Bạn đang gặp khó khăn trong việc Tìm ảnh Của đường Tròn Qua Phép Tịnh Tiến? Đừng lo lắng, XETAIMYDINH.EDU.VN sẽ giúp bạn nắm vững phương pháp giải quyết dạng bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúng tôi cung cấp thông tin chi tiết, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán liên quan đến phép tịnh tiến đường tròn. Khám phá ngay để nâng cao kiến thức toán học của bạn và chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi sắp tới. Bài viết này sẽ đề cập đến phép biến hình, phương pháp tọa độ, và ứng dụng của phép tịnh tiến.
1. Phương Pháp Tìm Ảnh Của Đường Tròn Qua Phép Tịnh Tiến
Phép tịnh tiến là một phép biến hình cơ bản trong hình học, giúp di chuyển một hình mà không làm thay đổi kích thước và hình dạng của nó. Vậy, làm thế nào để tìm ảnh của một đường tròn qua phép tịnh tiến?
1.1. Nhắc Lại Về Phương Trình Đường Tròn
Để tìm ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến, trước tiên cần nắm vững phương trình đường tròn. Trong mặt phẳng Oxy, phương trình đường tròn có hai dạng chính:
+ Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R có phương trình:
(x – a)² + (y – b)² = R²
+ Dạng 2: Đường tròn (C) có phương trình:
x² + y² – 2ax – 2by + c = 0
với điều kiện a² + b² – c > 0. Khi đó, đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R = √(a² + b² – c).
Alt: Minh họa phương trình đường tròn với tâm I(a, b) và bán kính R trong hệ tọa độ Oxy
1.2. Sử Dụng Tính Chất Của Phép Tịnh Tiến
Phép tịnh tiến biến một đường tròn thành một đường tròn khác có cùng bán kính. Điều này có nghĩa là, để tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến, ta chỉ cần tìm ảnh của tâm I của (C) qua phép tịnh tiến đó.
1.3. Các Bước Thực Hiện
- Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C): Dựa vào phương trình đường tròn, xác định tọa độ tâm I(a; b) và bán kính R.
- Tìm ảnh của tâm I qua phép tịnh tiến: Gọi I'(a’; b’) là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (x₀; y₀). Khi đó:
a’ = a + x₀
b’ = b + y₀
- Viết phương trình đường tròn ảnh (C’): Đường tròn (C’) có tâm I'(a’; b’) và bán kính R’ = R. Phương trình của (C’) là:
(x – a’)² + (y – b’)² = R²
hoặc
x² + y² – 2a’x – 2b’y + c’ = 0 (nếu sử dụng dạng 2)
trong đó c’ = a’² + b’² – R².
2. Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách tìm ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến, hãy cùng xem xét một số ví dụ cụ thể.
2.1. Ví Dụ 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình (x + 3)² + (y – 1)² = 4 và vectơ v = (-3; 1). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
Hướng dẫn giải:
-
Bước 1: Xác định tâm và bán kính của (C).
Đường tròn (C) có tâm I(-3; 1) và bán kính R = 2.
-
Bước 2: Tìm ảnh của tâm I qua phép tịnh tiến.
Gọi I'(x’; y’) là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (-3; 1). Ta có:
x’ = -3 + (-3) = -6
y’ = 1 + 1 = 2
Vậy I'(-6; 2).
-
Bước 3: Viết phương trình đường tròn ảnh (C’).
Đường tròn (C’) có tâm I'(-6; 2) và bán kính R’ = R = 2. Phương trình của (C’) là:
(x + 6)² + (y – 2)² = 4
Vậy, ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v là đường tròn (C’) có phương trình (x + 6)² + (y – 2)² = 4.
2.2. Ví Dụ 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² + 2x – 4y – 4 = 0 và vectơ v = (2; -3). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
Hướng dẫn giải:
-
Bước 1: Xác định tâm và bán kính của (C).
Đưa phương trình về dạng (x – a)² + (y – b)² = R², ta có:
(x + 1)² + (y – 2)² = 9
Vậy đường tròn (C) có tâm I(-1; 2) và bán kính R = 3.
-
Bước 2: Tìm ảnh của tâm I qua phép tịnh tiến.
Gọi I'(x’; y’) là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (2; -3). Ta có:
x’ = -1 + 2 = 1
y’ = 2 + (-3) = -1
Vậy I'(1; -1).
-
Bước 3: Viết phương trình đường tròn ảnh (C’).
Đường tròn (C’) có tâm I'(1; -1) và bán kính R’ = R = 3. Phương trình của (C’) là:
(x – 1)² + (y + 1)² = 9
Vậy, ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v là đường tròn (C’) có phương trình (x – 1)² + (y + 1)² = 9.
Alt: Hình ảnh minh họa phép tịnh tiến đường tròn, cho thấy sự thay đổi vị trí nhưng không thay đổi kích thước
2.3. Ví Dụ 3
Tìm tọa độ vectơ v sao cho phép tịnh tiến theo vectơ v biến đường tròn (C) thành (C’) trong các trường hợp sau:
a) (C): (x – 2)² + (y + 3)² = 4 và (C’): (x + 5)² + (y – 1)² = 4
b) (C): x² + y² – 2x + 4y + 2 = 0 và (C’): x² + y² + 4x – 6y + 10 = 0
Hướng dẫn giải:
a) Từ (C), ta có tâm I(2; -3) và từ (C’), ta có tâm I’(-5; 1)
Khi đó, Tv(C) = (C’) <=> v = II’ = (-7; 4)
b) Từ (C), ta có tâm I(1; -2) và từ (C’), ta có tâm I’(-2; 3)
Khi đó, Tv(C) = (C’) <=> v = II’ = (-3; 5)
3. Bài Tập Trắc Nghiệm
Để củng cố kiến thức, hãy cùng làm một số bài tập trắc nghiệm sau đây:
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh của đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 3)² = 4 qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; 2) là đường tròn có phương trình:
A. (x + 2)² + (y + 5)² = 4.
B. (x – 2)² + (y – 5)² = 4.
C. (x – 1)² + (y + 3)² = 4.
D. (x + 4)² + (y – 1)² = 4.
Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm I(-1; 3), bán kính R = 2.
Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến Tv
+) Đường tròn (C) có tâm I(-1;3), bán kính R = 2.
+) Gọi I'(x’;y’) là tâm của đường tròn (C’) là ảnh của I(-1;3) qua phép tịnh tiến vectơ v = (3;2).
Ta có: I’ = Tv(I) => I'(2;5)
+) Theo tính chất của Phép tịnh tiến: R’ = R = 2.
+) Khi đó, (C’) có tâm I'(2;5), bán kính R’ = 2 nên có phương trình (x – 2)² + (y – 5)² = 4.
Chọn B.
Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ v = (3; 3) và đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0. Ảnh của (C) qua phép tịnh tiến vectơ v là đường tròn nào?
A. (C’): (x – 4)² + (y – 1)² = 4.
B. (C’): (x – 4)² + (y – 1)² = 9.
C. (C’): (x + 4)² + (y + 1)² = 9.
D. (C’): x² + y² + 8x + 2y – 4 = 0.
Lời giải:
Ta có (C): x² + y² -2x + 4y – 4 = 0 <=> (x – 1)² + (y + 2)² = 9.
Vậy đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3.
Gọi I'(x’;y’) = Tv (I) khi đó ta có I'(4;1)
Do phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính nên phương trình đường tròn (C’) là (C’): (x – 4)² + (y – 1)² = 9.
Chọn B.
Câu 3. Cho v(3;-2) và đường tròn (C): x² + y² – 4x + 4y – 1 = 0. Ảnh của (C) qua Tv là (C’):
A. x² + y² + 8x + 2y – 4 = 0
B. (x + 5)² + (y – 4)² = 9.
C. (x + 1)² + y² = 9.
D. (x – 5)² + (y + 4)² = 9.
Lời giải:
Đường tròn (C): (x – 2)² + (y + 2)² = 9 có tâm I(2;-2) và bán kính R = 3
Gọi I’ là tâm của đường tròn (C’). Khi đó: Tv (I) = I’ => I'(5;-4).
Mặt khác: R’ = R = 3. Vậy phương trình của (C’): (x – 5)² + (y + 4)² = 9
Chọn D.
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1) và (C2) bằng nhau có phương trình lần lượt là (x – 1)² + (y + 2)² = 16 và (x + 3)² + (y – 4)² = 16. Giả sử T là phép tịnh tiến theo vectơ v biến (C1) thành (C2). Tìm tọa độ của vectơ v.
A. v = (-4;6).
B. v = (4;-6).
C. v = (3;-5).
D. v = (8;-10).
Lời giải:
Đường tròn (C1) có tâm I1(1;-2). Đường tròn (C2) có tâm I2(-3;4).
Vì Tv(C1) = C2 nên v = I1I2 = (-4;6)
Chọn A.
Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² + 4x – 6y – 5 = 0. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ u = (1;-2) và v = (1;-1) thì đường tròn (C) biến thành đường tròn (C’) có phương trình là:
A. x² + y² – 18 = 0.
B. x² + y² – x + 8y + 2 = 0.
C. x² + y² + x – 6y – 5 = 0.
D. x² + y² – 4y – 4 = 0.
Lời giải:
Cách 1.
+) Từ giả thiết suy ra (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo w = u + v = (2;-3)
+) Đường tròn (C) có tâm I(-2;3), bán kính R = √(2² + (-3)² + 5) = √18
+) Gọi I'(x’;y’) là tâm của đường tròn (C’) là ảnh của I(-2;3) qua phép tịnh tiến vectơ w = (2;-3) → I'(0;0).
+) Theo tính chất của Phép tịnh tiến: R’ = R = √18
+) Khi đó, (C’) có tâm I'(0;0), bán kính R’ = √18 nên có phương trình (x – 0)² + (y – 0)² = 18
Chọn A.
Cách 2.
+) Từ giả thiết suy ra (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo w = u + v = (2;-3)
+) Biểu thức tọa độ của phép Tw là : x’ = x + 2 ; y’ = y – 3 => x = x’ – 2 ; y = y’ + 3 thay vào (C) ta được
(x’ – 2)² + (y’ + 3)² + 4(x – 2) – 6(y’ + 3) – 5 = 0 <=> x’² + y’² – 18 = 0.
Chọn A.
Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 9 và đường tròn(C’): (x + 1)² + (y – 3)² = 9. Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’). Khi đó véc tơ v có toạ độ là
A. v = (5;2).
B. v = (2;-5).
C. v = (-2;5).
D. v = (2;5).
Lời giải:
Chọn C
Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3, đường tròn (C’) có tâm I'(-1;3) và bán kính R = 3.
Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) thì Tv(I) = I’
=> v = II’ = (-2;5)
Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x + y – 1 = 0 và đường tròn (C): (x – 3)² + (y – 1)² = 1. Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ v = (4;0) cắt đường tròn (C) tại hai điểm A(x1;y1) và B(x2;y2). Giá trị x1 + x2 bằng:
A. 5.
B. 8.
C. 6.
D. 7.
Lời giải:
Tv: x’ = x + 4 ; y’ = y => x = x’ – 4 ; y = y’
Do đó ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo v là d’: x + y – 5 = 0.
Giao điểm của d’ và (C) là nghiệm của hệ phương trình:
{x + y – 5 = 0
{(x – 3)² + (y – 1)² = 1
=> (x – 3)² + (4 – x)² = 1
=> 2x² – 14x + 24 = 0 (2)
Có x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (2) nên theo định lý Vi-ét có x1 + x2 = 7.
Chọn D.
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): (x + m)² + (y – 2)² = 5 và (C’): x² + y² + 2(m – 2)y – 6x + 12 + m² = 0. Vectơ v nào dưới đây là vectơ của phép tịnh tiến biến (C) thành (C’)?
A. v = (2;1).
B. v = (-2;1).
C. v = (-1;2).
D. v = (2;-1).
Lời giải:
(C): (x + m)² + (y – 2)² = 5 => I(-m;2) ; R = √5
(C’): x² + y² + 2(m – 2)y – 6x + 12 + m² = 0 => I'(3;2-m) ; R’ = √5
=> v = II’ = (3+m ; -m)
Ta có : x’ = x + a ; y’ = y + b => {a = 3 + m ; b = -m
=> a + b = 3 => Loại C, D
+) Xét đáp án A: {a = 2; b = 1 => a + b ≠ 3 => Loại A
Chọn A.
Câu 9. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó?
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số.
Lời giải:
Có đúng một phép tịnh tiến. Tịnh tiến theo vectơ −khong.
Chọn B
Câu 10. Cho đường tròn (C) có tâm O và đường kính AB. Gọi Δ là tiếp tuyến của (C) tại điểm A. Phép tịnh tiến theo vectơ OB biến Δ thành:
A. Đường kính của đường tròn (C) song song với Δ.
B. Tiếp tuyến của (C) tại điểm B.
C. Tiếp tuyến của (C) song song với AB.
D. Đường thẳng song song với Δ và đi qua O
Lời giải:
Ta có TOB(Δ) = Δ’
Theo tính chất 2 của phép tịnh tiến nên Δ’ là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm B.
Chọn B.
Alt: Hình ảnh minh họa các dạng bài tập trắc nghiệm thường gặp về phép tịnh tiến đường tròn
4. Bài Tập Tự Luyện
Để thành thạo hơn, bạn hãy tự giải các bài tập sau:
Bài 1. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 2)² + (y – 1)² = 4 qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (1; 2).
Bài 2. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 4 qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; 3).
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh của đường tròn (C): x² + y² – 2y = 0 qua phép tịnh tiến theo v = (−3;−2) là đường tròn có phương trình?
Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vecto v = (−2;4).
Bài 5. Tìm ảnh (C’) của đường tròn (C): (x − 2)² + (y + 3)² = 4 qua phép tịnh tiến u = (−2;3).
5. Ứng Dụng Thực Tế Của Phép Tịnh Tiến
Phép tịnh tiến không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong toán học, mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong cuộc sống hàng ngày và trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật.
5.1. Trong Thiết Kế và Xây Dựng
Trong thiết kế kiến trúc và xây dựng, phép tịnh tiến được sử dụng để tạo ra các cấu trúc lặp đi lặp lại, chẳng hạn như các hoa văn trên tường, các ô cửa sổ trong một tòa nhà, hoặc các chi tiết trang trí trên cầu. Việc sử dụng phép tịnh tiến giúp đảm bảo tính đồng nhất và thẩm mỹ cho công trình.
5.2. Trong Đồ Họa Máy Tính
Trong lĩnh vực đồ họa máy tính, phép tịnh tiến là một trong những phép biến đổi cơ bản nhất. Nó được sử dụng để di chuyển các đối tượng trên màn hình, tạo ra các hiệu ứng động, và xây dựng các mô hình 3D. Ví dụ, trong các trò chơi điện tử, phép tịnh tiến được sử dụng để di chuyển nhân vật, các vật thể, và cả khung cảnh xung quanh.
5.3. Trong Công Nghiệp Sản Xuất
Trong công nghiệp sản xuất, phép tịnh tiến được ứng dụng trong các dây chuyền sản xuất tự động. Các robot và máy móc có thể thực hiện các thao tác tịnh tiến để di chuyển các bộ phận, lắp ráp sản phẩm, hoặc đóng gói hàng hóa.
5.4. Trong Khoa Học và Kỹ Thuật
Trong khoa học và kỹ thuật, phép tịnh tiến được sử dụng để mô phỏng các chuyển động trong không gian, chẳng hạn như chuyển động của các hành tinh, chuyển động của các hạt trong vật lý, hoặc chuyển động của các phân tử trong hóa học.
6. Tại Sao Nên Tìm Hiểu Về Phép Tịnh Tiến Tại XETAIMYDINH.EDU.VN?
XETAIMYDINH.EDU.VN không chỉ cung cấp cho bạn những kiến thức lý thuyết về phép tịnh tiến, mà còn mang đến những giá trị khác biệt:
- Thông tin chi tiết và dễ hiểu: Chúng tôi trình bày các khái niệm một cách rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể.
- Bài tập đa dạng: Chúng tôi cung cấp các bài tập từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán.
- Tư vấn tận tình: Đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của chúng tôi luôn sẵn sàng giải đáp mọi thắc mắc của bạn.
- Cập nhật kiến thức mới nhất: Chúng tôi liên tục cập nhật các thông tin mới nhất về chương trình học và các kỳ thi.
Đến với XETAIMYDINH.EDU.VN, bạn sẽ không chỉ nắm vững kiến thức về phép tịnh tiến, mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.
Alt: Hình ảnh ứng dụng của phép tịnh tiến trong thiết kế, thể hiện sự lặp lại của các hoa văn
7. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)
-
Phép tịnh tiến là gì?
Phép tịnh tiến là một phép biến hình trong đó mỗi điểm của hình được di chuyển theo cùng một hướng và cùng một khoảng cách. -
Tính chất quan trọng nhất của phép tịnh tiến là gì?
Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. -
Làm thế nào để tìm ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến?
Nếu điểm A(x; y) và vectơ tịnh tiến là v = (a; b), thì ảnh A'(x’; y’) của A qua phép tịnh tiến là: x’ = x + a và y’ = y + b. -
Phép tịnh tiến có làm thay đổi kích thước của hình không?
Không, phép tịnh tiến không làm thay đổi kích thước của hình. -
Phép tịnh tiến có làm thay đổi hình dạng của hình không?
Không, phép tịnh tiến không làm thay đổi hình dạng của hình. -
Ảnh của một đường thẳng qua phép tịnh tiến là gì?
Ảnh của một đường thẳng qua phép tịnh tiến là một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu. -
Ảnh của một đường tròn qua phép tịnh tiến là gì?
Ảnh của một đường tròn qua phép tịnh tiến là một đường tròn có cùng bán kính. -
Ứng dụng của phép tịnh tiến trong thực tế là gì?
Phép tịnh tiến có nhiều ứng dụng trong thiết kế, đồ họa máy tính, công nghiệp sản xuất, và khoa học kỹ thuật. -
Làm thế nào để viết phương trình của đường tròn ảnh sau phép tịnh tiến?
Tìm ảnh của tâm đường tròn qua phép tịnh tiến, sau đó viết phương trình đường tròn mới với tâm mới và bán kính không đổi. -
Tại sao cần nắm vững kiến thức về phép tịnh tiến?
Kiến thức về phép tịnh tiến giúp bạn giải quyết các bài toán hình học, hiểu rõ hơn về các ứng dụng của toán học trong thực tế, và phát triển tư duy logic.
8. Lời Kêu Gọi Hành Động (CTA)
Bạn đã sẵn sàng chinh phục mọi bài toán về phép tịnh tiến và nâng cao kiến thức toán học của mình? Hãy truy cập ngay XETAIMYDINH.EDU.VN để khám phá thêm nhiều bài viết hữu ích, bài tập thực hành và các khóa học chất lượng. Đừng bỏ lỡ cơ hội được tư vấn trực tiếp bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của chúng tôi. Liên hệ ngay để được giải đáp mọi thắc mắc và bắt đầu hành trình chinh phục toán học ngay hôm nay!
Thông tin liên hệ:
- Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội
- Hotline: 0247 309 9988
- Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN
Với XETAIMYDINH.EDU.VN, việc học toán trở nên dễ dàng và thú vị hơn bao giờ hết! Hãy cùng chúng tôi khám phá thế giới toán học và đạt được những thành công vượt trội!
