Posted inCauHoi

**1. Tính Hàm Số Liên Tục Là Gì Và Tại Sao Quan Trọng Trong Toán Học?**

No Comments

Tính Hàm Số Liên Tục là một khái niệm then chốt trong giải tích, đặc biệt quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm số và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. XETAIMYDINH.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn kiến thức chi tiết về tính liên tục, từ định nghĩa, các dạng bài tập thường gặp đến ứng dụng thực tế. Chúng tôi tin rằng bạn sẽ nắm vững kiến thức này, mở ra cánh cửa để khám phá sâu hơn về thế giới xe tải, nơi mà những khái niệm toán học như vậy cũng đóng vai trò quan trọng trong việc tối ưu hóa vận hành và quản lý.

2. Ý Định Tìm Kiếm Của Người Dùng Về Tính Hàm Số Liên Tục Là Gì?

  1. Định nghĩa tính liên tục của hàm số: Người dùng muốn hiểu rõ định nghĩa chính xác về tính liên tục của một hàm số tại một điểm và trên một khoảng.
  2. Các dạng bài tập về tính liên tục: Người dùng tìm kiếm các dạng bài tập khác nhau liên quan đến tính liên tục và phương pháp giải cho từng dạng.
  3. Điều kiện để hàm số liên tục: Người dùng muốn biết các điều kiện cần và đủ để một hàm số được coi là liên tục tại một điểm hoặc trên một khoảng.
  4. Ứng dụng của tính liên tục: Người dùng quan tâm đến các ứng dụng thực tế của tính liên tục trong giải quyết các bài toán và trong các lĩnh vực khác nhau.
  5. Ví dụ minh họa về tính liên tục: Người dùng tìm kiếm các ví dụ cụ thể để hiểu rõ hơn về khái niệm và cách xác định tính liên tục của một hàm số.

3. Tính Hàm Số Liên Tục Tại Một Điểm Được Hiểu Như Thế Nào?

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu giới hạn của f(x) khi x tiến đến x₀ bằng giá trị của hàm số tại x₀, tức là lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số không bị đứt quãng tại điểm đó.

Để hiểu rõ hơn, chúng ta cần xem xét các khía cạnh sau:

  • Định nghĩa chính xác: Theo định nghĩa, hàm số f(x) liên tục tại x₀ nếu ba điều kiện sau đồng thời xảy ra:

    1. f(x₀) tồn tại (tức là x₀ thuộc tập xác định của f).
    2. lim(x→x₀) f(x) tồn tại (giới hạn của f(x) khi x tiến đến x₀ tồn tại).
    3. lim(x→x₀) f(x) = f(x₀) (giới hạn này bằng giá trị của hàm tại x₀).

  • Giới hạn một bên: Để giới hạn lim(x→x₀) f(x) tồn tại, cả giới hạn bên trái (lim(x→x₀⁻) f(x)) và giới hạn bên phải (lim(x→x₀⁺) f(x)) phải tồn tại và bằng nhau.

  • Tính gián đoạn: Nếu một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn, hàm số được gọi là gián đoạn tại x₀. Có ba loại gián đoạn chính:

    • Gián đoạn bỏ được: lim(x→x₀) f(x) tồn tại nhưng không bằng f(x₀) hoặc f(x₀) không tồn tại.
    • Gián đoạn bước nhảy: lim(x→x₀⁻) f(x) và lim(x→x₀⁺) f(x) tồn tại nhưng không bằng nhau.
    • Gián đoạn vô cùng: Ít nhất một trong các giới hạn một bên tiến đến vô cùng.

Ví dụ minh họa:

Xét hàm số:

f(x) = {
    x^2, nếu x ≠ 2
    5,    nếu x = 2
}

Tại x = 2, ta có f(2) = 5. Tuy nhiên, lim(x→2) x² = 4, không bằng 5. Vậy hàm số này gián đoạn tại x = 2 (gián đoạn bỏ được).

Tầm quan trọng:

  • Giải tích: Tính liên tục là nền tảng để xây dựng các khái niệm quan trọng khác như đạo hàm và tích phân.
  • Ứng dụng: Tính liên tục xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế, từ vật lý (mô tả chuyển động liên tục) đến kinh tế (mô hình hóa các quá trình thay đổi liên tục).

4. Tính Hàm Số Liên Tục Trên Một Khoảng, Đoạn Hoặc Tập Xác Định Là Như Thế Nào?

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó. Tương tự, f(x) liên tục trên một đoạn [a, b] nếu nó liên tục trên (a, b) và liên tục phải tại a (lim(x→a⁺) f(x) = f(a)) và liên tục trái tại b (lim(x→b⁻) f(x) = f(b)).

Để hiểu rõ hơn về tính liên tục trên một khoảng, đoạn hoặc tập xác định, chúng ta cần đi sâu vào các khía cạnh sau:

  • Định nghĩa chi tiết:

    • Liên tục trên khoảng (a, b): Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x thuộc (a, b). Điều này có nghĩa là với mọi x₀ ∈ (a, b), ta đều có lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).
    • Liên tục trên đoạn [a, b]: Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nếu nó liên tục trên khoảng (a, b) và đồng thời thỏa mãn:
      • Liên tục phải tại a: lim(x→a⁺) f(x) = f(a).
      • Liên tục trái tại b: lim(x→b⁻) f(x) = f(b).
    • Liên tục trên tập xác định: Hàm số f(x) liên tục trên tập xác định D của nó nếu nó liên tục tại mọi điểm x thuộc D.

  • Tính chất quan trọng:

    • Hàm số sơ cấp cơ bản: Các hàm số sơ cấp cơ bản như hàm đa thức, hàm lượng giác (sin, cos), hàm mũ, hàm logarit đều liên tục trên tập xác định của chúng.
    • Phép toán trên hàm liên tục: Nếu f(x) và g(x) là các hàm liên tục tại x₀, thì các hàm sau cũng liên tục tại x₀:
      • f(x) + g(x)
      • f(x) – g(x)
      • f(x) * g(x)
      • f(x) / g(x) (với điều kiện g(x₀) ≠ 0)
    • Hàm hợp: Nếu g(x) liên tục tại x₀ và f(u) liên tục tại u₀ = g(x₀), thì hàm hợp f(g(x)) liên tục tại x₀.

Ví dụ minh họa:

  • Hàm đa thức: Hàm số f(x) = x³ – 2x² + 1 là một hàm đa thức, do đó nó liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
  • Hàm phân thức hữu tỷ: Hàm số f(x) = (x + 1) / (x – 2) liên tục trên tập xác định của nó, tức là R {2} (tất cả các số thực trừ 2).
  • Hàm căn thức: Hàm số f(x) = √x liên tục trên [0, +∞).

Ứng dụng:

  • Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình: Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và f(a) * f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một nghiệm c thuộc (a, b) sao cho f(c) = 0 (định lý Bolzano-Cauchy).
  • Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: Nếu f(x) liên tục trên [a, b], thì nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn này (định lý Weierstrass).

5. Làm Thế Nào Để Tìm Điểm Gián Đoạn Của Hàm Số?

Điểm gián đoạn của hàm số f(x) là điểm x₀ mà tại đó f(x) không liên tục. Để tìm điểm gián đoạn, cần xác định các điểm mà tại đó hàm số không xác định, giới hạn không tồn tại, hoặc giới hạn không bằng giá trị của hàm số tại điểm đó.

Để tìm điểm gián đoạn của một hàm số f(x), bạn có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số

Tìm tất cả các giá trị của x mà tại đó hàm số f(x) được xác định. Loại bỏ các giá trị mà tại đó hàm số không xác định (ví dụ: mẫu bằng 0, biểu thức dưới căn bậc chẵn âm, logarit của số không hoặc số âm).

Bước 2: Kiểm tra tính liên tục tại các điểm đặc biệt

  • Các điểm mà hàm số thay đổi quy tắc: Nếu hàm số được định nghĩa bởi các quy tắc khác nhau trên các khoảng khác nhau, hãy kiểm tra tính liên tục tại các điểm mà quy tắc thay đổi.
  • Các điểm mà hàm số không xác định: Kiểm tra các điểm mà bạn đã loại bỏ khỏi tập xác định.

Bước 3: Tính giới hạn

Tại mỗi điểm x₀ mà bạn muốn kiểm tra, hãy tính:

  • Giá trị của hàm số tại điểm đó: f(x₀)
  • Giới hạn của hàm số khi x tiến đến x₀ từ bên trái: lim(x→x₀⁻) f(x)
  • Giới hạn của hàm số khi x tiến đến x₀ từ bên phải: lim(x→x₀⁺) f(x)

Bước 4: So sánh và kết luận

  • Nếu f(x₀) không tồn tại, thì x₀ là một điểm gián đoạn.
  • Nếu lim(x→x₀⁻) f(x) và lim(x→x₀⁺) f(x) không tồn tại hoặc không bằng nhau, thì x₀ là một điểm gián đoạn.
  • Nếu lim(x→x₀) f(x) tồn tại nhưng không bằng f(x₀), thì x₀ là một điểm gián đoạn.

Các loại gián đoạn:

  • Gián đoạn bỏ được (removable discontinuity): lim(x→x₀) f(x) tồn tại nhưng không bằng f(x₀) hoặc f(x₀) không tồn tại. Bạn có thể “loại bỏ” gián đoạn này bằng cách định nghĩa lại giá trị của hàm số tại điểm đó.
  • Gián đoạn bước nhảy (jump discontinuity): lim(x→x₀⁻) f(x) và lim(x→x₀⁺) f(x) tồn tại nhưng không bằng nhau.
  • Gián đoạn vô cùng (infinite discontinuity): Ít nhất một trong các giới hạn một bên tiến đến vô cùng.
  • Gián đoạn dao động (oscillating discontinuity): Hàm số dao động quá nhanh gần x₀, khiến giới hạn không tồn tại.

Ví dụ:

Xét hàm số:

f(x) = {
    x^2, nếu x < 1
    2,    nếu x = 1
    x + 1, nếu x > 1
}
  • Bước 1: Tập xác định của hàm số là R (tất cả các số thực).
  • Bước 2: Kiểm tra tại x = 1 (điểm thay đổi quy tắc).
  • Bước 3:
    • f(1) = 2
    • lim(x→1⁻) f(x) = lim(x→1⁻) x² = 1
    • lim(x→1⁺) f(x) = lim(x→1⁺) (x + 1) = 2
  • Bước 4: Vì lim(x→1⁻) f(x) ≠ lim(x→1⁺) f(x), hàm số có một gián đoạn bước nhảy tại x = 1.

6. Điều Kiện Để Hàm Số Liên Tục Tại Một Điểm Là Gì?

Để một hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x₀, ba điều kiện sau phải đồng thời thỏa mãn:

  1. f(x₀) phải xác định: Giá trị của hàm số tại x₀ phải tồn tại, tức là x₀ phải thuộc tập xác định của f.
  2. Giới hạn của f(x) khi x tiến đến x₀ phải tồn tại: lim(x→x₀) f(x) phải tồn tại. Điều này có nghĩa là cả giới hạn bên trái (lim(x→x₀⁻) f(x)) và giới hạn bên phải (lim(x→x₀⁺) f(x)) phải tồn tại và bằng nhau.
  3. Giới hạn của f(x) khi x tiến đến x₀ phải bằng f(x₀): lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).

Để làm rõ hơn, chúng ta cần xem xét từng điều kiện một cách chi tiết:

  • Điều kiện 1: f(x₀) phải xác định

    • Điều này có nghĩa là x₀ phải thuộc vào tập xác định (domain) của hàm số f(x). Nếu x₀ không thuộc tập xác định, f(x₀) không tồn tại và hàm số chắc chắn không liên tục tại điểm đó.
    • Ví dụ: Xét hàm số f(x) = 1/x. Hàm số này không xác định tại x = 0, vì phép chia cho 0 không có nghĩa. Do đó, f(x) không liên tục tại x = 0.

  • Điều kiện 2: Giới hạn của f(x) khi x tiến đến x₀ phải tồn tại

    • Để giới hạn lim(x→x₀) f(x) tồn tại, cả giới hạn bên trái và giới hạn bên phải phải tồn tại và bằng nhau.

      • Giới hạn bên trái: lim(x→x₀⁻) f(x) là giá trị mà f(x) tiến đến khi x tiến đến x₀ từ các giá trị nhỏ hơn x₀.
      • Giới hạn bên phải: lim(x→x₀⁺) f(x) là giá trị mà f(x) tiến đến khi x tiến đến x₀ từ các giá trị lớn hơn x₀.

    • Nếu hai giới hạn này không bằng nhau, giới hạn lim(x→x₀) f(x) không tồn tại và hàm số không liên tục tại x₀.

    • Ví dụ: Xét hàm số:

      f(x) = {
    0, nếu x < 0
    1, nếu x ≥ 0
}

      Tại x = 0, giới hạn bên trái là 0 và giới hạn bên phải là 1. Vì chúng không bằng nhau, giới hạn lim(x→0) f(x) không tồn tại và f(x) không liên tục tại x = 0.

  • Điều kiện 3: Giới hạn của f(x) khi x tiến đến x₀ phải bằng f(x₀)

    • Điều này có nghĩa là giá trị mà f(x) tiến đến khi x tiến đến x₀ phải chính xác bằng giá trị của hàm số tại x₀. Ngay cả khi giới hạn tồn tại, nếu nó không bằng f(x₀), hàm số vẫn không liên tục tại x₀.

    • Ví dụ: Xét hàm số:

      f(x) = {
    x, nếu x ≠ 0
    2, nếu x = 0
}

      Tại x = 0, f(0) = 2. Tuy nhiên, lim(x→0) f(x) = lim(x→0) x = 0. Vì giới hạn không bằng giá trị của hàm số tại điểm đó, f(x) không liên tục tại x = 0.

Tóm lại: Để hàm số liên tục tại một điểm, nó phải “liền mạch” tại điểm đó, không có “lỗ hổng”, “bước nhảy” hoặc “vô cực”.

7. Làm Thế Nào Để Tìm Điều Kiện Để Hàm Số Liên Tục Trên Một Điểm?

Để tìm điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm, ta cần áp dụng định nghĩa và giải các phương trình hoặc bất phương trình để tìm ra các giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện liên tục.

Để tìm điều kiện để một hàm số f(x) liên tục tại một điểm x₀, bạn cần thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra điều kiện xác định

Đảm bảo rằng x₀ thuộc tập xác định của hàm số f(x). Nếu không, hàm số không thể liên tục tại điểm đó.

Bước 2: Tính giới hạn

Tính giới hạn của hàm số khi x tiến đến x₀ từ bên trái và bên phải:

  • lim(x→x₀⁻) f(x)
  • lim(x→x₀⁺) f(x)

Bước 3: So sánh giới hạn và giá trị hàm số

Áp dụng định nghĩa về tính liên tục:

  • Hàm số f(x) liên tục tại x₀ nếu và chỉ nếu:
    • lim(x→x₀⁻) f(x) = lim(x→x₀⁺) f(x) = f(x₀)

Bước 4: Giải phương trình hoặc bất phương trình

Nếu hàm số chứa các tham số (ví dụ: a, b, m), bạn cần thiết lập và giải các phương trình hoặc bất phương trình dựa trên điều kiện liên tục để tìm ra các giá trị của tham số đó.

Ví dụ:

Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục tại x = 2:

f(x) = {
    x + m, nếu x ≤ 2
    3x - 1, nếu x > 2
}

  • Bước 1: Hàm số xác định tại x = 2.

  • Bước 2:

    • lim(x→2⁻) f(x) = lim(x→2⁻) (x + m) = 2 + m
    • lim(x→2⁺) f(x) = lim(x→2⁺) (3x – 1) = 5

  • Bước 3: f(2) = 2 + m

  • Bước 4: Để hàm số liên tục tại x = 2, ta cần:

    2 + m = 5

    m = 3

Vậy, giá trị của m để hàm số liên tục tại x = 2 là 3.

Lưu ý:

  • Nếu hàm số được định nghĩa bởi nhiều quy tắc khác nhau trên các khoảng khác nhau, bạn cần kiểm tra tính liên tục tại các điểm mà quy tắc thay đổi.
  • Trong một số trường hợp, việc tính giới hạn có thể đòi hỏi các kỹ thuật đặc biệt như sử dụng quy tắc L’Hôpital hoặc biến đổi đại số.

8. Điều Kiện Để Hàm Số Liên Tục Trên Một Khoảng, Đoạn Hoặc Tập Xác Định Là Gì?

Để một hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a, b), nó phải liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó. Đối với đoạn [a, b], hàm số phải liên tục trên (a, b) và liên tục một phía tại a và b.

Để xác định điều kiện để một hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn hoặc tập xác định, bạn cần thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số

Tìm tập xác định D của hàm số f(x). Hàm số chỉ có thể liên tục trên các khoảng, đoạn hoặc tập con của D.

Bước 2: Kiểm tra tính liên tục trên các khoảng mở

  • Hàm số sơ cấp: Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp (ví dụ: đa thức, lượng giác, mũ, logarit), thì nó liên tục trên mọi khoảng mở nằm trong tập xác định của nó.
  • Hàm số định nghĩa bởi nhiều quy tắc: Nếu f(x) được định nghĩa bởi nhiều quy tắc khác nhau trên các khoảng khác nhau, bạn cần kiểm tra tính liên tục tại các điểm mà quy tắc thay đổi (như đã trình bày ở trên).

Bước 3: Kiểm tra tính liên tục tại các đầu mút (nếu có)

Nếu bạn muốn hàm số liên tục trên một đoạn [a, b], bạn cần kiểm tra tính liên tục một phía tại các đầu mút a và b:

  • Liên tục phải tại a: lim(x→a⁺) f(x) = f(a)
  • Liên tục trái tại b: lim(x→b⁻) f(x) = f(b)

Ví dụ:

Xác định điều kiện để hàm số sau liên tục trên R (tập số thực):

f(x) = {
    x^2, nếu x ≤ 1
    ax + b, nếu x > 1
}
  • Bước 1: Tập xác định của hàm số là R.
  • Bước 2:
    • Hàm số x² liên tục trên (-∞, 1).
    • Hàm số ax + b liên tục trên (1, +∞).
  • Bước 3: Kiểm tra tại x = 1:
    • lim(x→1⁻) f(x) = lim(x→1⁻) x² = 1
    • lim(x→1⁺) f(x) = lim(x→1⁺) (ax + b) = a + b
    • f(1) = 1² = 1

Để hàm số liên tục trên R, ta cần:

a + b = 1

Vậy, điều kiện để hàm số liên tục trên R là a + b = 1, với a và b là các số thực.

Lưu ý:

  • Nếu hàm số có các điểm không xác định (ví dụ: mẫu bằng 0), bạn cần loại bỏ các điểm này khỏi tập xác định trước khi kiểm tra tính liên tục.
  • Trong một số trường hợp, việc chứng minh tính liên tục trên một khoảng có thể đòi hỏi các kỹ thuật giải tích nâng cao hơn.

9. Ứng Dụng Tính Hàm Số Liên Tục Để Chứng Minh Phương Trình Có Nghiệm Như Thế Nào?

Tính liên tục của hàm số có thể được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình thông qua định lý giá trị trung gian (Intermediate Value Theorem). Định lý này nói rằng nếu f(x) liên tục trên [a, b] và k là một số bất kỳ nằm giữa f(a) và f(b), thì tồn tại ít nhất một số c trong (a, b) sao cho f(c) = k.

Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên một khoảng (a, b) bằng cách sử dụng tính liên tục, bạn có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định hàm số liên tục

Xác định một hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Thông thường, bạn sẽ biến đổi phương trình ban đầu thành dạng f(x) = 0.

Bước 2: Tính giá trị hàm số tại hai đầu mút

Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn:

  • f(a)
  • f(b)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện định lý giá trị trung gian

Kiểm tra xem f(a) và f(b) có trái dấu hay không, tức là f(a) * f(b) < 0. Nếu điều này đúng, thì theo định lý giá trị trung gian, tồn tại ít nhất một số c trong khoảng (a, b) sao cho f(c) = 0.

Bước 4: Kết luận

Kết luận rằng phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, b).

Ví dụ:

Chứng minh rằng phương trình x³ – 4x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1, 2).

  • Bước 1: Xác định hàm số f(x) = x³ – 4x + 1. Hàm số này là một đa thức, do đó nó liên tục trên toàn bộ tập số thực R, đặc biệt là trên đoạn [1, 2].

  • Bước 2: Tính giá trị hàm số tại hai đầu mút:

    • f(1) = 1³ – 4(1) + 1 = -2
    • f(2) = 2³ – 4(2) + 1 = 1

  • Bước 3: Kiểm tra điều kiện định lý giá trị trung gian:

    f(1) f(2) = (-2) (1) = -2 < 0

Vì f(1) và f(2) trái dấu, điều kiện định lý giá trị trung gian được thỏa mãn.

  • Bước 4: Kết luận: Theo định lý giá trị trung gian, phương trình x³ – 4x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1, 2).

Lưu ý:

  • Định lý giá trị trung gian chỉ đảm bảo sự tồn tại của ít nhất một nghiệm, chứ không cho biết số lượng nghiệm hoặc giá trị cụ thể của nghiệm.
  • Để tìm nghiệm cụ thể, bạn có thể sử dụng các phương pháp численное (ví dụ: phương pháp chia đôi, phương pháp Newton).

10. Bài Tập Vận Dụng Về Tính Liên Tục Của Hàm Số

Dưới đây là một số bài tập vận dụng về tính liên tục của hàm số để bạn luyện tập:

Bài 1:

Cho hàm số:

f(x) = {
    (x^2 - 1) / (x - 1), nếu x ≠ 1
    a, nếu x = 1
}

Tìm giá trị của a để f(x) liên tục tại x = 1.

Bài 2:

Xét tính liên tục của hàm số sau trên R:

f(x) = {
    x, nếu x < 0
    x^2, nếu 0 ≤ x ≤ 1
    2 - x, nếu x > 1
}

Bài 3:

Tìm các điểm gián đoạn của hàm số:

f(x) = 1 / (x^2 - 4)

Bài 4:

Chứng minh rằng phương trình x^5 – x^2 – 4 = 0 có ít nhất một nghiệm thực.

Bài 5:

Cho hàm số:

f(x) = {
    sin(x) / x, nếu x ≠ 0
    1, nếu x = 0
}

Chứng minh rằng f(x) liên tục tại x = 0.

Lời giải gợi ý:

Bài 1:

Để f(x) liên tục tại x = 1, ta cần:

lim(x→1) f(x) = f(1)

lim(x→1) (x^2 – 1) / (x – 1) = lim(x→1) (x + 1) = 2

Vậy, a = 2.

Bài 2:

  • f(x) liên tục trên (-∞, 0), (0, 1) và (1, +∞) vì nó là các hàm đa thức.
  • Kiểm tra tại x = 0:
    • lim(x→0⁻) f(x) = 0
    • lim(x→0⁺) f(x) = 0
    • f(0) = 0
    • Vậy, f(x) liên tục tại x = 0.
  • Kiểm tra tại x = 1:
    • lim(x→1⁻) f(x) = 1
    • lim(x→1⁺) f(x) = 1
    • f(1) = 1
    • Vậy, f(x) liên tục tại x = 1.

Kết luận: f(x) liên tục trên R.

Bài 3:

f(x) không xác định khi x^2 – 4 = 0, tức là x = ±2.

Vậy, f(x) có các điểm gián đoạn tại x = 2 và x = -2. Đây là các điểm gián đoạn vô cùng.

Bài 4:

Xét hàm số f(x) = x^5 – x^2 – 4.

  • f(x) liên tục trên R vì nó là một đa thức.
  • f(0) = -4
  • f(2) = 2^5 – 2^2 – 4 = 24

Vì f(0) * f(2) < 0, theo định lý giá trị trung gian, phương trình x^5 – x^2 – 4 = 0 có ít nhất một nghiệm thực trong khoảng (0, 2).

Bài 5:

Để chứng minh f(x) liên tục tại x = 0, ta cần chứng minh:

lim(x→0) sin(x) / x = 1

Sử dụng quy tắc L’Hôpital:

lim(x→0) sin(x) / x = lim(x→0) cos(x) / 1 = 1

Vậy, f(x) liên tục tại x = 0.

Hy vọng những bài tập này giúp bạn củng cố kiến thức về tính liên tục của hàm số.

11. Tại Sao Nên Tìm Hiểu Về Tính Hàm Số Liên Tục Tại XETAIMYDINH.EDU.VN?

Tại XETAIMYDINH.EDU.VN, chúng tôi không chỉ cung cấp thông tin về xe tải mà còn mang đến những kiến thức nền tảng quan trọng như tính hàm số liên tục. Điều này giúp bạn hiểu rõ hơn về các ứng dụng toán học trong thực tế, từ đó đưa ra những quyết định thông minh hơn trong công việc và cuộc sống.

Bạn đang tìm kiếm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về xe tải ở Mỹ Đình? Bạn muốn so sánh giá cả, thông số kỹ thuật giữa các dòng xe và được tư vấn lựa chọn xe phù hợp với nhu cầu và ngân sách? Hãy truy cập ngay XETAIMYDINH.EDU.VN để được giải đáp mọi thắc mắc và nhận những ưu đãi hấp dẫn. Liên hệ ngay hotline 0247 309 9988 hoặc đến địa chỉ Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội để được hỗ trợ tốt nhất.

Comments

No comments yet. Why don’t you start the discussion?

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *