Lũy Thừa Với Số Mũ Hữu Tỉ tưởng chừng phức tạp nhưng lại là công cụ toán học mạnh mẽ, ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ giúp bạn khám phá định nghĩa, tính chất, ứng dụng thực tế và cách giải các bài tập liên quan đến lũy thừa với số mũ hữu tỉ một cách dễ hiểu nhất.
1. Lũy Thừa Với Số Mũ Hữu Tỉ Là Gì?
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ là phép toán mở rộng của lũy thừa với số mũ nguyên, trong đó số mũ là một số hữu tỉ (có thể biểu diễn dưới dạng phân số). Công thức tổng quát là:
$$a^{frac{m}{n}} = sqrt[n]{a^m}$$
Trong đó:
alà cơ số (a > 0)mlà số nguyênnlà số nguyên dương (n > 1)
Ví dụ: $4^{frac{1}{2}} = sqrt[2]{4^1} = sqrt{4} = 2$
1.1. Giải thích chi tiết về định nghĩa
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ kết nối lũy thừa và căn bậc n của một số. Nó cho phép chúng ta biểu diễn các phép toán căn dưới dạng lũy thừa, giúp đơn giản hóa các biểu thức và giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
1.2. Điều kiện để lũy thừa với số mũ hữu tỉ tồn tại
Để lũy thừa với số mũ hữu tỉ $a^{frac{m}{n}}$ tồn tại, cần thỏa mãn các điều kiện sau:
- Cơ số a phải là số dương: Điều này đảm bảo rằng căn bậc n của $a^m$ luôn có giá trị thực.
- Mẫu số n phải là số nguyên dương lớn hơn 1: Mẫu số n xác định bậc của căn, và phải là số nguyên dương để đảm bảo phép toán căn có nghĩa.
Ví dụ, $ (-2)^{frac{1}{2}}$ không tồn tại vì cơ số là số âm. Tuy nhiên, $2^{frac{1}{2}}$ tồn tại và bằng $sqrt{2}$.
1.3. So sánh lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số mũ nguyên
| Đặc điểm | Lũy thừa với số mũ nguyên | Lũy thừa với số mũ hữu tỉ |
|---|---|---|
| Số mũ | Số nguyên (…, -2, -1, 0, 1, 2, …) | Số hữu tỉ (có dạng $frac{m}{n}$) |
| Cơ số | Có thể âm, dương hoặc bằng 0 | Phải là số dương |
| Phạm vi ứng dụng | Rộng rãi trong toán học cơ bản | Toán học nâng cao, giải tích |
| Tính chất | Các tính chất cơ bản của lũy thừa | Mở rộng từ tính chất lũy thừa nguyên |
Alt text: Bảng so sánh lũy thừa với số mũ nguyên và lũy thừa với số mũ hữu tỉ về số mũ, cơ số, phạm vi ứng dụng và tính chất.
2. Các Tính Chất Quan Trọng Của Lũy Thừa Với Số Mũ Hữu Tỉ
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ kế thừa và mở rộng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên. Dưới đây là các tính chất quan trọng nhất:
- Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $a^r * a^s = a^{r+s}$
- Chia hai lũy thừa cùng cơ số: $frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
- Lũy thừa của lũy thừa: $(a^r)^s = a^{r*s}$
- Lũy thừa của một tích: $(ab)^r = a^r * b^r$
- Lũy thừa của một thương: $(frac{a}{b})^r = frac{a^r}{b^r}$
Trong đó:
a,blà các số thực dươngr,slà các số hữu tỉ
Ví dụ minh họa:
- $2^{frac{1}{2}} * 2^{frac{3}{2}} = 2^{frac{1}{2} + frac{3}{2}} = 2^2 = 4$
- $frac{9^{frac{3}{4}}}{9^{frac{1}{4}}} = 9^{frac{3}{4} – frac{1}{4}} = 9^{frac{1}{2}} = 3$
- $(4^{frac{1}{2}})^{frac{2}{3}} = 4^{frac{1}{2} * frac{2}{3}} = 4^{frac{1}{3}} = sqrt[3]{4}$
2.1. Chứng minh các tính chất (nếu có thể)
Các tính chất trên có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa của lũy thừa với số mũ hữu tỉ và các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên. Ví dụ, để chứng minh $a^r * a^s = a^{r+s}$, ta có thể viết:
$a^r = a^{frac{m}{n}} = sqrt[n]{a^m}$
$a^s = a^{frac{p}{q}} = sqrt[q]{a^p}$
Sau đó, biến đổi và sử dụng các tính chất của căn bậc n để đưa ra kết luận.
2.2. Các hệ quả quan trọng
Từ các tính chất trên, ta có các hệ quả quan trọng sau:
- $a^0 = 1$ (với a ≠ 0)
- $a^{-r} = frac{1}{a^r}$
- $sqrt[n]{a^m} = a^{frac{m}{n}}$
Các hệ quả này giúp chúng ta đơn giản hóa các biểu thức phức tạp và giải quyết các bài toán liên quan đến lũy thừa và căn một cách dễ dàng hơn.
2.3. Lưu ý khi áp dụng các tính chất
Khi áp dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, cần lưu ý các điều kiện sau:
- Cơ số phải là số dương.
- Các số mũ phải là số hữu tỉ.
- Phải tuân thủ đúng thứ tự các phép toán.
Việc không tuân thủ các điều kiện này có thể dẫn đến kết quả sai.
Alt text: Hình ảnh minh họa các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ: nhân, chia, lũy thừa của lũy thừa, lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương.
3. Ứng Dụng Của Lũy Thừa Với Số Mũ Hữu Tỉ Trong Thực Tế
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng, mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau của đời sống.
3.1. Trong toán học và khoa học tự nhiên
- Giải các phương trình mũ và logarit: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ là công cụ quan trọng để giải các phương trình mũ và logarit, đặc biệt là các phương trình phức tạp.
- Tính toán trong vật lý: Nhiều công thức vật lý liên quan đến lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ví dụ như công thức tính năng lượng của một vật thể dao động.
- Ứng dụng trong hóa học: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được sử dụng để tính tốc độ phản ứng hóa học và nồng độ các chất trong dung dịch.
3.2. Trong kinh tế và tài chính
- Tính lãi suất kép: Công thức tính lãi suất kép sử dụng lũy thừa với số mũ hữu tỉ để tính số tiền lãi thu được sau một khoảng thời gian nhất định.
- Phân tích tăng trưởng kinh tế: Các mô hình tăng trưởng kinh tế thường sử dụng lũy thừa với số mũ hữu tỉ để mô tả mối quan hệ giữa các yếu tố sản xuất và sản lượng.
3.3. Trong kỹ thuật và công nghệ
- Xử lý tín hiệu: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được sử dụng trong các thuật toán xử lý tín hiệu để lọc và phân tích các tín hiệu âm thanh và hình ảnh.
- Thiết kế mạch điện: Các công thức tính toán trong thiết kế mạch điện thường liên quan đến lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
- Mật mã học: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được sử dụng trong một số thuật toán mật mã để mã hóa và giải mã thông tin.
3.4. Ví dụ cụ thể
- Tính diện tích hình tròn: Diện tích hình tròn được tính bằng công thức $S = pi r^2$, trong đó r là bán kính của hình tròn.
- Tính thể tích hình cầu: Thể tích hình cầu được tính bằng công thức $V = frac{4}{3} pi r^3$, trong đó r là bán kính của hình cầu.
- Tính chu kỳ dao động của con lắc đơn: Chu kỳ dao động của con lắc đơn được tính bằng công thức $T = 2pi sqrt{frac{l}{g}}$, trong đó l là chiều dài của con lắc và g là gia tốc trọng trường.
Alt text: Các ứng dụng thực tế của lũy thừa với số mũ hữu tỉ trong toán học, khoa học tự nhiên, kinh tế, tài chính, kỹ thuật và công nghệ.
4. Các Dạng Bài Tập Về Lũy Thừa Với Số Mũ Hữu Tỉ Và Cách Giải
Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp về lũy thừa với số mũ hữu tỉ và cách giải chi tiết:
4.1. Dạng 1: Tính giá trị biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức $A = 8^{frac{2}{3}} + 16^{frac{1}{4}} – 27^{frac{1}{3}}$
Giải:
- $8^{frac{2}{3}} = (2^3)^{frac{2}{3}} = 2^{3*frac{2}{3}} = 2^2 = 4$
- $16^{frac{1}{4}} = (2^4)^{frac{1}{4}} = 2^{4*frac{1}{4}} = 2^1 = 2$
- $27^{frac{1}{3}} = (3^3)^{frac{1}{3}} = 3^{3*frac{1}{3}} = 3^1 = 3$
Vậy, $A = 4 + 2 – 3 = 3$
4.2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Ví dụ: Rút gọn biểu thức $B = frac{a^{frac{2}{3}} b^{frac{1}{2}}}{sqrt[6]{a^4 b^3}}$ (với a > 0, b > 0)
Giải:
- $sqrt[6]{a^4 b^3} = (a^4 b^3)^{frac{1}{6}} = a^{frac{4}{6}} b^{frac{3}{6}} = a^{frac{2}{3}} b^{frac{1}{2}}$
Vậy, $B = frac{a^{frac{2}{3}} b^{frac{1}{2}}}{a^{frac{2}{3}} b^{frac{1}{2}}} = 1$
4.3. Dạng 3: Giải phương trình
Ví dụ: Giải phương trình $4^x = 8^{frac{2}{3}}$
Giải:
- $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$
- $8^{frac{2}{3}} = (2^3)^{frac{2}{3}} = 2^{3*frac{2}{3}} = 2^2$
Vậy, $2^{2x} = 2^2 Rightarrow 2x = 2 Rightarrow x = 1$
4.4. Dạng 4: Chứng minh đẳng thức
Ví dụ: Chứng minh đẳng thức: $frac{a^{frac{1}{2}} – b^{frac{1}{2}}}{a – b} = frac{1}{a^{frac{1}{2}} + b^{frac{1}{2}}}$ (với a > 0, b > 0, a ≠ b)
Giải:
Ta có: $a – b = (a^{frac{1}{2}})^2 – (b^{frac{1}{2}})^2 = (a^{frac{1}{2}} – b^{frac{1}{2}}) * (a^{frac{1}{2}} + b^{frac{1}{2}})$
Vậy, $frac{a^{frac{1}{2}} – b^{frac{1}{2}}}{a – b} = frac{a^{frac{1}{2}} – b^{frac{1}{2}}}{(a^{frac{1}{2}} – b^{frac{1}{2}}) * (a^{frac{1}{2}} + b^{frac{1}{2}})} = frac{1}{a^{frac{1}{2}} + b^{frac{1}{2}}}$
4.5. Mẹo và thủ thuật khi giải bài tập
- Biến đổi về cùng cơ số: Khi gặp các biểu thức phức tạp, hãy cố gắng biến đổi các lũy thừa về cùng cơ số để dễ dàng áp dụng các tính chất.
- Sử dụng các công thức biến đổi: Nắm vững các công thức biến đổi lũy thừa và căn để đơn giản hóa biểu thức.
- Kiểm tra điều kiện: Luôn kiểm tra các điều kiện của cơ số và số mũ để đảm bảo phép toán có nghĩa.
Alt text: Các dạng bài tập thường gặp về lũy thừa với số mũ hữu tỉ: tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, giải phương trình, chứng minh đẳng thức.
5. Các Lỗi Thường Gặp Khi Tính Toán Lũy Thừa Với Số Mũ Hữu Tỉ
Trong quá trình tính toán lũy thừa với số mũ hữu tỉ, học sinh thường mắc phải một số lỗi sau:
5.1. Quên điều kiện của cơ số
Một trong những lỗi phổ biến nhất là quên rằng cơ số phải là số dương. Khi cơ số là số âm, lũy thừa với số mũ hữu tỉ có thể không có giá trị thực, hoặc có nhiều giá trị khác nhau.
Ví dụ: Tính $(-4)^{frac{1}{2}}$. Nhiều người sẽ nhầm lẫn và cho rằng kết quả là -2, nhưng thực tế biểu thức này không có giá trị thực.
5.2. Sai thứ tự thực hiện phép toán
Thứ tự thực hiện phép toán (ngoặc, lũy thừa, nhân chia, cộng trừ) rất quan trọng. Sai thứ tự có thể dẫn đến kết quả sai.
Ví dụ: Tính $2 4^{frac{1}{2}}$. Nếu tính $24$ trước, ta sẽ được $8^{frac{1}{2}} = 2sqrt{2}$, trong khi kết quả đúng phải là $2 * 2 = 4$.
5.3. Nhầm lẫn giữa các tính chất
Việc nhầm lẫn giữa các tính chất của lũy thừa có thể dẫn đến sai sót nghiêm trọng.
Ví dụ: Nhầm lẫn giữa $(a^r)^s = a^{rs}$ và $a^r a^s = a^{r+s}$.
5.4. Sai khi rút gọn biểu thức
Trong quá trình rút gọn biểu thức, cần chú ý đến việc áp dụng đúng các công thức và không bỏ sót các yếu tố.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức $frac{a^{frac{3}{2}} + a}{a^{frac{1}{2}}}$. Nhiều người sẽ rút gọn sai thành $a^3 + 1$, trong khi kết quả đúng phải là $a + a^{frac{1}{2}}$.
5.5. Mẹo để tránh các lỗi sai
- Ghi nhớ và hiểu rõ các tính chất: Học thuộc và hiểu rõ các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
- Thực hiện phép toán theo đúng thứ tự: Tuân thủ đúng thứ tự thực hiện phép toán.
- Kiểm tra lại kết quả: Sau khi tính toán, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo không có sai sót.
- Luyện tập thường xuyên: Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau để làm quen với các dạng bài và tránh các lỗi sai.
Alt text: Các lỗi phổ biến khi tính toán lũy thừa với số mũ hữu tỉ: quên điều kiện của cơ số, sai thứ tự thực hiện phép toán, nhầm lẫn giữa các tính chất, sai khi rút gọn biểu thức.
6. Bài Tập Nâng Cao Về Lũy Thừa Với Số Mũ Hữu Tỉ
Để nâng cao kỹ năng giải toán về lũy thừa với số mũ hữu tỉ, hãy thử sức với các bài tập sau:
6.1. Bài 1
Cho biểu thức $P = frac{x^{frac{1}{2}} – y^{frac{1}{2}}}{x^{frac{1}{4}} – y^{frac{1}{4}}} – frac{x^{frac{3}{4}} – y^{frac{3}{4}}}{x^{frac{1}{2}} + (x*y)^{frac{1}{4}} + y^{frac{1}{2}}}$ (với x > 0, y > 0, x ≠ y).
- a) Rút gọn biểu thức P.
- b) Tính giá trị của P khi x = 16 và y = 4.
6.2. Bài 2
Giải phương trình: $2^{2x} – 3 * 2^{x+1} + 8 = 0$
6.3. Bài 3
Chứng minh rằng: Nếu $a^{frac{1}{3}} + b^{frac{1}{3}} + c^{frac{1}{3}} = 0$ thì $(a + b + c)^3 = 27abc$
6.4. Gợi ý và hướng dẫn giải
- Bài 1:
- a) Sử dụng công thức $a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$ để phân tích các biểu thức.
- b) Thay giá trị x và y vào biểu thức đã rút gọn để tính giá trị.
- Bài 2:
- Đặt $t = 2^x$ để đưa phương trình về dạng bậc hai.
- Giải phương trình bậc hai để tìm t, sau đó tìm x.
- Bài 3:
- Sử dụng hằng đẳng thức $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$.
- Biến đổi và rút gọn để chứng minh đẳng thức.
6.5. Lời khuyên khi giải bài tập nâng cao
- Nắm vững kiến thức cơ bản: Trước khi giải bài tập nâng cao, hãy đảm bảo bạn đã nắm vững các kiến thức cơ bản về lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
- Phân tích kỹ đề bài: Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán.
- Tìm kiếm các mối liên hệ: Tìm kiếm các mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài toán để đưa ra hướng giải phù hợp.
- Kiên trì và sáng tạo: Đừng nản lòng khi gặp bài tập khó. Hãy kiên trì suy nghĩ và tìm kiếm các cách giải sáng tạo.
Alt text: Một số bài tập nâng cao về lũy thừa với số mũ hữu tỉ: rút gọn biểu thức, giải phương trình, chứng minh đẳng thức.
7. Tài Liệu Tham Khảo Về Lũy Thừa Với Số Mũ Hữu Tỉ
Để hiểu sâu hơn về lũy thừa với số mũ hữu tỉ, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
7.1. Sách giáo khoa và sách bài tập Toán lớp 11
Sách giáo khoa và sách bài tập Toán lớp 11 là nguồn tài liệu cơ bản và quan trọng nhất để nắm vững kiến thức về lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
7.2. Các trang web học toán trực tuyến
- Khan Academy: Cung cấp các bài giảng và bài tập miễn phí về lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
- VietJack: Cung cấp các bài viết chi tiết về công thức và bài tập lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
- Toán Math: Chia sẻ các bài viết và video hướng dẫn giải bài tập lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
7.3. Các diễn đàn và nhóm học toán
Tham gia các diễn đàn và nhóm học toán trên mạng xã hội để trao đổi kiến thức và kinh nghiệm giải bài tập với những người cùng sở thích.
7.4. Các bài báo khoa học và tạp chí toán học (nếu có)
Nếu bạn muốn tìm hiểu sâu hơn về lũy thừa với số mũ hữu tỉ, hãy tìm đọc các bài báo khoa học và tạp chí toán học.
7.5. Lưu ý khi lựa chọn tài liệu tham khảo
- Chọn tài liệu phù hợp với trình độ: Chọn tài liệu có trình độ phù hợp với khả năng của bản thân.
- Chọn tài liệu có uy tín: Chọn tài liệu từ các nguồn uy tín để đảm bảo tính chính xác của thông tin.
- Đọc và suy ngẫm: Đọc kỹ tài liệu và suy ngẫm về các khái niệm và công thức.
- Làm bài tập: Làm bài tập để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Alt text: Các nguồn tài liệu tham khảo về lũy thừa với số mũ hữu tỉ: sách giáo khoa, trang web học toán trực tuyến, diễn đàn học toán, bài báo khoa học.
8. FAQ – Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Lũy Thừa Với Số Mũ Hữu Tỉ
8.1. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có phải là số vô tỉ không?
Không nhất thiết. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có thể là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ, tùy thuộc vào giá trị của cơ số và số mũ. Ví dụ, $4^{frac{1}{2}} = 2$ là số hữu tỉ, nhưng $2^{frac{1}{2}} = sqrt{2}$ là số vô tỉ.
8.2. Tại sao cơ số của lũy thừa với số mũ hữu tỉ phải là số dương?
Để đảm bảo rằng căn bậc n của $a^m$ luôn có giá trị thực. Nếu cơ số là số âm, kết quả có thể là số phức hoặc không xác định.
8.3. Làm thế nào để tính lũy thừa với số mũ hữu tỉ bằng máy tính?
Hầu hết các máy tính đều có chức năng tính lũy thừa. Bạn có thể sử dụng phím “^” hoặc “y^x” để tính lũy thừa với số mũ bất kỳ.
8.4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có ứng dụng gì trong thực tế?
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có nhiều ứng dụng trong toán học, khoa học tự nhiên, kinh tế, tài chính, kỹ thuật và công nghệ. Ví dụ, nó được sử dụng để tính lãi suất kép, phân tích tăng trưởng kinh tế, xử lý tín hiệu và thiết kế mạch điện.
8.5. Làm thế nào để giải các bài tập về lũy thừa với số mũ hữu tỉ?
Để giải các bài tập về lũy thừa với số mũ hữu tỉ, bạn cần nắm vững các tính chất của lũy thừa, các công thức biến đổi và thực hiện phép toán theo đúng thứ tự.
8.6. Có mẹo nào để nhớ các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ không?
Bạn có thể sử dụng các quy tắc mnemonic (ví dụ, các câu vè hoặc hình ảnh) để giúp bạn nhớ các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
8.7. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ khác gì so với lũy thừa với số mũ thực?
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ là trường hợp đặc biệt của lũy thừa với số mũ thực, trong đó số mũ là một số hữu tỉ. Lũy thừa với số mũ thực có thể có số mũ là bất kỳ số thực nào, bao gồm cả số hữu tỉ và số vô tỉ.
8.8. Làm thế nào để chứng minh các đẳng thức liên quan đến lũy thừa với số mũ hữu tỉ?
Để chứng minh các đẳng thức liên quan đến lũy thừa với số mũ hữu tỉ, bạn có thể sử dụng các tính chất của lũy thừa, các công thức biến đổi và các phương pháp chứng minh toán học.
8.9. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có liên quan gì đến căn bậc n?
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ là một cách biểu diễn khác của căn bậc n. Cụ thể, $a^{frac{1}{n}} = sqrt[n]{a}$.
8.10. Tôi có thể tìm thêm bài tập về lũy thừa với số mũ hữu tỉ ở đâu?
Bạn có thể tìm thêm bài tập về lũy thừa với số mũ hữu tỉ trong sách bài tập Toán lớp 11, trên các trang web học toán trực tuyến và trong các diễn đàn học toán.
Alt text: Các câu hỏi thường gặp về lũy thừa với số mũ hữu tỉ: định nghĩa, điều kiện, ứng dụng, cách giải bài tập.
9. Lời Kết
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ là một khái niệm quan trọng trong toán học, có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau. Hy vọng bài viết này của Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lũy thừa với số mũ hữu tỉ, các tính chất, ứng dụng và cách giải các bài tập liên quan.
Nếu bạn đang tìm kiếm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về xe tải ở Mỹ Đình, Hà Nội, đừng ngần ngại truy cập XETAIMYDINH.EDU.VN để được tư vấn và giải đáp mọi thắc mắc. Chúng tôi cung cấp thông tin cập nhật về các loại xe tải, giá cả, địa điểm mua bán uy tín và dịch vụ sửa chữa chất lượng.
Bạn còn thắc mắc gì về xe tải ở Mỹ Đình? Hãy liên hệ ngay với Xe Tải Mỹ Đình để được tư vấn miễn phí!
- Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội
- Hotline: 0247 309 9988
- Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN
