**Làm Thế Nào Để Vẽ Đồ Thị Hàm Số Lớp 10 Dễ Hiểu Nhất?**

Bạn đang gặp khó khăn với việc Vẽ đồ Thị Hàm Số Lớp 10? Đừng lo lắng! Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ cung cấp cho bạn hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu nhất về cách vẽ đồ thị hàm số, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục môn Toán. Chúng tôi sẽ giúp bạn khám phá các kỹ thuật vẽ đồ thị, từ hàm số bậc nhất đến hàm số bậc hai, và cả những hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình khám phá thế giới đồ thị hàm số và làm chủ kỹ năng quan trọng này!

1. Tổng Quan Lý Thuyết Hàm Số Lớp 10

Trước khi bắt tay vào vẽ đồ thị hàm số lớp 10, điều quan trọng là bạn cần nắm vững những khái niệm cơ bản và kiến thức nền tảng về hàm số. Điều này giúp bạn hiểu rõ bản chất của đồ thị và vẽ chúng một cách chính xác hơn.

1.1. Định Nghĩa Hàm Số

Hàm số là một quy tắc xác định mối quan hệ giữa hai tập hợp, sao cho mỗi phần tử của tập hợp thứ nhất (gọi là tập xác định) tương ứng với một và chỉ một phần tử của tập hợp thứ hai (gọi là tập giá trị).

Định nghĩa chi tiết:

Cho D là tập con khác rỗng của tập số thực $mathbb{R}$. Hàm số f xác định trên tập D là một quy tắc cho tương ứng với mỗi số $x in D$ với một và chỉ một số thực y, gọi là giá trị của hàm số f tại x, ký hiệu là $y = f(x)$.

Tập xác định (D): Tập hợp tất cả các giá trị đầu vào (x) mà hàm số có thể nhận.
Biến số (x): Giá trị đầu vào của hàm số.
Giá trị hàm số (y): Giá trị đầu ra của hàm số, phụ thuộc vào giá trị của x.
Ký hiệu: $y = f(x)$ (đọc là “y bằng f của x”).

1.2. Xét Tính Biến Thiên của Hàm Số Lớp 10

Xét tính biến thiên của hàm số là xác định xem hàm số đó đồng biến (tăng) hay nghịch biến (giảm) trên một khoảng nào đó. Điều này giúp bạn hình dung được hình dạng của đồ thị hàm số.

Định nghĩa:

Xét hàm số $f(x)$ xác định trên tập D:

Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) khi: $forall x_1, x_2 in (a; b): x_1 < x_2 Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$. Điều này có nghĩa là khi x tăng, y cũng tăng.
Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) khi: $forall x_1, x_2 in (a; b): x_1 < x_2 Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$. Điều này có nghĩa là khi x tăng, y giảm.

Bảng biến thiên: Bảng biến thiên là một công cụ hữu ích để tóm tắt thông tin về tính biến thiên của hàm số. Nó thường bao gồm các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị (nếu có).

Bảng biến thiên giúp bạn tóm tắt thông tin về tính biến thiên của hàm số một cách trực quan

2. Hướng Dẫn Chi Tiết Cách Vẽ Đồ Thị Hàm Số Lớp 10

Có nhiều loại hàm số khác nhau, và mỗi loại có một cách vẽ đồ thị riêng. Dưới đây, Xe Tải Mỹ Đình sẽ hướng dẫn bạn cách vẽ đồ thị của một số loại hàm số cơ bản trong chương trình lớp 10.

2.1. Cách Vẽ Đồ Thị Hàm Số Bậc Nhất

Hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$, trong đó a và b là các hằng số và $a neq 0$. Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng.

Trường hợp 1: $y = ax$ (a ≠ 0)

Đồ thị hàm số $y = ax$ là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a).

Cách vẽ:

Xác định điểm A(1; a): Tìm tọa độ điểm A bằng cách thay x = 1 vào phương trình hàm số.
Nối O với A: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0) và A(1; a). Đường thẳng này chính là đồ thị của hàm số $y = ax$.

Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y=ax bằng cách xác định điểm A(1;a) và nối với gốc tọa độ

Lưu ý:

Đồ thị hàm số $y = x$ là đường phân giác của góc phần tư thứ I và III.
Đồ thị hàm số $y = -x$ là đường phân giác của góc phần tư thứ II và IV.

Trường hợp 2: $y = ax + b$ (a ≠ 0)

Đồ thị hàm số $y = ax + b$ là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.

Cách vẽ:

Xác định điểm M(0; b): Tìm tọa độ điểm M bằng cách thay x = 0 vào phương trình hàm số.
Vẽ đường thẳng đi qua M song song với đường thẳng y = ax: Đường thẳng này chính là đồ thị của hàm số $y = ax + b$. Hoặc bạn có thể tìm thêm một điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = -x + 3$.

a) Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành. Vẽ đồ thị hàm số.

b) Gọi A và B theo thứ tự là hai giao điểm nói trên. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ).

c) Gọi $alpha$ là góc nhọn tạo bởi đồ thị hàm số với trục Ox. Tính $tanalpha$ và suy ra số đo góc $alpha$.

d) Bằng đồ thị, tìm x để $y > 0$, $y le 0$.

Hướng dẫn giải:

a) Đồ thị cắt trục Oy tại A có:

$x = 0 Rightarrow y = -0 + 3 = 3 Rightarrow A(0; 3)$

Đồ thị cắt trục Ox tại B có:

$y = 0 Rightarrow 0 = -x + 3 Rightarrow x = 3 Rightarrow B(3; 0)$

Vẽ đồ thị hàm số y = -x + 3 bằng cách xác định giao điểm với trục tung và trục hoành

b) Ta có:

$S_{triangle OAB} = frac{1}{2}OA.OB = frac{1}{2}.3.3 = frac{9}{2}$

c) Xét:

$triangle OAB; widehat{OBA} = alpha$

$Rightarrow tanalpha = frac{OA}{OB} = frac{3}{3} = 1 Rightarrow alpha = 45^{o}$

d) Từ đồ thị suy ra:

$y > 0 Leftrightarrow x < 3$ ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục Ox.

$y le 0 Leftrightarrow x ge 3$ ứng với phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = ax – 3a$.

a) Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4). Vẽ đồ thị hàm số a vừa tìm được.

b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng tìm được ở phần a.

Hướng dẫn giải:

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4) khi và chỉ khi: $4 = a.0 – 3a = -4 Rightarrow a = -frac{4}{3}$

Vậy hàm số có dạng $y = -frac{4}{3}x + 4$

Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy thêm điểm B(3; 0)

Ví dụ về cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất khi biết một điểm thuộc đồ thị

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng AB.

Trong tam giác OAB vuông tại O, ta có:

$frac{1}{OH^{2}} = frac{1}{OA^{2}} + frac{1}{OB^{2}}$

$Leftrightarrow OH = frac{OA.OB}{sqrt{OA^{2} + OB^{2}}} = frac{4.3}{sqrt{4^2 + 3^2}} = frac{12}{5}$

2.2. Cách Vẽ Đồ Thị Hàm Số Bậc Hai

Hàm số bậc hai có dạng $y = ax^2 + bx + c$, trong đó a, b, và c là các hằng số và $a neq 0$. Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường parabol.

Cách 1: (Có thể dùng cho mọi trường hợp)

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh I: Tính tọa độ đỉnh I của parabol bằng công thức $Ileft(-frac{b}{2a}; -frac{Delta}{4a}right)$, trong đó $Delta = b^2 – 4ac$ là biệt số delta.
Bước 2: Vẽ trục đối xứng của đồ thị: Trục đối xứng của parabol là đường thẳng垂直 với trục hoành và đi qua đỉnh I, có phương trình là $x = -frac{b}{2a}$.
Bước 3: Xác định tọa độ các giao điểm của Parabol với trục tung và trục hoành (nếu có):
- Giao điểm với trục tung: Tìm tọa độ giao điểm bằng cách thay x = 0 vào phương trình hàm số.
- Giao điểm với trục hoành: Tìm tọa độ giao điểm bằng cách giải phương trình $ax^2 + bx + c = 0$. Số nghiệm của phương trình này cho biết số giao điểm của parabol với trục hoành.

Cách 2: (Sử dụng khi đồ thị hàm số có dạng $y = ax^2$)

Đồ thị hàm số bậc 2 $y = ax^2 + bx + c$ được suy ra từ đồ thị hàm $y = ax^2$ bằng cách:

Nếu $frac{b}{2a} > 0$ thì tịnh tiến song song với trục hoành $frac{b}{2a}$ đơn vị về phía bên trái, về bên phải nếu $frac{b}{2a} < 0$.
Nếu $-frac{Delta}{4a} > 0$ thì tịnh tiến song song với trục tung $-frac{Delta}{4a}$ đơn vị lên trên, xuống dưới nếu $-frac{Delta}{4a} < 0$.

Các yếu tố quan trọng để vẽ đồ thị hàm số bậc hai chính xác

Đồ thị hàm số bậc hai lớp 10 $y = ax^2 + bx + c (a neq 0)$ có đặc điểm là đường parabol với:

Đỉnh: $Ileft(-frac{b}{2a}; -frac{Delta}{4a}right)$
Trục đối xứng: Đường thẳng $x = -frac{b}{2a}$
Nếu a > 0: Phần lõm của parabol quay lên trên. Nếu a < 0: Phần lõm của parabol quay xuống dưới.
Giao điểm với trục tung: A(0; c)
Hoành độ giao điểm với trục hoành (nếu có): Là nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$.

Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số $y = x^2 + 3x + 2$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$-frac{b}{2a} = -frac{3}{2}, -frac{Delta}{4a} = -frac{1}{4}$

Bảng biến thiên của hàm số:

Bảng biến thiên giúp xác định hình dạng của đồ thị hàm số bậc hai

Vậy ta có thể suy ra: Đồ thị hàm số $y = x^2 + 3x + 2$ có đỉnh $Ileft(-frac{3}{2}; -frac{1}{4}right)$ và đi qua các điểm A(-2; 0), B(-1; 0), C(0; 2), D(-3; 2).

Đồ thị hàm số $y = x^2 + 3x + 2$ nhận đường $x = -frac{3}{2}$ làm trục đối xứng và có phần lõm hướng lên trên.

Vẽ đồ thị hàm số bậc hai dựa trên các yếu tố đã xác định

2.3. Cách Vẽ Đồ Thị Hàm Số Trị Tuyệt Đối Lớp 10

Để hiểu cách vẽ đồ thị hàm số lớp 10 dạng trị tuyệt đối, ta phân ra làm 3 trường hợp như sau:

Trường hợp 1: Đồ thị hàm số bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối $y = |f(x)|$

Cách 1: Dùng quy tắc phá dấu giá trị tuyệt đối rồi tiến hành vẽ.

Cách 2:

Vẽ đồ thị hàm số $y = f(x)$.
Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox của $y = f(x)$ (P1).
Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của $y = f(x)$ lên phía trên Ox ta được (P2).
Đồ thị $y = |f(x)|$ là P1 và P2.

Trường hợp 2: Đồ thị hàm số bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối $y = f(|x|)$

Các bước giải:

Vẽ đồ thị hàm số $y = f(x)$.
Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị bên phải Oy của $y = f(x)$.
Đồ thị $y = f(|x|)$ là phần bên phải và phần lấy đối xứng.

Trường hợp 3: Đồ thị hàm số bậc hai chứa trị tuyệt đối: $y = |ax^2 + bx + c|$

Để vẽ đồ thị hàm số bậc 2 chứa trị tuyệt đối $y = |ax^2 + bx + c|$, ta làm theo các bước sau:

Trước hết ta vẽ đồ thị (P): $y = ax^2 + bx + c$

Ta có:

$y = |ax^2 + bx + c| = begin{cases} ax^2 + bx + c, & ax^2 + bx + c ge 0 -(ax^2 + bx + c), & ax^2 + bx + c < 0 end{cases}$

Vậy đồ thị hàm số $y = |ax^2 + bx + c|$ bao gồm 2 phần:

Phần 1: Chính là đồ thị hàm số bậc 2 (P) lấy phần phía trên trục Ox.
Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (P) phía dưới trục Ox qua trục Ox.

Ví dụ: Vẽ các đồ thị hàm số sau:

a) $y = |x|$

b) $y = |x – 2|$

c) $y = |x – 1| + 2$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

Do đó, đồ thị hàm số là 2 tia OA với A(1; 1) và OB với B(-1; 1)

Đồ thị hàm số y = |x|

b) Ta có:

Do đó đồ thị hàm số là 2 tia IA với I(2; 0) và IB với B(0; 2)

Đồ thị hàm số y = |x – 2|

c) Ta có:

Do đó đồ thị hàm số là 2 tia IA với A(1; 2) và IB với B(0; 3).

Đồ thị hàm số y = |x – 1| + 2

3. Bài Tập Vận Dụng Cách Vẽ Đồ Thị Hàm Số Lớp 10

Để thành thạo cách vẽ đồ thị hàm số lớp 10, các em cùng Xe Tải Mỹ Đình luyện tập với bộ bài tập tự luận sau đây.

Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

Bài tập vẽ đồ thị các hàm số khác nhau

Hướng dẫn giải:

Với $x ge 0$ đồ thị hàm số $y = 2x$ là đường thẳng đi qua 2 điểm A(1; 2) và điểm O(0; 0) nằm phía bên phải của trục tung.

Với $x < 0$ thì $y = 0$.

Đồ thị hàm số y = 2x khi x lớn hơn hoặc bằng 0

Vẽ 2 đường $y = -3x + 3$ và đường $y = 3x – 3$ và lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành

Đồ thị hàm số có điều kiện

Bài 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

a) $y = 3x + 6$

b) $y = -frac{x}{2} + frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải:

Tập xác định: R, a = 3 > 0 => hàm số đồng biến trên R.

Lập bảng biến thiên:

Bảng biến thiên của hàm số bậc nhất

Đồ thị hàm số $y = 3x + 6$ đi qua 2 điểm A(-2; 0), B(0; 6).

Đồ thị hàm số bậc nhất y = 3x + 6

Tập xác định: D = R, a = (-1)/2 < 0 => Hàm số nghịch biến trên R.

Lập bảng biến thiên:

Bảng biến thiên của hàm số bậc nhất nghịch biến

Đồ thị hàm số $y = -frac{1}{2}x + frac{3}{2}$ đi qua 2 điểm A(3; 0), B(0; 3/2)

Đồ thị hàm số bậc nhất nghịch biến y = -1/2x + 3/2

Bài 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C) (hình vẽ)

a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên [-3; 3]

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên [-4; 2]

Đồ thị hàm số cho trước

Hướng dẫn giải:

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-3; 3]

Bảng biến thiên dựa trên đồ thị cho trước

Dựa vào đồ thị hàm số đề bài, ta có:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất dựa vào đồ thị

Bài 4: Vẽ đồ thị của những hàm số trị tuyệt đối sau đây:

a) y = |x| – 2

b) y = ||x| – 2|

Hướng dẫn giải:

Ta có 2 cách giải sau:

Cách 1: Ta có:

Vẽ đường thẳng $y = x – 2$ đi qua hai điểm A (0; -2), B (2; 0) và lấy phần đường thẳng bên phải của trục tung

Vẽ đường thẳng $y = -x – 2$ đi qua hai điểm A (0; -2), B (- 2; 0) và lấy phần đường thẳng bên trái của trục tung.

Cách 2: Đường thẳng $d: y = x – 2$ đi qua A (0; -2), B (2; 0).

Khi đó đồ thị của hàm số $y = |x| – 2$ là phần đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung.

Đồ thị hàm số y = |x| – 2