Tìm A để Hàm Số Liên Tục là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, giúp bạn hiểu sâu hơn về tính liên tục của hàm số. Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ đồng hành cùng bạn khám phá các phương pháp giải quyết dạng bài này một cách chi tiết và dễ hiểu, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán liên quan đến hàm số liên tục, bài toán liên quan đến tính liên tục. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng cung cấp thêm các bài tập vận dụng và tài liệu tham khảo hữu ích, đảm bảo bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.
1. Thế Nào Là Hàm Số Liên Tục?
Hàm số liên tục là một khái niệm then chốt trong giải tích, vậy định nghĩa chính xác của nó là gì?
Trả lời: Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu nó thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:
- f(x₀) xác định (tức là x₀ thuộc tập xác định của f).
- Tồn tại giới hạn hữu hạn của f(x) khi x tiến đến x₀, ký hiệu là lim(x→x₀) f(x).
- Giới hạn này bằng với giá trị của hàm số tại điểm đó: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).
Để hàm số liên tục trên một khoảng (a; b), nó phải liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Điều này có nghĩa là không có “khoảng trống” hay “bước nhảy” nào trên đồ thị của hàm số trong khoảng đang xét. Theo “Giải tích 1” của GS.TSKH. Nguyễn Đình Trí (Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2017), tính liên tục là một trong những tính chất quan trọng nhất của hàm số, nền tảng cho nhiều khái niệm khác trong giải tích như đạo hàm và tích phân.
1.1. Ý nghĩa trực quan của hàm số liên tục
Một cách trực quan, bạn có thể hình dung đồ thị của hàm số liên tục là một đường liền nét, không bị đứt quãng hay gián đoạn tại bất kỳ điểm nào. Bạn có thể vẽ đồ thị này mà không cần nhấc bút lên khỏi giấy.
1.2. Hàm số liên tục trong thực tế
Trong thực tế, có rất nhiều hiện tượng có thể mô tả bằng hàm số liên tục, ví dụ như sự thay đổi nhiệt độ theo thời gian, tốc độ của một chiếc xe đang di chuyển, hay sự tăng trưởng dân số (mặc dù dân số chỉ có thể là số nguyên, nhưng trong một khoảng thời gian dài, ta có thể xem nó như một hàm liên tục).
2. Điều Kiện Cần Và Đủ Để Hàm Số Liên Tục Tại Một Điểm
Để xác định xem một hàm số có liên tục tại một điểm hay không, bạn cần kiểm tra những điều kiện nào?
Trả lời: Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) liên tục tại điểm x₀ là:
- Điều kiện cần: Hàm số f(x) phải xác định tại điểm x₀, tức là x₀ phải thuộc tập xác định của hàm số.
- Điều kiện đủ: Tồn tại giới hạn hữu hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến x₀, và giới hạn này phải bằng giá trị của hàm số tại điểm đó. Nói cách khác, lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).
2.1. Giải thích chi tiết các điều kiện
- Điều kiện xác định: Nếu hàm số không xác định tại x₀, rõ ràng nó không thể liên tục tại điểm đó. Ví dụ, hàm số f(x) = 1/x không xác định tại x = 0, do đó nó không liên tục tại điểm này.
- Điều kiện giới hạn: Để giới hạn lim(x→x₀) f(x) tồn tại, cả giới hạn bên trái (lim(x→x₀-) f(x)) và giới hạn bên phải (lim(x→x₀+) f(x)) phải tồn tại và bằng nhau. Nếu giới hạn này không tồn tại, hoặc tồn tại nhưng không bằng f(x₀), hàm số sẽ không liên tục tại x₀.
2.2. Ví dụ minh họa
Xét hàm số:
f(x) =
x^2, nếu x < 1
2, nếu x = 1
3 – x, nếu x > 1
Tại x = 1:
- f(1) = 2 (xác định)
- lim(x→1-) f(x) = lim(x→1-) x^2 = 1
- lim(x→1+) f(x) = lim(x→1+) (3 – x) = 2
Vì lim(x→1-) f(x) ≠ lim(x→1+) f(x), nên không tồn tại lim(x→1) f(x). Do đó, hàm số không liên tục tại x = 1.
3. Phương Pháp Tìm A Để Hàm Số Liên Tục
Vậy làm thế nào để tìm giá trị của tham số ‘a’ sao cho hàm số trở nên liên tục?
Trả lời: Để tìm giá trị của tham số ‘a’ để hàm số liên tục tại một điểm, bạn thực hiện theo các bước sau:
- Kiểm tra điều kiện xác định: Đảm bảo hàm số xác định tại điểm mà bạn muốn nó liên tục.
- Tính giới hạn: Tính giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số tại điểm đó.
- Thiết lập phương trình: Đặt giới hạn bên trái bằng giới hạn bên phải và bằng giá trị của hàm số tại điểm đó.
- Giải phương trình: Giải phương trình để tìm giá trị của tham số ‘a’.
3.1. Các bước thực hiện chi tiết
Bước 1: Kiểm tra điều kiện xác định
Đảm bảo rằng điểm đang xét thuộc tập xác định của hàm số. Nếu không, không cần thực hiện các bước tiếp theo.
Bước 2: Tính giới hạn
- Tính giới hạn bên trái: lim(x→x₀-) f(x)
- Tính giới hạn bên phải: lim(x→x₀+) f(x)
Nếu hàm số được định nghĩa khác nhau ở hai phía của điểm x₀, bạn cần sử dụng đúng biểu thức tương ứng để tính giới hạn.
Bước 3: Thiết lập phương trình
Để hàm số liên tục tại x₀, ta cần có:
lim(x→x₀-) f(x) = lim(x→x₀+) f(x) = f(x₀)
Từ đó, bạn sẽ có một hoặc nhiều phương trình để giải tìm ‘a’.
Bước 4: Giải phương trình
Giải phương trình hoặc hệ phương trình để tìm giá trị của ‘a’. Hãy nhớ kiểm tra lại xem giá trị ‘a’ tìm được có thỏa mãn các điều kiện khác của bài toán hay không.
3.2. Ví dụ minh họa cụ thể
Cho hàm số:
f(x) =
ax + 1, nếu x ≤ 2
x^2 – 1, nếu x > 2
Tìm ‘a’ để f(x) liên tục tại x = 2.
Giải:
- Kiểm tra điều kiện xác định: f(2) = 2a + 1 (xác định)
- Tính giới hạn:
- lim(x→2-) f(x) = lim(x→2-) (ax + 1) = 2a + 1
- lim(x→2+) f(x) = lim(x→2+) (x^2 – 1) = 3
- Thiết lập phương trình:
Để f(x) liên tục tại x = 2, ta cần:
2a + 1 = 3 - Giải phương trình:
2a = 2
a = 1
Vậy a = 1 là giá trị cần tìm.
4. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Tìm A Để Hàm Số Liên Tục
Để giúp bạn làm quen với các dạng bài tập khác nhau, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ điển hình.
Trả lời: Các dạng bài tập phổ biến về tìm ‘a’ để hàm số liên tục bao gồm:
- Hàm số cho bởi nhiều công thức: Dạng này yêu cầu bạn tìm ‘a’ để hàm số liên tục tại điểm chuyển đổi giữa các công thức.
- Hàm số chứa căn thức hoặc phân thức: Dạng này đòi hỏi bạn phải xử lý các biểu thức phức tạp và tìm giới hạn một cách cẩn thận.
- Bài toán liên quan đến tính liên tục trên một khoảng: Dạng này yêu cầu bạn phải xét tính liên tục tại nhiều điểm hoặc trên toàn bộ khoảng xác định.
4.1. Dạng 1: Hàm số cho bởi nhiều công thức
Đây là dạng bài tập cơ bản và thường gặp nhất.
Ví dụ:
Cho hàm số:
f(x) =
(x^2 – 4) / (x – 2), nếu x ≠ 2
a, nếu x = 2
Tìm ‘a’ để f(x) liên tục tại x = 2.
Giải:
- Kiểm tra điều kiện xác định: f(2) = a (xác định)
- Tính giới hạn:
lim(x→2) f(x) = lim(x→2) (x^2 – 4) / (x – 2) = lim(x→2) (x + 2) = 4 - Thiết lập phương trình:
Để f(x) liên tục tại x = 2, ta cần:
a = 4 - Giải phương trình:
a = 4
Vậy a = 4 là giá trị cần tìm.
4.2. Dạng 2: Hàm số chứa căn thức hoặc phân thức
Dạng này đòi hỏi kỹ năng tính giới hạn tốt hơn.
Ví dụ:
Cho hàm số:
f(x) =
(√(x + 1) – 1) / x, nếu x > 0
a, nếu x ≤ 0
Tìm ‘a’ để f(x) liên tục tại x = 0.
Giải:
- Kiểm tra điều kiện xác định: f(0) = a (xác định)
- Tính giới hạn:
lim(x→0+) f(x) = lim(x→0+) (√(x + 1) – 1) / x
Để tính giới hạn này, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp:
lim(x→0+) (√(x + 1) – 1) / x * (√(x + 1) + 1) / (√(x + 1) + 1) = lim(x→0+) x / (x(√(x + 1) + 1)) = lim(x→0+) 1 / (√(x + 1) + 1) = 1/2
- Thiết lập phương trình:
Để f(x) liên tục tại x = 0, ta cần:
a = 1/2 - Giải phương trình:
a = 1/2
Vậy a = 1/2 là giá trị cần tìm.
4.3. Dạng 3: Bài toán liên quan đến tính liên tục trên một khoảng
Dạng này phức tạp hơn và đòi hỏi bạn phải xét tính liên tục tại nhiều điểm.
Ví dụ:
Cho hàm số:
f(x) =
x + a, nếu x < -1
x^2 + 3x + 2, nếu -1 ≤ x ≤ 1
2x + b, nếu x > 1
Tìm a và b để f(x) liên tục trên R.
Giải:
Để f(x) liên tục trên R, nó phải liên tục tại x = -1 và x = 1.
- Tại x = -1:
- lim(x→-1-) f(x) = lim(x→-1-) (x + a) = -1 + a
- lim(x→-1+) f(x) = lim(x→-1+) (x^2 + 3x + 2) = 0
- f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) + 2 = 0
Để f(x) liên tục tại x = -1, ta cần:
-1 + a = 0 => a = 1
- Tại x = 1:
- lim(x→1-) f(x) = lim(x→1-) (x^2 + 3x + 2) = 6
- lim(x→1+) f(x) = lim(x→1+) (2x + b) = 2 + b
- f(1) = (1)^2 + 3(1) + 2 = 6
Để f(x) liên tục tại x = 1, ta cần:
6 = 2 + b => b = 4
Vậy a = 1 và b = 4 là các giá trị cần tìm.
5. Lưu Ý Quan Trọng Khi Giải Bài Tập Tìm A Để Hàm Số Liên Tục
Để tránh sai sót khi giải bài tập, hãy ghi nhớ những điều sau.
Trả lời: Khi giải bài tập tìm ‘a’ để hàm số liên tục, bạn cần lưu ý:
- Xác định rõ điểm cần xét tính liên tục: Đọc kỹ đề bài để biết chính xác điểm mà bạn cần kiểm tra tính liên tục của hàm số.
- Tính toán cẩn thận: Tính giới hạn một cách chính xác, đặc biệt là với các hàm số phức tạp.
- Kiểm tra lại kết quả: Sau khi tìm được giá trị của ‘a’, hãy thay vào hàm số ban đầu và kiểm tra lại xem hàm số có thực sự liên tục tại điểm đó hay không.
- Sử dụng các định lý và tính chất: Áp dụng các định lý về giới hạn và tính liên tục để đơn giản hóa bài toán.
5.1. Các lỗi sai thường gặp
- Sai sót trong tính toán giới hạn: Đây là lỗi phổ biến nhất, đặc biệt là với các hàm số chứa căn thức hoặc phân thức.
- Không kiểm tra điều kiện xác định: Quên kiểm tra xem hàm số có xác định tại điểm đang xét hay không.
- Nhầm lẫn giữa giới hạn một bên và giới hạn hai bên: Sử dụng sai giới hạn bên trái hoặc bên phải khi tính toán.
- Không kiểm tra lại kết quả: Sau khi tìm được ‘a’, không thay vào hàm số để kiểm tra lại tính liên tục.
5.2. Mẹo giải nhanh
- Sử dụng máy tính bỏ túi: Để kiểm tra nhanh giới hạn, bạn có thể sử dụng máy tính bỏ túi.
- Nhận diện các dạng vô định: Nắm vững các dạng vô định (0/0, ∞/∞, …) để áp dụng các kỹ thuật khử dạng vô định phù hợp.
- Vẽ đồ thị hàm số: Nếu có thể, hãy vẽ đồ thị hàm số để hình dung trực quan về tính liên tục.
6. Ứng Dụng Của Hàm Số Liên Tục Trong Thực Tế Và Kỹ Thuật
Hàm số liên tục không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong toán học, mà còn có rất nhiều ứng dụng thực tế.
Trả lời: Hàm số liên tục có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế và kỹ thuật, bao gồm:
- Mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên: Nhiều hiện tượng tự nhiên như sự thay đổi nhiệt độ, áp suất, hay tốc độ có thể được mô hình hóa bằng các hàm số liên tục.
- Thiết kế kỹ thuật: Trong kỹ thuật, hàm số liên tục được sử dụng để thiết kế các hệ thống điều khiển, xử lý tín hiệu, và nhiều ứng dụng khác.
- Tối ưu hóa: Tính liên tục của hàm số là một điều kiện quan trọng để áp dụng các phương pháp tối ưu hóa, giúp tìm ra giải pháp tốt nhất cho một vấn đề.
6.1. Ví dụ về ứng dụng cụ thể
- Điều khiển nhiệt độ: Hệ thống điều khiển nhiệt độ trong các thiết bị điện tử sử dụng các hàm số liên tục để mô tả sự thay đổi nhiệt độ và điều chỉnh công suất làm mát.
- Xử lý tín hiệu âm thanh: Các thuật toán xử lý tín hiệu âm thanh sử dụng các hàm số liên tục để phân tích và tái tạo âm thanh.
- Dự báo thời tiết: Các mô hình dự báo thời tiết sử dụng các hàm số liên tục để mô tả sự thay đổi của các yếu tố khí tượng như nhiệt độ, áp suất, và độ ẩm.
6.2. Tầm quan trọng của tính liên tục
Tính liên tục đảm bảo rằng các mô hình toán học phản ánh đúng bản chất của các hiện tượng thực tế, và các giải pháp tìm được là khả thi và ổn định. Nếu hàm số không liên tục, các kết quả tính toán có thể bị sai lệch hoặc không có ý nghĩa.
7. Các Định Lý Về Hàm Số Liên Tục Cần Nắm Vững
Nắm vững các định lý sẽ giúp bạn giải quyết bài tập hiệu quả hơn.
Trả lời: Các định lý quan trọng về hàm số liên tục bao gồm:
- Định lý về giá trị trung gian: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) ≠ f(b), thì với mọi giá trị y nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một giá trị c thuộc (a; b) sao cho f(c) = y.
- Định lý Weierstrass: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a; b], thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
- Tính liên tục của các phép toán: Tổng, hiệu, tích, và thương (nếu mẫu khác 0) của các hàm số liên tục cũng là các hàm số liên tục.
7.1. Giải thích và ứng dụng của từng định lý
- Định lý về giá trị trung gian: Định lý này được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. Ví dụ, nếu f(a) < 0 và f(b) > 0, thì tồn tại ít nhất một nghiệm c thuộc (a; b) sao cho f(c) = 0.
- Định lý Weierstrass: Định lý này đảm bảo rằng hàm số liên tục trên một đoạn kín sẽ luôn có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, giúp ta tìm kiếm các điểm cực trị của hàm số.
- Tính liên tục của các phép toán: Định lý này cho phép ta xây dựng các hàm số phức tạp từ các hàm số đơn giản hơn, và vẫn đảm bảo tính liên tục của chúng.
7.2. Ví dụ minh họa việc sử dụng định lý
Chứng minh rằng phương trình x^3 – 3x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Giải:
Xét hàm số f(x) = x^3 – 3x + 1. Hàm số này liên tục trên đoạn [0; 1].
- f(0) = 1 > 0
- f(1) = -1 < 0
Vì f(0) và f(1) trái dấu, theo định lý về giá trị trung gian, tồn tại ít nhất một giá trị c thuộc (0; 1) sao cho f(c) = 0. Vậy phương trình x^3 – 3x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
8. Bài Tập Vận Dụng Nâng Cao Về Tìm A Để Hàm Số Liên Tục
Để thử thách bản thân, hãy giải các bài tập sau.
Trả lời: Dưới đây là một số bài tập vận dụng nâng cao về tìm ‘a’ để hàm số liên tục:
- Cho hàm số:
f(x) =
(sin(ax)) / x, nếu x < 0
x + a^2, nếu x ≥ 0
Tìm ‘a’ để f(x) liên tục tại x = 0. - Cho hàm số:
f(x) =
(1 + x)^(1/x), nếu x > 0
a, nếu x = 0
Tìm ‘a’ để f(x) liên tục tại x = 0. (Gợi ý: Sử dụng giới hạn đặc biệt lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e) - Cho hàm số:
f(x) =
(e^(ax) – 1) / x, nếu x ≠ 0
a + 1, nếu x = 0
Tìm ‘a’ để f(x) liên tục tại x = 0.
8.1. Hướng dẫn giải chi tiết
(Hướng dẫn chi tiết sẽ được cung cấp sau khi bạn tự giải các bài tập này. Hãy cố gắng tự mình giải trước khi xem hướng dẫn.)
8.2. Lời khuyên khi giải bài tập khó
- Đừng nản lòng: Các bài tập khó có thể mất nhiều thời gian và công sức để giải. Đừng nản lòng nếu bạn không giải được ngay từ đầu.
- Tìm kiếm sự giúp đỡ: Nếu bạn gặp khó khăn, hãy tìm kiếm sự giúp đỡ từ bạn bè, thầy cô, hoặc trên các diễn đàn trực tuyến.
- Học hỏi từ lời giải: Sau khi xem lời giải, hãy cố gắng hiểu rõ từng bước và áp dụng các kỹ thuật tương tự cho các bài tập khác.
9. Tại Sao Nên Tìm Hiểu Về Hàm Số Liên Tục Tại XETAIMYDINH.EDU.VN?
Chúng tôi tự tin mang đến cho bạn những kiến thức và kỹ năng tốt nhất.
Trả lời: Tại XETAIMYDINH.EDU.VN, bạn sẽ tìm thấy:
- Thông tin chi tiết và dễ hiểu: Chúng tôi cung cấp các bài viết, video, và tài liệu tham khảo được biên soạn một cách cẩn thận và dễ hiểu.
- Ví dụ minh họa phong phú: Chúng tôi sử dụng nhiều ví dụ minh họa cụ thể để giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng.
- Bài tập vận dụng đa dạng: Chúng tôi cung cấp các bài tập vận dụng từ cơ bản đến nâng cao để bạn rèn luyện kỹ năng giải toán.
- Hỗ trợ tận tình: Đội ngũ chuyên gia của chúng tôi luôn sẵn sàng giải đáp mọi thắc mắc của bạn.
9.1. Lợi ích khi học tại XETAIMYDINH.EDU.VN
- Nắm vững kiến thức: Bạn sẽ hiểu rõ về khái niệm hàm số liên tục, điều kiện liên tục, và các định lý liên quan.
- Nâng cao kỹ năng: Bạn sẽ rèn luyện được kỹ năng tính giới hạn, giải phương trình, và áp dụng các định lý để giải bài tập.
- Tự tin trong học tập: Bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán về hàm số liên tục trong các kỳ thi.
9.2. Cam kết của chúng tôi
Chúng tôi cam kết cung cấp cho bạn những thông tin chính xác, đầy đủ, và dễ hiểu nhất về hàm số liên tục. Chúng tôi luôn nỗ lực để mang đến cho bạn trải nghiệm học tập tốt nhất.
10. FAQ – Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Tìm A Để Hàm Số Liên Tục
Để giải đáp nhanh chóng các thắc mắc của bạn.
Trả lời: Dưới đây là một số câu hỏi thường gặp về tìm ‘a’ để hàm số liên tục:
- Hàm số gián đoạn là gì?
Hàm số gián đoạn tại một điểm nếu nó không liên tục tại điểm đó. - Làm thế nào để chứng minh một hàm số liên tục trên một khoảng?
Bạn cần chứng minh rằng hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. - Khi nào cần sử dụng giới hạn một bên để xét tính liên tục?
Khi hàm số được định nghĩa khác nhau ở hai phía của điểm đang xét. - Định lý giá trị trung gian có ứng dụng gì trong thực tế?
Định lý này được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, và có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật và khoa học. - Hàm số liên tục có đạo hàm không?
Không phải lúc nào hàm số liên tục cũng có đạo hàm. Ví dụ, hàm số |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm này. - Tại sao cần học về hàm số liên tục?
Hàm số liên tục là một khái niệm quan trọng trong giải tích và có nhiều ứng dụng trong thực tế và kỹ thuật. - Làm thế nào để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn?
Bạn có thể sử dụng định lý Weierstrass và tìm các điểm cực trị của hàm số trên đoạn đó. - Có những loại hàm số nào luôn liên tục?
Các hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, và hàm logarit (trên tập xác định của chúng) là các hàm số liên tục. - Làm thế nào để biết một hàm số có liên tục trên R hay không?
Bạn cần xét tính liên tục của hàm số tại mọi điểm thuộc R. Nếu hàm số được định nghĩa bởi nhiều công thức, bạn cần xét tính liên tục tại các điểm chuyển đổi giữa các công thức. - Nếu không tìm được giá trị ‘a’ nào thỏa mãn, điều đó có nghĩa là gì?
Điều đó có nghĩa là không có giá trị ‘a’ nào làm cho hàm số liên tục tại điểm đang xét.
Bạn đang gặp khó khăn trong việc tìm ‘a’ để hàm số liên tục? Bạn muốn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán về hàm số liên tục? Hãy truy cập ngay XETAIMYDINH.EDU.VN để được tư vấn và hỗ trợ tận tình. Với đội ngũ chuyên gia giàu kinh nghiệm và tài liệu học tập phong phú, chúng tôi sẽ giúp bạn chinh phục mọi bài toán về hàm số liên tục một cách dễ dàng. Liên hệ ngay hotline 0247 309 9988 hoặc đến địa chỉ Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội để được hỗ trợ tốt nhất! Xe Tải Mỹ Đình luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục kiến thức.
Đồ thị của một hàm số liên tục không có bất kỳ điểm gián đoạn nào, thể hiện rõ tính liên tục của nó.
