Toán 10 Bài 3 về bất phương trình bậc nhất hai ẩn đôi khi gây khó khăn cho nhiều học sinh, nhưng đừng lo lắng, Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề này một cách dễ dàng. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết, dễ hiểu nhất về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải mọi bài tập. Bên cạnh đó, bạn sẽ hiểu rõ hơn về biểu diễn miền nghiệm, cách xác định nghiệm và ứng dụng thực tế của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
1. Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Là Gì?
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất đẳng thức có dạng ax + by + c < 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≤ 0 hoặc ax + by + c ≥ 0, trong đó a, b, và c là các số thực, với a và b không đồng thời bằng 0, còn x và y là các ẩn số. Việc hiểu rõ định nghĩa này rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan, đặc biệt khi áp dụng vào các bài tập thực tế.
1.1. Dạng Tổng Quát Của Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát như sau:
- ax + by + c < 0
- ax + by + c > 0
- ax + by + c ≤ 0
- ax + by + c ≥ 0
Trong đó:
- x, y là hai ẩn số.
- a, b, c là các hệ số, với a và b không đồng thời bằng 0.
Ví dụ: 2x + 3y > 5, x – y ≤ 1, -x + 4y ≥ 0 là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
1.2. Nghiệm Của Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là cặp số (x₀, y₀) sao cho khi thay x = x₀ và y = y₀ vào bất phương trình, ta được một khẳng định đúng.
Ví dụ: Xét bất phương trình x + y > 3. Cặp số (2, 2) là một nghiệm của bất phương trình này vì 2 + 2 = 4 > 3. Tuy nhiên, cặp số (1, 1) không phải là nghiệm vì 1 + 1 = 2 < 3.
1.3. Điều Kiện Để Một Bất Phương Trình Là Bậc Nhất Hai Ẩn
Để một bất phương trình được xem là bậc nhất hai ẩn, nó phải thỏa mãn các điều kiện sau:
- Chỉ chứa hai ẩn số (thường là x và y).
- Bậc của mỗi ẩn số phải là 1.
- Không chứa các biểu thức chứa xy, x², y², √x, √y, hoặc các hàm số lượng giác của x và y.
- Các hệ số a và b không đồng thời bằng 0.
1.4. Phân Biệt Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Với Các Dạng Khác
Để phân biệt bất phương trình bậc nhất hai ẩn với các dạng khác, cần chú ý các điểm sau:
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn: Chỉ chứa một ẩn số, ví dụ: x + 5 > 0.
- Bất phương trình bậc hai hai ẩn: Chứa các số hạng có bậc 2, ví dụ: x² + y² ≤ 4.
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Gồm nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ví dụ: {x + y > 1, x – y < 2}.
2. Biểu Diễn Miền Nghiệm Của Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Trên Mặt Phẳng Tọa Độ
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ là một kỹ năng quan trọng. Nó giúp ta hình dung rõ ràng tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình.
2.1. Đường Thẳng ax + by + c = 0
Đường thẳng ax + by + c = 0 là ranh giới chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng này (không bao gồm đường thẳng) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0 hoặc ax + by + c < 0. Nếu bất phương trình có dấu ≤ hoặc ≥, miền nghiệm bao gồm cả đường thẳng.
2.2. Các Bước Biểu Diễn Miền Nghiệm
Để biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ, ta thực hiện các bước sau:
- Vẽ đường thẳng ax + by + c = 0:
- Tìm hai điểm thuộc đường thẳng. Chẳng hạn, cho x = 0 tìm y, và cho y = 0 tìm x.
- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm vừa tìm được. Đường thẳng này được vẽ bằng nét liền nếu bất phương trình có dấu ≤ hoặc ≥, và vẽ bằng nét đứt nếu bất phương trình có dấu < hoặc >.
- Xác định miền nghiệm:
- Chọn một điểm M(x₀, y₀) không nằm trên đường thẳng (thường chọn gốc tọa độ O(0, 0) nếu đường thẳng không đi qua gốc tọa độ).
- Thay tọa độ của điểm M vào bất phương trình.
- Nếu bất phương trình đúng, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm M. Nếu bất phương trình sai, miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm M.
- Tô đậm miền nghiệm:
- Tô đậm nửa mặt phẳng là miền nghiệm. Nếu bất phương trình có dấu < hoặc >, miền nghiệm không bao gồm đường thẳng, ta có thể gạch bỏ đường thẳng để biểu thị điều này.
2.3. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ 4 trên mặt phẳng tọa độ.
-
Vẽ đường thẳng 2x + y = 4:
- Cho x = 0, ta được y = 4. Điểm A(0, 4).
- Cho y = 0, ta được x = 2. Điểm B(2, 0).
- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B bằng nét liền (vì bất phương trình có dấu ≤).
-
Xác định miền nghiệm:
- Chọn điểm O(0, 0). Thay vào bất phương trình, ta được 2(0) + 0 = 0 ≤ 4. Bất phương trình đúng.
- Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ O.
-
Tô đậm miền nghiệm:
- Tô đậm nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ O, bao gồm cả đường thẳng 2x + y = 4.
2.4. Các Trường Hợp Đặc Biệt
- Nếu đường thẳng đi qua gốc tọa độ, ta chọn một điểm khác không nằm trên đường thẳng để xác định miền nghiệm.
- Nếu bất phương trình có dạng x > a hoặc x < a, miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên phải hoặc bên trái đường thẳng x = a.
- Nếu bất phương trình có dạng y > b hoặc y < b, miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên trên hoặc bên dưới đường thẳng y = b.
3. Ứng Dụng Của Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng, mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong đời sống và các lĩnh vực khác.
3.1. Trong Kinh Tế
Trong kinh tế, bất phương trình bậc nhất hai ẩn được sử dụng để mô hình hóa các bài toán tối ưu hóa, chẳng hạn như bài toán phân bổ nguồn lực, bài toán sản xuất.
Ví dụ: Một xưởng sản xuất có hai loại sản phẩm A và B. Để sản xuất một sản phẩm A cần 2 giờ làm việc của máy I và 1 giờ làm việc của máy II. Để sản xuất một sản phẩm B cần 1 giờ làm việc của máy I và 3 giờ làm việc của máy II. Máy I có tối đa 10 giờ làm việc, máy II có tối đa 12 giờ làm việc. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tối đa hóa lợi nhuận?
Bài toán này có thể được mô hình hóa bằng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, từ đó tìm ra phương án sản xuất tối ưu.
3.2. Trong Quy Hoạch Tuyến Tính
Quy hoạch tuyến tính là một lĩnh vực của toán học ứng dụng, sử dụng các mô hình toán học để giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một công cụ quan trọng trong quy hoạch tuyến tính.
Ví dụ: Một công ty vận tải cần vận chuyển hàng hóa từ hai kho A và B đến hai địa điểm C và D. Chi phí vận chuyển từ A đến C là 10 nghìn đồng/tấn, từ A đến D là 15 nghìn đồng/tấn, từ B đến C là 12 nghìn đồng/tấn, từ B đến D là 18 nghìn đồng/tấn. Kho A có 100 tấn hàng, kho B có 120 tấn hàng. Địa điểm C cần 80 tấn hàng, địa điểm D cần 140 tấn hàng. Hỏi công ty cần vận chuyển bao nhiêu tấn hàng từ mỗi kho đến mỗi địa điểm để chi phí vận chuyển là thấp nhất?
Bài toán này có thể được giải quyết bằng phương pháp quy hoạch tuyến tính, sử dụng các bất phương trình bậc nhất hai ẩn để mô tả các ràng buộc về lượng hàng hóa và chi phí vận chuyển.
3.3. Trong Bài Toán Thực Tế
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn cũng xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế khác, chẳng hạn như:
- Bài toán dinh dưỡng: Xác định lượng thức ăn cần thiết để đảm bảo đủ dinh dưỡng với chi phí thấp nhất.
- Bài toán pha chế: Xác định tỷ lệ các chất cần pha trộn để đạt được một hỗn hợp có chất lượng mong muốn.
- Bài toán đầu tư: Phân bổ vốn đầu tư vào các kênh khác nhau để tối đa hóa lợi nhuận.
3.4. Ví Dụ Cụ Thể Về Ứng Dụng
Một hộ nông dân có 10 ha đất trồng lúa và ngô. Trồng 1 ha lúa cần 20 ngày công và thu được 4 triệu đồng lợi nhuận. Trồng 1 ha ngô cần 30 ngày công và thu được 5 triệu đồng lợi nhuận. Hộ nông dân có tối đa 240 ngày công. Hỏi hộ nông dân cần trồng bao nhiêu ha lúa và ngô để lợi nhuận là lớn nhất?
Gọi x là số ha lúa và y là số ha ngô. Ta có bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
- Hàm mục tiêu: Lợi nhuận = 4x + 5y (cần tối đa hóa)
- Các ràng buộc:
- x + y ≤ 10 (tổng diện tích không vượt quá 10 ha)
- 20x + 30y ≤ 240 (tổng số ngày công không vượt quá 240 ngày)
- x ≥ 0, y ≥ 0 (diện tích không âm)
Giải bài toán này, ta sẽ tìm được phương án trồng lúa và ngô sao cho lợi nhuận là lớn nhất.
4. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Và Cách Giải
Trong chương trình Toán 10, có một số dạng bài tập bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường gặp. Nắm vững cách giải các dạng bài tập này sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài kiểm tra và bài thi.
4.1. Xác Định Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Bài toán: Cho các bất phương trình sau, hãy xác định bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
- x + y > 3
- x² + y ≤ 5
- 2x – y ≥ 0
- xy + x < 1
- x – 3y ≤ 2
Cách giải:
- x + y > 3: Là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (thỏa mãn các điều kiện).
- x² + y ≤ 5: Không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn (chứa x²).
- 2x – y ≥ 0: Là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (thỏa mãn các điều kiện).
- xy + x < 1: Không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn (chứa xy).
- x – 3y ≤ 2: Là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (thỏa mãn các điều kiện).
4.2. Kiểm Tra Một Cặp Số Có Phải Là Nghiệm Của Bất Phương Trình
Bài toán: Cho bất phương trình 3x – 2y < 6. Hỏi cặp số (2, 1) và (3, 0) có phải là nghiệm của bất phương trình không?
Cách giải:
- Với cặp số (2, 1): Thay x = 2 và y = 1 vào bất phương trình, ta được 3(2) – 2(1) = 6 – 2 = 4 < 6. Vậy (2, 1) là nghiệm của bất phương trình.
- Với cặp số (3, 0): Thay x = 3 và y = 0 vào bất phương trình, ta được 3(3) – 2(0) = 9 – 0 = 9 > 6. Vậy (3, 0) không phải là nghiệm của bất phương trình.
4.3. Biểu Diễn Miền Nghiệm Trên Mặt Phẳng Tọa Độ
Bài toán: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x – y > 2 trên mặt phẳng tọa độ.
Cách giải:
- Vẽ đường thẳng x – y = 2:
- Cho x = 0, ta được y = -2. Điểm A(0, -2).
- Cho y = 0, ta được x = 2. Điểm B(2, 0).
- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B bằng nét đứt (vì bất phương trình có dấu >).
- Xác định miền nghiệm:
- Chọn điểm O(0, 0). Thay vào bất phương trình, ta được 0 – 0 = 0 > 2. Bất phương trình sai.
- Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ O.
- Tô đậm miền nghiệm:
- Tô đậm nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ O.
4.4. Bài Toán Thực Tế
Bài toán: Một cửa hàng bán hai loại áo sơ mi: loại A giá 150 nghìn đồng/chiếc và loại B giá 200 nghìn đồng/chiếc. Cửa hàng cần bán ít nhất 50 chiếc áo và thu về ít nhất 9 triệu đồng. Gọi x là số áo loại A và y là số áo loại B. Viết hệ bất phương trình mô tả bài toán.
Cách giải:
- Tổng số áo bán được: x + y ≥ 50
- Tổng số tiền thu được: 150x + 200y ≥ 9000 (đơn vị: nghìn đồng)
- Số áo không âm: x ≥ 0, y ≥ 0
Vậy hệ bất phương trình là:
- x + y ≥ 50
- 150x + 200y ≥ 9000
- x ≥ 0
- y ≥ 0
5. Các Lưu Ý Quan Trọng Khi Giải Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Khi giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn, có một số lưu ý quan trọng cần ghi nhớ để tránh sai sót và đạt kết quả chính xác.
5.1. Xác Định Đúng Dạng Bất Phương Trình
Trước khi bắt đầu giải, hãy chắc chắn rằng bạn đã xác định đúng dạng của bất phương trình. Kiểm tra xem nó có phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn hay không, và xác định các hệ số a, b, c.
5.2. Vẽ Đường Thẳng Đúng Cách
Khi biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ, việc vẽ đường thẳng ax + by + c = 0 đúng cách là rất quan trọng. Hãy tìm ít nhất hai điểm thuộc đường thẳng và vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.
5.3. Xác Định Miền Nghiệm Chính Xác
Sau khi vẽ đường thẳng, cần xác định miền nghiệm một cách chính xác. Chọn một điểm không nằm trên đường thẳng (thường là gốc tọa độ) và thay vào bất phương trình. Nếu bất phương trình đúng, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm đó. Nếu bất phương trình sai, miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm đó.
5.4. Lưu Ý Đến Dấu Của Bất Phương Trình
Dấu của bất phương trình (>, <, ≥, ≤) quyết định việc miền nghiệm có bao gồm đường thẳng hay không. Nếu bất phương trình có dấu ≥ hoặc ≤, miền nghiệm bao gồm cả đường thẳng. Nếu bất phương trình có dấu > hoặc <, miền nghiệm không bao gồm đường thẳng.
5.5. Kiểm Tra Lại Kết Quả
Sau khi giải xong, hãy kiểm tra lại kết quả bằng cách chọn một vài điểm trong miền nghiệm và thay vào bất phương trình. Nếu tất cả các điểm đều thỏa mãn bất phương trình, kết quả của bạn có khả năng là chính xác.
6. Mẹo Học Tốt Toán 10 Bài 3 Về Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Để học tốt Toán 10 bài 3 về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, bạn có thể áp dụng một số mẹo sau:
6.1. Học Kỹ Lý Thuyết
Nắm vững định nghĩa, dạng tổng quát, nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hiểu rõ cách biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ và các trường hợp đặc biệt.
6.2. Làm Nhiều Bài Tập
Thực hành giải nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Làm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác.
6.3. Tìm Hiểu Các Ứng Dụng Thực Tế
Tìm hiểu các ứng dụng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong kinh tế, quy hoạch tuyến tính và các bài toán thực tế khác. Điều này giúp bạn hiểu rõ hơn về ý nghĩa của kiến thức và có động lực học tập hơn.
6.4. Sử Dụng Các Công Cụ Hỗ Trợ
Sử dụng các công cụ hỗ trợ học tập như phần mềm vẽ đồ thị, máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả và giải các bài toán phức tạp.
6.5. Học Nhóm
Học nhóm với bạn bè để trao đổi kiến thức, giải đáp thắc mắc và cùng nhau tiến bộ.
7. Giải Đáp Các Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)
Dưới đây là một số câu hỏi thường gặp về bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải đáp chi tiết:
7.1. Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Là Gì?
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất đẳng thức có dạng ax + by + c < 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≤ 0 hoặc ax + by + c ≥ 0, trong đó a, b, và c là các số thực, với a và b không đồng thời bằng 0, còn x và y là các ẩn số.
7.2. Nghiệm Của Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Là Gì?
Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là cặp số (x₀, y₀) sao cho khi thay x = x₀ và y = y₀ vào bất phương trình, ta được một khẳng định đúng.
7.3. Làm Sao Để Biểu Diễn Miền Nghiệm Của Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Trên Mặt Phẳng Tọa Độ?
- Vẽ đường thẳng ax + by + c = 0.
- Chọn một điểm không nằm trên đường thẳng và thay vào bất phương trình.
- Xác định miền nghiệm dựa trên kết quả thay điểm.
- Tô đậm miền nghiệm.
7.4. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Là Gì?
- Xác định bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Kiểm tra một cặp số có phải là nghiệm của bất phương trình.
- Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.
- Giải bài toán thực tế.
7.5. Các Lưu Ý Quan Trọng Khi Giải Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Là Gì?
- Xác định đúng dạng bất phương trình.
- Vẽ đường thẳng đúng cách.
- Xác định miền nghiệm chính xác.
- Lưu ý đến dấu của bất phương trình.
- Kiểm tra lại kết quả.
7.6. Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Có Ứng Dụng Gì Trong Thực Tế?
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có ứng dụng trong kinh tế (bài toán phân bổ nguồn lực, sản xuất), quy hoạch tuyến tính (bài toán vận tải, tối ưu hóa chi phí), và nhiều bài toán thực tế khác (dinh dưỡng, pha chế, đầu tư).
7.7. Làm Sao Để Học Tốt Toán 10 Bài 3 Về Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn?
- Học kỹ lý thuyết.
- Làm nhiều bài tập.
- Tìm hiểu các ứng dụng thực tế.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ.
- Học nhóm.
7.8. Làm Sao Để Phân Biệt Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Với Các Dạng Khác?
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn chỉ chứa một ẩn số.
- Bất phương trình bậc hai hai ẩn chứa các số hạng có bậc 2.
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
7.9. Tại Sao Cần Biểu Diễn Miền Nghiệm Của Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Trên Mặt Phẳng Tọa Độ?
Việc biểu diễn miền nghiệm giúp ta hình dung rõ ràng tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình, từ đó giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng hơn.
7.10. Có Những Sai Lầm Nào Thường Gặp Khi Giải Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn?
- Không xác định đúng dạng bất phương trình.
- Vẽ đường thẳng sai.
- Xác định miền nghiệm sai.
- Không lưu ý đến dấu của bất phương trình.
- Không kiểm tra lại kết quả.
8. Kết Luận
Qua bài viết này, Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) hy vọng bạn đã nắm vững kiến thức về toán 10 bài 3: bất phương trình bậc nhất hai ẩn, từ định nghĩa, cách giải đến các ứng dụng thực tế. Hãy nhớ luyện tập thường xuyên và áp dụng các mẹo học tập để đạt kết quả tốt nhất. Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại liên hệ với chúng tôi để được tư vấn và giải đáp. Chúc bạn thành công trên con đường chinh phục kiến thức!
Bạn đang tìm kiếm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về các loại xe tải, giá cả, địa điểm mua bán uy tín và dịch vụ sửa chữa chất lượng ở Mỹ Đình, Hà Nội? Bạn lo ngại về chi phí vận hành, bảo trì và các vấn đề pháp lý liên quan đến xe tải? Bạn gặp khó khăn trong việc lựa chọn loại xe tải phù hợp với nhu cầu và ngân sách của mình? Hãy đến với Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) để được cung cấp thông tin chi tiết và cập nhật về các loại xe tải có sẵn, so sánh giá cả và thông số kỹ thuật giữa các dòng xe, tư vấn lựa chọn xe phù hợp, giải đáp các thắc mắc liên quan đến thủ tục mua bán, đăng ký và bảo dưỡng xe tải.
Liên hệ ngay với Xe Tải Mỹ Đình để được tư vấn và giải đáp mọi thắc mắc!
- Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội
- Hotline: 0247 309 9988
- Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN
