

Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn |z−2−3i|=1. Tìm giá trị lớn nhất của |z̄+1+i|.

Bài 5. Tìm môđun số phức z thỏa mãn z(2 – i) + 13i = 1.

8. FAQ – Các Câu Hỏi Thường Gặp

1. Số phức là gì?

Số phức là một số có dạng a + bi, trong đó a và b là các số thực, và i là đơn vị ảo, thỏa mãn i² = -1.

2. Làm thế nào để thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên số phức?

Các phép toán trên số phức được thực hiện bằng cách áp dụng các quy tắc đại số thông thường, kết hợp với việc sử dụng tính chất i² = -1.

3. Số phức liên hợp là gì và nó có tính chất gì?

Số phức liên hợp của z = a + bi là z̄ = a – bi. Số phức liên hợp có các tính chất quan trọng như:

• z + z̄ = 2a (là một số thực)
• z z̄ = a² + b² = |z|² (là một số thực không âm)

4. Môđun của số phức là gì và nó có ý nghĩa gì về mặt hình học?

Môđun của số phức z = a + bi là |z| = √(a² + b²). Về mặt hình học, môđun của số phức là khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức đó đến gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

5. Làm thế nào để biểu diễn một số phức trên mặt phẳng tọa độ?

Số phức z = a + bi được biểu diễn bằng điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy, trong đó trục Ox biểu diễn phần thực và trục Oy biểu diễn phần ảo.

6. Phương pháp đại số để giải bài toán về số phức là gì?

Phương pháp đại số bao gồm việc đặt z = a + bi, thay vào điều kiện bài toán, biến đổi và rút gọn biểu thức, sau đó giải hệ phương trình để tìm a và b.

7. Phương pháp hình học để giải bài toán về số phức là gì?

Phương pháp hình học sử dụng biểu diễn hình học của số phức để xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z, từ đó suy ra số phức z.

8. Khi nào nên sử dụng phương pháp đại số, khi nào nên sử dụng phương pháp hình học?

Phương pháp đại số thường được sử dụng khi bài toán liên quan đến các phép toán trên số phức và các phương trình. Phương pháp hình học thường được sử dụng khi bài toán liên quan đến môđun, khoảng cách, góc, hoặc các tính chất hình học khác.

9. Làm thế nào để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức liên quan đến số phức?

Để tìm GTLN, GTNN của một biểu thức liên quan đến số phức, ta có thể sử dụng các bất đẳng thức về môđun, hoặc đưa về bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến.

10. Có những lỗi sai nào thường gặp khi giải bài toán về số phức và làm thế nào để tránh?

Một số lỗi sai thường gặp khi giải bài toán về số phức bao gồm:

• Sai