Bài 3.3 Trang 37 Sgk Toán 10 là một bài tập quan trọng giúp bạn nắm vững các công thức lượng giác cơ bản. Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ cung cấp hướng dẫn giải chi tiết, dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa và lưu ý quan trọng để bạn tự tin giải quyết các bài tập tương tự. Bài viết này không chỉ giúp bạn hoàn thành bài tập mà còn trang bị kiến thức nền tảng vững chắc cho các bài học lượng giác nâng cao.
1. Bài 3.3 Trang 37 SGK Toán 10 Yêu Cầu Gì?
Bài tập yêu cầu chứng minh các hệ thức lượng giác sau:
a) ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1)
b) (1 + {tan ^2}alpha = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}quad (alpha ne {90^o}))
c) (1 + {cot ^2}alpha = frac{1}{{{{sin }^2}alpha }}quad ({0^o} < alpha < {180^o}))
1.1 Ý Nghĩa Của Bài Tập
Bài tập này không chỉ đơn thuần là chứng minh các công thức. Nó giúp bạn:
- Hiểu sâu sắc về định nghĩa các hàm số lượng giác: sin, cos, tan, cot.
- Nắm vững mối liên hệ giữa các hàm số lượng giác.
- Rèn luyện kỹ năng biến đổi lượng giác.
- Xây dựng nền tảng cho các bài toán lượng giác phức tạp hơn.
1.2 Tại Sao Bài Này Quan Trọng Với Học Sinh?
Theo các chuyên gia giáo dục tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, việc nắm vững các công thức lượng giác cơ bản là yếu tố then chốt để học tốt môn Toán ở các lớp trên. Bài tập này là một bước đệm quan trọng để các em tiếp cận lượng giác một cách bài bản và tự tin.
2. Hướng Dẫn Giải Chi Tiết Bài 3.3 Trang 37 SGK Toán 10
2.1 Chứng Minh Hệ Thức a) ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1)
Đây là hệ thức lượng giác cơ bản nhất, còn được gọi là “hệ thức lượng giác cơ bản”.
Phương pháp giải:
- Vẽ đường tròn lượng giác: Vẽ đường tròn lượng giác tâm O, bán kính R = 1.
- Chọn điểm M: Lấy điểm M bất kỳ trên đường tròn, điểm M biểu diễn góc (alpha).
- Xác định sin và cos: Xác định (sin alpha) và (cos alpha) tương ứng với tung độ và hoành độ của điểm M.
- Áp dụng định lý Pythagoras: Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông để chứng minh hệ thức.
Lời giải chi tiết:
Đường tròn lượng giác minh họa sin và cos
Alt text: Đường tròn lượng giác với điểm M biểu diễn góc alpha, sin alpha là tung độ và cos alpha là hoành độ của M.
Gọi M(x; y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho (widehat {xOM} = alpha ). Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.
Ta có: (left{ begin{array}{l}x = cos alpha y = sin alpha end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}{cos ^2}alpha = {x^2}{sin ^2}alpha = {y^2}end{array} right.)(1)
Mà (left{ begin{array}{l}left| x right| = ON\left| y right| = OP = MNend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} = {left| x right|^2} = O{N^2}{y^2} = {left| y right|^2} = M{N^2}end{array} right.)(2)
Từ (1) và (2) suy ra ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = O{N^2} + M{N^2} = O{M^2}) (do (Delta OMN) vuông tại N)
( Rightarrow {sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) (vì OM = 1). (đpcm)
Giải thích thêm:
- Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là một công cụ hữu ích để biểu diễn và hiểu các hàm số lượng giác.
- Tung độ và hoành độ: Tung độ của điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn giá trị của (sin alpha), còn hoành độ biểu diễn giá trị của (cos alpha).
- Định lý Pythagoras: Trong tam giác vuông OMN, ta có (O{M^2} = O{N^2} + M{N^2}). Vì OM = 1 (bán kính đường tròn lượng giác), nên (O{N^2} + M{N^2} = 1), suy ra ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1).
2.2 Chứng Minh Hệ Thức b) (1 + {tan ^2}alpha = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}quad (alpha ne {90^o}))
Phương pháp giải:
- Biểu diễn tan qua sin và cos: Viết (tan alpha) dưới dạng (frac{{sin alpha }}{{cos alpha }}quad (alpha ne {90^o})).
- Thay vào vế trái: Thay biểu thức vừa tìm được vào vế trái của hệ thức.
- Biến đổi vế trái: Quy đồng mẫu số và sử dụng hệ thức ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) để đơn giản hóa.
Lời giải chi tiết:
Ta có: (tan alpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }}quad (alpha ne {90^o}))
( Rightarrow 1 + {tan ^2}alpha = 1 + frac{{{{sin }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }} = frac{{{{cos }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }} + frac{{{{sin }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }} = frac{{{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }})
Mà theo ý a) ta có ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) với mọi góc (alpha)
( Rightarrow 1 + {tan ^2}alpha = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}) (đpcm)
Giải thích thêm:
- Điều kiện (alpha ne {90^o}): Hàm số tan không xác định khi (alpha = {90^o}) vì (cos {90^o} = 0), dẫn đến mẫu số bằng 0.
- Quy đồng mẫu số: Việc quy đồng mẫu số giúp ta cộng hai phân số lại với nhau và đơn giản hóa biểu thức.
2.3 Chứng Minh Hệ Thức c) (1 + {cot ^2}alpha = frac{1}{{{{sin }^2}alpha }}quad ({0^o} < alpha < {180^o}))
Phương pháp giải:
- Biểu diễn cot qua sin và cos: Viết (cot alpha) dưới dạng (frac{{cos alpha }}{{sin alpha }}quad ({0^o} < alpha < {180^o})).
- Thay vào vế trái: Thay biểu thức vừa tìm được vào vế trái của hệ thức.
- Biến đổi vế trái: Quy đồng mẫu số và sử dụng hệ thức ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) để đơn giản hóa.
Lời giải chi tiết:
Ta có: (cot alpha = frac{{cos alpha }}{{sin alpha }}quad ({0^o} < alpha < {180^o}))
( Rightarrow 1 + {cot ^2}alpha = 1 + frac{{{{cos }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha }} = frac{{{{sin }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha }} + frac{{{{cos }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha }} = frac{{{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha }})
Mà theo ý a) ta có ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) với mọi góc (alpha)
( Rightarrow 1 + {cot ^2}alpha = frac{1}{{{{sin }^2}alpha }}) (đpcm)
Giải thích thêm:
- Điều kiện ({0^o} < alpha < {180^o}): Hàm số cot không xác định khi (alpha = {0^o}) hoặc (alpha = {180^o}) vì (sin {0^o} = sin {180^o} = 0), dẫn đến mẫu số bằng 0.
- Quy đồng mẫu số: Tương tự như chứng minh hệ thức b), việc quy đồng mẫu số giúp ta cộng hai phân số lại với nhau và đơn giản hóa biểu thức.
3. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Liên Quan Đến Bài 3.3 Trang 37 SGK Toán 10
3.1 Tính Giá Trị Lượng Giác Khi Biết Một Giá Trị
Ví dụ: Cho (sin alpha = frac{3}{5}) và ({90^o} < alpha < {180^o}). Tính (cos alpha), (tan alpha), và (cot alpha).
Hướng dẫn giải:
- Tìm (cos alpha): Sử dụng hệ thức ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) để tìm (cos alpha). Lưu ý chọn dấu phù hợp với điều kiện ({90^o} < alpha < {180^o}) (cos âm).
- Tìm (tan alpha): Sử dụng công thức (tan alpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }}).
- Tìm (cot alpha): Sử dụng công thức (cot alpha = frac{{cos alpha }}{{sin alpha }}) hoặc (cot alpha = frac{1}{{tan alpha }}).
3.2 Rút Gọn Biểu Thức Lượng Giác
Ví dụ: Rút gọn biểu thức (A = {sin ^4}alpha + {cos ^4}alpha + 2{sin ^2}alpha {cos ^2}alpha).
Hướng dẫn giải:
- Nhận xét: Biểu thức có dạng hằng đẳng thức.
- Áp dụng hằng đẳng thức: (A = {({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha )^2}).
- Sử dụng hệ thức cơ bản: (A = {1^2} = 1).
3.3 Chứng Minh Đẳng Thức Lượng Giác
Ví dụ: Chứng minh (frac{{sin alpha }}{{1 + cos alpha }} + frac{{1 + cos alpha }}{{sin alpha }} = frac{2}{{sin alpha }}).
Hướng dẫn giải:
- Quy đồng mẫu số: Quy đồng mẫu số vế trái của đẳng thức.
- Sử dụng hệ thức cơ bản: Sử dụng hệ thức ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) để đơn giản hóa.
- Biến đổi: Biến đổi vế trái để được vế phải.
4. Các Lưu Ý Quan Trọng Khi Giải Bài Tập Lượng Giác
4.1 Nắm Vững Các Công Thức Lượng Giác Cơ Bản
Việc thuộc lòng và hiểu rõ các công thức lượng giác cơ bản là yếu tố then chốt để giải quyết các bài tập lượng giác một cách hiệu quả.
4.2 Xác Định Đúng Dấu Của Các Hàm Số Lượng Giác
Dấu của các hàm số lượng giác phụ thuộc vào góc (alpha) thuộc góc phần tư nào trên đường tròn lượng giác.
Bảng xác định dấu của các hàm số lượng giác:
| Góc phần tư | Sin | Cos | Tan | Cot |
|---|---|---|---|---|
| I | + | + | + | + |
| II | + | – | – | – |
| III | – | – | + | + |
| IV | – | + | – | – |
4.3 Sử Dụng Các Biến Đổi Lượng Giác Linh Hoạt
Kỹ năng biến đổi lượng giác là rất quan trọng. Bạn cần linh hoạt áp dụng các công thức và hằng đẳng thức để đơn giản hóa biểu thức và đưa về dạng dễ giải quyết.
4.4 Kiểm Tra Điều Kiện Xác Định
Luôn kiểm tra điều kiện xác định của các hàm số lượng giác (đặc biệt là tan và cot) để tránh các trường hợp chia cho 0.
5. Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
- Cho (cos alpha = – frac{{12}}{{13}}) và ({180^o} < alpha < {270^o}). Tính (sin alpha), (tan alpha), và (cot alpha).
- Rút gọn biểu thức (B = frac{{sin alpha }}{{1 + cos alpha }} + frac{{1 – cos alpha }}{{sin alpha }}).
- Chứng minh ({sin ^6}alpha + {cos ^6}alpha = 1 – 3{sin ^2}alpha {cos ^2}alpha).
6. Tìm Hiểu Thêm Về Lượng Giác Tại Xe Tải Mỹ Đình
Tại Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN), chúng tôi không chỉ cung cấp thông tin về xe tải mà còn chia sẻ kiến thức về nhiều lĩnh vực khác, trong đó có Toán học. Hãy truy cập website của chúng tôi để khám phá thêm nhiều bài viết hữu ích và thú vị.
Chúng tôi hiểu rằng việc học Toán có thể gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là với những kiến thức mới như lượng giác. Vì vậy, Xe Tải Mỹ Đình luôn nỗ lực mang đến những bài viết dễ hiểu, chi tiết vàPractical nhất, giúp các bạn học sinh dễ dàng tiếp thu và áp dụng kiến thức vào giải bài tập.
Ngoài ra, trên website của chúng tôi còn có các công cụ hỗ trợ học tập như máy tính lượng giác, bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, và nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác.
Thông tin liên hệ:
- Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội.
- Hotline: 0247 309 9988
- Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN
7. FAQ Về Bài 3.3 Trang 37 SGK Toán 10
7.1 Tại Sao Cần Chứng Minh Các Hệ Thức Lượng Giác?
Chứng minh các hệ thức lượng giác giúp hiểu rõ bản chất và mối liên hệ giữa các hàm số lượng giác, từ đó áp dụng linh hoạt vào giải các bài toán phức tạp hơn.
7.2 Hệ Thức ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) Có Ứng Dụng Gì?
Đây là hệ thức cơ bản nhất, được sử dụng rộng rãi trong các bài toán lượng giác để tính giá trị lượng giác, rút gọn biểu thức, và chứng minh đẳng thức.
7.3 Khi Nào Thì (tan alpha) Không Xác Định?
(tan alpha) không xác định khi (alpha = {90^o} + k{180^o}) (k là số nguyên) vì (cos alpha = 0).
7.4 Khi Nào Thì (cot alpha) Không Xác Định?
(cot alpha) không xác định khi (alpha = k{180^o}) (k là số nguyên) vì (sin alpha = 0).
7.5 Làm Sao Để Nhớ Các Công Thức Lượng Giác?
Có nhiều cách để nhớ các công thức lượng giác, ví dụ như:
- Học thuộc lòng: Đây là cách truyền thống nhưng hiệu quả.
- Sử dụng đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác giúpVisualize các công thức và mối liên hệ giữa các hàm số.
- Làm nhiều bài tập: Thực hành giải nhiều bài tập giúp bạn làm quen và ghi nhớ công thức một cách tự nhiên.
- Sử dụng các mẹo nhớ: Có nhiều mẹo nhớ công thức lượng giác được chia sẻ trên mạng, bạn có thể tìm hiểu và áp dụng.
7.6 Bài Tập Lượng Giác Nào Thường Gặp Trong Các Kỳ Thi?
Các bài tập lượng giác thường gặp trong các kỳ thi bao gồm:
- Tính giá trị lượng giác.
- Rút gọn biểu thức lượng giác.
- Chứng minh đẳng thức lượng giác.
- Giải phương trình lượng giác.
- Ứng dụng lượng giác vào giải các bài toán hình học.
7.7 Có Tài Liệu Nào Hỗ Trợ Học Lượng Giác Không?
Có rất nhiều tài liệu hỗ trợ học lượng giác, bao gồm:
- Sách giáo khoa và sách bài tập Toán.
- Các trang web học Toán trực tuyến.
- Các ứng dụng học Toán trên điện thoại.
- Các video bài giảng trên YouTube.
7.8 Lượng Giác Có Ứng Dụng Gì Trong Thực Tế?
Lượng giác có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
- Đo đạc và xây dựng: Lượng giác được sử dụng để tính toán khoảng cách, chiều cao, và góc trong các công trình xây dựng.
- Hàng hải và hàng không: Lượng giác được sử dụng để định vị và điều hướng tàu thuyền và máy bay.
- Vật lý: Lượng giác được sử dụng để mô tả các dao động và sóng.
- Thiên văn học: Lượng giác được sử dụng để tính toán khoảng cách và vị trí của các thiên thể.
7.9 Làm Sao Để Học Tốt Lượng Giác?
Để học tốt lượng giác, bạn cần:
- Nắm vững kiến thức cơ bản.
- Chăm chỉ làm bài tập.
- Hỏi thầy cô hoặc bạn bè khi gặp khó khăn.
- Tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo.
- Áp dụng kiến thức vào thực tế.
7.10 Xe Tải Mỹ Đình Có Thể Giúp Gì Cho Việc Học Toán?
Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) cung cấp các bài viết hướng dẫn giải bài tập Toán chi tiết, dễ hiểu, giúp các bạn học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán. Chúng tôi cũng chia sẻ các mẹo học Toán hiệu quả và các tài liệu tham khảo hữu ích. Hãy truy cập website của chúng tôi để khám phá thêm nhiều điều thú vị.
8. Kết Luận
Bài 3.3 trang 37 SGK Toán 10 là một bài tập quan trọng giúp bạn nắm vững các công thức lượng giác cơ bản. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu từ Xe Tải Mỹ Đình, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong học tập.
Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại liên hệ với chúng tôi qua hotline 0247 309 9988 hoặc truy cập website XETAIMYDINH.EDU.VN để được tư vấn và hỗ trợ. Chúc bạn học tốt!
