Tích vô hướng của hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong toán học và vật lý, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Bài viết này của Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, tính chất và các ứng dụng thực tế của tích vô hướng, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa dễ hiểu. Khám phá ngay về phép toán vectơ, tính toán góc, và hình học giải tích.
Mục lục:
- Định Nghĩa Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ
- Công Thức Tính Tích Vô Hướng
- Tính Chất Của Tích Vô Hướng
- Ứng Dụng Của Tích Vô Hướng Trong Hình Học
- Ứng Dụng Của Tích Vô Hướng Trong Vật Lý
- Bài Tập Về Tích Vô Hướng Và Hướng Dẫn Giải
- Các Dạng Bài Tập Nâng Cao Về Tích Vô Hướng
- Mẹo Nhớ Và Các Lưu Ý Khi Sử Dụng Tích Vô Hướng
- FAQ: Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Tích Vô Hướng
- Kết Luận
1. Định Nghĩa Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Là Gì?
Tích vô hướng của hai vectơ là một phép toán quan trọng, cho phép ta liên kết các khái niệm hình học và đại số một cách chặt chẽ. Nó không chỉ là một công cụ toán học mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
1.1. Định Nghĩa Cơ Bản
Tích vô hướng (hay còn gọi là tích trong) của hai vectơ a và b, ký hiệu là a · b, là một số thực được tính bằng công thức:
a · b = |a| |b| cos(θ)
trong đó:
- |a| và |b| là độ dài (hay mô-đun) của vectơ a và b tương ứng.
- θ là góc giữa hai vectơ a và b.
1.2. Giải Thích Các Thành Phần
Để hiểu rõ hơn về công thức trên, chúng ta cần phân tích từng thành phần:
- Độ dài của vectơ (|a|, |b|): Độ dài của một vectơ là khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối của vectơ đó. Trong không gian hai chiều, nếu vectơ a = (x, y) thì |a| = √(x² + y²).
- Góc giữa hai vectơ (θ): Góc giữa hai vectơ là góc nhỏ nhất tạo bởi hai vectơ khi chúng được đặt chung gốc. Góc này luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 180 độ (hoặc 0 đến π radian).
1.3. Ví Dụ Minh Họa
Xét hai vectơ a và b trong mặt phẳng tọa độ, với |a| = 3, |b| = 4 và góc giữa chúng là 60 độ. Khi đó, tích vô hướng của a và b là:
a · b = 3 4 cos(60°) = 3 4 0.5 = 6
Vậy, tích vô hướng của hai vectơ này là 6.
1.4. Ý Nghĩa Hình Học
Tích vô hướng có ý nghĩa hình học quan trọng. Nó liên quan đến hình chiếu của một vectơ lên vectơ khác. Cụ thể, |b|cos(θ) là độ dài hình chiếu của vectơ b lên vectơ a. Do đó, tích vô hướng có thể được hiểu là tích của độ dài vectơ a và độ dài hình chiếu của vectơ b lên a.
1.5. Trường Hợp Đặc Biệt
- Hai vectơ vuông góc (θ = 90°): Nếu hai vectơ vuông góc với nhau, cos(90°) = 0, do đó tích vô hướng của chúng bằng 0. Điều này là một dấu hiệu quan trọng để nhận biết hai vectơ có vuông góc hay không.
- Hai vectơ cùng hướng (θ = 0°): Nếu hai vectơ cùng hướng, cos(0°) = 1, tích vô hướng của chúng bằng tích độ dài của hai vectơ.
- Hai vectơ ngược hướng (θ = 180°): Nếu hai vectơ ngược hướng, cos(180°) = -1, tích vô hướng của chúng bằng âm của tích độ dài của hai vectơ.
1.6. Ứng Dụng Thực Tiễn
Tích vô hướng không chỉ là một khái niệm trừu tượng mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn:
- Trong vật lý: Tính công của lực tác dụng lên một vật thể.
- Trong đồ họa máy tính: Tính toán ánh sáng và bóng đổ.
- Trong học máy: Đo độ tương đồng giữa các vectơ đặc trưng.
1.7. Tổng Kết
Tích vô hướng là một công cụ mạnh mẽ trong toán học và khoa học ứng dụng. Việc hiểu rõ định nghĩa và ý nghĩa của nó giúp chúng ta giải quyết nhiều vấn đề phức tạp một cách hiệu quả.
2. Công Thức Tính Tích Vô Hướng
Để tính tích vô hướng của hai vectơ, chúng ta có hai công thức chính: một dựa trên độ dài và góc giữa hai vectơ, và một dựa trên tọa độ của chúng.
2.1. Công Thức Dựa Trên Độ Dài Và Góc
Công thức này đã được giới thiệu ở phần trước:
a · b = |a| |b| cos(θ)
trong đó:
- |a| và |b| là độ dài của vectơ a và b.
- θ là góc giữa hai vectơ a và b.
Công thức này hữu ích khi chúng ta biết độ dài của hai vectơ và góc giữa chúng.
2.2. Công Thức Dựa Trên Tọa Độ
Khi biết tọa độ của hai vectơ, chúng ta có thể tính tích vô hướng một cách dễ dàng hơn.
2.2.1. Trong Không Gian Hai Chiều
Nếu a = (x₁, y₁) và b = (x₂, y₂), thì tích vô hướng của a và b là:
a · b = x₁x₂ + y₁y₂
2.2.2. Trong Không Gian Ba Chiều
Nếu a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂), thì tích vô hướng của a và b là:
a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
2.3. Ví Dụ Minh Họa
2.3.1. Ví Dụ 1: Sử Dụng Độ Dài Và Góc
Cho hai vectơ a và b có độ dài lần lượt là 5 và 8, góc giữa chúng là 60 độ. Tính tích vô hướng của a và b.
Giải:
Sử dụng công thức a · b = |a| |b| cos(θ), ta có:
a · b = 5 8 cos(60°) = 5 8 0.5 = 20
2.3.2. Ví Dụ 2: Sử Dụng Tọa Độ Trong Không Gian Hai Chiều
Cho vectơ a = (2, 3) và b = (-1, 4). Tính tích vô hướng của a và b.
Giải:
Sử dụng công thức a · b = x₁x₂ + y₁y₂, ta có:
a · b = (2 -1) + (3 4) = -2 + 12 = 10
2.3.3. Ví Dụ 3: Sử Dụng Tọa Độ Trong Không Gian Ba Chiều
Cho vectơ a = (1, 2, -1) và b = (3, -2, 2). Tính tích vô hướng của a và b.
Giải:
Sử dụng công thức a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂, ta có:
a · b = (1 3) + (2 -2) + (-1 * 2) = 3 – 4 – 2 = -3
2.4. Lựa Chọn Công Thức Phù Hợp
Việc lựa chọn công thức nào phụ thuộc vào thông tin bạn có. Nếu bạn biết độ dài và góc giữa hai vectơ, công thức a · b = |a| |b| cos(θ) là lựa chọn tốt nhất. Nếu bạn biết tọa độ của hai vectơ, công thức dựa trên tọa độ sẽ đơn giản và hiệu quả hơn.
2.5. Lưu Ý Quan Trọng
- Đơn vị: Tích vô hướng là một số vô hướng, không có đơn vị.
- Thứ tự: Tích vô hướng có tính chất giao hoán, tức là a · b = b · a.
- Tính toán chính xác: Đảm bảo bạn tính toán chính xác các giá trị độ dài, góc và tọa độ để tránh sai sót.
2.6. Ứng Dụng Công Thức Vào Bài Toán Thực Tế
Để minh họa rõ hơn, hãy xem xét một bài toán thực tế:
Bài toán: Một chiếc xe tải kéo một rơ moóc với lực kéo là 5000 N. Góc giữa lực kéo và phương ngang là 30 độ. Tính công mà xe tải thực hiện khi kéo rơ moóc đi được 100 mét.
Giải:
- Lực kéo F = 5000 N
- Độ dịch chuyển d = 100 m
- Góc giữa lực và độ dịch chuyển θ = 30°
Công thực hiện được tính bằng công thức:
Công = F · d = |F| |d| cos(θ) = 5000 100 cos(30°) = 5000 100 (√3 / 2) ≈ 433,013 J
2.7. Tổng Kết
Việc nắm vững các công thức tính tích vô hướng giúp bạn dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ trong cả lý thuyết và thực tiễn.
3. Tính Chất Của Tích Vô Hướng
Tích vô hướng có nhiều tính chất quan trọng, giúp chúng ta đơn giản hóa các phép toán và giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
3.1. Tính Giao Hoán
Tích vô hướng có tính giao hoán, nghĩa là thứ tự của các vectơ không ảnh hưởng đến kết quả:
a · b = b · a
Chứng minh:
a · b = |a| |b| cos(θ)
b · a = |b| |a| cos(θ)
Vì phép nhân các số thực có tính giao hoán, nên |a| |b| = |b| |a|. Do đó, a · b = b · a.
3.2. Tính Phân Phối Đối Với Phép Cộng Vectơ
Tích vô hướng có tính phân phối đối với phép cộng vectơ:
a · (b + c) = a · b + a · c
Chứng minh:
Sử dụng biểu diễn tọa độ trong không gian hai chiều:
- a = (x₁, y₁)
- b = (x₂, y₂)
- c = (x₃, y₃)
b + c = (x₂ + x₃, y₂ + y₃)
a · (b + c) = x₁(x₂ + x₃) + y₁(y₂ + y₃) = x₁x₂ + x₁x₃ + y₁y₂ + y₁y₃
a · b = x₁x₂ + y₁y₂
a · c = x₁x₃ + y₁y₃
a · b + a · c = x₁x₂ + y₁y₂ + x₁x₃ + y₁y₃
Vậy, a · (b + c) = a · b + a · c.
3.3. Tính Kết Hợp Với Phép Nhân Vô Hướng
Tích vô hướng có tính kết hợp với phép nhân vô hướng (nhân một vectơ với một số thực):
(ka) · b = k(a · b) = a · (kb)
trong đó k là một số thực.
Chứng minh:
(ka) · b = |ka| |b| cos(θ) = |k| |a| |b| cos(θ) = k (|a| |b| cos(θ)) = k(a · b)
Tương tự, a · (kb) = k(a · b).
3.4. Liên Hệ Với Độ Dài Vectơ
Tích vô hướng của một vectơ với chính nó bằng bình phương độ dài của vectơ đó:
a · a = |a|²
Chứng minh:
a · a = |a| |a| cos(0°) = |a|² * 1 = |a|²
3.5. Điều Kiện Vuông Góc
Hai vectơ a và b vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0:
a · b = 0 ⇔ a ⊥ b
Chứng minh:
a · b = |a| |b| cos(θ) = 0
Vì |a| và |b| khác 0 (nếu a hoặc b là vectơ không, điều này luôn đúng), thì cos(θ) phải bằng 0. Điều này xảy ra khi θ = 90°, tức là a và b vuông góc.
3.6. Tính Chất Về Góc Giữa Hai Vectơ
Từ công thức a · b = |a| |b| cos(θ), ta có thể tính góc giữa hai vectơ:
cos(θ) = (a · b) / (|a| |b|)
θ = arccos((a · b) / (|a| |b|))
3.7. Ứng Dụng Các Tính Chất
Các tính chất này giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến vectơ một cách hiệu quả hơn. Ví dụ:
- Chứng minh các định lý hình học: Sử dụng tính chất của tích vô hướng để chứng minh các định lý về tam giác, hình bình hành, v.v.
- Tìm vectơ vuông góc: Sử dụng điều kiện vuông góc để tìm các vectơ vuông góc với một vectơ cho trước.
- Tính góc giữa hai đường thẳng: Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
3.8. Ví Dụ Minh Họa
Cho vectơ a = (1, 2) và b = (-2, 1). Chứng minh rằng a và b vuông góc.
Giải:
Tính tích vô hướng của a và b:
a · b = (1 -2) + (2 1) = -2 + 2 = 0
Vì a · b = 0, nên a và b vuông góc.
3.9. Tổng Kết
Các tính chất của tích vô hướng là công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các vectơ và giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
4. Ứng Dụng Của Tích Vô Hướng Trong Hình Học
Tích vô hướng là một công cụ mạnh mẽ trong hình học, giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến khoảng cách, góc, và các tính chất hình học khác.
4.1. Tính Khoảng Cách
4.1.1. Độ Dài Đoạn Thẳng
Độ dài của đoạn thẳng AB, ký hiệu là |AB|, có thể được tính bằng công thức:
|AB| = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²),
trong đó A(x₁, y₁, z₁) và B(x₂, y₂, z₂) là tọa độ của hai điểm A và B.
4.1.2. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng
Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀) đến đường thẳng ax + by + c = 0 được tính bằng công thức:
d(M, Δ) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
4.1.3. Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Song Song
Cho hai đường thẳng song song:
- d₁: ax + by + c₁ = 0
- d₂: ax + by + c₂ = 0
Khoảng cách giữa chúng là:
d(d₁, d₂) = |c₂ – c₁| / √(a² + b²)
4.2. Tính Góc
4.2.1. Góc Giữa Hai Vectơ
Như đã đề cập ở trên, góc giữa hai vectơ a và b được tính bằng công thức:
cos(θ) = (a · b) / (|a| |b|)
θ = arccos((a · b) / (|a| |b|))
4.2.2. Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là u và v được tính bằng công thức:
cos(θ) = |u · v| / (|u| |v|)
θ = arccos(|u · v| / (|u| |v|))
4.2.3. Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương u và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n được tính bằng công thức:
sin(θ) = |u · n| / (|u| |n|)
θ = arcsin(|u · n| / (|u| |n|))
4.3. Xác Định Tính Vuông Góc Và Song Song
4.3.1. Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0.
4.3.2. Hai Đường Thẳng Song Song
Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi hai vectơ chỉ phương của chúng cùng phương, tức là tồn tại một số k sao cho u = kv.
4.3.3. Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
4.3.4. Đường Thẳng Song Song Với Mặt Phẳng
Đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, tức là tích vô hướng của chúng bằng 0.
4.4. Tính Diện Tích
4.4.1. Diện Tích Tam Giác
Diện tích tam giác ABC có thể được tính bằng công thức Heron hoặc sử dụng tích có hướng (nếu biết tọa độ các đỉnh).
4.4.2. Diện Tích Hình Bình Hành
Diện tích hình bình hành ABCD được tính bằng độ dài của tích có hướng của hai vectơ cạnh kề:
S = |[AB, AD]|
4.5. Ví Dụ Minh Họa
Cho tam giác ABC với A(1, 2), B(3, -1), C(0, -3).
-
Tính độ dài cạnh AB:
AB = (3 – 1, -1 – 2) = (2, -3)
|AB| = √(2² + (-3)²) = √13
-
Tính góc BAC:
AC = (0 – 1, -3 – 2) = (-1, -5)
cos(BAC) = (AB · AC) / (|AB| |AC|) = ((2 -1) + (-3 -5)) / (√13 √26) = 13 / (√13 √26) = 13 / (13√2) = 1/√2
BAC = arccos(1/√2) = 45°
-
Kiểm tra xem AB có vuông góc với AC không:
AB · AC = (2 -1) + (-3 -5) = -2 + 15 = 13 ≠ 0
Vậy AB không vuông góc với AC.
4.6. Ứng Dụng Thực Tế
Các ứng dụng của tích vô hướng trong hình học rất đa dạng, từ việc giải các bài toán hình học phẳng và không gian đến việc ứng dụng trong các lĩnh vực như đồ họa máy tính, thiết kế kỹ thuật, và xây dựng.
4.7. Tổng Kết
Tích vô hướng là một công cụ quan trọng giúp chúng ta giải quyết nhiều vấn đề trong hình học một cách hiệu quả và chính xác.
5. Ứng Dụng Của Tích Vô Hướng Trong Vật Lý
Tích vô hướng không chỉ là một công cụ toán học mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý, đặc biệt trong việc tính công, năng lượng, và các khái niệm liên quan đến lực và chuyển động.
5.1. Tính Công
Trong vật lý, công (W) thực hiện bởi một lực F khi di chuyển một vật thể một đoạn đường d được tính bằng tích vô hướng của lực và độ dịch chuyển:
W = F · d = |F| |d| cos(θ)
trong đó:
- |F| là độ lớn của lực.
- |d| là độ lớn của độ dịch chuyển.
- θ là góc giữa lực và độ dịch chuyển.
Công là một đại lượng vô hướng, có đơn vị là Joule (J).
5.1.1. Ví Dụ Minh Họa
Một người kéo một chiếc xe trượt tuyết với lực 50 N trên một đoạn đường 10 m. Góc giữa lực kéo và phương ngang là 30°. Tính công mà người đó thực hiện.
Giải:
W = 50 N 10 m cos(30°) = 500 * (√3 / 2) ≈ 433 J
5.2. Tính Năng Lượng
5.2.1. Động Năng
Động năng (KE) của một vật thể có khối lượng m và vận tốc v được tính bằng:
KE = (1/2) m |v|² = (1/2) m (v · v)
Động năng là một đại lượng vô hướng, có đơn vị là Joule (J).
5.2.2. Thế Năng
Thế năng trọng trường (PE) của một vật thể có khối lượng m ở độ cao h so với một mốc tham chiếu được tính bằng:
PE = mgh
Trong đó, g là gia tốc trọng trường.
5.3. Tính Công Suất
Công suất (P) là lượng công thực hiện trong một đơn vị thời gian:
P = W / t
Trong trường hợp lực F tác dụng lên một vật thể đang chuyển động với vận tốc v, công suất có thể được tính bằng:
P = F · v
Công suất là một đại lượng vô hướng, có đơn vị là Watt (W).
5.4. Xác Định Thành Phần Lực
Tích vô hướng có thể được sử dụng để xác định thành phần của một lực theo một hướng cụ thể. Ví dụ, nếu bạn muốn tìm thành phần của lực F theo hướng của vectơ u, bạn có thể sử dụng công thức:
Fᵤ = (F · u) / |u|
trong đó Fᵤ là độ lớn của thành phần lực theo hướng u.
5.5. Ứng Dụng Trong Cơ Học
5.5.1. Bài Toán Về Va Chạm
Trong các bài toán về va chạm, tích vô hướng giúp chúng ta phân tích động lượng và năng lượng của các vật thể trước và sau va chạm.
5.5.2. Bài Toán Về Chuyển Động Ném Xiên
Tích vô hướng giúp chúng ta phân tích vận tốc và gia tốc của vật thể trong quá trình chuyển động ném xiên, từ đó tính toán tầm xa và độ cao cực đại.
5.6. Ví Dụ Minh Họa
Một vật thể có khối lượng 2 kg chuyển động với vận tốc v = (3, 4) m/s. Tính động năng của vật thể.
Giải:
|v| = √(3² + 4²) = 5 m/s
KE = (1/2) 2 kg (5 m/s)² = 25 J
5.7. Ứng Dụng Thực Tế
Các ứng dụng của tích vô hướng trong vật lý rất rộng rãi, từ việc thiết kế các công trình cơ khí, tính toán hiệu suất của động cơ, đến việc phân tích chuyển động của các vật thể trong không gian.
5.8. Tổng Kết
Tích vô hướng là một công cụ không thể thiếu trong vật lý, giúp chúng ta hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến lực, chuyển động, và năng lượng một cách chính xác và hiệu quả.
6. Bài Tập Về Tích Vô Hướng Và Hướng Dẫn Giải
Để củng cố kiến thức về tích vô hướng, chúng ta sẽ cùng nhau giải một số bài tập cơ bản và nâng cao.
6.1. Bài Tập Cơ Bản
6.1.1. Bài Tập 1
Cho hai vectơ a = (2, -1) và b = (1, 3). Tính tích vô hướng của a và b.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
Giải:
a · b = (2 1) + (-1 3) = 2 – 3 = -1
6.1.2. Bài Tập 2
Cho hai vectơ a và b có độ dài lần lượt là 4 và 5, góc giữa chúng là 60°. Tính tích vô hướng của a và b.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức a · b = |a| |b| cos(θ).
Giải:
a · b = 4 5 cos(60°) = 20 * 0.5 = 10
6.1.3. Bài Tập 3
Cho ba điểm A(1, 2), B(4, -2), và C(0, -1). Tính góc BAC.
Hướng dẫn giải:
- Tính vectơ AB và AC.
- Tính tích vô hướng của AB và AC.
- Tính độ dài của AB và AC.
- Sử dụng công thức cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| |AC|) để tìm góc BAC.
Giải:
- AB = (4 – 1, -2 – 2) = (3, -4)
- AC = (0 – 1, -1 – 2) = (-1, -3)
- AB · AC = (3 -1) + (-4 -3) = -3 + 12 = 9
- |AB| = √(3² + (-4)²) = √25 = 5
- |AC| = √((-1)² + (-3)²) = √10
- cos(BAC) = 9 / (5 * √10) = 9 / (5√10)
- BAC = arccos(9 / (5√10)) ≈ 55.55°
6.2. Bài Tập Nâng Cao
6.2.1. Bài Tập 4
Cho hình bình hành ABCD với A(1, 1), B(2, 3), và C(5, 3). Tìm tọa độ điểm D và tính diện tích hình bình hành ABCD.
Hướng dẫn giải:
- Tìm tọa độ điểm D bằng cách sử dụng tính chất của hình bình hành: AD = BC.
- Tính vectơ AB và AD.
- Tính diện tích hình bình hành bằng độ dài của tích có hướng của AB và AD.
Giải:
- BC = (5 – 2, 3 – 3) = (3, 0)
- AD = BC = (3, 0)
- D = A + AD = (1 + 3, 1 + 0) = (4, 1)
- AB = (2 – 1, 3 – 1) = (1, 2)
- Diện tích hình bình hành ABCD = |(1 0) – (2 3)| = |-6| = 6
6.2.2. Bài Tập 5
Chứng minh rằng trong tam giác ABC, nếu AB · AC = |AB| |AC|, thì tam giác ABC vuông tại A.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức AB · AC = |AB| |AC| cos(A) và điều kiện để tam giác vuông tại A là góc A = 90°.
Giải:
AB · AC = |AB| |AC| cos(A)
Theo đề bài, AB · AC = |AB| |AC|
Vậy, |AB| |AC| cos(A) = |AB| |AC|
cos(A) = 1
A = arccos(1) = 0°
Điều này không thể xảy ra trong một tam giác. Tuy nhiên, nếu AB · AC = 0, thì tam giác ABC vuông tại A.
6.2.3. Bài Tập 6
Một vật thể chịu tác dụng của hai lực F₁ = (3, 4) N và F₂ = (-1, 2) N. Tính công thực hiện khi vật thể di chuyển từ điểm A(0, 0) đến điểm B(5, 2).
Hướng dẫn giải:
- Tính lực tổng hợp F = F₁ + F₂.
- Tính vectơ độ dịch chuyển d = AB.
- Tính công W = F · d.
Giải:
- F = F₁ + F₂ = (3 – 1, 4 + 2) = (2, 6) N
- d = AB = (5 – 0, 2 – 0) = (5, 2) m
- W = F · d = (2 5) + (6 2) = 10 + 12 = 22 J
6.3. Lưu Ý Khi Giải Bài Tập
- Đọc kỹ đề bài và xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu cần tìm.
- Vẽ hình minh họa (nếu có thể) để dễ hình dung và phân tích bài toán.
- Chọn công thức phù hợp với thông tin đã cho.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
6.4. Tổng Kết
Việc luyện tập giải các bài tập về tích vô hướng giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng chúng vào giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả.
7. Các Dạng Bài Tập Nâng Cao Về Tích Vô Hướng
Để nâng cao khả năng giải quyết các bài toán liên quan đến tích vô hướng, chúng ta sẽ xem xét một số dạng bài tập phức tạp hơn.
7.1. Bài Toán Chứng Minh Bất Đẳng Thức
7.1.1. Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz
Cho hai vectơ a và b bất kỳ, ta có:
|a · b| ≤ |a| |b|
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng phương.
Chứng minh:
Từ công thức a · b = |a| |b| cos(θ), ta có:
|a · b| = | |a| |b| cos(θ) | = |a| |b| |cos(θ)|
Vì |cos(θ)| ≤ 1, nên |a · b| ≤ |a| |b|.
Dấu
