Phương Trình Tiếp Tuyến 11: Cách Viết Chi Tiết Nhất?

Phương Trình Tiếp Tuyến 11 là gì và làm thế nào để viết nó một cách chính xác nhất? Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết, dễ hiểu, kèm ví dụ minh họa và bài tập vận dụng giúp bạn nắm vững kiến thức này. Bài viết này sẽ giúp bạn tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan đến phương trình tiếp tuyến, đồng thời hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong hình học.

1. Ý Nghĩa Hình Học Của Đạo Hàm Là Gì?

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ biểu thị hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) theo định nghĩa từ chương trình toán học lớp 11.

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀ có dạng:

y – y₀ = f'(x₀).(x – x₀)

Alt: Hình ảnh minh họa đường tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị hàm số, thể hiện mối quan hệ giữa đạo hàm và hệ số góc.

2. Phương Pháp Giải Các Bài Toán Về Phương Trình Tiếp Tuyến 11

2.1. Bài Toán 1: Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Tại Một Điểm Cho Trước

Câu hỏi đặt ra: Làm thế nào để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x₀; f(x₀))?

Trả lời: Để viết phương trình tiếp tuyến, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm của hàm số: Tìm f'(x).

2. Tính giá trị của đạo hàm tại x₀: Tính f'(x₀).

3. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến tại M(x₀; y₀) là:

   y – y₀ = f'(x₀) (x – x₀)

2.2. Bài Toán 2: Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Khi Biết Hoành Độ Tiếp Điểm

Câu hỏi đặt ra: Làm thế nào để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) khi biết hoành độ tiếp điểm x = x₀?

Trả lời: Các bước thực hiện như sau:

1. Tính tung độ tiếp điểm: Tính y₀ = f(x₀).

2. Tính đạo hàm của hàm số: Tìm f'(x) và tính f'(x₀).

3. Viết phương trình tiếp tuyến: Sử dụng công thức:

   y – y₀ = f'(x₀) (x – x₀)

2.3. Bài Toán 3: Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Khi Biết Tung Độ Tiếp Điểm

Câu hỏi đặt ra: Làm thế nào để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) khi biết tung độ tiếp điểm y₀?

Trả lời: Ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hoành độ tiếp điểm: Giải phương trình f(x) = y₀ để tìm các nghiệm x₀.

2. Tính đạo hàm của hàm số: Tìm f'(x) và tính f'(x₀) cho mỗi giá trị x₀ tìm được.

3. Viết phương trình tiếp tuyến: Với mỗi cặp (x₀; y₀), viết phương trình tiếp tuyến:

   y – y₀ = f'(x₀) (x – x₀)

3. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết

Để hiểu rõ hơn về cách viết phương trình tiếp tuyến, chúng ta cùng xét các ví dụ sau:

3.1. Ví Dụ 1:

Câu hỏi: Cho hàm số y = x³ – 2x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(0; 1).

Trả lời:

1. Tính đạo hàm: y’ = 3x² – 2

2. Tính y'(0): y'(0) = -2

3. Viết phương trình tiếp tuyến: y – 1 = -2(x – 0) hay y = -2x + 1

   Vậy đáp án đúng là B. y = -2x + 1

3.2. Ví Dụ 2:

Câu hỏi: Cho hàm số y = x² + 2x – 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 1.

Trả lời:

1. Tính y(1): y(1) = 1² + 2(1) – 6 = -3

2. Tính đạo hàm: y'(x) = 2x + 2

3. Tính y'(1): y'(1) = 2(1) + 2 = 4

4. Viết phương trình tiếp tuyến: y + 3 = 4(x – 1) hay y = 4x – 7

   Vậy đáp án đúng là C. y = 4x – 7

3.3. Ví Dụ 3:

Câu hỏi: Cho hàm số y = x³ + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2.

Trả lời:

1. Tìm hoành độ: Giải phương trình x³ + 4x + 2 = 2 => x³ + 4x = 0 => x = 0

2. Tính đạo hàm: y’ = 3x² + 4

3. Tính y'(0): y'(0) = 4

4. Viết phương trình tiếp tuyến: y – 2 = 4(x – 0) hay y = 4x + 2

   Vậy đáp án đúng là A. y = 4x + 2

3.4. Ví Dụ 4:

Câu hỏi: Cho hàm số y = -x³ + 2x² + 2x + 1 có đồ thị (C). Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A.

Trả lời:

1. Tìm tọa độ điểm A: Do A là giao điểm với trục tung nên x = 0, suy ra A(0; 1).

2. Tính đạo hàm: y’ = -3x² + 4x + 2

3. Tính y'(0): y'(0) = 2

4. Viết phương trình tiếp tuyến: y – 1 = 2(x – 0) hay y = 2x + 1

   Vậy đáp án đúng là D. y = 2x + 1

3.5. Ví Dụ 5:

Câu hỏi: Cho hàm số y = x² – 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

Trả lời:

1. Tìm giao điểm với trục hoành: Giải phương trình x² – 3x + 2 = 0, ta được x = 1 hoặc x = 2. Vậy đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm A(1; 0) và B(2; 0).

2. Tính đạo hàm: y’ = 2x – 3

3. **Tại A(1; 0)**: y'(1) = -1, phương trình tiếp tuyến là y – 0 = -1(x – 1) hay y = -x + 1*

4. **Tại B(2; 0)**: y'(2) = 1, phương trình tiếp tuyến là y – 0 = 1(x – 2) hay y = x – 2*

   Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là A. y = -x + 1 và y = x – 2

Alt: Hình ảnh minh họa đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm, với hai đường tiếp tuyến tương ứng.

3.6. Ví Dụ 6:

Câu hỏi: Cho hai đường thẳng d₁: 2x + y – 3 = 0 và d₂: x + y – 2 = 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Cho hàm số y = x² + 4x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.

Trả lời:

1. Tìm tọa độ giao điểm A: Giải hệ phương trình:

   • 2x + y – 3 = 0
   • x + y – 2 = 0

   Ta được x = 1 và y = 1. Vậy A(1; 1).

2. Tính đạo hàm: y’ = 2x + 4

3. Tính y'(1): y'(1) = 6

4. Viết phương trình tiếp tuyến: y – 1 = 6(x – 1) hay y = 6x – 5

   Vậy đáp án đúng là C. y = 6x – 5

3.7. Ví Dụ 7:

Câu hỏi: Cho hàm số y = x⁴ + 2x² + 1 có đồ thị (C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ nguyên dương nhỏ nhất. Đường thẳng d song song với đường thẳng nào?

Trả lời:

1. Tìm hoành độ: Số nguyên dương nhỏ nhất là 1.

2. Tính đạo hàm: y’ = 4x³ + 4x

3. Tính y'(1): y'(1) = 8

4. Tính y(1): y(1) = 4

5. Viết phương trình tiếp tuyến: y – 4 = 8(x – 1) hay y = 8x – 4

   Vậy đường thẳng d song song với đường thẳng B. y = 8x

3.8. Ví Dụ 8:

Câu hỏi: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x – 1)²(x – 2) tại điểm có hoành độ x = 2 là gì?

Trả lời:

1. Tìm tung độ: y(2) = (2 – 1)²(2 – 2) = 0. Vậy tiếp điểm là M(2; 0).

2. Khai triển hàm số: y = (x² – 2x + 1)(x – 2) = x³ – 4x² + 5x – 2

3. Tính đạo hàm: y’ = 3x² – 8x + 5

4. Tính y'(2): y'(2) = 3(2)² – 8(2) + 5 = 1

5. Viết phương trình tiếp tuyến: y – 0 = 1(x – 2) hay y = x – 2

   Vậy đáp án đúng là D. y = x – 2

3.9. Ví Dụ 9:

Câu hỏi: Cho hàm số y = (x – 2) / (2x + 1). Phương trình tiếp tuyến tại A(-1; 3) là gì?

Trả lời:

1. Tính đạo hàm:
   y’ = [(1)(2x + 1) – (x – 2)(2)] / (2x + 1)² = (2x + 1 – 2x + 4) / (2x + 1)² = 5 / (2x + 1)²

2. Tính y'(-1): y'(-1) = 5 / [2(-1) + 1]² = 5

3. Viết phương trình tiếp tuyến: y – 3 = 5(x + 1) hay y = 5x + 8

   Vậy đáp án đúng là A. y = 5x + 8

3.10. Ví Dụ 10:

Câu hỏi: Cho hàm số y = (2x + m + 1) / (x – 1) (C). Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x₀ = 0 đi qua A(4; 3).

Trả lời:

1. Tính y(0): y(0) = (2(0) + m + 1) / (0 – 1) = -m – 1

2. Tính đạo hàm:
   y’ = [2(x – 1) – (2x + m + 1)(1)] / (x – 1)² = (2x – 2 – 2x – m – 1) / (x – 1)² = (-m – 3) / (x – 1)²

3. Tính y'(0): y'(0) = (-m – 3) / (0 – 1)² = -m – 3

4. Viết phương trình tiếp tuyến: y – (-m – 1) = (-m – 3)(x – 0) hay y = (-m – 3)x – m – 1

5. Thay A(4; 3) vào phương trình tiếp tuyến: 3 = (-m – 3)(4) – m – 1
   3 = -4m – 12 – m – 1
   5m = -16
   m = -16/5

   Vậy m = -16/5

3.11. Ví Dụ 11:

Câu hỏi: Cho hàm số y = (1/3)x³ + x² – 2 có đồ thị hàm số (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y” = 0 là gì?

Trả lời:

1. Tính đạo hàm cấp 1: y’ = x² + 2x

2. Tính đạo hàm cấp 2: y” = 2x + 2

3. Giải phương trình y” = 0: 2x + 2 = 0 => x = -1

4. Tính y(-1): y(-1) = (1/3)(-1)³ + (-1)² – 2 = -1/3 + 1 – 2 = -4/3

5. Tính y'(-1): y'(-1) = (-1)² + 2(-1) = 1 – 2 = -1

6. Viết phương trình tiếp tuyến: y – (-4/3) = -1(x + 1) hay y = -x – 7/3

   Vậy đáp án đúng là A. y = -x – 7/3

Alt: Hình ảnh minh họa tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số, nơi đạo hàm cấp hai bằng không.

4. Bài Tập Vận Dụng

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:

Bài 1. Cho hàm số y = x² + 3x – 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 2?

Bài 2. Cho hàm số y = x³ + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 1?

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = -4x³ + 3x + 1 đi qua điểm A(-1; 2)

Bài 4. Cho hai đường thẳng d₁: 2x + y – 3 = 0 và d₂: x + y – 2 = 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Cho hàm số y = x² + 4x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x – 1)²(x – 2) tại điểm có hoành độ x = 5.

5. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ) Về Phương Trình Tiếp Tuyến 11

5.1. Phương trình tiếp tuyến là gì?

Phương trình tiếp tuyến là phương trình đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số tại một điểm duy nhất.

5.2. Làm thế nào để tìm phương trình tiếp tuyến?

Để tìm phương trình tiếp tuyến, bạn cần tìm đạo hàm của hàm số tại điểm tiếp xúc, sau đó sử dụng công thức phương trình tiếp tuyến.

5.3. Ý nghĩa của đạo hàm trong việc tìm phương trình tiếp tuyến là gì?

Đạo hàm tại một điểm cho biết hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó.

5.4. Khi nào thì không tồn tại tiếp tuyến?

Tiếp tuyến không tồn tại tại các điểm mà đạo hàm không xác định, ví dụ như điểm gián đoạn hoặc điểm góc.

5.5. Phương trình tiếp tuyến có ứng dụng gì trong thực tế?

Phương trình tiếp tuyến được sử dụng để xấp xỉ giá trị của hàm số tại một điểm lân cận, ứng dụng trong các bài toán vật lý và kỹ thuật.

5.6. Tại sao cần phải nắm vững phương pháp viết phương trình tiếp tuyến?

Việc nắm vững phương pháp viết phương trình tiếp tuyến giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số, cực trị và các vấn đề liên quan đến ứng dụng của đạo hàm.

5.7. Có bao nhiêu dạng bài tập về phương trình tiếp tuyến?

Có nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chủ yếu xoay quanh việc tìm phương trình tiếp tuyến khi biết điểm tiếp xúc, hệ số góc hoặc một điều kiện liên quan đến tiếp tuyến.

5.8. Làm thế nào để kiểm tra tính đúng đắn của phương trình tiếp tuyến?

Bạn có thể kiểm tra bằng cách vẽ đồ thị hàm số và đường tiếp tuyến, hoặc kiểm tra xem điểm tiếp xúc có thuộc cả đồ thị hàm số và đường tiếp tuyến hay không.

5.9. Phương trình tiếp tuyến có liên quan gì đến bài toán cực trị của hàm số?

Tại điểm cực trị, tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục hoành (có hệ số góc bằng 0).

5.10. Tôi có thể tìm thêm tài liệu và bài tập về phương trình tiếp tuyến ở đâu?

Bạn có thể tìm thêm tài liệu và bài tập trên các trang web giáo dục, sách tham khảo hoặc hỏi ý kiến từ giáo viên và bạn bè.

6. Tại Sao Nên Tìm Hiểu Về Xe Tải Tại XETAIMYDINH.EDU.VN?

Nếu bạn đang tìm kiếm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về xe tải ở khu vực Mỹ Đình, Hà Nội, hãy truy cập XETAIMYDINH.EDU.VN. Chúng tôi cung cấp:

• Thông tin chi tiết và cập nhật: Về các loại xe tải có sẵn, thông số kỹ thuật, giá cả.
• So sánh các dòng xe: Giúp bạn dễ dàng lựa chọn xe phù hợp với nhu cầu và ngân sách.
• Tư vấn chuyên nghiệp: Đội ngũ chuyên gia sẵn sàng giải đáp mọi thắc mắc của bạn.
• Dịch vụ sửa chữa uy tín: Thông tin về các garage sửa chữa xe tải chất lượng trong khu vực.
• Thông tin pháp lý: Cập nhật các quy định mới nhất trong lĩnh vực vận tải.

7. Lời Kêu Gọi Hành Động (CTA)

Bạn đang gặp khó khăn trong việc lựa chọn xe tải phù hợp? Bạn cần tư vấn về các thủ tục mua bán, đăng ký, bảo dưỡng xe tải? Hãy truy cập ngay XETAIMYDINH.EDU.VN để được tư vấn và giải đáp mọi thắc mắc!

Liên hệ ngay:

• Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội
• Hotline: 0247 309 9988
• Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN

Đừng bỏ lỡ cơ hội tìm được chiếc xe tải ưng ý và những thông tin hữu ích nhất!