Tính độ Dài Vectơ Lớp 10 là một khái niệm quan trọng trong hình học, giúp bạn hiểu rõ hơn về hướng và độ lớn của các đại lượng. Tại XETAIMYDINH.EDU.VN, chúng tôi cung cấp thông tin chi tiết và dễ hiểu về chủ đề này, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả trong các bài toán. Để hiểu rõ hơn về độ lớn của vectơ, hãy cùng khám phá các kiến thức liên quan đến vectơ, độ dài đoạn thẳng và các bài tập ứng dụng khác.
1. Khái Niệm Cơ Bản Về Vectơ
Trước khi đi sâu vào cách tính độ dài vectơ, chúng ta cần nắm vững khái niệm cơ bản về vectơ. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối.
- Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
- Ký hiệu: Vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B được ký hiệu là $overrightarrow{AB}$.
- Giá của vectơ: Đường thẳng chứa vectơ đó được gọi là giá của vectơ.
Định nghĩa vectơ
2. Độ Dài Của Vectơ Là Gì?
Độ dài của vectơ, còn gọi là môđun của vectơ, là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Nó cho biết độ lớn của vectơ mà không quan tâm đến hướng.
- Định nghĩa: Độ dài của vectơ $overrightarrow{AB}$ là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
- Ký hiệu: Độ dài của vectơ $overrightarrow{AB}$ được ký hiệu là $|overrightarrow{AB}|$ hoặc $AB$.
- Tính chất: Độ dài của vectơ luôn là một số không âm.
3. Công Thức Tính Độ Dài Vectơ
Để tính độ dài vectơ, chúng ta có thể sử dụng các công thức sau, tùy thuộc vào thông tin đã cho:
3.1. Tính Độ Dài Vectơ Khi Biết Tọa Độ Điểm Đầu và Điểm Cuối
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A($x_A$; $y_A$) và B($x_B$; $y_B$). Vectơ $overrightarrow{AB}$ có tọa độ là ($x_B$ – $x_A$; $y_B$ – $y_A$). Khi đó, độ dài của vectơ $overrightarrow{AB}$ được tính theo công thức:
$|overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$
Công thức này dựa trên định lý Pythagoras, cho phép tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ.
Ví dụ: Cho A(1; 2) và B(4; 6), tính độ dài vectơ $overrightarrow{AB}$.
- $x_B – x_A = 4 – 1 = 3$
- $y_B – y_A = 6 – 2 = 4$
- $|overrightarrow{AB}| = sqrt{3^2 + 4^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5$
Vậy độ dài của vectơ $overrightarrow{AB}$ là 5 đơn vị.
3.2. Tính Độ Dài Vectơ Khi Biết Tọa Độ Vectơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ $overrightarrow{a}$ = ($x$; $y$). Độ dài của vectơ $overrightarrow{a}$ được tính theo công thức:
$|overrightarrow{a}| = sqrt{x^2 + y^2}$
Công thức này là một trường hợp đặc biệt của công thức trên, khi điểm đầu của vectơ là gốc tọa độ O(0; 0).
Ví dụ: Cho vectơ $overrightarrow{a}$ = (3; -4), tính độ dài của vectơ $overrightarrow{a}$.
- $|overrightarrow{a}| = sqrt{3^2 + (-4)^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5$
Vậy độ dài của vectơ $overrightarrow{a}$ là 5 đơn vị.
3.3. Tính Độ Dài Vectơ Tổng (Hiệu) Của Hai Vectơ
Cho hai vectơ $overrightarrow{a}$ = ($x_1$; $y_1$) và $overrightarrow{b}$ = ($x_2$; $y_2$).
- Vectơ tổng: $overrightarrow{a} + overrightarrow{b}$ = ($x_1 + x_2$; $y_1 + y_2$)
- Vectơ hiệu: $overrightarrow{a} – overrightarrow{b}$ = ($x_1 – $x_2$; $y_1 – y_2$)
Độ dài của vectơ tổng và vectơ hiệu được tính tương tự như công thức trên:
- $|overrightarrow{a} + overrightarrow{b}| = sqrt{(x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2}$
- $|overrightarrow{a} – overrightarrow{b}| = sqrt{(x_1 – x_2)^2 + (y_1 – y_2)^2}$
Ví dụ: Cho $overrightarrow{a}$ = (2; 1) và $overrightarrow{b}$ = (1; 3), tính độ dài của vectơ $overrightarrow{a} + overrightarrow{b}$ và $overrightarrow{a} – overrightarrow{b}$.
- $overrightarrow{a} + overrightarrow{b}$ = (2 + 1; 1 + 3) = (3; 4)
- $|overrightarrow{a} + overrightarrow{b}| = sqrt{3^2 + 4^2} = sqrt{9 + 16} = 5$
- $overrightarrow{a} – overrightarrow{b}$ = (2 – 1; 1 – 3) = (1; -2)
- $|overrightarrow{a} – overrightarrow{b}| = sqrt{1^2 + (-2)^2} = sqrt{1 + 4} = sqrt{5}$
Vậy độ dài của vectơ $overrightarrow{a} + overrightarrow{b}$ là 5 và độ dài của vectơ $overrightarrow{a} – overrightarrow{b}$ là $sqrt{5}$.
Độ dài vectơ AB
4. Các Dạng Bài Tập Về Độ Dài Vectơ Thường Gặp
4.1. Dạng 1: Tính Độ Dài Vectơ Khi Biết Tọa Độ
Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu áp dụng trực tiếp các công thức đã nêu ở trên.
Ví dụ: Cho A(3; -1) và B(7; 2), tính độ dài vectơ $overrightarrow{AB}$.
- $overrightarrow{AB}$ = (7 – 3; 2 – (-1)) = (4; 3)
- $|overrightarrow{AB}| = sqrt{4^2 + 3^2} = sqrt{16 + 9} = 5$
4.2. Dạng 2: Tính Độ Dài Vectơ Liên Quan Đến Các Phép Toán Vectơ
Dạng bài tập này yêu cầu thực hiện các phép toán cộng, trừ vectơ, sau đó tính độ dài của vectơ kết quả.
Ví dụ: Cho $overrightarrow{a}$ = (1; -2) và $overrightarrow{b}$ = (3; 4), tính độ dài của vectơ $overrightarrow{c}$ = 2$overrightarrow{a}$ – $overrightarrow{b}$.
- 2$overrightarrow{a}$ = (2; -4)
- $overrightarrow{c}$ = (2 – 3; -4 – 4) = (-1; -8)
- $|overrightarrow{c}| = sqrt{(-1)^2 + (-8)^2} = sqrt{1 + 64} = sqrt{65}$
4.3. Dạng 3: Bài Toán Về Độ Dài Vectơ Trong Hình Học
Dạng bài tập này thường liên quan đến các hình học như tam giác, hình bình hành, hình vuông, và yêu cầu sử dụng các tính chất hình học kết hợp với công thức tính độ dài vectơ.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4. Tính độ dài vectơ $overrightarrow{BC}$.
- Vì tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagoras: $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$
- $BC = 5$
- $|overrightarrow{BC}| = BC = 5$
4.4. Dạng 4: Tìm Tọa Độ Điểm Thỏa Mãn Điều Kiện Về Độ Dài Vectơ
Dạng bài tập này yêu cầu tìm tọa độ của một điểm sao cho độ dài của một vectơ liên quan đến điểm đó thỏa mãn một điều kiện nhất định.
Ví dụ: Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho $|overrightarrow{AM}| = 5$, biết A(1; 2).
- Vì M nằm trên trục Ox, nên M(x; 0)
- $overrightarrow{AM}$ = (x – 1; -2)
- $|overrightarrow{AM}| = sqrt{(x – 1)^2 + (-2)^2} = 5$
- $(x – 1)^2 + 4 = 25$
- $(x – 1)^2 = 21$
- $x – 1 = pmsqrt{21}$
- $x = 1 pmsqrt{21}$
Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M(1 + $sqrt{21}$; 0) và M(1 – $sqrt{21}$; 0).
5. Ứng Dụng Của Độ Dài Vectơ Trong Thực Tế
Độ dài vectơ không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong toán học, mà còn có nhiều ứng dụng thực tế quan trọng.
- Vật lý: Trong vật lý, vectơ được sử dụng để biểu diễn các đại lượng có hướng như vận tốc, gia tốc, lực. Độ dài của vectơ tương ứng với độ lớn của các đại lượng này. Ví dụ, độ dài của vectơ vận tốc cho biết tốc độ của một vật.
- Kỹ thuật: Trong kỹ thuật, vectơ được sử dụng để thiết kế các công trình, tính toán lực tác động lên các cấu trúc. Độ dài vectơ giúp xác định độ bền và ổn định của công trình.
- Đồ họa máy tính: Trong đồ họa máy tính, vectơ được sử dụng để biểu diễn các đối tượng 2D và 3D. Độ dài vectơ giúp xác định kích thước và vị trí của các đối tượng trong không gian ảo.
- Định vị và dẫn đường: Trong các hệ thống định vị và dẫn đường, vectơ được sử dụng để xác định vị trí và hướng di chuyển. Độ dài vectơ giúp tính toán khoảng cách và thời gian di chuyển.
Ví dụ:
- Một chiếc xe tải di chuyển với vận tốc 60 km/h theo hướng Đông. Vận tốc của xe tải có thể được biểu diễn bằng một vectơ có độ dài 60 và hướng về phía Đông.
- Một kỹ sư xây dựng sử dụng vectơ để tính toán lực tác động lên một cây cầu. Độ dài vectơ giúp xác định độ bền của cây cầu và đảm bảo an toàn cho người sử dụng.
6. Bài Tập Vận Dụng Tính Độ Dài Vectơ
Để củng cố kiến thức, chúng ta cùng làm một số bài tập vận dụng sau:
Bài 1: Cho A(2; -3) và B(5; 1). Tính độ dài vectơ $overrightarrow{AB}$.
Bài 2: Cho $overrightarrow{a}$ = (-1; 4) và $overrightarrow{b}$ = (2; -3). Tính độ dài của vectơ $overrightarrow{c}$ = $overrightarrow{a}$ + 2$overrightarrow{b}$.
Bài 3: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính độ dài vectơ $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$.
Bài 4: Tìm tọa độ điểm N trên trục Oy sao cho $|overrightarrow{BN}| = sqrt{10}$, biết B(1; 2).
Hướng dẫn giải:
- Bài 1: $overrightarrow{AB}$ = (3; 4), $|overrightarrow{AB}| = 5$
- Bài 2: $overrightarrow{c}$ = (3; -2), $|overrightarrow{c}| = sqrt{13}$
- Bài 3: $|overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}| = asqrt{3}$
- Bài 4: N(0; y), có hai điểm N thỏa mãn là N(0; 3) và N(0; 1).
7. Mẹo Hay Khi Giải Bài Tập Về Độ Dài Vectơ
- Nắm vững công thức: Học thuộc và hiểu rõ các công thức tính độ dài vectơ.
- Vẽ hình minh họa: Đối với các bài toán hình học, vẽ hình minh họa giúp dễ hình dung và tìm ra hướng giải.
- Sử dụng định lý Pythagoras: Định lý Pythagoras là công cụ hữu ích trong các bài toán liên quan đến tam giác vuông.
- Kiểm tra lại kết quả: Sau khi giải xong, kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
8. Tại Sao Nên Tìm Hiểu Về Độ Dài Vectơ Tại Xe Tải Mỹ Đình?
Tại XETAIMYDINH.EDU.VN, chúng tôi không chỉ cung cấp thông tin chi tiết và dễ hiểu về độ dài vectơ, mà còn mang đến những lợi ích sau:
- Kiến thức chuyên sâu: Chúng tôi tập trung vào việc cung cấp kiến thức chuyên sâu, giúp bạn hiểu rõ bản chất của vấn đề.
- Ví dụ minh họa: Các ví dụ minh họa được lựa chọn kỹ càng, giúp bạn áp dụng kiến thức vào thực tế.
- Bài tập vận dụng: Các bài tập vận dụng đa dạng, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
- Tư vấn tận tình: Đội ngũ tư vấn viên giàu kinh nghiệm sẵn sàng giải đáp mọi thắc mắc của bạn.
- Cập nhật thông tin mới nhất: Chúng tôi liên tục cập nhật thông tin mới nhất về các chủ đề liên quan, giúp bạn luôn nắm bắt được những kiến thức tiên tiến.
9. FAQ – Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Độ Dài Vectơ
9.1. Độ dài vectơ là gì?
Độ dài vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó, cho biết độ lớn của vectơ.
9.2. Làm thế nào để tính độ dài vectơ khi biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối?
Sử dụng công thức: $|overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$
9.3. Độ dài vectơ có thể là số âm không?
Không, độ dài vectơ luôn là một số không âm.
9.4. Công thức tính độ dài vectơ khi biết tọa độ vectơ là gì?
Sử dụng công thức: $|overrightarrow{a}| = sqrt{x^2 + y^2}$
9.5. Độ dài vectơ có ứng dụng gì trong thực tế?
Độ dài vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, đồ họa máy tính, định vị và dẫn đường.
9.6. Làm thế nào để tính độ dài vectơ tổng hoặc hiệu của hai vectơ?
Tính tọa độ vectơ tổng hoặc hiệu, sau đó áp dụng công thức tính độ dài vectơ.
9.7. Tại sao độ dài vectơ lại quan trọng trong vật lý?
Trong vật lý, độ dài vectơ biểu diễn độ lớn của các đại lượng có hướng như vận tốc, gia tốc, lực.
9.8. Định lý Pythagoras được sử dụng như thế nào trong việc tính độ dài vectơ?
Định lý Pythagoras được sử dụng để tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ, từ đó tính độ dài vectơ.
9.9. Có mẹo nào để giải nhanh các bài tập về độ dài vectơ không?
Nắm vững công thức, vẽ hình minh họa, sử dụng định lý Pythagoras và kiểm tra lại kết quả.
9.10. Tại sao nên tìm hiểu về độ dài vectơ tại Xe Tải Mỹ Đình?
Chúng tôi cung cấp kiến thức chuyên sâu, ví dụ minh họa, bài tập vận dụng, tư vấn tận tình và cập nhật thông tin mới nhất.
Ví dụ 1 độ dài vectơ
10. Kết Luận
Hiểu rõ về tính độ dài vectơ lớp 10 là rất quan trọng để nắm vững kiến thức hình học và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Tại XETAIMYDINH.EDU.VN, chúng tôi cam kết cung cấp thông tin chi tiết, dễ hiểu và chính xác nhất để giúp bạn học tập hiệu quả.
Nếu bạn đang gặp khó khăn trong việc tìm kiếm thông tin về các loại xe tải, giá cả, địa điểm mua bán uy tín hoặc dịch vụ sửa chữa chất lượng tại khu vực Mỹ Đình, Hà Nội, đừng ngần ngại truy cập XETAIMYDINH.EDU.VN ngay hôm nay. Chúng tôi cung cấp thông tin chi tiết và cập nhật về các loại xe tải, so sánh giá cả và thông số kỹ thuật, tư vấn lựa chọn xe phù hợp với nhu cầu và ngân sách, giải đáp các thắc mắc liên quan đến thủ tục mua bán, đăng ký và bảo dưỡng xe tải.
Liên hệ ngay với Xe Tải Mỹ Đình để được tư vấn và giải đáp mọi thắc mắc:
- Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội.
- Hotline: 0247 309 9988
- Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN
Chúng tôi luôn sẵn lòng hỗ trợ bạn! Hãy để Xe Tải Mỹ Đình trở thành người bạn đồng hành tin cậy trên con đường chinh phục kiến thức và thành công trong lĩnh vực vận tải.
