Logarit Lớp 12 là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng. Để giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục các bài tập liên quan đến logarit, Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ cung cấp một tổng quan chi tiết về lý thuyết, các dạng bài tập cơ bản và nâng cao, cùng với phương pháp giải hiệu quả. Hãy cùng khám phá thế giới logarit để đạt điểm cao trong môn Toán nhé! Xe Tải Mỹ Đình sẽ giúp bạn giải đáp mọi thắc mắc.
1. Tổng Quan Lý Thuyết Logarit Lớp 12
1.1. Định Nghĩa Logarit Và Các Loại Logarit Phổ Biến
Vậy logarit là gì? Logarit của một số là lũy thừa mà một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó. Nói một cách đơn giản, logarit là phép toán nghịch đảo của lũy thừa. Theo nghiên cứu của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Khoa Toán – Tin, năm 2023, việc nắm vững định nghĩa logarit giúp học sinh dễ dàng tiếp cận các bài toán liên quan.
Ví dụ, logarit cơ số 10 của 1000 là 3 vì 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³. Tổng quát hơn, nếu $x = b^y$ thì $y$ được gọi là logarit cơ số $b$ của $x$ và được ký hiệu là $log_b(x)$.
Các loại logarit lớp 12 thường gặp:
- Logarit thập phân: Là logarit có cơ số 10, viết tắt là $log_{10}b = log b = lg b$. Nó có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật.
- Logarit tự nhiên: Là logarit có cơ số là hằng số e (e ≈ 2.71828), viết tắt là $ln(b)$ hay $log_e(b)$. Nó được ứng dụng nhiều trong toán học và vật lý, đặc biệt là vi tích phân.
- Logarit nhị phân: Là logarit sử dụng cơ số 2, ký hiệu là $log_2b$. Nó được ứng dụng trong khoa học máy tính và lập trình.
- Logarit phức: Là hàm ngược của hàm lũy thừa trong số phức.
- Logarit rời rạc: Được ứng dụng trong mật mã hóa khóa công khai.
Công thức chung của logarit có dạng như sau:
$log_a(b) = x$ tương đương với $a^x = b$, trong đó $b > 0$, $0 < a ≠ 1$.
đồ thị hàm số logarit
1.2. Tổng Hợp Các Công Thức Logarit Cơ Bản Nhất
Các công thức logarit cơ bản sau đây sẽ giúp bạn biến đổi và tính toán các biểu thức logarit một cách dễ dàng:
- Công thức tích: $log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)$
- Công thức thương: $log_a(frac{x}{y}) = log_a(x) – log_a(y)$
- Công thức lũy thừa: $log_a(x^n) = n * log_a(x)$
- Công thức căn: $log_a(sqrt[n]{x}) = frac{1}{n} * log_a(x)$
đồ thị hàm số logarit
Công thức đổi cơ số:
Logarit $log_bx$ có thể được tính từ logarit cơ số trung gian $k$ của $x$ và $b$ theo công thức:
$log_bx = frac{log_kx}{log_kb}$
Các máy tính bỏ túi thường tính logarit cơ số 10 và e. Logarit cơ số b bất kỳ có thể được xác định bằng cách đưa một trong hai logarit đặc biệt này vào công thức trên:
2. Các Dạng Toán Logarit Lớp 12 Thường Gặp Và Phương Pháp Giải
2.1. Các Dạng Toán Liên Quan Đến Phương Trình Logarit
2.1.1. Phương Pháp Đưa Về Cùng Cơ Số Để Giải Phương Trình Logarit
Trong quá trình biến đổi để tìm ra cách giải các bài tập logarit, chúng ta thường quên việc kiểm soát miền xác định của phương trình. Vì vậy để cho an toàn thì ngoài phương trình logarit cơ bản, các bạn nên đặt điều kiện xác định cho phương trình trước khi biến đổi.
Phương pháp giải dạng bài này như sau:
- Trường hợp 1: $log_af(x) = b => f(x) = a^b$
- Trường hợp 2: $log_af(x) = log_ag(x)$ khi và chỉ khi $f(x) = g(x)$
Ví dụ minh họa:
Giải phương trình $log_2(3x – 2) = 4$.
Lời giải:
Điều kiện: $3x – 2 > 0 <=> x > frac{2}{3}$.
Phương trình trở thành: $3x – 2 = 2^4 = 16 <=> 3x = 18 <=> x = 6$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 6$.
Ví dụ bài tập logarit lớp 12 dạng đưa về cùng cơ số
2.1.2. Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Để Giải Phương Trình Logarit
Ở cách giải bài tập logarit này, khi đặt ẩn phụ, chúng ta cần chú ý xem miền giá trị của ẩn phụ để đặt điều kiện cho ẩn phụ hoặc không. Ta có công thức tổng quát như sau:
Phương trình dạng: $Q[log_af(x)] = 0$ -> Đặt $t = log_ax$ ($x$ thuộc $mathbb{R}$)
Ví dụ minh họa:
Giải phương trình: $(log_2x)^2 – 3log_2x + 2 = 0$
Lời giải:
Đặt $t = log_2x$. Phương trình trở thành: $t^2 – 3t + 2 = 0$
Giải phương trình bậc hai, ta được: $t_1 = 1$ và $t_2 = 2$
Với $t_1 = 1 <=> log_2x = 1 <=> x = 2^1 = 2$
Với $t_2 = 2 <=> log_2x = 2 <=> x = 2^2 = 4$
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$ và $x = 4$.
Ví dụ bài tập logarit lớp 12 dạng đặt ẩn phụ
2.1.3. Phương Pháp Mũ Hóa Để Giải Phương Trình Logarit
Bản chất của việc giải phương trình logarit cơ bản cũng là mũ hóa 2 vế với cơ số a. Trong một số trường hợp, phương trình có cả logarit và cả mũ thì ta có thể thử áp dụng mũ hóa 2 vế để giải.
Phương trình $log_af(x) = log_bg(x) (a > 0, a ≠ 1)$
Ta đặt $log_af(x) = log_bg(x) = t => Hoặc f(x) = a^t hoặc g(x) = b^t$
=> Đưa về dạng phương trình ẩn $t$.
Ví dụ minh họa:
Giải phương trình: $log_2(x + 1) = log_4(x^2 + 2x + 1)$
Lời giải:
Điều kiện: $x + 1 > 0 <=> x > -1$.
Ta có: $log_2(x + 1) = log_4(x^2 + 2x + 1) = log_4(x + 1)^2 = log_2(x + 1)$
Vậy phương trình trở thành: $log_2(x + 1) = log_2(x + 1)$, luôn đúng với mọi $x > -1$.
Tuy nhiên, ta cần xét thêm điều kiện $x + 1 ≠ 1 <=> x ≠ 0$.
Vậy nghiệm của phương trình là $x > -1$ và $x ≠ 0$.
Ví dụ bài tập logarit lớp 12 dạng mũ hóa
2.1.4. Phương Pháp Sử Dụng Đồ Thị Để Giải Phương Trình Logarit
Giải phương trình: $log_ax = f(x)$ $(0 < a ≠ 1)$
- Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: $y = log_ax (0 < a ≠ 1)$ và $y = f(x)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.
- Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị.
Ví dụ minh họa:
Cho hàm số $y = log_2x$ và $y = -x + 3$. Tìm số nghiệm của phương trình $log_2x = -x + 3$.
Lời giải:
Vẽ đồ thị hai hàm số $y = log_2x$ và $y = -x + 3$ trên cùng một hệ trục tọa độ.
Nhận thấy hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm. Vậy phương trình có hai nghiệm.
Ví dụ bài tập logarit lớp 12 dạng đồ thị – giải
2.2. Các Dạng Toán Về Bất Phương Trình Logarit
2.2.1. Giải Bất Phương Trình Logarit Bằng Phương Pháp Đưa Về Cùng Cơ Số
Lý thuyết cần nhớ:
- Công thức để biến đổi bất phương trình logarit cơ bản về cùng cơ số là:
- $log_af(x) > log_ag(x) <=> f(x) > g(x) (a > 1; f(x) > 0; g(x) > 0)$
- $log_af(x) > log_ag(x) <=> 0 < f(x) < g(x) (0 < a < 1; f(x) > 0; g(x) > 0)$
- $log_af(x) > b <=> f(x) > a^b (a > 1; f(x) > 0)$
- $log_af(x) > b <=> 0 < f(x) < a^b (0 < a < 1; f(x) > 0)$
- Đặc biệt: Đối với các phương trình hoặc bất phương trình Logarit, ta luôn phải nhớ đặt điều kiện để các biểu thức $log_af(x)$ có nghĩa. Cụ thể là $f(x) > 0$.
Ví dụ 1: $log_3(2x + 1) > log_35$
Điều kiện: $2x + 1 > 0 => x > -frac{1}{2}$
Ta có: $log_3(2x + 1) > log_35 => 2x + 1 > 5 => 2x > 4 => x > 2$ (thỏa mãn điều kiện)
Ví dụ 2: $log_2(x – 5) + log_2(x + 2) > 3$
Điều kiện: $x – 5 > 0$, $x + 2 > 0 => x > 5$
Ta có: $log_2(x – 5) + log_2(x + 2) > 3 => log_2(x – 5)(x + 2) > 3 => (x – 5)(x + 2) > 2^3$
$<=> x^2 – 3x – 18 > 0$
$<=> x < -3$ hoặc $x > 6$
Kết hợp điều kiện: $x > 6$.
2.2.2. Giải Bất Phương Trình Logarit Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
Lý thuyết cần nhớ:
- Với phương trình hoặc bất phương trình có dạng biểu thức $log_af(x)$ thì ta có thể đặt ẩn phụ theo dạng $t = log_af(x)$.
- Luôn phải đặt điều kiện để biểu thức $log_af(x)$ có nghĩa là $f(x) > 0$.
- Lưu ý khi giải bất phương trình Logarit ta cần chú ý đặc điểm của bất phương trình đang xét (có chứa dấu căn hay không, có ẩn ở mẫu hay không…) để đưa ra điều kiện phù hợp.
Ví dụ 1: $4log_9x + log_x3 – 3 > 0$
Ví dụ 1
Ví dụ 2: $1 + log2(x – 1) > log{x-1}4$
Ví dụ 2
2.2.3. Giải Bất Phương Trình Logarit Bằng Phương Pháp Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
Lý thuyết cần nhớ
- Trong một số trường hợp ta không thể áp dụng phương pháp đưa về cùng cơ số hay đặt ẩn phụ để giải bài tập logarit thì ta có thể sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.
- Phương pháp này thường được sử dụng để giải bất phương trình logarit có nhiều cơ số khác nhau.
- Để áp dụng phương pháp này ta chỉ cần biến đổi bất phương trình về dạng hàm số rồi xét tính đơn điệu và tìm ra nghiệm (hoặc tập nghiệm).
bài tập logarit lớp 12 giải phương pháp hàm số
2.3. Các Dạng Toán Liên Quan Đến Hàm Logarit
2.3.1. Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số Logarit
Đây là dạng rất cơ bản trong bài tập hàm số logarit. Khi tiến hành giải, các em dựa vào 2 quy tắc sau:
- Hàm số $y = a^x$ cần điều kiện là a là số thực dương và $a$ khác 1.
- Hàm số $y = log_ax$ cần điều kiện:
- Số thực a dương và khác 1.
- $x > 0$
Ví dụ minh họa:
Tìm tập xác định của hàm số $y = log_2(x – 1)$.
Lời giải:
Điều kiện: $x – 1 > 0 <=> x > 1$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = (1; +∞)$.
Bài tập logarit lớp 12 tìm tập xác định của hàm số
2.3.2. Tính Đạo Hàm Của Hàm Số Logarit
Ở dạng này, chúng ta vận dụng những công thức đạo hàm, đạo hàm logarit để tiến hành biến đổi. Chúng ta cùng xét ví dụ minh họa về 1 cách biến đổi tìm đạo hàm logarit sau:
Tính đạo hàm của hàm số $y = ln(x^2 + 1)$.
Lời giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: $y’ = frac{(x^2 + 1)’}{x^2 + 1} = frac{2x}{x^2 + 1}$.
Bài tập logarit lớp 12 tính đạo hàm của hàm số
2.3.3. Ứng Dụng Đạo Hàm Vào Khảo Sát Đồ Thị Hàm Logarit
Đây là bước nâng cao hơn của các bài tập dạng 2, nghĩa là sau khi tìm đạo hàm bài toán sẽ yêu cầu thêm các em một bước nữa đó là khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho. Ở đây, chúng ta áp dụng những kiến thức về cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất… để giải bài toán.
Để rõ hơn, ta cùng xét ví dụ minh họa sau đây:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = ln(x)$.
Lời giải:
Tập xác định: $D = (0; +∞)$.
Đạo hàm: $y’ = frac{1}{x} > 0$ với mọi $x$ thuộc $D$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +∞)$.
Bảng biến thiên:
| x | 0 | +∞ |
|---|---|---|
| y’ | + | + |
| y | -∞ | +∞ |
Đồ thị:
Bài tập logarit lớp 12 ứng dụng đạo hàm khảo sát đồ thị hàm số
Bài tập logarit lớp 12 ứng dụng đạo hàm khảo sát đồ thị hàm số – giải
2.3.4. Cực Trị Hàm Số Logarit Và Min – Max Nhiều Biến
Đây là dạng toán ở mức độ vận dụng – vận dụng cao. Để giải được các bài tập cực trị của hàm số, các em cần vận dụng tốt các công thức biến đổi và nắm chắc các tính chất của hàm số logarit.
Cùng Xe Tải Mỹ Đình xét 2 ví dụ sau đây để hiểu cách làm dạng toán cực trị và min max này nhé!
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x, y) = x + y$ với điều kiện $x > 0$, $y > 0$ và $x + y = 1$.
Lời giải:
Vì $x + y = 1$ nên $y = 1 – x$. Khi đó, $f(x) = x + (1 – x) = 1$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1.
Bài tập logarit lớp 12 – cực trị hàm số – giải
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x, y) = xy$ với điều kiện $x > 0$, $y > 0$ và $x + y = 4$.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy): $frac{x + y}{2} geq sqrt{xy}$
$<=> frac{4}{2} geq sqrt{xy} <=> 2 geq sqrt{xy} <=> 4 geq xy$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4 khi $x = y = 2$.
Bài tập logarit lớp 12 – cực trị hàm số
3. FAQ – Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Logarit Lớp 12
-
Logarit dùng để làm gì?
Logarit được sử dụng để giải các phương trình mũ, tính toán các đại lượng biến đổi theo cấp số nhân và trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác. -
Điều kiện để một biểu thức có logarit là gì?
Biểu thức $log_ab$ có nghĩa khi và chỉ khi $a > 0$, $a ≠ 1$ và $b > 0$. -
Công thức đổi cơ số logarit có ứng dụng gì?
Công thức đổi cơ số logarit giúp chúng ta tính logarit với cơ số bất kỳ thông qua các logarit đã biết (ví dụ, logarit cơ số 10 hoặc logarit tự nhiên). -
Khi nào thì nên sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình logarit?
Phương pháp đặt ẩn phụ thường được sử dụng khi phương trình logarit có dạng phức tạp, chứa các biểu thức lặp lại hoặc có thể đưa về dạng đơn giản hơn. -
Phương pháp mũ hóa được áp dụng khi nào?
Phương pháp mũ hóa thường được áp dụng khi phương trình có cả logarit và mũ, hoặc khi muốn khử logarit để đưa về phương trình đại số đơn giản hơn. -
Làm thế nào để giải bất phương trình logarit?
Để giải bất phương trình logarit, cần đưa về cùng cơ số, xét dấu của biểu thức và kết hợp với điều kiện xác định của logarit. -
Ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát hàm số logarit là gì?
Đạo hàm giúp chúng ta tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và vẽ đồ thị của hàm số logarit. -
Các dạng toán cực trị của hàm số logarit thường gặp trong đề thi là gì?
Các dạng toán cực trị thường liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số logarit thỏa mãn một điều kiện nào đó. -
Tại sao cần nắm vững lý thuyết logarit?
Nắm vững lý thuyết logarit giúp chúng ta hiểu rõ bản chất của các bài toán và áp dụng các phương pháp giải một cách linh hoạt, hiệu quả. -
Làm thế nào để ôn tập logarit hiệu quả?
Để ôn tập logarit hiệu quả, bạn nên học kỹ lý thuyết, làm nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao, và tham khảo các tài liệu, đề thi thử để làm quen với các dạng toán khác nhau.
4. Tại Sao Nên Tìm Hiểu Về Xe Tải Tại XETAIMYDINH.EDU.VN?
Nếu bạn đang tìm kiếm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về xe tải ở khu vực Mỹ Đình, Hà Nội, thì XETAIMYDINH.EDU.VN là địa chỉ không thể bỏ qua. Chúng tôi cung cấp:
- Thông tin chi tiết và cập nhật: Về các loại xe tải có sẵn ở Mỹ Đình, Hà Nội, bao gồm thông số kỹ thuật, giá cả và đánh giá từ người dùng.
- So sánh các dòng xe: Giúp bạn dễ dàng lựa chọn loại xe phù hợp với nhu cầu và ngân sách của mình.
- Tư vấn chuyên nghiệp: Đội ngũ chuyên gia của chúng tôi sẵn sàng giải đáp mọi thắc mắc liên quan đến thủ tục mua bán, đăng ký và bảo dưỡng xe tải.
- Dịch vụ sửa chữa uy tín: Thông tin về các dịch vụ sửa chữa xe tải uy tín trong khu vực Mỹ Đình, giúp bạn an tâm về chất lượng và giá cả.
Lời Kêu Gọi Hành Động (CTA)
Đừng để những thách thức trong việc tìm kiếm thông tin về xe tải làm bạn mất thời gian và công sức. Hãy truy cập ngay XETAIMYDINH.EDU.VN để được tư vấn và giải đáp mọi thắc mắc về xe tải ở Mỹ Đình. Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những thông tin chính xác, hữu ích và dịch vụ tốt nhất.
Thông tin liên hệ:
- Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội.
- Hotline: 0247 309 9988
- Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN
Xe Tải Mỹ Đình rất hân hạnh được đồng hành cùng bạn trên con đường tìm kiếm chiếc xe tải ưng ý!
