Posted inCauHoi

Làm Thế Nào để Tìm Phương Trình Giao Tuyến Của Hai Mặt Phẳng?

No Comments

Bạn đang gặp khó khăn trong việc tìm Phương Trình Giao Tuyến Của Hai Mặt Phẳng trong không gian Oxyz? Đừng lo lắng, Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất. Bài viết này cung cấp các phương pháp và ví dụ minh họa giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán liên quan đến giao tuyến của hai mặt phẳng, đồng thời cung cấp các thông tin liên quan đến xe tải ở khu vực Mỹ Đình. Chúng tôi sẽ đề cập đến các phương pháp giải, ví dụ minh họa, bài tập vận dụng, và các câu hỏi thường gặp.

1. Phương Trình Giao Tuyến Của Hai Mặt Phẳng Là Gì?

Phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng là phương trình biểu diễn đường thẳng tạo thành khi hai mặt phẳng cắt nhau. Đường thẳng này chứa tất cả các điểm chung của cả hai mặt phẳng. Việc xác định phương trình này có nhiều ứng dụng trong hình học không gian và các bài toán liên quan đến xe tải như tính toán không gian thùng xe, thiết kế và bố trí hàng hóa.

1.1. Ý Nghĩa Hình Học Của Giao Tuyến

Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng trong không gian ba chiều. Đường thẳng này là tập hợp tất cả các điểm nằm đồng thời trên cả hai mặt phẳng.

1.2. Ứng Dụng Thực Tế Của Giao Tuyến Trong Hình Học Không Gian

Việc tìm giao tuyến có nhiều ứng dụng, bao gồm:

  • Tính toán khoảng cách: Xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian.
  • Tìm điểm đối xứng: Xác định điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng.
  • Giải các bài toán liên quan đến vị trí tương đối: Xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng).

2. Các Phương Pháp Xác Định Phương Trình Giao Tuyến Của Hai Mặt Phẳng

Có hai phương pháp chính để xác định phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng:

  • Phương pháp 1: Tìm một điểm thuộc giao tuyến và một vectơ chỉ phương của giao tuyến.
  • Phương pháp 2: Sử dụng phương trình tham số.

2.1. Phương Pháp 1: Tìm Điểm Và Vectơ Chỉ Phương

2.1.1. Các Bước Thực Hiện

  1. Tìm một điểm M thuộc giao tuyến d:
    • Chọn một giá trị tùy ý cho một trong ba tọa độ (x, y, z), ví dụ: chọn x = 0.
    • Thay giá trị đã chọn vào phương trình của cả hai mặt phẳng, ta được một hệ hai phương trình hai ẩn.
    • Giải hệ phương trình này để tìm hai tọa độ còn lại. Điểm M với ba tọa độ vừa tìm được chính là một điểm thuộc giao tuyến d.
  2. Tìm vectơ chỉ phương của d:
    • Vectơ chỉ phương của d, ký hiệu là (overrightarrow{u}), vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
    • Tính tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến này: (overrightarrow{u} = [overrightarrow{n_1}, overrightarrow{n_2}])
  3. Viết phương trình đường thẳng d:
    • Sử dụng điểm M và vectơ chỉ phương (overrightarrow{u}) để viết phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của đường thẳng d.

2.1.2. Ví Dụ Minh Họa

Cho hai mặt phẳng:

  • (P): x + y + z – 1 = 0
  • (Q): 2x – y + z + 2 = 0

Tìm phương trình giao tuyến của (P) và (Q).

Giải:

  1. Tìm điểm M:
    • Chọn x = 0.
    • Thay vào (P) và (Q), ta có hệ:
      • y + z = 1
      • -y + z = -2
    • Giải hệ này, ta được y = 3/2 và z = -1/2. Vậy M(0; 3/2; -1/2).
  2. Tìm vectơ chỉ phương:
    • (overrightarrow{n_1} = (1; 1; 1))
    • (overrightarrow{n_2} = (2; -1; 1))
    • (overrightarrow{u} = [overrightarrow{n_1}, overrightarrow{n_2}] = (2; 1; -3))
  3. Viết phương trình tham số:
    • x = 0 + 2t
    • y = 3/2 + t
    • z = -1/2 – 3t

2.2. Phương Pháp 2: Sử Dụng Phương Trình Tham Số

2.2.1. Các Bước Thực Hiện

  1. Viết hệ phương trình:
    • Giao tuyến d là tập hợp các điểm (x, y, z) thỏa mãn đồng thời phương trình của cả hai mặt phẳng:
      • f(x, y, z) = 0
      • g(x, y, z) = 0
  2. Đặt một ẩn bằng tham số t:
    • Chọn một ẩn (x, y hoặc z) và đặt nó bằng tham số t, ví dụ: x = t.
  3. Giải hệ phương trình theo t:
    • Thay x = t vào hệ phương trình và giải để biểu diễn y và z theo t.
  4. Viết phương trình tham số của d:
    • x = t
    • y = h(t)
    • z = k(t)

2.2.2. Ví Dụ Minh Họa

Sử dụng lại ví dụ trên:

  • (P): x + y + z – 1 = 0
  • (Q): 2x – y + z + 2 = 0

Giải:

  1. Viết hệ phương trình:
    • x + y + z = 1
    • 2x – y + z = -2
  2. Đặt x = t:
    • t + y + z = 1
    • 2t – y + z = -2
  3. Giải hệ theo t:
    • Cộng hai phương trình: 3t + 2z = -1 => z = (-1 – 3t)/2
    • Từ đó: y = 1 – t – z = 1 – t – (-1 – 3t)/2 = (3 + t)/2
  4. Viết phương trình tham số:
    • x = t
    • y = (3 + t)/2
    • z = (-1 – 3t)/2

2.3. So Sánh Ưu Và Nhược Điểm Của Hai Phương Pháp

Tính chất Phương Pháp 1: Điểm và Vectơ Chỉ Phương Phương Pháp 2: Phương Trình Tham Số
Ưu điểm Dễ hiểu, trực quan, phù hợp với các bài toán cần tìm yếu tố hình học cụ thể. Dễ thực hiện khi các hệ số của phương trình đơn giản, giảm thiểu sai sót trong tính toán.
Nhược điểm Đòi hỏi tính toán tích có hướng, dễ gây nhầm lẫn nếu không cẩn thận. Có thể phức tạp nếu hệ số của phương trình phức tạp, đòi hỏi kỹ năng giải hệ phương trình tốt.
Ứng dụng Thích hợp khi cần tìm vectơ chỉ phương để giải các bài toán liên quan đến góc, khoảng cách. Thích hợp khi cần biểu diễn giao tuyến dưới dạng tham số để khảo sát tính chất của đường thẳng.
Mức độ phổ biến Phổ biến trong các bài toán cơ bản về hình học không gian. Thường được sử dụng trong các bài toán phức tạp hơn, đòi hỏi sự linh hoạt trong việc biểu diễn đường thẳng.
Độ chính xác Độ chính xác cao nếu thực hiện đúng các bước. Độ chính xác phụ thuộc vào khả năng giải hệ phương trình chính xác.
Thời gian Thời gian giải có thể kéo dài hơn nếu tính toán tích có hướng phức tạp. Thời gian giải có thể nhanh hơn nếu hệ phương trình đơn giản.
Khả năng sai sót Dễ sai sót trong quá trình tính toán tích có hướng. Dễ sai sót trong quá trình giải hệ phương trình.
Ví dụ ứng dụng Xác định đường đi của xe tải khi biết hai mặt phẳng giới hạn khu vực di chuyển. Mô phỏng chuyển động của hệ thống nâng hạ trong xe tải để tối ưu hóa không gian và tải trọng.
Yêu cầu kỹ năng Yêu cầu kỹ năng tính toán vectơ, tích có hướng. Yêu cầu kỹ năng giải hệ phương trình.
Mẹo và lưu ý Kiểm tra lại các bước tính toán để đảm bảo tính chính xác. Chọn ẩn số thích hợp để đơn giản hóa quá trình giải hệ phương trình.

3. Các Dạng Bài Tập Về Phương Trình Giao Tuyến Và Cách Giải

3.1. Dạng 1: Tìm Phương Trình Giao Tuyến Khi Biết Hai Mặt Phẳng

Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu áp dụng trực tiếp các phương pháp đã nêu ở trên.

3.1.1. Ví Dụ

Tìm phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng:

  • (P): 3x – 2y + z – 5 = 0
  • (Q): x + y – z + 1 = 0

Giải:

Sử dụng phương pháp 2:

  1. Viết hệ:
    • 3x – 2y + z = 5
    • x + y – z = -1
  2. Đặt x = t:
    • 3t – 2y + z = 5
    • t + y – z = -1
  3. Giải hệ:
    • Cộng hai phương trình: 4t – y = 4 => y = 4t – 4
    • z = t + y + 1 = t + 4t – 4 + 1 = 5t – 3
  4. Phương trình tham số:
    • x = t
    • y = 4t – 4
    • z = 5t – 3

3.2. Dạng 2: Tìm Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua Một Điểm Và Song Song Với Giao Tuyến

Trong dạng này, bạn cần tìm vectơ chỉ phương của giao tuyến và sử dụng nó để viết phương trình đường thẳng mới.

3.2.1. Ví Dụ

Cho điểm A(1; 2; -1) và hai mặt phẳng:

  • (P): x + y – z + 3 = 0
  • (Q): 2x – y + 5z – 4 = 0

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song song với giao tuyến của (P) và (Q).

Giải:

  1. Tìm vectơ chỉ phương của giao tuyến:
    • (overrightarrow{n_1} = (1; 1; -1))
    • (overrightarrow{n_2} = (2; -1; 5))
    • (overrightarrow{u} = [overrightarrow{n_1}, overrightarrow{n_2}] = (4; -7; -3))
  2. Viết phương trình đường thẳng d:
    • x = 1 + 4t
    • y = 2 – 7t
    • z = -1 – 3t

3.3. Dạng 3: Tìm Phương Trình Đường Thẳng Là Giao Tuyến Của Mặt Phẳng Với Các Mặt Phẳng Tọa Độ

Đây là trường hợp đặc biệt, giúp đơn giản hóa bài toán.

3.3.1. Ví Dụ

Tìm phương trình giao tuyến của mặt phẳng (P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz).

Giải:

  1. Phương trình mặt phẳng (Oyz): x = 0
  2. Hệ phương trình:
    • x = 0
    • y – 2z + 3 = 0
  3. Đặt z = t:
    • y = 2t – 3
  4. Phương trình tham số:
    • x = 0
    • y = 2t – 3
    • z = t

4. Bài Tập Vận Dụng

Để nắm vững kiến thức, hãy thử sức với các bài tập sau:

  1. Tìm phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng:
    • (P): 2x + y + z – 4 = 0
    • (Q): x + 2y – z – 5 = 0
  2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm B(2; 3; 1) và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng:
    • (P): x – 2y – z + 10 = 0
    • (Q): 2x + 2y – 3z – 40 = 0
  3. Tìm phương trình giao tuyến của mặt phẳng (P): 2x – z + 2 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oxy).

5. Các Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)

5.1. Làm Thế Nào Để Kiểm Tra Một Điểm Có Thuộc Giao Tuyến Hay Không?

Để kiểm tra một điểm có thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng hay không, bạn chỉ cần thay tọa độ của điểm đó vào phương trình của cả hai mặt phẳng. Nếu điểm đó thỏa mãn cả hai phương trình, thì nó thuộc giao tuyến.

5.2. Khi Nào Hai Mặt Phẳng Song Song Hoặc Trùng Nhau?

  • Song song: Hai mặt phẳng song song nếu vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương và không có điểm chung.
  • Trùng nhau: Hai mặt phẳng trùng nhau nếu vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương và có vô số điểm chung.

5.3. Làm Sao Để Tìm Góc Giữa Hai Mặt Phẳng?

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Bạn có thể sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc này:

(cos(theta) = frac{|overrightarrow{n_1} cdot overrightarrow{n_2}|}{|overrightarrow{n_1}| cdot |overrightarrow{n_2}|})

5.4. Tại Sao Cần Tìm Phương Trình Giao Tuyến?

Tìm phương trình giao tuyến giúp giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của các đối tượng hình học, tính khoảng cách, tìm điểm đối xứng, và nhiều ứng dụng khác trong kỹ thuật và thiết kế.

5.5. Phương Trình Giao Tuyến Có Ứng Dụng Gì Trong Ngành Vận Tải?

Trong ngành vận tải, phương trình giao tuyến có thể được sử dụng để:

  • Tính toán không gian chứa hàng: Xác định kích thước và hình dạng không gian còn trống trong thùng xe tải.
  • Thiết kế đường đi tối ưu: Tìm đường đi ngắn nhất hoặc tiết kiệm nhiên liệu nhất cho xe tải.
  • Phân tích va chạm: Dự đoán và giảm thiểu nguy cơ va chạm giữa xe tải và các vật thể khác.
  • Xây dựng bản đồ 3D: Tạo bản đồ số ba chiều để hỗ trợ lái xe tự động.

6. Tại Sao Nên Tìm Hiểu Về Xe Tải Tại XETAIMYDINH.EDU.VN?

Nếu bạn đang tìm kiếm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về xe tải ở khu vực Mỹ Đình, Hà Nội, XETAIMYDINH.EDU.VN là địa chỉ không thể bỏ qua. Chúng tôi cung cấp:

  • Thông tin chi tiết và cập nhật: Về các loại xe tải có sẵn, giá cả, thông số kỹ thuật.
  • So sánh giá cả và thông số kỹ thuật: Giữa các dòng xe để bạn dễ dàng lựa chọn.
  • Tư vấn lựa chọn xe phù hợp: Với nhu cầu và ngân sách của bạn.
  • Giải đáp thắc mắc: Liên quan đến thủ tục mua bán, đăng ký và bảo dưỡng xe tải.
  • Thông tin về dịch vụ sửa chữa xe tải uy tín: Trong khu vực Mỹ Đình.
  • Thông tin pháp lý: Cập nhật về các quy định mới trong lĩnh vực vận tải.

Địa chỉ của chúng tôi: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội. Hotline: 0247 309 9988.

7. Lời Kêu Gọi Hành Động (CTA)

Bạn đang gặp khó khăn trong việc lựa chọn xe tải phù hợp? Bạn muốn tìm hiểu thêm về các dịch vụ sửa chữa xe tải uy tín tại Mỹ Đình? Hãy truy cập ngay XETAIMYDINH.EDU.VN để được tư vấn miễn phí và giải đáp mọi thắc mắc. Đừng bỏ lỡ cơ hội tìm được chiếc xe tải ưng ý và các dịch vụ tốt nhất!

8. Kết Luận

Việc xác định phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng là một kỹ năng quan trọng trong hình học không gian. Hy vọng rằng với những kiến thức và ví dụ minh họa chi tiết trong bài viết này, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Và nếu bạn đang có nhu cầu tìm hiểu về xe tải ở khu vực Mỹ Đình, đừng quên truy cập XETAIMYDINH.EDU.VN để được hỗ trợ tốt nhất.

9. Các Ý Định Tìm Kiếm Của Người Dùng

Dưới đây là 5 ý định tìm kiếm của người dùng liên quan đến từ khóa chính “phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng”:

  1. Định nghĩa và khái niệm: Người dùng muốn hiểu rõ “phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng là gì?” và ý nghĩa hình học của nó.
  2. Phương pháp giải: Người dùng tìm kiếm “cách tìm phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng” và các bước thực hiện cụ thể.
  3. Ví dụ minh họa: Người dùng muốn xem “ví dụ về phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng” để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các phương pháp giải.
  4. Bài tập vận dụng: Người dùng tìm kiếm “bài tập về phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng” để luyện tập và kiểm tra kiến thức.
  5. Ứng dụng thực tế: Người dùng muốn biết “ứng dụng của phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng” trong các lĩnh vực khác nhau.

Bài viết này đã cố gắng đáp ứng đầy đủ các ý định tìm kiếm này bằng cách cung cấp định nghĩa, các phương pháp giải chi tiết, ví dụ minh họa, bài tập vận dụng và các câu hỏi thường gặp.

10. Cập Nhật Thông Tin Mới Nhất

Để cung cấp thông tin cập nhật và hữu ích nhất cho độc giả, chúng tôi xin cập nhật một số thông tin mới nhất liên quan đến xe tải và thị trường vận tải tại Việt Nam:

  • Giá xe tải: Giá xe tải có xu hướng biến động tùy thuộc vào nhiều yếu tố như thương hiệu, dòng xe, tải trọng và các chính sách ưu đãi của nhà sản xuất. Để biết thông tin chi tiết và chính xác nhất, bạn nên liên hệ trực tiếp với các đại lý xe tải uy tín như Xe Tải Mỹ Đình.
  • Quy định về tải trọng: Theo quy định mới nhất của Bộ Giao thông Vận tải, việc chở quá tải trọng cho phép sẽ bị xử phạt nghiêm khắc. Do đó, các chủ xe và lái xe cần tuân thủ đúng quy định để đảm bảo an toàn giao thông và tránh bị phạt.
  • Dịch vụ bảo dưỡng: Việc bảo dưỡng xe tải định kỳ là rất quan trọng để đảm bảo xe hoạt động ổn định và kéo dài tuổi thọ. Xe Tải Mỹ Đình cung cấp các dịch vụ bảo dưỡng chuyên nghiệp với đội ngũ kỹ thuật viên giàu kinh nghiệm và trang thiết bị hiện đại.
  • Công nghệ mới: Các dòng xe tải hiện đại ngày càng được trang bị nhiều công nghệ tiên tiến như hệ thống định vị GPS, hệ thống chống bó cứng phanh ABS, hệ thống kiểm soát hành trình Cruise Control và hệ thống cảnh báo va chạm. Những công nghệ này giúp tăng cường an toàn và hiệu quả vận hành cho xe tải.

11. Bảng So Sánh Các Dòng Xe Tải Phổ Biến Tại Mỹ Đình

Để giúp bạn dễ dàng lựa chọn được chiếc xe tải phù hợp nhất, chúng tôi xin cung cấp bảng so sánh các dòng xe tải phổ biến tại khu vực Mỹ Đình:

Dòng Xe Tải Trọng (Tấn) Ưu Điểm Nhược Điểm Giá Tham Khảo (VNĐ)
Hyundai 1.5 – 24 Bền bỉ, tiết kiệm nhiên liệu, đa dạng mẫu mã. Giá thành cao hơn so với các dòng xe khác. 500.000.000 – 2.500.000.000
Isuzu 1.4 – 16 Chất lượng Nhật Bản, động cơ mạnh mẽ, tiết kiệm nhiên liệu. Thiết kế nội thất chưa thực sự nổi bật. 450.000.000 – 1.800.000.000
Hino 1.9 – 16 Bền bỉ, khả năng vận hành ổn định, dịch vụ bảo dưỡng tốt. Giá thành tương đối cao. 550.000.000 – 2.000.000.000
Thaco 0.99 – 8 Giá cả phải chăng, phù hợp với nhiều đối tượng khách hàng. Độ bền chưa bằng các dòng xe nhập khẩu. 300.000.000 – 1.200.000.000
Veam 1.5 – 8 Thiết kế hiện đại, động cơ Hyundai mạnh mẽ. Mạng lưới bảo dưỡng chưa rộng khắp. 350.000.000 – 1.100.000.000

Lưu ý: Giá tham khảo có thể thay đổi tùy thuộc vào thời điểm và các chương trình khuyến mãi.

12. Bộ Câu Hỏi FAQ Liên Quan Đến Phương Trình Giao Tuyến Của Hai Mặt Phẳng

  1. Phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng có phải luôn là một đường thẳng?
    • Đúng, nếu hai mặt phẳng cắt nhau thì giao tuyến của chúng luôn là một đường thẳng. Trong trường hợp hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì không có giao tuyến hoặc giao tuyến là vô số (trùng nhau).
  2. Có bao nhiêu cách để viết phương trình đường thẳng giao tuyến?
    • Có nhiều cách, nhưng phổ biến nhất là phương trình tham số và phương trình chính tắc.
  3. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì vectơ chỉ phương của giao tuyến có gì đặc biệt?
    • Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, nhưng điều này không ảnh hưởng trực tiếp đến vectơ chỉ phương của giao tuyến. Vectơ chỉ phương của giao tuyến vẫn là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến.
  4. Làm thế nào để tìm một điểm thuộc giao tuyến nhanh nhất?
    • Bạn có thể chọn một giá trị đơn giản cho một trong ba tọa độ (thường là 0) và giải hệ phương trình để tìm hai tọa độ còn lại.
  5. Có thể sử dụng phần mềm nào để vẽ hình minh họa cho phương trình giao tuyến?
    • Có nhiều phần mềm hỗ trợ vẽ hình không gian như GeoGebra, SketchUp, và các phần mềm CAD.
  6. Trong thực tế, phương trình giao tuyến được ứng dụng như thế nào trong xây dựng?
    • Trong xây dựng, phương trình giao tuyến giúp tính toán các góc cắt, xác định vị trí các cấu kiện, và thiết kế các bề mặt phức tạp.
  7. Phương trình giao tuyến có liên quan gì đến giải tích vector?
    • Phương trình giao tuyến là một ứng dụng quan trọng của giải tích vector, đặc biệt là trong việc tính tích có hướng và biểu diễn đường thẳng trong không gian.
  8. Nếu biết một điểm trên giao tuyến và một mặt phẳng thứ ba vuông góc với giao tuyến, làm thế nào để viết phương trình mặt phẳng đó?
    • Vectơ chỉ phương của giao tuyến sẽ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thứ ba. Sử dụng điểm đã biết và vectơ pháp tuyến để viết phương trình mặt phẳng.
  9. Khi nào thì nên sử dụng phương pháp tìm điểm và vectơ chỉ phương, khi nào nên dùng phương pháp tham số?
    • Phương pháp tìm điểm và vectơ chỉ phương phù hợp khi bạn cần tìm các yếu tố hình học cụ thể. Phương pháp tham số phù hợp khi cần khảo sát tính chất của đường thẳng.
  10. Có những lỗi nào thường gặp khi tìm phương trình giao tuyến và làm thế nào để tránh?
    • Các lỗi thường gặp bao gồm tính sai tích có hướng, giải sai hệ phương trình, và nhầm lẫn giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương. Để tránh, hãy kiểm tra kỹ các bước tính toán và đảm bảo hiểu rõ các khái niệm cơ bản.

Với những thông tin chi tiết và hữu ích này, Xe Tải Mỹ Đình hy vọng bạn sẽ nắm vững kiến thức về phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng và ứng dụng thành công trong học tập và công việc.

Comments

No comments yet. Why don’t you start the discussion?

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *