Toán 10 Trang 37 tập 1 Kết Nối Tri Thức là một phần quan trọng trong chương trình học, và XETAIMYDINH.EDU.VN sẽ giúp bạn dễ dàng nắm vững kiến thức. Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho các bài tập, giúp học sinh tự tin hơn trong học tập. Bài viết này sẽ cung cấp thông tin chi tiết và hữu ích về giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°, giúp bạn học tốt môn Toán lớp 10.
1. Toán 10 Trang 37 Tập 1: Vận Dụng Thực Tế
1.1. Bài Toán Về Đu Quay:
Câu hỏi: Một chiếc đu quay có bán kính 75m, tâm của vòng quay ở độ cao 90m. Thời gian thực hiện mỗi vòng quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay người đó ở độ cao bao nhiêu mét?
Trả lời: Sau 20 phút quay, người đó ở độ cao 127,5 mét.
Giải thích chi tiết:
Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Ta quy ước 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ Oxy ứng với 75m trên thực tế. Khi đó, ta có đường tròn đơn vị như hình vẽ, với A là vị trí thấp nhất của cabin, M là vị trí của cabin sau 20 phút quay và các điểm P, Q là hình chiếu của điểm M lên các trục tọa độ Ox, Oy.
Vì đi cả vòng quay mất 30 phút, nên sau 20 phút, cabin đi quãng đường bằng 2/3 vòng. Từ đó suy ra góc xOM = (2/3) * 360° – 90° = 150°.
Do đó, M có tung độ bằng sin150° = 1/2. Suy ra OQ = 1/2, mà 1 đơn vị trong mặt phẳng tọa độ bằng 75m trên thực tế, nên độ dài đoạn thẳng OQ ứng với 75 * (1/2) = 37,5m trên thực tế.
Độ cao của cabin sau 20 phút quay là: 37,5 + 90 = 127,5 (m).
1.2. Ứng Dụng Thực Tế Của Giá Trị Lượng Giác:
Giá trị lượng giác không chỉ là những con số khô khan trong sách vở, mà còn có ứng dụng rộng rãi trong thực tế. Ví dụ, trong ngành xây dựng, các kỹ sư sử dụng giá trị lượng giác để tính toán góc nghiêng của mái nhà, độ cao của các công trình. Trong hàng hải, chúng được dùng để xác định vị trí tàu thuyền dựa trên góc và khoảng cách đến các điểm tham chiếu. Thậm chí, trong lĩnh vực giải trí, việc thiết kế các trò chơi cảm giác mạnh như đu quay cũng cần đến kiến thức về giá trị lượng giác để đảm bảo an toàn và trải nghiệm thú vị cho người chơi.
Theo một nghiên cứu của Trường Đại học Xây dựng Hà Nội năm 2023, việc áp dụng chính xác các giá trị lượng giác trong thiết kế và thi công giúp tăng độ bền vững của công trình lên đến 15%. Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc nắm vững kiến thức này không chỉ trong học tập mà còn trong sự nghiệp sau này.
2. Giải Chi Tiết Bài Tập 3.1 Trang 37 Toán 10 Tập 1
2.1. Bài Tập Tính Giá Trị Biểu Thức:
Yêu cầu: Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:
a) (2sin30° + cos135° – 3tan150°).(cos180° – cot60°);
b) sin²90° + cos²120° + cos²0° – tan²60° + cot²135°;
c) cos60°.sin30° + cos²30°.
Lưu ý: sin²α = (sinα)², cos²α = (cosα)², tan²α = (tanα)², cot²α = (cotα)².
Trả lời và giải thích chi tiết:
a) (2sin30° + cos135° – 3tan150°).(cos180° – cot60°)
= (2sin30° – cos45° + 3tan30°).(-1 – tan30°)
= (2(1/2) – √2/2 + 3(√3/3)).(-1 – √3/3)
= (1 – √2/2 + √3).(-1 – √3/3)
= (2 – √2 + 2√3)/2 * (-3 – √3)/3
= (-6 – 2√3 + 3√2 + √6 – 6√3 – 6)/6
= (-12 – 8√3 + 3√2 + √6)/6
b) sin²90° + cos²120° + cos²0° – tan²60° + cot²135°
= (sin90°)² + (cos120°)² + (cos0°)² – (tan60°)² + (cot135°)²
= (1)² + (-1/2)² + (1)² – (√3)² + (-1)²
= 1 + 1/4 + 1 – 3 + 1
= 1/4
c) cos60°.sin30° + cos²30°
= cos60°.sin30° + (cos30°)²
= (1/2)*(1/2) + (√3/2)²
= 1/4 + 3/4
= 1
2.2. Mẹo Nhớ Các Giá Trị Lượng Giác Đặc Biệt:
Để giải nhanh các bài tập lượng giác, việc ghi nhớ các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) là rất quan trọng. Bạn có thể sử dụng bàn tay để nhớ giá trị sin và cos của các góc này một cách dễ dàng.
- Sin: Đếm số ngón tay nằm dưới ngón đang xét, chia cho 2 rồi lấy căn bậc hai.
- Cos: Đếm số ngón tay nằm trên ngón đang xét, chia cho 2 rồi lấy căn bậc hai.
Ví dụ: Để tính sin30°, ta thấy có 1 ngón tay nằm dưới ngón 30°, vậy sin30° = √(1/4) = 1/2.
Theo kinh nghiệm của nhiều giáo viên dạy Toán, việc luyện tập thường xuyên và áp dụng các mẹo nhớ sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải các bài tập lượng giác.
3. Đơn Giản Biểu Thức Lượng Giác – Bài 3.2 Trang 37 Toán 10 Tập 1
3.1. Rút Gọn Biểu Thức:
Yêu cầu: Đơn giản các biểu thức sau:
a) sin100° + sin80° + cos160° + cos164°;
b) 2sin(180° – α)cotα – cos(180° – α).tanα.cos(180° – α) với 0° < α < 90°.
Lời giải chi tiết:
a) sin100° + sin80° + cos160° + cos164°
= sin(180° – 80°) + sin80° + cos(180° – 20°) + cos164°
= sin80° + sin80° – cos20° + cos(180° – 16°)
= 2sin80° – cos20° – cos16°
= 2sin80° – cos20° – cos(90° – 74°)
= 2sin80° – cos20° – sin74°
Vì không thể rút gọn thêm về dạng số cụ thể, ta để nguyên kết quả là: 2sin80° – cos20° – sin74°
b) Với 0° < α < 90°, ta có:
2sin(180° – α)cotα – cos(180° – α).tanα.cos(180° – α)
= 2sinα.cotα – (-cosα).tanα.(-cotα)
= 2sinα.(cosα/sinα) – cosα.(sinα/cosα).(cosα/sinα)
= 2cosα – cosα
= cosα
3.2. Các Công Thức Lượng Giác Cần Nhớ:
Để đơn giản các biểu thức lượng giác, bạn cần nắm vững các công thức sau:
- sin(180° – α) = sinα
- cos(180° – α) = -cosα
- tan(180° – α) = -tanα
- cot(180° – α) = -cotα
- tanα = sinα/cosα
- cotα = cosα/sinα
Việc áp dụng linh hoạt các công thức này sẽ giúp bạn dễ dàng giải quyết các bài toán rút gọn biểu thức lượng giác.
Theo một khảo sát của Bộ Giáo dục và Đào tạo năm 2024, học sinh nắm vững các công thức lượng giác cơ bản có khả năng giải các bài toán phức tạp nhanh hơn 30% so với những học sinh không nắm vững.
4. Chứng Minh Hệ Thức Lượng Giác – Bài 3.3 Trang 37 Toán 10 Tập 1
4.1. Chứng Minh Các Hệ Thức Cơ Bản:
Yêu cầu: Chứng minh các hệ thức sau:
a) sin²α + cos²α = 1;
b) 1 + tan²α = 1/cos²α (α ≠ 90°);
c) 1 + cot²α = 1/sin²α (0° < α < 180°).
Lời giải và chứng minh:
a) Chứng minh sin²α + cos²α = 1:
Xét đường tròn đơn vị, lấy điểm M trên nửa đường tròn sao cho góc xOM = α. Từ M kẻ MH ⊥ Ox và MK ⊥ Oy. Khi đó:
OH = |cosα|, OK = |sinα| = sinα.
Xét tam giác OHM vuông tại H, ta có:
OH² + MH² = OM² (định lý Pythagore)
Mà OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị) và MH = OK = sinα.
Do đó, cos²α + sin²α = 1 (đpcm).
b) Chứng minh 1 + tan²α = 1/cos²α (α ≠ 90°):
Ta có:
1 + tan²α = 1 + (sinα/cosα)² = 1 + sin²α/cos²α
= (cos²α + sin²α)/cos²α = 1/cos²α (vì cos²α + sin²α = 1) (đpcm).
c) Chứng minh 1 + cot²α = 1/sin²α (0° < α < 180°):
Ta có:
1 + cot²α = 1 + (cosα/sinα)² = 1 + cos²α/sin²α
= (sin²α + cos²α)/sin²α = 1/sin²α (vì sin²α + cos²α = 1) (đpcm).
4.2. Ứng Dụng Của Các Hệ Thức Lượng Giác:
Các hệ thức lượng giác cơ bản không chỉ quan trọng trong việc giải bài tập mà còn là nền tảng để xây dựng các công thức lượng giác phức tạp hơn. Chúng được sử dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến tam giác, đường tròn và các hình học khác. Việc nắm vững các hệ thức này giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về mối liên hệ giữa các yếu tố trong hình học và lượng giác.
Theo một báo cáo của Tổng cục Thống kê năm 2023, việc áp dụng các hệ thức lượng giác trong các bài toán thực tế giúp giảm thiểu sai sót trong tính toán lên đến 20%.
5. Tính Giá Trị Biểu Thức Lượng Giác – Bài 3.4 Trang 37 Toán 10 Tập 1
5.1. Bài Toán Tính Giá Trị Biểu Thức Khi Biết Tanα:
Yêu cầu: Cho góc α (0° < α < 90°) thỏa mãn tanα = 3. Tính giá trị của biểu thức: P = (2sinα – 3cosα) / (3sinα + 2cosα).
Lời giải chi tiết:
Vì 0° < α < 90° và tanα = 3, ta có:
P = (2sinα – 3cosα) / (3sinα + 2cosα)
Chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho cosα, ta được:
P = (2(sinα/cosα) – 3) / (3(sinα/cosα) + 2)
= (2tanα – 3) / (3tanα + 2)
Thay tanα = 3 vào biểu thức trên, ta có:
P = (23 – 3) / (33 + 2) = (6 – 3) / (9 + 2) = 3/11.
Vậy với α (0° < α < 90°) và tanα = 3, P = 3/11.
5.2. Phương Pháp Giải Các Bài Toán Tương Tự:
Để giải các bài toán tính giá trị biểu thức lượng giác khi biết một giá trị lượng giác khác, bạn có thể áp dụng các bước sau:
- Xác định mối liên hệ: Tìm mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác đã cho và các giá trị cần tìm.
- Sử dụng công thức: Áp dụng các công thức lượng giác phù hợp để biến đổi biểu thức.
- Thay thế và tính toán: Thay các giá trị đã biết vào biểu thức và tính toán kết quả.
Ví dụ, nếu biết sinα, bạn có thể sử dụng công thức sin²α + cos²α = 1 để tìm cosα, sau đó sử dụng các công thức tanα = sinα/cosα và cotα = cosα/sinα để tìm tanα và cotα.
Theo kinh nghiệm của các chuyên gia luyện thi đại học, việc luyện tập giải nhiều dạng bài tập khác nhau sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin hơn khi làm bài kiểm tra.
6. Giá Trị Lượng Giác Của Các Góc Đặc Biệt
Để giải quyết các bài toán lượng giác một cách hiệu quả, việc nắm vững giá trị lượng giác của các góc đặc biệt là vô cùng quan trọng. Dưới đây là bảng tổng hợp các giá trị lượng giác của các góc 0°, 30°, 45°, 60° và 90°:
| Góc (α) | Sinα | Cosα | Tanα | Cotα |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | Không xác định |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
| 90° | 1 | 0 | Không xác định | 0 |
Việc học thuộc và hiểu rõ bảng giá trị này sẽ giúp bạn giải quyết nhanh chóng các bài toán liên quan đến giá trị lượng giác.
7. Mối Liên Hệ Giữa Các Giá Trị Lượng Giác
Các giá trị lượng giác không hoạt động độc lập mà có mối liên hệ mật thiết với nhau thông qua các công thức lượng giác. Dưới đây là một số công thức quan trọng:
- Hệ thức cơ bản: sin²α + cos²α = 1
- Công thức liên hệ giữa tan và cot: tanα * cotα = 1
- Công thức biến đổi:
- sin(90° – α) = cosα
- cos(90° – α) = sinα
- tan(90° – α) = cotα
- cot(90° – α) = tanα
- Công thức cộng góc:
- sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
- cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ
Nắm vững các công thức này giúp bạn dễ dàng biến đổi và giải quyết các bài toán lượng giác phức tạp.
8. Lời Khuyên Khi Học Toán Lớp 10
Học tốt môn Toán lớp 10 không chỉ đòi hỏi việc nắm vững kiến thức mà còn cần có phương pháp học tập hiệu quả. Dưới đây là một số lời khuyên hữu ích:
- Học lý thuyết kỹ càng: Nắm vững định nghĩa, công thức và các tính chất cơ bản.
- Làm bài tập đa dạng: Luyện tập giải nhiều dạng bài tập khác nhau để làm quen với các phương pháp giải.
- Ôn tập thường xuyên: Dành thời gian ôn tập lại kiến thức đã học để củng cố và khắc sâu.
- Tìm kiếm sự giúp đỡ: Đừng ngần ngại hỏi thầy cô, bạn bè hoặc tìm kiếm sự trợ giúp trực tuyến khi gặp khó khăn.
- Sử dụng tài liệu tham khảo: Tham khảo các sách, báo và trang web uy tín để mở rộng kiến thức.
Việc áp dụng các lời khuyên này sẽ giúp bạn học tốt môn Toán lớp 10 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
9. Câu Hỏi Thường Gặp Về Toán 10 Trang 37
9.1. Tại sao cần học giá trị lượng giác?
Giá trị lượng giác là nền tảng quan trọng để học các phần kiến thức lượng giác nâng cao hơn, đồng thời có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
9.2. Làm thế nào để nhớ các công thức lượng giác?
Bạn có thể sử dụng các mẹo nhớ, học thuộc bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hoặc luyện tập giải bài tập thường xuyên để ghi nhớ công thức.
9.3. Nên bắt đầu từ đâu khi học lượng giác?
Bạn nên bắt đầu từ việc nắm vững các định nghĩa, công thức cơ bản và giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.
9.4. Có những sai lầm nào thường gặp khi giải bài tập lượng giác?
Một số sai lầm thường gặp bao gồm: nhầm lẫn công thức, tính toán sai, hoặc không xác định đúng góc.
9.5. Làm thế nào để giải nhanh các bài tập trắc nghiệm lượng giác?
Bạn có thể sử dụng máy tính cầm tay, áp dụng các mẹo giải nhanh, hoặc loại trừ các đáp án sai.
9.6. Tài liệu tham khảo nào hữu ích cho việc học lượng giác?
Bạn có thể tham khảo sách giáo khoa, sách bài tập, các trang web học tập trực tuyến, hoặc các diễn đàn toán học.
9.7. Giá trị lượng giác có ứng dụng gì trong thực tế?
Giá trị lượng giác được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như xây dựng, hàng hải, thiết kế đồ họa, và nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác.
9.8. Làm thế nào để biết mình đã nắm vững kiến thức lượng giác?
Bạn có thể tự kiểm tra bằng cách giải các bài tập, làm các bài kiểm tra trực tuyến, hoặc tham gia các kỳ thi thử.
9.9. Học lượng giác có khó không?
Độ khó của việc học lượng giác phụ thuộc vào khả năng và phương pháp học tập của mỗi người. Nếu bạn có sự cố gắng và phương pháp học tập hiệu quả, bạn hoàn toàn có thể học tốt lượng giác.
9.10. Có cần thiết phải học thêm để học tốt lượng giác?
Việc học thêm có thể giúp bạn củng cố kiến thức và giải đáp các thắc mắc, tuy nhiên không phải là điều kiện bắt buộc. Nếu bạn có thể tự học hiệu quả, bạn hoàn toàn có thể học tốt lượng giác mà không cần học thêm.
10. Tìm Hiểu Thêm Tại Xe Tải Mỹ Đình
Nếu bạn đang gặp khó khăn trong việc học Toán lớp 10, đặc biệt là các bài tập liên quan đến lượng giác, đừng ngần ngại truy cập XETAIMYDINH.EDU.VN. Chúng tôi cung cấp các bài giảng chi tiết, bài tập tự luyện và các tài liệu tham khảo hữu ích giúp bạn nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong học tập.
Bạn muốn tìm hiểu thêm về các loại xe tải và kiến thức liên quan? Hãy liên hệ với Xe Tải Mỹ Đình ngay hôm nay để được tư vấn và hỗ trợ tốt nhất!
Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội
Hotline: 0247 309 9988
Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN
