Xác Định Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng Lớp 12 Như Thế Nào?

Vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 12 là một chủ đề quan trọng trong chương trình hình học không gian. Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập liên quan đến chủ đề này, từ đó tự tin chinh phục các bài toán khó. Chúng tôi cung cấp thông tin chi tiết, dễ hiểu về các trường hợp vị trí tương đối, cách xác định và bài tập vận dụng, cùng các từ khóa LSI như “hình học không gian”, “đường thẳng song song”, “đường thẳng cắt nhau”.

1. Các Dạng Bài Về Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng?

Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, chúng ta cần xem xét mối quan hệ giữa các vectơ chỉ phương và một điểm thuộc mỗi đường thẳng. Có bốn trường hợp có thể xảy ra, bạn có muốn biết đó là những trường hợp nào không?

• Trùng nhau: Hai đường thẳng có cùng phương và có chung ít nhất một điểm.
• Song song: Hai đường thẳng có cùng phương nhưng không có điểm chung.
• Cắt nhau: Hai đường thẳng không cùng phương và có một điểm chung duy nhất.
• Chéo nhau: Hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

2. Phương Pháp Xác Định Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng Trong Không Gian?

Để xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d’ trong không gian, cho d đi qua điểm M0 có vectơ chỉ phương là u→ và d’ đi qua điểm M’0 có vectơ chỉ phương là u’→, bạn có thể áp dụng các bước sau:

1. Kiểm tra tính đồng phẳng:
   • Tính tích có hướng [u→, u’→].
   • Tính tích hỗn tạp [[u→, u’→], M0M’0→].
   • Nếu [[u→, u’→], M0M’0→] = 0, hai đường thẳng đồng phẳng (cùng nằm trong một mặt phẳng). Ngược lại, nếu khác 0, chúng chéo nhau.
2. Nếu đồng phẳng, xét tiếp:
   • Trường hợp 1: u→ và u’→ cùng phương (tức là u→ = k.u’→ với k là một số thực):
     • Nếu M0 thuộc d’, thì d và d’ trùng nhau.
     • Nếu M0 không thuộc d’, thì d và d’ song song.
   • Trường hợp 2: u→ và u’→ không cùng phương:
     • d và d’ cắt nhau tại một điểm duy nhất.

3. Điều Kiện Để Hai Đường Thẳng Cùng Nằm Trong Một Mặt Phẳng?

Hai đường thẳng d và d’ cùng nằm trong một mặt phẳng khi và chỉ khi tích hỗn tạp của vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và vectơ nối hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng đó bằng 0.

Công thức: [[u→, u’→], M0M’0→] = 0, trong đó:

• u→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
• u’→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d’.
• M0 là một điểm thuộc đường thẳng d.
• M’0 là một điểm thuộc đường thẳng d’.
• M0M’0→ là vectơ nối điểm M0 và M’0.

4. Khi Nào Hai Đường Thẳng Trùng Nhau?

Hai đường thẳng d và d’ trùng nhau khi chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1. Cùng phương: Vectơ chỉ phương của đường thẳng này phải song song hoặc trùng với vectơ chỉ phương của đường thẳng kia (u→ = k.u’→).
2. Có điểm chung: Một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng này cũng phải thuộc đường thẳng kia.

5. Dấu Hiệu Nhận Biết Hai Đường Thẳng Song Song?

Hai đường thẳng d và d’ được gọi là song song nếu chúng đáp ứng cả hai điều kiện sau đây:

1. Vectơ chỉ phương cùng phương: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d phải là một bội số của vectơ chỉ phương của đường thẳng d’, tức là u→ = k * u’→, trong đó k là một số thực khác 0.
2. Không có điểm chung: Không có điểm nào thuộc đường thẳng d đồng thời thuộc đường thẳng d’.

6. Cách Xác Định Hai Đường Thẳng Cắt Nhau Trong Không Gian?

Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi thỏa mãn hai điều kiện sau:

1. Không cùng phương: Vectơ chỉ phương của d và d’ không cùng phương (u→ ≠ k.u’→).
2. Đồng phẳng: Tích hỗn tạp của vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và vectơ nối hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng bằng 0. [[u→, u’→], M0M’0→] = 0.

7. Thế Nào Là Hai Đường Thẳng Chéo Nhau?

Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng. Điều này có nghĩa là chúng không song song, không cắt nhau và không trùng nhau. Để xác định hai đường thẳng có chéo nhau hay không, ta kiểm tra điều kiện sau:

• Không đồng phẳng: Tích hỗn tạp của vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và vectơ nối hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng phải khác 0.

8. Bài Tập Vận Dụng Về Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng

Để hiểu rõ hơn về cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng, hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) xét một số ví dụ minh họa sau đây:

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’
d: x = -1 + t
y = 1 + 2t
z = -2 + 3t
và d’: x = 1 + 2t’
y = 5 + 4t’
z = 4 + 6t’
Lời giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u→ = (1; 2; 3) và đi qua M0 (-1; 1; -2)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương u’→ = (2; 4; 6) và đi qua M’0(1; 5; 4)

Ta có: u’→ = 2u→
=> u→ và u’→ cùng phương
=> d // d’ hoặc d trùng d’
Xét M0M’0→ = (2; 4; 6) = 2u→
=> M0M’0→ cùng phương với u→
=> M0 thuộc d’
Vậy d và d’ trùng nhau.

Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

d: x = t
y = 1 + t
z = 2 + 2t
và d’: x = 1 + 2t’
y = 2 + 2t’
z = 4 + 4t’

Lời giải:

Đường thẳng d có VTCP u→ = (1; 1; 2) và đi qua M0 (0; 1; 2)

Đường thẳng d’ có VTCP u’→ = (2; 2; 4) = 2 * (1; 1; 2)

=> u→ và u’→ cùng phương, do đó d // d’ hoặc d trùng d’

Điểm M0 (0; 1; 2) thuộc d. Thay tọa độ M0 vào phương trình d’:

0 = 1 + 2t’ (vô lý)

1 = 2 + 2t’ (vô lý)

2 = 4 + 4t’ (vô lý)

Nên hai đường thẳng d và d’ song song.

Ví dụ 3: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

d: x = t
y = t
z = -1 – t
và d’: x = t’
y = 9t’
z = t’

Lời giải:

Đường thẳng d có VTCP u→ = (1; 1; -1) và qua M0 (0; 0; -1)

Đường thẳng d’ có VTCP u’→ = (1; 9; 1) và đi qua M’0(0; 9; 0)

Ta có: u→ ≠ k * u’→

=> d cắt d’ hoặc d chéo d’.

Ta có: M0M’0→ = (0; 9; 1)

[[u→, u’→], M0M’0→] =
|(1, 1, -1), (1, 9, 1), (0, 9, 1)| = 1(11 – (-1)9) – 1(11 – (-1)0) + (-1)(19 – 1*0) = 10 – 1 – 9 = 0

Vậy d và d’ chéo nhau.

Ví dụ 4: Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

d: x = 1 + t
y = 2 + at
z = 3 + t
và d’: x = 4 + 2t’
y = 6 + 4t’
z = 5 + 2t’

Lời giải:

Đường thẳng d và d’ có VTCP lần lượt là u→ = (1; a; 1) và u’→ = (2; 4; 2)

Để d // d’ thì u→ = k * u’→ <=> (1; a; 1) = k(2; 4; 2) <=> 1 = 2k, a = 4k, 1 = 2k <=> k = 1/2 và a = 2

Khi đó đường thẳng d’ đi qua điểm N (4; 6; 5) và điểm N không thuộc d.

Vậy d // d’ khi và chỉ khi a = 2

Ví dụ 5: Xét vị trí tương đối của d và d’ biết: d: x=−1+2ty=1−tz=−2+3t và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P) : 2x – 3y – 3z – 9 = 0 và (P’): x – 2y + z + 3 = 0

Lời giải:

– Trước hết viết phương trình đường thẳng d’

M’ (x; y; z) thuộc d’ có tọa độ thỏa mãn hệ:

Chọn z = 0 => 1 điểm M’ thuộc d là (27; 15; 0)

Vectơ chỉ phương của d’ là

– đường thẳng d có vecto chỉ phương

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d1 cắt d2?

Lời giải:

+ Đường thẳng d1: đi qua A(1; 0; 1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d2: đi qua B(0; -2; -m) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau thì:

⇔ – 3.( -1) – 1( – 2) + 5( – m- 1) =0 ⇔ 3+ 2- 5m- 5= 0 ⇔ 5m= 0 ⇔ m= 0

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. Δ cắt d và Δ vuông góc với d.

B. Δ và d chéo nhau, Δ vuông góc với d.

C. Δ cắt d và Δ không vuông góc với d .

D. Δ và d chéo nhau nhưng không vuông góc.

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua A( 1; -1; 1) và có vecto chỉ phương .

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm B(1; 1; -1) có véctơ chỉ phương là .

+ Ta có

=> Hai vecto vuông góc với nhau. suy ra đường thẳng Δ vuông góc với d.

+ Mặt khác

Suy ra Δ và d chéo nhau.

Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng . Tìm m để hai đường thẳng đã cho chéo nhau?

A. m ≠ -1

B. m ≠ -10

C. m ≠ 10

D. m ≠ 12

Lời giải:

+ Đường thẳng d1 đi qua A( 2; 0;-1) và có vecto chỉ phương .

+ Đường thẳng d2 đi qua B( 0; m; – 1) và có vecto chỉ phương

+ Để hai đường thẳng đã cho chéo nhau khi và chỉ khi: ⇔ 10+ m ≠ 0 hay m ≠ -10

9. Bài Tập Tự Luyện Về Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau đây:

Bài 1. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

d: x=5+ty=atz=2−t; d’: x=1+2t’y=a+4t’z=2−2t’.

Bài 2. Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song: d: x=5+ty=atz=2−t; d’: x=1+2t’y=a+4t’z=2−2t’.

Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d1: x−13=y1=z−12 và d2: x1=y+22=z+m1. Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d1 cắt d2?

Bài 4. Trong hệ tọa độ không gian Oxyz, cho đường thẳng d1: x1=y+12=z1 và d2: x=ty=1−2tz=1+3t. Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng d1 và d2?

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: x=1+2ty=2−2tz=t và d’: x=−2ty=−5+3tz=4+t. Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng đã cho?

10. FAQ Về Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng Lớp 12

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là gì?
   • Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian mô tả mối quan hệ giữa chúng, bao gồm trùng nhau, song song, cắt nhau hoặc chéo nhau.
2. Làm thế nào để xác định hai đường thẳng có trùng nhau hay không?
   • Hai đường thẳng trùng nhau nếu chúng có cùng phương và có ít nhất một điểm chung.
3. Điều kiện để hai đường thẳng song song là gì?
   • Hai đường thẳng song song nếu chúng có cùng phương nhưng không có điểm chung.
4. Khi nào hai đường thẳng cắt nhau?
   • Hai đường thẳng cắt nhau nếu chúng không cùng phương và đồng phẳng (cùng nằm trong một mặt phẳng).
5. Thế nào là hai đường thẳng chéo nhau?
   • Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng, tức là không song song, không cắt nhau và không trùng nhau.
6. Công thức tính tích hỗn tạp của ba vectơ là gì?
   • Tích hỗn tạp của ba vectơ a→, b→, c→ được tính bằng công thức: [a→, b→, c→] = a→ . [b→ × c→].
7. Vectơ chỉ phương của đường thẳng là gì?
   • Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
8. Làm sao để tìm vectơ chỉ phương của một đường thẳng khi biết phương trình tham số của nó?
   • Nếu đường thẳng có phương trình tham số là x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct, thì vectơ chỉ phương của nó là u→ = (a; b; c).
9. Tại sao cần xét vectơ chỉ phương khi xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng?
   • Vectơ chỉ phương cho biết hướng của đường thẳng, giúp xác định xem hai đường thẳng có song song, trùng nhau hay cắt nhau hay không.
10. Nếu hai đường thẳng vuông góc thì có cắt nhau không?
    • Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Nếu chúng đồng phẳng, chúng cắt nhau; nếu không, chúng chéo nhau.

Với những kiến thức và bài tập mà Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) cung cấp, hy vọng bạn sẽ tự tin hơn khi giải các bài toán về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào hoặc cần thêm thông tin chi tiết, đừng ngần ngại liên hệ với chúng tôi qua Hotline: 0247 309 9988 hoặc truy cập trực tiếp trang web XETAIMYDINH.EDU.VN để được tư vấn và hỗ trợ tốt nhất. Địa chỉ của chúng tôi là Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội, rất hân hạnh được phục vụ quý khách.