Tính Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn Như Thế Nào?

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có thể được tính dễ dàng nếu bạn nắm vững công thức. Xe Tải Mỹ Đình sẽ giúp bạn hiểu rõ cách tính tổng này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất, đồng thời khám phá những ứng dụng thú vị của nó trong thực tế, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán. Tìm hiểu ngay để làm chủ kiến thức này!

1. Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn Là Gì?

Cấp số nhân lùi vô hạn là một dãy số vô hạn, trong đó mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi, gọi là công bội, và giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1. Hiểu một cách đơn giản, đây là cấp số nhân mà các số hạng của nó ngày càng tiến gần đến 0.

Định nghĩa chính xác:

Một cấp số nhân (u_n) được gọi là lùi vô hạn nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Là một cấp số nhân, tức là tồn tại một số q sao cho u_n+1 = q * u_n với mọi n ≥ 1. Số q này được gọi là công bội của cấp số nhân.
• |q| < 1, tức là giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1.

Ví dụ:

• 1, 1/2, 1/4, 1/8, … (công bội q = 1/2)
• 3, -3/2, 3/4, -3/8, … (công bội q = -1/2)
• 5, 5/3, 5/9, 5/27, … (công bội q = 1/3)

Tại sao lại gọi là “lùi vô hạn”?

Sở dĩ gọi là “lùi vô hạn” vì khi |q| < 1, các số hạng của cấp số nhân sẽ ngày càng nhỏ hơn về giá trị tuyệt đối và tiến dần đến 0 khi n tiến đến vô cùng. Điều này tạo cảm giác như dãy số đang “lùi” về điểm 0 ở vô cực.

Ý nghĩa của cấp số nhân lùi vô hạn:

Cấp số nhân lùi vô hạn không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng, mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như:

• Vật lý: Mô tả sự suy giảm của các hiện tượng vật lý theo thời gian (ví dụ: sự phân rã phóng xạ).
• Kinh tế: Tính toán giá trị hiện tại của một khoản tiền nhận được trong tương lai.
• Toán học: Giải các bài toán về giới hạn, tích phân, và chuỗi số.

1.1. Điều Kiện Để Một Cấp Số Nhân Là Lùi Vô Hạn?

Để một cấp số nhân (u_n) là lùi vô hạn, cần đáp ứng đồng thời hai điều kiện sau:

1. Phải là một cấp số nhân: Điều này có nghĩa là phải tồn tại một số q (công bội) sao cho u_n+1 = q * u_n với mọi n ≥ 1. Nói cách khác, tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp phải là một hằng số.
2. Giá trị tuyệt đối của công bội phải nhỏ hơn 1: Tức là |q| < 1. Điều này đảm bảo rằng các số hạng của cấp số nhân sẽ ngày càng nhỏ đi và tiến dần đến 0 khi n tiến đến vô cùng.

Ví dụ minh họa:

• Cấp số nhân 2, 4, 8, 16, … không phải là lùi vô hạn vì công bội q = 2 (không thỏa mãn |q| < 1).
• Cấp số nhân 1, -1, 1, -1, … không phải là lùi vô hạn vì công bội q = -1 (không thỏa mãn |q| < 1).
• Cấp số nhân 1, 1/2, 1/4, 1/8, … là lùi vô hạn vì nó là cấp số nhân với công bội q = 1/2 (thỏa mãn |q| < 1).

Kiểm tra một cấp số nhân có phải là lùi vô hạn hay không:

Để kiểm tra một cấp số nhân cho trước có phải là lùi vô hạn hay không, bạn có thể thực hiện các bước sau:

1. Xác định công bội q: Chia một số hạng bất kỳ (trừ số hạng đầu tiên) cho số hạng đứng ngay trước nó. Nếu tỷ số này là một hằng số, thì dãy số là một cấp số nhân và hằng số đó chính là công bội q.
2. Kiểm tra điều kiện |q| < 1: Tính giá trị tuyệt đối của công bội q. Nếu |q| < 1, thì cấp số nhân là lùi vô hạn. Ngược lại, nếu |q| ≥ 1, thì cấp số nhân không phải là lùi vô hạn.

1.2. Công Thức Tính Tổng Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

Công thức tính tổng S của một cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với số hạng đầu u₁ và công bội q (|q| < 1) như sau:

S = u₁ / (1 – q)

Giải thích công thức:

• u₁: Là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
• q: Là công bội của cấp số nhân (tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp).
• 1 – q: Là mẫu số, đảm bảo rằng tổng S sẽ hội tụ về một giá trị hữu hạn khi |q| < 1.

Tại sao công thức này lại đúng?

Công thức trên có thể được chứng minh bằng cách sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân:

S_n = u₁ * (1 – qⁿ) / (1 – q)

Khi n tiến đến vô cùng và |q| < 1, thì qⁿ sẽ tiến đến 0. Do đó:

S = lim (n→∞) S_n = u₁ / (1 – q)

Lưu ý quan trọng:

Công thức trên chỉ áp dụng cho cấp số nhân lùi vô hạn, tức là khi |q| < 1. Nếu |q| ≥ 1, thì tổng của cấp số nhân sẽ không hội tụ về một giá trị hữu hạn và công thức trên không có nghĩa.

Ví dụ minh họa:

Tính Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn: 1, 1/2, 1/4, 1/8, …

• u₁ = 1
• q = 1/2

Áp dụng công thức:

S = 1 / (1 – 1/2) = 1 / (1/2) = 2

Vậy tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này là 2.

1.3. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

Các bài tập về cấp số nhân lùi vô hạn thường xoay quanh việc áp dụng công thức tính tổng và các tính chất của cấp số nhân để giải quyết các vấn đề khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

1. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn khi biết u₁ và q:

   • Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu bạn áp dụng trực tiếp công thức S = u₁ / (1 – q) để tính tổng.
   • Ví dụ: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có u₁ = 3 và q = 1/3.

2. Tìm u₁ hoặc q khi biết tổng S và một trong hai giá trị còn lại:

   • Dạng bài tập này yêu cầu bạn biến đổi công thức S = u₁ / (1 – q) để tìm u₁ hoặc q.
   • Ví dụ: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S = 4 và công bội q = 1/2. Tìm số hạng đầu u₁.

3. Xác định một cấp số nhân có phải là lùi vô hạn hay không:

   • Dạng bài tập này yêu cầu bạn kiểm tra xem một cấp số nhân cho trước có thỏa mãn điều kiện |q| < 1 hay không.
   • Ví dụ: Cho cấp số nhân 2, 4, 8, 16, … Hỏi đây có phải là cấp số nhân lùi vô hạn hay không?

4. Bài tập liên quan đến ứng dụng thực tế:

   • Dạng bài tập này yêu cầu bạn áp dụng kiến thức về cấp số nhân lùi vô hạn để giải quyết các vấn đề thực tế trong các lĩnh vực như vật lý, kinh tế, …
   • Ví dụ: Một quả bóng rơi từ độ cao 10m. Mỗi lần chạm đất, nó nảy lên độ cao bằng 3/4 độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường mà quả bóng đi được cho đến khi dừng lại.

5. Bài tập tổng hợp:

   • Dạng bài tập này kết hợp nhiều kiến thức khác nhau về cấp số nhân, cấp số cộng, giới hạn, … để tạo ra các bài toán phức tạp hơn.
   • Ví dụ: Cho hai cấp số nhân (u_n) và (v_n) có cùng công bội q (|q| < 1). Biết u₁ = 1, v₁ = 2 và tổng của hai cấp số nhân là 5. Tìm q.

Lời khuyên:

• Nắm vững định nghĩa và điều kiện để một cấp số nhân là lùi vô hạn.
• Thuộc công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
• Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau để làm quen với các dạng bài tập và rèn luyện kỹ năng giải toán.

2. Ứng Dụng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn không chỉ là một khái niệm toán học thuần túy, mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau của đời sống và khoa học. Dưới đây là một số ví dụ điển hình:

2.1. Trong Toán Học

• Tính giới hạn của các biểu thức: Cấp số nhân lùi vô hạn được sử dụng để tính giới hạn của các biểu thức có dạng phân số hoặc căn thức, đặc biệt là khi biểu thức có chứa các số hạng tiến đến 0.
• Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn: Mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. Ví dụ, số 0.333… có thể được viết dưới dạng 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …
• Giải các bài toán về diện tích và thể tích: Trong hình học, cấp số nhân lùi vô hạn có thể được sử dụng để tính diện tích của các hình fractal hoặc thể tích của các vật thể có cấu trúc phức tạp.

2.2. Trong Vật Lý

• Mô tả sự suy giảm của các hiện tượng vật lý: Nhiều hiện tượng vật lý, như sự phân rã phóng xạ, sự dao động tắt dần, hoặc sự truyền nhiệt, có thể được mô tả bằng các hàm số mũ giảm dần, có liên quan mật thiết đến cấp số nhân lùi vô hạn.
• Tính toán các đại lượng vật lý trong các hệ thống tuần hoàn: Trong một số hệ thống vật lý tuần hoàn, như mạch điện xoay chiều, cấp số nhân lùi vô hạn có thể được sử dụng để tính toán các đại lượng như dòng điện, điện áp, hoặc công suất.

2.3. Trong Kinh Tế

• Tính giá trị hiện tại của một khoản tiền: Khi bạn nhận được một khoản tiền trong tương lai, giá trị của khoản tiền đó ở thời điểm hiện tại sẽ thấp hơn do ảnh hưởng của lạm phát và lãi suất. Cấp số nhân lùi vô hạn được sử dụng để tính giá trị hiện tại của khoản tiền đó, bằng cách chiết khấu giá trị tương lai về thời điểm hiện tại.
• Phân tích đầu tư: Các nhà đầu tư thường sử dụng cấp số nhân lùi vô hạn để đánh giá giá trị của một dự án đầu tư, bằng cách tính tổng giá trị hiện tại của tất cả các dòng tiền mà dự án đó tạo ra trong tương lai.
• Mô hình hóa tăng trưởng kinh tế: Một số mô hình tăng trưởng kinh tế sử dụng cấp số nhân lùi vô hạn để mô tả sự tăng trưởng của sản lượng, thu nhập, hoặc dân số theo thời gian.

2.4. Trong Các Lĩnh Vực Khác

• Khoa học máy tính: Cấp số nhân lùi vô hạn được sử dụng trong các thuật toán tìm kiếm, sắp xếp, và nén dữ liệu.
• Sinh học: Mô tả sự tăng trưởng của quần thể sinh vật hoặc sự lan truyền của dịch bệnh.
• Âm nhạc: Tạo ra các hiệu ứng âm thanh đặc biệt, như tiếng vang hoặc tiếng vọng.

Nhìn chung, cấp số nhân lùi vô hạn là một công cụ toán học mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của đời sống và khoa học. Việc nắm vững kiến thức về cấp số nhân lùi vô hạn sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về thế giới xung quanh và giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả hơn.

2.5. Ví Dụ Cụ Thể Về Ứng Dụng Thực Tế

Để hiểu rõ hơn về ứng dụng của cấp số nhân lùi vô hạn, chúng ta hãy xem xét một số ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1: Tính tổng quãng đường đi được của một quả bóng nảy

Một quả bóng được thả từ độ cao h. Mỗi khi chạm đất, nó nảy lên độ cao bằng k lần độ cao trước đó (0 < k < 1). Tính tổng quãng đường mà quả bóng đi được cho đến khi dừng lại.

Giải:

• Quãng đường đi xuống lần đầu: h
• Quãng đường đi lên lần đầu: kh
• Quãng đường đi xuống lần thứ hai: kh
• Quãng đường đi lên lần thứ hai: k²h
• …

Tổng quãng đường đi được:

S = h + 2kh + 2k²h + 2k³h + …

S = h + 2h(k + k² + k³ + …)

Dãy số k + k² + k³ + … là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là k và công bội là k. Do đó, tổng của cấp số nhân này là:

k / (1 – k)

Vậy tổng quãng đường đi được của quả bóng là:

S = h + 2h [k / (1 – k)] = h (1 + k) / (1 – k)

Ví dụ 2: Tính giá trị hiện tại của một khoản tiền nhận được trong tương lai

Bạn sẽ nhận được 100 triệu đồng mỗi năm trong vòng 5 năm tới. Lãi suất chiết khấu là 10%/năm. Tính giá trị hiện tại của khoản tiền này.

Giải:

• Giá trị hiện tại của 100 triệu đồng nhận được sau 1 năm: 100 / (1 + 0.1)
• Giá trị hiện tại của 100 triệu đồng nhận được sau 2 năm: 100 / (1 + 0.1)²
• Giá trị hiện tại của 100 triệu đồng nhận được sau 3 năm: 100 / (1 + 0.1)³
• Giá trị hiện tại của 100 triệu đồng nhận được sau 4 năm: 100 / (1 + 0.1)⁴
• Giá trị hiện tại của 100 triệu đồng nhận được sau 5 năm: 100 / (1 + 0.1)⁵

Tổng giá trị hiện tại của khoản tiền là:

S = 100 / (1 + 0.1) + 100 / (1 + 0.1)² + 100 / (1 + 0.1)³ + 100 / (1 + 0.1)⁴ + 100 / (1 + 0.1)⁵

Đây là tổng của 5 số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với số hạng đầu là 100 / (1 + 0.1) và công bội là 1 / (1 + 0.1). Tuy nhiên, nếu chúng ta giả sử rằng bạn sẽ nhận được 100 triệu đồng mỗi năm mãi mãi, thì đây sẽ là một cấp số nhân lùi vô hạn và tổng của nó có thể được tính bằng công thức:

S = u₁ / (1 – q) = [100 / (1 + 0.1)] / [1 – 1 / (1 + 0.1)] = 100 / 0.1 = 1000 triệu đồng

Lưu ý rằng đây chỉ là một ví dụ đơn giản và trong thực tế, việc tính toán giá trị hiện tại của một khoản tiền có thể phức tạp hơn do nhiều yếu tố khác như lạm phát, rủi ro, …

3. Các Bài Toán Ví Dụ Về Tính Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, dưới đây là một số bài toán ví dụ minh họa:

Bài toán 1:

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có u₁ = 4 và công bội q = 1/2. Tính tổng S của cấp số nhân này.

Giải:

Áp dụng công thức S = u₁ / (1 – q), ta có:

S = 4 / (1 – 1/2) = 4 / (1/2) = 8

Vậy tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này là 8.

Bài toán 2:

Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S = 6 và số hạng đầu u₁ = 3. Tìm công bội q của cấp số nhân này.

Giải:

Áp dụng công thức S = u₁ / (1 – q), ta có:

6 = 3 / (1 – q)

Suy ra:

1 – q = 3 / 6 = 1/2

q = 1 – 1/2 = 1/2

Vậy công bội của cấp số nhân lùi vô hạn này là 1/2.

Bài toán 3:

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có u₁ = 1 và u₂ = 1/3. Tính tổng S của cấp số nhân này.

Giải:

Để tính tổng S, ta cần tìm công bội q của cấp số nhân. Ta có:

q = u₂ / u₁ = (1/3) / 1 = 1/3

Áp dụng công thức S = u₁ / (1 – q), ta có:

S = 1 / (1 – 1/3) = 1 / (2/3) = 3/2

Vậy tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này là 3/2.

Bài toán 4:

Một quả bóng được thả từ độ cao 8m. Mỗi lần chạm đất, nó nảy lên độ cao bằng 2/3 độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường mà quả bóng đi được cho đến khi dừng lại.

Giải:

Đây là một bài toán ứng dụng thực tế của cấp số nhân lùi vô hạn. Như đã giải thích ở trên, tổng quãng đường đi được của quả bóng là:

S = h * (1 + k) / (1 – k)

Trong đó h là độ cao ban đầu (8m) và k là tỷ lệ nảy lên (2/3). Thay số vào, ta có:

S = 8 (1 + 2/3) / (1 – 2/3) = 8 (5/3) / (1/3) = 8 * 5 = 40

Vậy tổng quãng đường mà quả bóng đi được là 40m.

Bài toán 5:

Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0.777… dưới dạng phân số.

Giải:

Số 0.777… có thể được viết dưới dạng tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn:

0. 777… = 7/10 + 7/100 + 7/1000 + …

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 7/10 và công bội q = 1/10. Áp dụng công thức S = u₁ / (1 – q), ta có:

S = (7/10) / (1 – 1/10) = (7/10) / (9/10) = 7/9

Vậy số thập phân vô hạn tuần hoàn 0.777… có thể được biểu diễn dưới dạng phân số 7/9.

Lời khuyên:

Khi giải các bài toán về cấp số nhân lùi vô hạn, bạn nên:

• Đọc kỹ đề bài và xác định rõ các thông tin đã cho (u₁, q, S, …).
• Áp dụng đúng công thức S = u₁ / (1 – q) và các công thức liên quan.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

4. Các Lưu Ý Quan Trọng Khi Tính Tổng Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

Khi tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, bạn cần lưu ý một số điểm quan trọng sau để tránh sai sót và đảm bảo kết quả chính xác:

4.1. Điều Kiện Hội Tụ

• Kiểm tra điều kiện |q| < 1: Đây là điều kiện tiên quyết để một cấp số nhân có tổng hữu hạn. Nếu |q| ≥ 1, thì tổng của cấp số nhân sẽ không hội tụ và không thể tính được bằng công thức S = u₁ / (1 – q).
• Hiểu rõ ý nghĩa của điều kiện: Điều kiện |q| < 1 đảm bảo rằng các số hạng của cấp số nhân sẽ ngày càng nhỏ đi và tiến dần đến 0 khi n tiến đến vô cùng. Điều này giúp cho tổng của cấp số nhân không bị “vượt quá” một giá trị hữu hạn.

4.2. Xác Định Đúng Số Hạng Đầu Và Công Bội

• Xác định chính xác u₁: Số hạng đầu tiên u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân, không phải là một số hạng nào khác.
• Tính toán công bội q cẩn thận: Công bội q là tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Bạn có thể tính q bằng cách chia một số hạng bất kỳ (trừ số hạng đầu tiên) cho số hạng đứng ngay trước nó. Đảm bảo rằng bạn đã tính toán q một cách chính xác, đặc biệt là khi cấp số nhân có các số hạng âm.

4.3. Phân Biệt Giữa Tổng Của N Số Hạng Đầu Tiên Và Tổng Vô Hạn

• Sử dụng đúng công thức: Công thức S = u₁ / (1 – q) chỉ áp dụng cho tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Nếu bạn muốn tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, bạn phải sử dụng công thức khác: S_n = u₁ * (1 – qⁿ) / (1 – q).
• Hiểu rõ sự khác biệt: Tổng của n số hạng đầu tiên là một giá trị hữu hạn, trong khi tổng vô hạn là giới hạn của tổng của n số hạng đầu tiên khi n tiến đến vô cùng.

4.4. Ứng Dụng Thực Tế

• Xem xét các yếu tố khác: Trong các bài toán ứng dụng thực tế, bạn cần xem xét các yếu tố khác có thể ảnh hưởng đến kết quả, như lạm phát, rủi ro, hoặc các điều kiện ràng buộc khác.
• Đảm bảo tính hợp lý của kết quả: Kết quả của bài toán phải hợp lý và có ý nghĩa trong ngữ cảnh thực tế. Ví dụ, nếu bạn tính tổng quãng đường đi được của một quả bóng nảy và kết quả là một số âm, thì chắc chắn bạn đã mắc lỗi ở đâu đó.

4.5. Sử Dụng Máy Tính Hoặc Phần Mềm

• Kiểm tra kết quả: Bạn có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm để kiểm tra kết quả của mình, đặc biệt là trong các bài toán phức tạp.
• Sử dụng các công cụ trực tuyến: Có nhiều công cụ trực tuyến giúp bạn tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Ví dụ:

Tính tổng của cấp số nhân 1, 2, 4, 8,…

Ở đây, q = 2 > 1, nên cấp số nhân này không phải là lùi vô hạn và không có tổng.

Lưu ý:

Việc nắm vững các lưu ý trên sẽ giúp bạn tránh được những sai sót thường gặp và tự tin hơn khi giải các bài toán về cấp số nhân lùi vô hạn.

5. FAQ – Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

Dưới đây là một số câu hỏi thường gặp về cấp số nhân lùi vô hạn, cùng với các câu trả lời chi tiết và dễ hiểu:

Câu hỏi 1: Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

Trả lời: Cấp số nhân lùi vô hạn là một dãy số vô hạn, trong đó mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi (công bội), và giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1.

Câu hỏi 2: Điều kiện để một cấp số nhân là lùi vô hạn là gì?

Trả lời: Một cấp số nhân (u_n) là lùi vô hạn nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Là một cấp số nhân, tức là tồn tại một số q sao cho u_n+1 = q * u_n với mọi n ≥ 1.
• |q| < 1, tức là giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1.

Câu hỏi 3: Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

Trả lời: Công thức tính tổng S của một cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với số hạng đầu u₁ và công bội q (|q| < 1) là: S = u₁ / (1 – q).

Câu hỏi 4: Tại sao cần điều kiện |q| < 1 để tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn?

Trả lời: Điều kiện |q| < 1 đảm bảo rằng các số hạng của cấp số nhân sẽ ngày càng nhỏ đi và tiến dần đến 0 khi n tiến đến vô cùng. Điều này giúp cho tổng của cấp số nhân không bị “vượt quá” một giá trị hữu hạn và hội tụ về một giá trị cụ thể.

Câu hỏi 5: Công thức S = u₁ / (1 – q) có áp dụng được cho mọi cấp số nhân không?

Trả lời: Không, công thức này chỉ áp dụng cho cấp số nhân lùi vô hạn, tức là khi |q| < 1. Nếu |q| ≥ 1, thì tổng của cấp số nhân sẽ không hội tụ và công thức trên không có nghĩa.

Câu hỏi 6: Cấp số nhân lùi vô hạn có ứng dụng gì trong thực tế?

Trả lời: Cấp số nhân lùi vô hạn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, như toán học, vật lý, kinh tế, khoa học máy tính, sinh học, âm nhạc, … Ví dụ, nó được sử dụng để tính giới hạn của các biểu thức, biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn, mô tả sự suy giảm của các hiện tượng vật lý, tính giá trị hiện tại của một khoản tiền, …

Câu hỏi 7: Làm thế nào để xác định công bội q của một cấp số nhân?

Trả lời: Bạn có thể tính công bội q bằng cách chia một số hạng bất kỳ (trừ số hạng đầu tiên) cho số hạng đứng ngay trước nó. Nếu tỷ số này là một hằng số, thì dãy số là một cấp số nhân và hằng số đó chính là công bội q.

Câu hỏi 8: Nếu biết tổng S và công bội q của một cấp số nhân lùi vô hạn, làm thế nào để tìm số hạng đầu u₁?

Trả lời: Bạn có thể biến đổi công thức S = u₁ / (1 – q) để tìm u₁: u₁ = S * (1 – q).

Câu hỏi 9: Nếu biết hai số hạng liên tiếp của một cấp số nhân lùi vô hạn, làm thế nào để tính tổng S?

Trả lời: Bạn có thể sử dụng hai số hạng liên tiếp để tính công bội q, sau đó sử dụng công bội q và một trong hai số hạng để tính số hạng đầu u₁. Cuối cùng, bạn có thể áp dụng công thức S = u₁ / (1 – q) để tính tổng S.

Câu hỏi 10: Có công cụ trực tuyến nào giúp tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn không?

Trả lời: Có, có nhiều công cụ trực tuyến giúp bạn tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn một cách nhanh chóng và dễ dàng. Bạn có thể tìm kiếm trên Google với các từ khóa như “infinite geometric series calculator” hoặc “sum of infinite geometric series calculator”.

6. Luyện Tập Thêm Về Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán về cấp số nhân lùi vô hạn, bạn nên luyện tập thêm các bài tập sau:

Bài tập 1:

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

• a) 2, 1, 1/2, 1/4, …
• b) 6, -2, 2/3, -2/9, …
• c) 1, 1/√2, 1/2, 1/(2√2), …

Bài tập 2:

Tìm số hạng đầu u₁ của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

• a) S = 10, q = 1/5
• b) S = -8, q = -1/4
• c) S = 3/2, q = 1/3

Bài tập 3:

Tìm công bội q của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

• a) S = 5, u₁ = 2
• b) S = -4, u₁ = 1
• c) S = 7/3, u₁ = 1

Bài tập 4:

Một quả bóng được thả từ độ cao 12m. Mỗi lần chạm đất, nó nảy lên độ cao bằng 1/3 độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường mà quả bóng đi được cho đến khi dừng lại.

Bài tập 5:

Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

• a) 0.444…
• b) 0.121212…
• c) 0.363636…

Bài tập 6:

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có u₁ = a và u₂ = b. Chứng minh rằng tổng S của cấp số nhân này là S = a² / (a – b).

Bài tập 7:

Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 8%/năm. Giả sử lãi suất không đổi trong suốt thời gian gửi và người đó không rút tiền ra. Tính tổng số tiền (cả gốc và lãi) mà người đó nhận được sau vô số năm.

Bài tập 8:

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Gọi A₁B₁C₁ là tam giác đều có đỉnh là trung điểm của các cạnh của tam giác ABC. Tiếp tục như vậy, ta được dãy các tam giác đều A_nB_nC_n. Tính tổng diện tích của tất cả các tam giác đều này.

Bài tập 9:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi A₁B₁C₁D₁ là hình vuông có đỉnh là trung điểm của các cạnh của hình vuông ABCD. Tiếp tục như vậy, ta được dãy các hình vuông A_nB_nC_nD_n. Tính tổng chu vi của tất cả các hình vuông này.

Bài tập 10:

Tìm giá trị của x để tổng của cấp số nhân 1 + x + x² + x³ + … bằng 3.

Lời khuyên:

• Giải các bài tập trên một cách cẩn thận và tỉ mỉ.
• Sử dụng các công thức và kiến thức đã học để giải các bài tập.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
• Nếu gặp khó khăn, hãy tham khảo lời giải hoặc hỏi ý kiến của thầy cô giáo hoặc bạn bè.

7. Xe Tải Mỹ Đình – Địa Chỉ Tin Cậy Cho Mọi Nhu Cầu Về Xe Tải

Bạn đang tìm kiếm một chiếc xe tải chất lượng, giá cả hợp lý và dịch vụ chuyên nghiệp? Hãy đến với Xe Tải Mỹ Đình! Chúng tôi tự hào là đơn vị hàng đầu trong lĩnh vực cung cấp các loại xe tải đa dạng, từ xe tải nhẹ đến xe tải nặng, đáp ứng mọi nhu cầu vận chuyển của quý khách hàng.

Tại sao nên chọn Xe Tải Mỹ Đình?

• Uy tín và kinh nghiệm: Với nhiều năm kinh nghiệm trong ngành, Xe Tải Mỹ Đình đã xây dựng được uy tín vững chắc trên thị trường, được đông đảo khách hàng tin tưởng và lựa chọn.
• Sản phẩm chất lượng: Chúng tôi chỉ cung cấp các loại xe tải chính hãng, được nhập khẩu từ các thương hiệu nổi tiếng trên thế giới, đảm bảo chất lượng, độ bền và hiệu suất hoạt động cao.
• Giá cả cạnh tranh: Xe Tải Mỹ Đình cam kết mang đến cho khách hàng mức giá tốt nhất trên thị trường, cùng với nhiều chương trình khuyến mãi hấp dẫn.
• Dịch vụ chuyên nghiệp: Đội ngũ nhân viên giàu kinh nghiệm, nhiệt tình và chu đáo của chúng tôi luôn sẵn sàng tư vấn, hỗ trợ khách hàng lựa chọn được chiếc xe tải phù hợp nhất với nhu cầu và ngân sách của mình.
• Hỗ trợ sau bán hàng: Chúng tôi cung cấp dịch vụ bảo hành, bảo dưỡng và sửa chữa xe tải chuyên nghiệp, đảm bảo xe của bạn luôn hoạt động ổn định và hiệu quả.

Các dịch vụ của Xe Tải Mỹ Đình:

• Bán xe tải: Cung cấp các loại xe tải mới và xe tải đã qua sử dụng với đa dạng tải trọng, chủng loại và thương hiệu.
• Cho thuê xe tải: Cho thuê xe tải theo ngày, tuần, tháng hoặc năm với giá cả hợp lý.
• Sửa chữa xe tải: Sửa chữa, bảo dưỡng và thay thế phụ tùng xe tải chính hãng.
• Tư vấn mua xe tải: Tư vấn