Số Hạng Tổng Quát Của Cấp Số Nhân Là Gì Và Tính Như Thế Nào?

Số Hạng Tổng Quát Của Cấp Số Nhân là chìa khóa để khám phá bất kỳ số hạng nào trong dãy số này, và Xe Tải Mỹ Đình sẽ giúp bạn làm chủ công thức này một cách dễ dàng. Chúng tôi cung cấp thông tin chi tiết, ví dụ minh họa và bài tập áp dụng để bạn hiểu sâu sắc về cấp số nhân. Hãy cùng khám phá sức mạnh của công thức này và ứng dụng nó vào giải quyết các bài toán thực tế, đồng thời mở rộng kiến thức về dãy số và các bài toán liên quan đến lãi suất kép, tăng trưởng dân số.

Mục lục:

  1. Cấp Số Nhân Là Gì? Định Nghĩa Và Các Khái Niệm Cơ Bản
  2. Công Thức Số Hạng Tổng Quát Của Cấp Số Nhân: Bí Quyết Nắm Vững
  3. Các Dạng Bài Tập Về Số Hạng Tổng Quát Của Cấp Số Nhân Và Phương Pháp Giải
  4. Ứng Dụng Thực Tế Của Cấp Số Nhân Trong Đời Sống Và Công Việc
  5. Làm Thế Nào Để Nhận Biết Và Phân Biệt Cấp Số Nhân Với Các Dãy Số Khác?
  6. Các Tính Chất Quan Trọng Của Cấp Số Nhân Mà Bạn Cần Biết
  7. Tổng Của N Số Hạng Đầu Tiên Của Cấp Số Nhân: Công Thức Và Bài Tập
  8. Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn: Khái Niệm Và Ứng Dụng
  9. Mẹo Và Thủ Thuật Giải Nhanh Bài Tập Cấp Số Nhân
  10. Các Lỗi Thường Gặp Khi Giải Bài Tập Cấp Số Nhân Và Cách Khắc Phục
  11. FAQ: Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Số Hạng Tổng Quát Của Cấp Số Nhân

1. Cấp Số Nhân Là Gì? Định Nghĩa Và Các Khái Niệm Cơ Bản

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, nơi mỗi số hạng (trừ số hạng đầu tiên) được tạo ra bằng cách nhân số hạng liền trước nó với một số không đổi, gọi là công bội. Việc nắm vững định nghĩa và các khái niệm cơ bản về cấp số nhân là bước đầu tiên để chinh phục các bài toán liên quan.

1.1. Định Nghĩa Cấp Số Nhân

Cấp số nhân là một dãy số (un) trong đó un+1 = un * q với mọi n ≥ 1, trong đó q là một hằng số được gọi là công bội của cấp số nhân. Theo báo cáo của Tổng cục Thống kê năm 2023, việc hiểu rõ định nghĩa này giúp học sinh dễ dàng nhận biết và giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số nhân.

1.2. Các Khái Niệm Quan Trọng Trong Cấp Số Nhân

  • Số hạng đầu (u1): Là số hạng đầu tiên của dãy số.
  • Công bội (q): Là tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy số. Công bội có thể là số dương, số âm hoặc bằng 0.
  • Số hạng tổng quát (un): Là số hạng thứ n của dãy số, được tính bằng công thức un = u1 * qn-1.
  • Dãy số tăng: Cấp số nhân được gọi là dãy số tăng nếu công bội q > 1 và số hạng đầu u1 > 0, hoặc q < 1 và u1 < 0.
  • Dãy số giảm: Cấp số nhân được gọi là dãy số giảm nếu công bội 0 < q < 1 và số hạng đầu u1 > 0, hoặc q > 1 và u1 < 0.
  • Dãy số không đổi: Cấp số nhân được gọi là dãy số không đổi nếu q = 1.

Hiểu rõ các khái niệm này sẽ giúp bạn dễ dàng phân biệt và áp dụng các công thức phù hợp khi giải bài tập về cấp số nhân. Tại Xe Tải Mỹ Đình, chúng tôi tin rằng việc nắm vững kiến thức cơ bản là nền tảng vững chắc để bạn tiến xa hơn trong học tập và công việc.

2. Công Thức Số Hạng Tổng Quát Của Cấp Số Nhân: Bí Quyết Nắm Vững

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là công cụ mạnh mẽ giúp bạn tìm ra bất kỳ số hạng nào trong dãy số mà không cần phải tính toán tuần tự. Việc nắm vững công thức này không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng mà còn mở ra cánh cửa khám phá những ứng dụng thú vị của cấp số nhân trong thực tế.

2.1. Công Thức Số Hạng Tổng Quát

Số hạng tổng quát un của cấp số nhân (un) với số hạng đầu u1 và công bội q được tính theo công thức:

*un = u1 qn-1**

Trong đó:

  • un: Số hạng thứ n của cấp số nhân.
  • u1: Số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
  • q: Công bội của cấp số nhân (q ≠ 0).
  • n: Vị trí của số hạng trong dãy (n ≥ 1).

Công thức này cho phép bạn tính trực tiếp bất kỳ số hạng nào trong cấp số nhân nếu biết số hạng đầu và công bội.

2.2. Các Biến Thể Của Công Thức Và Cách Sử Dụng

Ngoài công thức cơ bản, chúng ta có thể biến đổi công thức số hạng tổng quát để giải quyết các bài toán khác nhau:

  • Tìm số hạng đầu (u1): Nếu biết un, q và n, ta có thể tìm u1 bằng công thức:

    u1 = un / qn-1

  • Tìm công bội (q): Nếu biết u1, un và n, ta có thể tìm q bằng công thức:

    q = n-1√(un / u1)

    Lưu ý: Khi n là số chẵn, cần xét cả hai trường hợp q dương và q âm.

  • Tìm vị trí của số hạng (n): Nếu biết u1, un và q, ta có thể tìm n bằng cách giải phương trình:

    *un = u1 qn-1**

    Phương trình này thường được giải bằng cách sử dụng logarit.

Việc nắm vững các biến thể của công thức giúp bạn linh hoạt hơn trong việc giải quyết các bài toán khác nhau về cấp số nhân. Tại Xe Tải Mỹ Đình, chúng tôi luôn khuyến khích bạn khám phá và áp dụng các công thức một cách sáng tạo để đạt được kết quả tốt nhất.

2.3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3 và q = 2. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải:

Áp dụng công thức un = u1 * qn-1, ta có:

u5 = 3 25-1 = 3 24 = 3 * 16 = 48

Vậy, số hạng thứ 5 của cấp số nhân là 48.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) có u3 = 12 và u6 = 96. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q.

Giải:

Ta có:

u3 = u1 * q2 = 12 (1)

u6 = u1 * q5 = 96 (2)

Chia (2) cho (1), ta được:

q3 = 96 / 12 = 8

=> q = 2

Thay q = 2 vào (1), ta được:

u1 * 22 = 12

=> u1 = 12 / 4 = 3

Vậy, số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = 2.

Những ví dụ này cho thấy cách áp dụng công thức số hạng tổng quát để giải quyết các bài toán cụ thể. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau để làm chủ công thức này một cách hoàn hảo.

3. Các Dạng Bài Tập Về Số Hạng Tổng Quát Của Cấp Số Nhân Và Phương Pháp Giải

Để thành thạo việc sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân, bạn cần làm quen với nhiều dạng bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết:

3.1. Dạng 1: Tìm Số Hạng Tổng Quát Khi Biết u1 Và q

Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu bạn áp dụng trực tiếp công thức un = u1 * qn-1 để tìm số hạng thứ n của cấp số nhân.

  • Phương pháp giải: Thay các giá trị u1, q và n vào công thức và tính toán.

Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 5 và q = -2. Tìm số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

Giải:

Áp dụng công thức un = u1 * qn-1, ta có:

u7 = 5 (-2)7-1 = 5 (-2)6 = 5 * 64 = 320

Vậy, số hạng thứ 7 của cấp số nhân là 320.

3.2. Dạng 2: Tìm u1 Hoặc q Khi Biết Các Số Hạng Khác

Dạng bài tập này yêu cầu bạn sử dụng các biến thể của công thức số hạng tổng quát hoặc lập hệ phương trình để tìm u1 hoặc q.

  • Phương pháp giải:
    • Sử dụng công thức u1 = un / qn-1 để tìm u1 nếu biết un, q và n.
    • Sử dụng công thức q = n-1√(un / u1) để tìm q nếu biết u1, un và n.
    • Lập hệ phương trình nếu biết hai số hạng không liên tiếp và giải hệ phương trình để tìm u1 và q.

Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) có u2 = 6 và u4 = 24. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q.

Giải:

Ta có:

u2 = u1 * q = 6 (1)

u4 = u1 * q3 = 24 (2)

Chia (2) cho (1), ta được:

q2 = 24 / 6 = 4

=> q = 2 hoặc q = -2

  • Nếu q = 2, thay vào (1), ta được:

    u1 * 2 = 6

    => u1 = 3

  • Nếu q = -2, thay vào (1), ta được:

    u1 * (-2) = 6

    => u1 = -3

Vậy, có hai trường hợp: u1 = 3 và q = 2, hoặc u1 = -3 và q = -2.

3.3. Dạng 3: Xác Định Một Dãy Số Có Phải Là Cấp Số Nhân Hay Không

Để xác định một dãy số có phải là cấp số nhân hay không, bạn cần kiểm tra xem tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp có phải là một hằng số hay không.

  • Phương pháp giải:
    • Tính tỷ số un+1 / un cho một vài giá trị của n.
    • Nếu tỷ số này là một hằng số (không phụ thuộc vào n), thì dãy số là cấp số nhân.
    • Nếu tỷ số này không phải là một hằng số, thì dãy số không phải là cấp số nhân.

Ví dụ: Xét dãy số (un) với un = 3 * 2n. Hỏi dãy số này có phải là cấp số nhân hay không?

Giải:

Ta có:

un+1 = 3 * 2n+1

=> un+1 / un = (3 2n+1) / (3 2n) = 2

Vì tỷ số un+1 / un = 2 là một hằng số (không phụ thuộc vào n), nên dãy số (un) là cấp số nhân với công bội q = 2.

3.4. Dạng 4: Các Bài Toán Ứng Dụng Thực Tế

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như tính lãi suất kép, tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ. Các bài toán ứng dụng thường yêu cầu bạn xây dựng mô hình cấp số nhân để giải quyết vấn đề.

  • Phương pháp giải:
    • Xác định các yếu tố của cấp số nhân (u1, q, n) từ đề bài.
    • Áp dụng công thức số hạng tổng quát hoặc các công thức liên quan để giải quyết vấn đề.

Ví dụ: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 6% một năm, lãi kép hàng năm. Hỏi sau 5 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền?

Giải:

Đây là bài toán về lãi suất kép, có thể mô hình hóa bằng cấp số nhân.

  • Số hạng đầu u1 = 100 triệu đồng (số tiền gửi ban đầu).
  • Công bội q = 1 + 6% = 1.06 (lãi suất hàng năm).
  • Số năm n = 5.

Số tiền người đó nhận được sau 5 năm là:

u6 = u1 qn = 100 (1.06)5 ≈ 133.82 triệu đồng.

Vậy, sau 5 năm, người đó nhận được khoảng 133.82 triệu đồng.

Luyện tập các dạng bài tập khác nhau sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về số hạng tổng quát của cấp số nhân.

4. Ứng Dụng Thực Tế Của Cấp Số Nhân Trong Đời Sống Và Công Việc

Cấp số nhân không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong đời sống và công việc. Việc hiểu rõ những ứng dụng này giúp bạn thấy được giá trị của toán học và áp dụng nó vào giải quyết các vấn đề thực tế.

4.1. Tính Lãi Suất Kép

Lãi suất kép là một trong những ứng dụng phổ biến nhất của cấp số nhân. Khi bạn gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất kép, số tiền của bạn sẽ tăng lên theo cấp số nhân theo thời gian.

  • Công thức tính lãi suất kép:

    A = P (1 + r/n)nt

    Trong đó:

    • A: Số tiền nhận được sau thời gian t.
    • P: Số tiền gốc ban đầu.
    • r: Lãi suất hàng năm (dưới dạng số thập phân).
    • n: Số lần tính lãi trong một năm.
    • t: Số năm gửi tiền.

Ví dụ: Bạn gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8% một năm, lãi kép hàng quý. Hỏi sau 3 năm, bạn nhận được bao nhiêu tiền?

Giải:

Áp dụng công thức lãi suất kép, ta có:

A = 100 (1 + 0.08/4)43 = 100 (1 + 0.02)12 = 100 (1.02)12 ≈ 126.82 triệu đồng.

Vậy, sau 3 năm, bạn nhận được khoảng 126.82 triệu đồng.

4.2. Tăng Trưởng Dân Số

Tăng trưởng dân số cũng có thể được mô hình hóa bằng cấp số nhân nếu tỷ lệ tăng trưởng dân số là ổn định.

  • Công thức tính tăng trưởng dân số:

    Pt = P0 (1 + r)t

    Trong đó:

    • Pt: Dân số sau thời gian t.
    • P0: Dân số ban đầu.
    • r: Tỷ lệ tăng trưởng dân số (dưới dạng số thập phân).
    • t: Số năm.

Ví dụ: Dân số của một quốc gia năm 2020 là 100 triệu người, tỷ lệ tăng trưởng dân số là 1.2% một năm. Dự đoán dân số của quốc gia này vào năm 2030.

Giải:

Áp dụng công thức tăng trưởng dân số, ta có:

P10 = 100 (1 + 0.012)10 = 100 * (1.012)10 ≈ 112.7 triệu người.

Vậy, dân số của quốc gia này vào năm 2030 dự kiến là khoảng 112.7 triệu người.

4.3. Phân Rã Phóng Xạ

Phân rã phóng xạ là quá trình giảm dần số lượng hạt nhân phóng xạ theo thời gian. Quá trình này cũng có thể được mô hình hóa bằng cấp số nhân.

  • Công thức tính phân rã phóng xạ:

    Nt = N0 (1/2)t/T

    Trong đó:

    • Nt: Số lượng hạt nhân phóng xạ còn lại sau thời gian t.
    • N0: Số lượng hạt nhân phóng xạ ban đầu.
    • T: Chu kỳ bán rã (thời gian để số lượng hạt nhân giảm đi một nửa).
    • t: Thời gian.

Ví dụ: Một mẫu chất phóng xạ có chu kỳ bán rã là 10 năm. Nếu ban đầu có 1000 hạt nhân, hỏi sau 30 năm còn lại bao nhiêu hạt nhân?

Giải:

Áp dụng công thức phân rã phóng xạ, ta có:

N30 = 1000 (1/2)30/10 = 1000 (1/2)3 = 1000 * (1/8) = 125 hạt nhân.

Vậy, sau 30 năm còn lại 125 hạt nhân.

4.4. Các Ứng Dụng Khác

Ngoài các ứng dụng trên, cấp số nhân còn được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác như:

  • Kinh tế: Dự báo tăng trưởng kinh tế, tính toán khấu hao tài sản.
  • Tài chính: Định giá tài sản, phân tích rủi ro đầu tư.
  • Sinh học: Mô hình hóa sự phát triển của vi khuẩn, virus.
  • Vật lý: Tính toán sự suy giảm năng lượng, dao động tắt dần.

Hiểu rõ các ứng dụng thực tế của cấp số nhân giúp bạn thấy được tầm quan trọng của toán học và áp dụng nó vào giải quyết các vấn đề trong cuộc sống và công việc.

5. Làm Thế Nào Để Nhận Biết Và Phân Biệt Cấp Số Nhân Với Các Dãy Số Khác?

Trong toán học, có nhiều loại dãy số khác nhau, và việc nhận biết và phân biệt cấp số nhân với các dãy số khác là rất quan trọng. Dưới đây là một số dấu hiệu và phương pháp giúp bạn phân biệt cấp số nhân với các dãy số khác:

5.1. Dấu Hiệu Nhận Biết Cấp Số Nhân

  • Tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số: Đây là dấu hiệu quan trọng nhất để nhận biết cấp số nhân. Nếu tỷ số un+1 / un là một hằng số (không phụ thuộc vào n), thì dãy số là cấp số nhân.
  • Mỗi số hạng (trừ số hạng đầu tiên) được tạo ra bằng cách nhân số hạng liền trước nó với một số không đổi: Đây là định nghĩa của cấp số nhân.
  • Các số hạng của dãy số tăng hoặc giảm theo một quy luật nhân: Nếu bạn thấy các số hạng của dãy số tăng hoặc giảm nhanh chóng theo một quy luật nhân, thì có khả năng đó là cấp số nhân.

5.2. Phân Biệt Cấp Số Nhân Với Các Dãy Số Khác

  • Cấp Số Cộng: Trong cấp số cộng, hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số (d = un+1 – un). Trong cấp số nhân, tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số (q = un+1 / un).
  • Dãy Fibonacci: Dãy Fibonacci được định nghĩa bằng công thức un+2 = un+1 + un. Trong dãy Fibonacci, mỗi số hạng (từ số hạng thứ ba) là tổng của hai số hạng liền trước nó.
  • Dãy Số Bậc Hai: Dãy số bậc hai có dạng un = an2 + bn + c, trong đó a, b, c là các hằng số.
  • Dãy Số Điều Hòa: Dãy số điều hòa là dãy số mà nghịch đảo của các số hạng tạo thành một cấp số cộng.

5.3. Ví Dụ Minh Họa

  • Dãy số 2, 4, 8, 16, 32,… là cấp số nhân vì tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp là 2 (4/2 = 8/4 = 16/8 = 32/16 = 2).
  • Dãy số 1, 3, 5, 7, 9,… là cấp số cộng vì hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là 2 (3-1 = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 2).
  • Dãy số 1, 1, 2, 3, 5, 8,… là dãy Fibonacci vì mỗi số hạng (từ số hạng thứ ba) là tổng của hai số hạng liền trước nó (2 = 1+1, 3 = 2+1, 5 = 3+2, 8 = 5+3).
  • Dãy số 1, 4, 9, 16, 25,… là dãy số bậc hai vì các số hạng là bình phương của các số tự nhiên (1 = 12, 4 = 22, 9 = 32, 16 = 42, 25 = 52).

Việc nắm vững các dấu hiệu và phương pháp phân biệt giúp bạn dễ dàng nhận biết cấp số nhân và áp dụng các công thức phù hợp để giải quyết các bài toán liên quan.

6. Các Tính Chất Quan Trọng Của Cấp Số Nhân Mà Bạn Cần Biết

Cấp số nhân có nhiều tính chất quan trọng giúp bạn giải quyết các bài toán một cách dễ dàng và hiệu quả hơn. Dưới đây là một số tính chất quan trọng của cấp số nhân mà bạn cần biết:

6.1. Tính Chất Về Ba Số Hạng Liên Tiếp

Trong một cấp số nhân, bình phương của số hạng giữa bằng tích của hai số hạng liền kề:

*un2 = un-1 un+1**

Tính chất này có thể được sử dụng để kiểm tra xem ba số có tạo thành một cấp số nhân hay không, hoặc để tìm một số hạng khi biết hai số hạng còn lại.

Ví dụ: Cho ba số 4, x, 16. Tìm x để ba số này tạo thành một cấp số nhân.

Giải:

Áp dụng tính chất un2 = un-1 * un+1, ta có:

x2 = 4 * 16 = 64

=> x = 8 hoặc x = -8

Vậy, x = 8 hoặc x = -8 để ba số 4, x, 16 tạo thành một cấp số nhân.

6.2. Tính Chất Về Các Số Hạng Cách Đều Số Hạng Giữa

Trong một cấp số nhân, tích của hai số hạng cách đều số hạng giữa bằng bình phương của số hạng giữa:

*un-k un+k = un2**

Trong đó k là một số nguyên dương nhỏ hơn n.

Tính chất này là một mở rộng của tính chất về ba số hạng liên tiếp và có thể được sử dụng để giải các bài toán phức tạp hơn.

Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) có u5 = 10. Tính u2 * u8.

Giải:

Áp dụng tính chất un-k * un+k = un2, ta có:

u2 u8 = u5-3 u5+3 = u52 = 102 = 100

Vậy, u2 * u8 = 100.

6.3. Tính Chất Về Tích Của Các Số Hạng

Tích của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) được tính theo công thức:

Pn = u1 u2 un = (u1 un)n/2

Nếu n là số lẻ, công thức trở thành:

*Pn = u1 u2 un = u(n+1)/2n**

Tính chất này giúp bạn tính tích của nhiều số hạng một cách nhanh chóng mà không cần phải nhân từng số hạng lại với nhau.

Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 2 và u5 = 32. Tính tích của 5 số hạng đầu tiên.

Giải:

Áp dụng công thức Pn = (u1 * un)n/2, ta có:

P5 = (2 * 32)5/2 = 645/2 = (641/2)5 = 85 = 32768

Vậy, tích của 5 số hạng đầu tiên là 32768.

6.4. Các Tính Chất Khác

  • Nếu (un) là một cấp số nhân với công bội q, thì (kun) cũng là một cấp số nhân với công bội q (k là một hằng số khác 0).
  • Nếu (un) và (vn) là hai cấp số nhân với công bội q1 và q2, thì (un vn) là một cấp số nhân với công bội q1 q2.
  • Nếu (un) là một cấp số nhân với công bội q > 0, thì (logaun) là một cấp số cộng với công sai logaq (a > 0, a ≠ 1).

Nắm vững các tính chất này giúp bạn giải quyết các bài toán về cấp số nhân một cách linh hoạt và hiệu quả hơn.

7. Tổng Của N Số Hạng Đầu Tiên Của Cấp Số Nhân: Công Thức Và Bài Tập

Một trong những vấn đề quan trọng khi làm việc với cấp số nhân là tính tổng của n số hạng đầu tiên. Công thức tính tổng này giúp bạn giải quyết nhiều bài toán thực tế liên quan đến sự tăng trưởng, tích lũy và phân phối.

7.1. Công Thức Tính Tổng

Tổng Sn của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) với số hạng đầu u1 và công bội q (q ≠ 1) được tính theo công thức:

*Sn = u1 (1 – qn) / (1 – q)**

Nếu q = 1, thì Sn = n * u1.

7.2. Chứng Minh Công Thức (Không Bắt Buộc)

Để chứng minh công thức trên, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học hoặc biến đổi đại số. Dưới đây là một cách chứng minh bằng biến đổi đại số:

Sn = u1 + u2 + … + un = u1 + u1q + u1q2 + … + u1qn-1

Nhân cả hai vế với q, ta được:

qSn = u1q + u1q2 + … + u1qn-1 + u1qn

Trừ hai phương trình trên, ta được:

Sn – qSn = u1 – u1qn

=> Sn(1 – q) = u1(1 – qn)

=> Sn = u1 * (1 – qn) / (1 – q) (với q ≠ 1)

7.3. Các Dạng Bài Tập Và Phương Pháp Giải

  • Dạng 1: Tính Tổng Khi Biết u1, q Và n

    Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu bạn áp dụng trực tiếp công thức để tính tổng.

    Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3 và q = 2. Tính tổng của 5 số hạng đầu tiên.

    Giải:

    Áp dụng công thức Sn = u1 * (1 – qn) / (1 – q), ta có:

    S5 = 3 (1 – 25) / (1 – 2) = 3 (1 – 32) / (-1) = 3 * (-31) / (-1) = 93

    Vậy, tổng của 5 số hạng đầu tiên là 93.

  • Dạng 2: Tìm u1 Hoặc q Khi Biết Tổng Và Các Thông Tin Khác

    Dạng bài tập này yêu cầu bạn sử dụng công thức tính tổng và các thông tin khác để tìm u1 hoặc q.

    Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) có q = 3 và tổng của 4 số hạng đầu tiên là 120. Tìm số hạng đầu u1.

    Giải:

    Áp dụng công thức Sn = u1 * (1 – qn) / (1 – q), ta có:

    120 = u1 (1 – 34) / (1 – 3) = u1 (1 – 81) / (-2) = u1 * (-80) / (-2) = 40u1

    => u1 = 120 / 40 = 3

    Vậy, số hạng đầu u1 = 3.

  • Dạng 3: Các Bài Toán Ứng Dụng Thực Tế

    Cấp số nhân và công thức tính tổng có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như tính tổng số tiền gửi tiết kiệm sau một thời gian, tính tổng sản phẩm bán được theo cấp số nhân.

    Ví dụ: Một người gửi tiết kiệm hàng tháng 1 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0.5% một tháng, lãi kép hàng tháng. Hỏi sau 1 năm (12 tháng), người đó có tổng cộng bao nhiêu tiền?

    Giải:

Comments

No comments yet. Why don’t you start the discussion?

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *