Bạn đang gặp khó khăn trong việc Tính Góc Giữa đường thẳng và mặt phẳng? Đừng lo, Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và giải quyết bài toán này một cách dễ dàng. Chúng tôi cung cấp phương pháp giải chi tiết, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Tìm hiểu ngay để làm chủ kiến thức hình học không gian!
1. Phương Pháp Xác Định Góc Giữa Đường Thẳng và Mặt Phẳng
Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α), bạn có thể thực hiện theo các bước sau. Phương pháp này đã được chứng minh tính hiệu quả trong nhiều nghiên cứu về hình học không gian.
Bước 1: Xác định giao điểm O của đường thẳng a và mặt phẳng (α).
Bước 2: Tìm hình chiếu A’ của một điểm A thuộc đường thẳng a xuống mặt phẳng (α).
Bước 3: Góc ∠AOA’ = φ chính là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α).
Lưu ý quan trọng:
- Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên mặt phẳng (α), bạn có thể chọn một đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (α). Khi đó, AA’ song song với b.
- Để tính góc φ, bạn có thể sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAA’.
2. Ví Dụ Minh Họa Cách Tính Góc Giữa Đường Thẳng và Mặt Phẳng
Dưới đây là một số ví dụ cụ thể giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Các ví dụ này được chọn lọc từ các đề thi và bài tập phổ biến, giúp bạn làm quen với nhiều dạng toán khác nhau.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB
B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB
C. Góc giữa AC và (ABD) là góc ACB
D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA = (√6)a/2. Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC).
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là D. 90°
Từ giả thiết suy ra: SA ⊥ (ABC) ⇒ (SA, (ABC)) = 90°
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là C. 60°
Gọi H là trung điểm của BC, suy ra: AH = BH = CH = (1/2)BC = a/2
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD). Biết SA = a(√6)/3. Tính góc giữa SC và (ABCD).
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là A. 30°
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).
A. 60° B. 90° C. 45° D. 30°
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là C. 45°
Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)
⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AH) = ∠ SAH
Ta có: SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH
Mà: ΔABC = ΔSBC ⇒ SH = AH
Vậy tam giác SAH vuông cân tại H ⇒ SAH = 45°
Ví dụ 6: Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a; BD = 2AC. Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO ⊥ (ABCD). Biết tan(SBO) = 1/2. Tính số đo của góc giữa SC và (ABCD).
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là B. 45°
3. Bài Tập Vận Dụng Tính Góc Giữa Đường Thẳng và Mặt Phẳng
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng, hãy thử sức với các bài tập vận dụng sau. Các bài tập này được thiết kế với độ khó tăng dần, giúp bạn từng bước nâng cao khả năng giải toán.
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
Lời giải:
Gọi M là trung điểm BC.
Tam giác ABC vuông đường trung tuyến AM nên:
AM = BM = a/2, SB = a
Có SM ⊥ (ABC) nên AM là hình chiếu của SA lên mp(ABC)
⇒ ( SA,(ABC)) = (SA, AM) = ∠SAM
Áp dụng định lý Pytago
Xét tam giác SAM có:
tan(SAM) = SM/AM = √3 ⇒ ∠SAM = 60°
Vậy chọn C.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là α, khi đó tanα nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
Lời giải:
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:
A. 45° B. 120° C. 90° D. 65°
Lời giải:
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp(ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp(SAD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Lời giải:
Gọi I là trung điểm AS.
+ Ta chứng minh AD ⊥ (SAB):
Do AD ⊥ AB và AD ⊥ SH (vì SH ⊥ (ABCD)
⇒ AD ⊥ (SAB) nên AD ⊥ BI.
Lại có: BI ⊥ SA
⇒ BI ⊥ (SAD)
⇒ góc giữa BD và (SAD) là góc ∠IDB
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a√6. Gọi α là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Lời giải:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)
⇒ Góc giữa giữa SC và mp(ABCD) bằng góc giữa SC và AC
⇒ α = ∠SCA
Xét tam giác SAC vuông tại A có:
Chọn D
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi α là góc giữa AC’ và mp(A’BCD’). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Lời giải:
4. Bài Tập Tự Luyện Thêm Về Góc Giữa Đường Thẳng và Mặt Phẳng
Để nâng cao trình độ, bạn hãy tự luyện các bài tập sau:
Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SO vuông góc với đáy, gọi M, N là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết góc tạo bởi MN và mp (ABCD) là 60 độ. Tính góc giữa MN và (SBD).
Bài 2. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy là tam giác đều cạnh a, AA vuông góc với (ABC). Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ hợp với (ABB’A’) góc 30°. Gọi N là trung điểm của cạnh BB’. Tính góc giữa MN và (BA’C’).
Bài 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, gọi M là trung điểm của SD. Tính góc giữa CM và mặt phẳng (SAB).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA=a√6 và vuông góc với đáy (ABCD). Tính góc giữa:
a) SC và (ABCD).
b) SC và (SAB).
c) SB và (SAC).
d) AC và (SBC).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA bằng 2a và vuông góc với đáy (ABC).
a) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB).
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và AC. Tính góc giữa BM và mặt phẳng (ABC).
5. Câu Hỏi Thường Gặp Về Góc Giữa Đường Thẳng và Mặt Phẳng (FAQ)
Dưới đây là một số câu hỏi thường gặp về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cùng với câu trả lời chi tiết.
Câu 1: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là gì?
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
Câu 2: Làm thế nào để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng?
Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, bạn cần tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, sau đó tìm hình chiếu của một điểm trên đường thẳng xuống mặt phẳng. Góc giữa đường thẳng và hình chiếu chính là góc cần tìm.
Câu 3: Công thức nào được sử dụng để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng?
Bạn có thể sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ví dụ, nếu biết độ dài các cạnh của tam giác vuông tạo bởi đường thẳng, hình chiếu và đoạn nối từ điểm trên đường thẳng đến hình chiếu, bạn có thể sử dụng sin, cos, tan để tính góc.
Câu 4: Khi nào góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 90 độ?
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 90 độ khi đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng.
Câu 5: Làm thế nào để tìm hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng?
Để tìm hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng, bạn có thể dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đi qua điểm đó. Giao điểm của đường thẳng này và mặt phẳng chính là hình chiếu của điểm đó.
Câu 6: Tại sao cần phải tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng khi tính góc giữa chúng?
Việc tìm giao điểm giúp xác định điểm gốc để từ đó xác định hình chiếu và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Câu 7: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có thể lớn hơn 90 độ không?
Không, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ.
Câu 8: Có những trường hợp đặc biệt nào khi tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không?
Một số trường hợp đặc biệt bao gồm khi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (góc bằng 90 độ) hoặc khi đường thẳng nằm trên mặt phẳng (góc bằng 0 độ).
Câu 9: Làm thế nào để áp dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng vào thực tế?
Kiến thức này có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực như xây dựng, kiến trúc, thiết kế, và kỹ thuật, giúp tính toán và thiết kế các công trình, máy móc một cách chính xác.
Câu 10: Tôi có thể tìm thêm tài liệu và bài tập về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ở đâu?
Bạn có thể tìm thêm tài liệu và bài tập trên XETAIMYDINH.EDU.VN, các sách giáo khoa, sách tham khảo, hoặc các trang web giáo dục uy tín.
Bạn muốn tìm hiểu thêm về các loại xe tải phù hợp với nhu cầu vận chuyển hàng hóa của mình? Hãy truy cập ngay XETAIMYDINH.EDU.VN để được tư vấn chi tiết và cập nhật thông tin mới nhất về thị trường xe tải tại Mỹ Đình, Hà Nội. Chúng tôi luôn sẵn lòng giải đáp mọi thắc mắc của bạn! Liên hệ ngay với Xe Tải Mỹ Đình qua hotline 0247 309 9988 hoặc đến trực tiếp địa chỉ Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội để được hỗ trợ tốt nhất.
