Bạn đang tìm kiếm phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đặc biệt là mặt phẳng (SBC)? Bài viết này của Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ hướng dẫn bạn chi tiết cách xác định và tính toán khoảng cách đó, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả. Chúng tôi sẽ trình bày các phương pháp sử dụng hình chiếu, ví dụ minh họa, và bài tập vận dụng, cùng với lời giải chi tiết để bạn dễ dàng tiếp thu. Đồng thời, bài viết cũng cung cấp các thông tin liên quan đến hình học không gian và ứng dụng thực tế của việc tính khoảng cách.
1. Ý Định Tìm Kiếm Của Người Dùng Khi Tìm Kiếm Về “Tính Khoảng Cách Từ A Đến SBC”
- Phương pháp tính khoảng cách: Người dùng muốn tìm hiểu các phương pháp khác nhau để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Ví dụ minh họa: Người dùng muốn xem các ví dụ cụ thể về cách áp dụng các phương pháp tính khoảng cách trong các bài toán hình học không gian.
- Bài tập vận dụng: Người dùng muốn có các bài tập để luyện tập và củng cố kiến thức về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Ứng dụng thực tế: Người dùng muốn biết về các ứng dụng thực tế của việc tính khoảng cách trong các lĩnh vực khác nhau.
- Công thức tính khoảng cách: Người dùng muốn tìm hiểu công thức tổng quát để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
2. Phương Pháp Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Mặt Phẳng (Sử Dụng Hình Chiếu)
Để tính khoảng cách từ một điểm, ví dụ điểm A, đến một mặt phẳng (α), việc quan trọng nhất là xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (α). Dưới đây là phương pháp giải chi tiết:
Cho trước: SA vuông góc với Δ, trong đó S thuộc (α) và Δ nằm trong (α).
Bước 1: Dựng AK vuông góc với Δ, suy ra Δ vuông góc với (SAK), do đó (α) vuông góc với (SAK) và (α) giao (SAK) = SK.
Bước 2: Dựng AP vuông góc với SK, suy ra AP vuông góc với (α), do đó d(A, (α)) = AP.
3. Ví Dụ Minh Họa Cách Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Mặt Phẳng
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về phương pháp trên, Xe Tải Mỹ Đình xin đưa ra một số ví dụ minh họa cụ thể:
3.1. Ví Dụ 1:
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a. Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
- Gọi M là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.
- Ta có BC vuông góc với AM (trong tam giác đều, đường trung tuyến đồng thời là đường cao) và BC vuông góc với SA (vì SA vuông góc với (ABC)). Nên BC vuông góc với (SAM), suy ra BC vuông góc với AH.
Vì AH vuông góc với SM, do đó AH vuông góc với (SBC).
Chọn đáp án C.
3.2. Ví Dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với CD, AD vuông góc với CD.
Suy ra (SAD) vuông góc với CD.
Trong (SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H.
Khi đó AH vuông góc với (SCD).
Chọn đáp án C.
3.3. Ví Dụ 3:
Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến (ABC) bằng bao nhiêu?
A. 2a B. a√3 C. a D. a√5
Hướng dẫn giải:
- Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Do tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- Ta có: SA = SB = SC và OA = OB = OC nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó SO vuông góc với (ABC)
Chọn đáp án C.
3.4. Ví Dụ 4:
Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a√3, AB = a√3. Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Kẻ AH vuông góc SB
Ta có:
Lại có: AH vuông góc SB nên AH vuông góc (SBC)
⇒ d(A; (SBC)) = AH
Trong tam giác vuông SAB ta có:
3.5. Ví Dụ 5:
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Kẻ AH vuông góc SD
Ta có: nên CD vuông góc (SAD) ⇒ CD vuông góc AH (1)
Lại có; AH vuông góc SD (2)
Từ (1); (2) ⇒ AH vuông góc (SCD) và d(A, (SCD)) = AH
Trong tam giác vuông SAD ta có:
3.6. Ví Dụ 6:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
- Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra: OA = OB = OC (do tam giác ABC là tam giác đều)
Lại có: SA = SB = SC (vì S.ABC là hình chóp đều)
⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO vuông góc (ABC) và SO = a√3
- Gọi M là trung điểm của BC
Kẻ OH vuông góc SM, ta có
nên suy ra d(O; (SBC)) = OH.
Ta có: OM = (1/3).AM = (a√3)/3
Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:
4. Bài Tập Vận Dụng
Để giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng, Xe Tải Mỹ Đình xin giới thiệu một số bài tập vận dụng sau:
Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến (BCD) bằng:
Lời giải:
Chọn B
Gọi O là trọng tâm tam giác BCD
⇒ OB = OC = OD (do tam giác BCD là tam giác đều)
Lại có: AB = AC = AD = a
⇒ AO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
⇒ AO vuông góc (BCD)
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) là:
Lời giải:
Chọn C
- Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ OK vuông góc BC (K ∈ BC)
- Mà BC vuông góc SO nên suy ra hai mặt phẳng (SOK) và (SBC) vuông góc nhau theo giao tuyến SK.
- Trong mặt phẳng (SOK), kẻ OH vuông góc SK (H ∈ SK)
Suy ra: OH vuông góc (SBC) ⇒ d(O, (SBC)) = OH
-
Xét mp(ABCD) có:
-
xét tam giác SOK vuông tại O ta có:
Câu 3: Cho hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60°; tam giác ABC cân tại C, tam giác ABD cân ở D. Đường cao DM của tam giác ABD bằng 12 cm. Khoảng cách từ D đến (ABC) bằng
A. 3√3 cm B. 6√3 cm C. 6 cm D. 6√2 cm
Lời giải:
- Gọi M là trung điểm AB.
Do tam giác ABC cân tại C và tam giác ABD cân tại D nên CM vuông góc AB; DM vuông góc AB suy ra: AB vuông góc (CDM)
- Do hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60° nên ∠CMD = 60°
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên CM
⇒ DH = d(D, (ABC))
Xét tam giác DHM có:
DH = DM.Sin 60° = 6√3
Chọn đáp án B
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách từ A đến (B’CD’) bằng
Lời giải:
Ta có: AB’ = AC = AD’ = B’D’ = B’C = CD’ = a√2
⇒ Tứ diện AB’CD’ là tứ diện đều.
Gọi I là trung điểm B’C và G là trọng tâm tam giác B’CD’.
Ta có : AC = AD’ = AB’ và GB’ = GC = GD’
nên AG vuông góc (B’CD’)
Khi đó ta có: d(A , (B’CD’)) = AG
Vì tam giác B’CD’ đều cạnh a√2 nên
Theo tính chất trọng tâm ta có:
Trong tam giác vuông AGD’ có:
Chọn C
Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = a. Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45°. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy (ABC).
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), vì mặt bên (SBC) vuông góc với (ABC) nên H ∈ BC
Dựng HI vuông góc AB, HJ vuông góc AC, theo đề bài ta có ∠SIH = ∠SJH = 45°.
Do đó: ΔSHI = ΔSHJ (cạnh góc vuông – góc nhọn)
Suy ra : HI = HJ
Lại có ∠B = ∠C = 45° ⇒ ΔBIH = ΔCJH ⇒ HB = HC
Vậy H trùng với trung điểm của BC
Từ đó ta có HI là đường trung bình của tam giác ABC nên HI = AC/2 = a/2
Tam giác SHI vuông tại H và có ∠SIH = 45° ⇒ ΔSHI vuông cân.
Do đó: SH = HI = a/2
Chọn đáp án A
Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b, cạnh đáy bằng d, với d
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của BC và H là trọng tâm tam giác ABC.
Do S.ABC là hình chóp đều nên SH vuông góc (ABC) ⇒ d(S, (ABC)) = SH
Chọn C
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách từ A1 đến mặt phẳng (C1D1M) bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Gọi N là trung điểm cạnh DD1 và
Ta có: ΔA1ND1 = ΔD1MD (c.g.c)
Chọn đáp án A
Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng:
A. 4a B. 3a C. a D. 2a
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Do S.ABC là hình chóp đều nên SG vuông góc (ABC)
Tam giác SAG vuông tại G có:
Chọn đáp án C
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a√2. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên:
Lời giải:
Chọn B
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và M là trung điểm của CD
Do hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO vuông góc (ABCD)
Kẻ OH vuông góc SM, ta có:
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc ∠BAD = 120°, đường cao SO = a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).
Lời giải:
Vì hình thoi ABCD có ∠BAD bằng 120° nên ∠ABC = 60°
⇒ tam giác ABC đều cạnh a.
Kẻ đường cao AM của tam giác ABC ⇒ AM = a√3/2
Kẻ OI vuông góc BC tại I ⇒ OI = AM/2 = a√3/4 .
Kẻ OH vuông góc SI ⇒ OH vuông góc (SBC)
⇒ d(O; (SBC)) = OH
Xét tam giác vuông SOI ta có:
Chọn D
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ∠ABC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABD, ∠ASC = 90°. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) tính theo a bằng
Lời giải:
Xác định khoảng cách:
- Ta có đáy ABCD là hình thoi, góc ∠ABC = 120° nên ∠ABD = 60° và tam giác ABD đều cạnh a
Ta có: AC = a√3, AG = a√3/3
Tam giác SAC vuông ở S, có đường cao SG nên
Xét hình chóp S. ABD có chân đường cao trùng với tâm của đáy nên SA = SB = SD = a.
- Dựng hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBD): Kẻ đường cao AH của tam giác SAO với O là tâm của hình thoi.
AH = a√6/3
Cách khác: Nhận xét tứ diện S.ABD có tất cả các cạnh bằng a. Do đó S.ABD là tứ diện đều, vậy AH = SG = a√6/3
Chọn đáp án D
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°. Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho BM = 3MA. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCM)?
Lời giải:
- Ta có: nên BC vuông góc (SAB)
Khi đó; SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30° nên ∠CSB = 30°
- Xác định khoảng cách: d(A; (SBC)) = AH
Tính AH:
Chọn đáp án B
Câu 13: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3 HD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng SA = 2√3.a và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 30°. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) tính theo a bằng
Lời giải:
- SC có hình chiếu vuông góc lên mp(ABCD) là HC ⇒ (SC, (ABCD)) = ∠SCH = 30°
Đặt AD = 4x (x > 0)
Xét tam giác SAD vuông tại S ta có:
Chọn D
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60°. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAC) là
Lời giải:
Chọn A
- Do góc giữa SA và mp(ABC) là 60° nên ∠SAH = 60°
- Ta có; CI = CA.sin60° = (a√3)/2; AI = AB/2 = a/2
Trong tam giác ACI có trung tuyến AH suy ra
Trong tam giác SHA vuông tại H và ∠SAH = 60° suy ra SH = AH √3 = a√21/4
Gọi E; F lần lượt là hình chiếu của H trên AC và SE. Khi đó d(H; (SAC)) = HF
Ta có:
5. Bài Tập Tự Luyện
Để nâng cao khả năng giải toán và làm quen với nhiều dạng bài khác nhau, bạn hãy thử sức với các bài tập tự luyện sau đây:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, biết SA ⊥ (ABC) và AB = 2a; AC = 3a; SA = 4a. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a, SA vuông góc (ABC), AB = 2a, ABC^=120°. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 3. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, ABC là tam giác vuông đỉnh B có AB = a. Biết SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Bài 6. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ A đến (BCD)?
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC = 60. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Trên cạnh SC lấy điểm M sao cho MC = 2MS. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAB) bằng?
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2AB = 2BC, CD = 2a2. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm M của cạnh CD. Khoảng cách từ điểm B đến mặt
