Tìm M Để Hàm Số Có Cực Tiểu Mà Không Có Cực Đại? Giải Đáp Chi Tiết

Tìm M để Hàm Số Có Cực Tiểu Mà Không Có Cực đại là một dạng toán thường gặp trong chương trình phổ thông và các kỳ thi quan trọng. Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ cung cấp cho bạn lời giải chi tiết, dễ hiểu nhất về dạng toán này, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết mọi bài tập liên quan đến điều kiện để hàm số đạt cực tiểu mà không có cực đại.

1. Ý Định Tìm Kiếm Của Người Dùng Khi Tìm Kiếm Từ Khóa “Tìm M Để Hàm Số Có Cực Tiểu Mà Không Có Cực Đại”

1. Hiểu rõ khái niệm: Người dùng muốn hiểu rõ định nghĩa và điều kiện để một hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
2. Phương pháp giải: Người dùng tìm kiếm phương pháp, công thức và các bước giải cụ thể cho dạng bài toán này.
3. Ví dụ minh họa: Người dùng cần các ví dụ minh họa chi tiết, có lời giải rõ ràng để hiểu sâu hơn về cách áp dụng phương pháp.
4. Bài tập tự luyện: Người dùng mong muốn có các bài tập tự luyện để kiểm tra và củng cố kiến thức.
5. Ứng dụng thực tế: Người dùng muốn biết ứng dụng của dạng toán này trong các bài toán thực tế và trong các lĩnh vực khác.

2. Điều Kiện Để Hàm Số Có Cực Tiểu Mà Không Có Cực Đại

2.1. Thế Nào Là Cực Tiểu, Cực Đại Của Hàm Số?

Cực trị của hàm số là một khái niệm quan trọng trong giải tích, giúp xác định các điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một khoảng xác định.

• Cực đại: Điểm $x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm số $f(x)$ nếu tồn tại một khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) le f(x_0)$ với mọi $x in (a; b)$. Giá trị $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
• Cực tiểu: Điểm $x_0$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$ nếu tồn tại một khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) ge f(x_0)$ với mọi $x in (a; b)$. Giá trị $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.

2.2. Điều Kiện Cần Và Đủ Để Hàm Số Đạt Cực Trị

• Điều kiện cần: Nếu hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ và có đạo hàm tại điểm đó thì $f'(x_0) = 0$.
• Điều kiện đủ:
  • Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f”(x_0) > 0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
  • Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f”(x_0) < 0$ thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.
  • Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f”(x_0) = 0$ thì cần xét thêm các đạo hàm cấp cao hơn để xác định cực trị.

2.3. Hàm Số Có Cực Tiểu Mà Không Có Cực Đại Khi Nào?

Để hàm số $y = f(x)$ có cực tiểu mà không có cực đại, ta cần xét các trường hợp sau:

• Hàm số bậc 4 trùng phương: $y = ax^4 + bx^2 + c$ (với $a ne 0$).
  • Điều kiện: $a > 0$ và $b ge 0$. Khi đó, hàm số có một cực tiểu tại $x = 0$ và không có cực đại.
• Hàm số không có cực trị: Hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định của nó. Điều này xảy ra khi đạo hàm của hàm số không đổi dấu trên tập xác định.
• Hàm số có cực tiểu và không xác định tại điểm mà nó có thể đạt cực đại: Điểm này có thể là điểm gián đoạn hoặc điểm không thuộc tập xác định của hàm số.

Ví dụ minh họa:

• Hàm số $y = x^4 + 2x^2 + 1$ có $a = 1 > 0$ và $b = 2 > 0$, do đó hàm số có một cực tiểu tại $x = 0$ và không có cực đại.
• Hàm số $y = x^3$ không có cực trị vì đạo hàm $y’ = 3x^2$ luôn dương (trừ điểm $x = 0$).
• Hàm số $y = frac{1}{x^2 + 1}$ có một cực đại tại $x = 0$ và không có cực tiểu.

3. Các Bước Giải Bài Toán Tìm M Để Hàm Số Có Cực Tiểu Mà Không Có Cực Đại

Để giải bài toán tìm $m$ để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại, bạn có thể thực hiện theo các bước sau:

1. Xác định loại hàm số: Xác định xem hàm số đã cho là hàm đa thức, hàm phân thức, hàm lượng giác hay hàm số khác. Điều này giúp bạn chọn phương pháp phù hợp.
2. Tính đạo hàm: Tính đạo hàm cấp nhất $f'(x)$ và đạo hàm cấp hai $f”(x)$ của hàm số.
3. Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình $f'(x) = 0$ để tìm các điểm tới hạn của hàm số. Đây là các điểm mà tại đó hàm số có thể đạt cực trị.
4. Xét dấu đạo hàm: Lập bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
5. Xác định cực trị: Dựa vào bảng xét dấu của $f'(x)$ và giá trị của $f”(x)$ tại các điểm tới hạn để xác định các điểm cực tiểu và cực đại của hàm số.
6. Tìm điều kiện cho m: Dựa vào yêu cầu của bài toán (hàm số có cực tiểu mà không có cực đại) để thiết lập các điều kiện cho tham số $m$.
7. Giải các điều kiện: Giải các điều kiện đã thiết lập để tìm ra các giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
8. Kiểm tra lại: Kiểm tra lại các giá trị của $m$ đã tìm được bằng cách thay vào hàm số gốc và kiểm tra xem hàm số có thực sự có cực tiểu mà không có cực đại hay không.

4. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết

4.1. Ví Dụ 1: Hàm Bậc 4 Trùng Phương

Đề bài: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^4 – 2mx^2 + 3$ có cực tiểu mà không có cực đại.

Lời giải:

1. Xác định loại hàm số: Đây là hàm bậc 4 trùng phương.

2. Tính đạo hàm:

   • $y’ = 4x^3 – 4mx = 4x(x^2 – m)$
   • $y” = 12x^2 – 4m$

3. Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình $y’ = 0$:

   • $4x(x^2 – m) = 0 Rightarrow x = 0$ hoặc $x^2 = m$

4. Xét các trường hợp:

   • Trường hợp 1: $m le 0$. Khi đó, $y’ = 0$ chỉ có một nghiệm $x = 0$.

     • Bảng xét dấu của $y’$:

     x	-∞	0	+∞
     y’	–	0	+

     • Hàm số có một cực tiểu tại $x = 0$ và không có cực đại. Vậy $m le 0$ thỏa mãn.

   • Trường hợp 2: $m > 0$. Khi đó, $y’ = 0$ có ba nghiệm $x = 0, x = sqrt{m}, x = -sqrt{m}$.

     • Bảng xét dấu của $y’$:

     x	-∞	-√m	0	√m	+∞
     y’	–	0	+	0	–

     • Hàm số có hai cực tiểu tại $x = pm sqrt{m}$ và một cực đại tại $x = 0$. Vậy $m > 0$ không thỏa mãn.

5. Kết luận: Các giá trị của $m$ để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại là $m le 0$.

4.2. Ví Dụ 2: Hàm Phân Thức Hữu Tỷ

Đề bài: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = frac{x^2 + mx + 1}{x + 1}$ có cực tiểu mà không có cực đại.

Lời giải:

1. Xác định loại hàm số: Đây là hàm phân thức hữu tỷ.

2. Tính đạo hàm:

   • $y’ = frac{(2x + m)(x + 1) – (x^2 + mx + 1)}{(x + 1)^2} = frac{x^2 + 2x + m – 1}{(x + 1)^2}$

3. Điều kiện xác định: $x ne -1$

4. Xét tử số của đạo hàm: $g(x) = x^2 + 2x + m – 1$

   • Để hàm số có cực trị, $g(x) = 0$ phải có nghiệm.
   • $Delta’ = 1 – (m – 1) = 2 – m$
   • Để $g(x) = 0$ có nghiệm, $Delta’ ge 0 Rightarrow m le 2$

5. Xét các trường hợp:

   • Trường hợp 1: $m = 2$. Khi đó, $g(x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$.
     • $y’ = frac{(x + 1)^2}{(x + 1)^2} = 1$ với $x ne -1$.
     • Hàm số không có cực trị.
   • Trường hợp 2: $m < 2$. Khi đó, $g(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.
     • $y’ = frac{(x – x_1)(x – x_2)}{(x + 1)^2}$
     • Để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại, ta cần xét dấu của $y’$ và loại bỏ trường hợp có cực đại.
     • Tuy nhiên, việc xét dấu cụ thể trở nên phức tạp. Ta có thể sử dụng một phương pháp khác.

6. Phương pháp khác:

   • Để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại, hàm số phải có dạng “hướng lên” và không bị chặn trên.
   • Điều này xảy ra khi $y’ ge 0$ với mọi $x ne -1$ hoặc $y’ le 0$ với mọi $x ne -1$.
   • Do đó, ta cần $g(x) ge 0$ với mọi $x$ hoặc $g(x) le 0$ với mọi $x$.
   • Điều này chỉ xảy ra khi $Delta’ le 0$, tức là $m ge 2$.
   • Kết hợp với điều kiện $m le 2$, ta có $m = 2$.
   • Tuy nhiên, khi $m = 2$, hàm số không có cực trị.

7. Kết luận: Không có giá trị nào của $m$ để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.

4.3. Ví Dụ 3: Ứng Dụng Điều Kiện Cần Và Đủ

Đề bài: Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 + 3x^2 + mx + m$ có cực tiểu mà không có cực đại.

Lời giải:

1. Tính đạo hàm:

   • $y’ = 3x^2 + 6x + m$
   • $y” = 6x + 6$

2. Điều kiện để có cực trị: $y’ = 0$ phải có nghiệm.

   • $Delta’ = 9 – 3m$
   • Để $y’ = 0$ có nghiệm, $Delta’ ge 0 Rightarrow m le 3$

3. Xét các trường hợp:

   • Trường hợp 1: $m = 3$. Khi đó, $y’ = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2 ge 0$.
     • Hàm số không có cực trị.
   • Trường hợp 2: $m < 3$. Khi đó, $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.
     • $x_1 = frac{-3 + sqrt{9 – 3m}}{3}$
     • $x_2 = frac{-3 – sqrt{9 – 3m}}{3}$
     • $y” = 6x + 6 = 6(x + 1)$
     • $y”(x_1) = 6(x_1 + 1) = 6(frac{-3 + sqrt{9 – 3m}}{3} + 1) = 2sqrt{9 – 3m} > 0$ (cực tiểu)
     • $y”(x_2) = 6(x_2 + 1) = 6(frac{-3 – sqrt{9 – 3m}}{3} + 1) = -2sqrt{9 – 3m} < 0$ (cực đại)
     • Vậy, hàm số luôn có cả cực đại và cực tiểu khi $m < 3$.

4. Kết luận: Không có giá trị nào của $m$ để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.

Ảnh minh họa đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có cực tiểu mà không có cực đại

5. Bài Tập Tự Luyện

1. Tìm $m$ để hàm số $y = x^4 + mx^2 + 1$ có cực tiểu mà không có cực đại.
2. Tìm $m$ để hàm số $y = frac{x^2 + m}{x – 1}$ có cực tiểu mà không có cực đại.
3. Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 3x – 1$ có cực tiểu mà không có cực đại.
4. Tìm $m$ để hàm số $y = (m + 1)x^4 – 2mx^2 + 1$ có cực tiểu mà không có cực đại.
5. Tìm $m$ để hàm số $y = frac{x^2 – 2mx + m^2}{x + 1}$ có cực tiểu mà không có cực đại.

6. Ứng Dụng Thực Tế

Mặc dù có vẻ trừu tượng, việc tìm điều kiện để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau:

• Kinh tế: Trong kinh tế, các hàm số được sử dụng để mô hình hóa chi phí, doanh thu và lợi nhuận. Việc tìm cực tiểu của hàm chi phí mà không có cực đại giúp doanh nghiệp xác định mức chi phí tối thiểu để sản xuất một lượng hàng hóa nhất định, từ đó tối ưu hóa lợi nhuận.
• Kỹ thuật: Trong kỹ thuật, các hàm số được sử dụng để mô hình hóa các hệ thống vật lý và kỹ thuật. Việc tìm cực tiểu của hàm năng lượng mà không có cực đại giúp các kỹ sư thiết kế các hệ thống ổn định và hiệu quả. Ví dụ, trong thiết kế cầu, việc tìm cực tiểu của hàm lực mà không có cực đại giúp đảm bảo cầu không bị sập dưới tác động của tải trọng. Theo nghiên cứu của Trường Đại học Xây dựng Hà Nội, Khoa Kỹ thuật Xây dựng, vào tháng 5 năm 2024, việc áp dụng các phương pháp tối ưu hóa để tìm cực trị của hàm năng lượng giúp giảm thiểu rủi ro trong thiết kế cầu.
• Vật lý: Trong vật lý, các hàm số được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên. Việc tìm cực tiểu của hàm thế năng mà không có cực đại giúp các nhà vật lý xác định trạng thái cân bằng ổn định của một hệ vật lý. Ví dụ, trong cơ học lượng tử, việc tìm cực tiểu của hàm năng lượng giúp xác định trạng thái cơ bản của một nguyên tử hoặc phân tử.
• Toán học ứng dụng: Trong toán học ứng dụng, việc tìm cực trị của hàm số được sử dụng để giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Các bài toán này có thể liên quan đến việc tìm đường đi ngắn nhất, phân bổ tài nguyên tối ưu, hoặc dự đoán xu hướng thị trường.

Ứng dụng của cực trị hàm số trong kinh tế: Tối ưu hóa chi phí sản xuất

7. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)

1. Câu hỏi: Hàm số bậc 3 có thể có cực tiểu mà không có cực đại không?
   • Trả lời: Không, hàm số bậc 3 luôn có cả cực đại và cực tiểu hoặc không có cực trị nào cả.
2. Câu hỏi: Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực tiểu là gì?
   • Trả lời: Điều kiện cần là $f'(x_0) = 0$. Điều kiện đủ là $f'(x_0) = 0$ và $f”(x_0) > 0$.
3. Câu hỏi: Làm thế nào để xác định một điểm là cực tiểu hay cực đại của hàm số?
   • Trả lời: Bạn có thể sử dụng đạo hàm cấp hai hoặc xét dấu của đạo hàm cấp nhất xung quanh điểm đó.
4. Câu hỏi: Hàm số $y = x^4$ có cực tiểu mà không có cực đại không?
   • Trả lời: Có, hàm số $y = x^4$ có một cực tiểu tại $x = 0$ và không có cực đại.
5. Câu hỏi: Tại sao việc tìm cực trị của hàm số lại quan trọng trong thực tế?
   • Trả lời: Vì nó giúp chúng ta tìm ra các giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, kỹ thuật, vật lý và toán học ứng dụng.
6. Câu hỏi: Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f”(x_0) = 0$ thì sao?
   • Trả lời: Cần xét thêm các đạo hàm cấp cao hơn để xác định cực trị.
7. Câu hỏi: Hàm số phân thức có thể có cực tiểu mà không có cực đại không?
   • Trả lời: Có, tùy thuộc vào dạng của hàm số và các điều kiện ràng buộc.
8. Câu hỏi: Có phương pháp nào khác để tìm cực trị ngoài việc sử dụng đạo hàm không?
   • Trả lời: Có, bạn có thể sử dụng các phương pháp đồ thị hoặc các phương pháp số để tìm cực trị gần đúng.
9. Câu hỏi: Làm thế nào để kiểm tra lại kết quả sau khi tìm được giá trị của $m$?
   • Trả lời: Thay giá trị của $m$ vào hàm số gốc và kiểm tra xem hàm số có thực sự có cực tiểu mà không có cực đại hay không bằng cách vẽ đồ thị hoặc xét dấu đạo hàm.
10. Câu hỏi: Tại sao một số hàm số lại không có cực trị?
    • Trả lời: Vì đạo hàm của chúng không đổi dấu trên tập xác định hoặc không tồn tại đạo hàm tại một số điểm.

Bảng so sánh điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị

8. Kết Luận

Hy vọng bài viết này của Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) đã giúp bạn hiểu rõ hơn về điều kiện để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại và cách giải các bài toán liên quan. Đây là một dạng toán quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế, vì vậy hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức. Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại liên hệ với Xe Tải Mỹ Đình để được tư vấn và giải đáp tận tình.

Bạn đang gặp khó khăn trong việc lựa chọn xe tải phù hợp với nhu cầu kinh doanh của mình tại khu vực Mỹ Đình? Đừng lo lắng!

Hãy truy cập ngay XETAIMYDINH.EDU.VN hoặc liên hệ hotline 0247 309 9988 để được tư vấn miễn phí và giải đáp mọi thắc mắc về các dòng xe tải, thủ tục mua bán, đăng ký và bảo dưỡng xe.

Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội.

Xe Tải Mỹ Đình – Đối tác tin cậy của bạn trên mọi nẻo đường!