Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian. Bạn đang tìm kiếm cách tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) một cách chính xác và dễ hiểu? Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ giúp bạn giải đáp thắc mắc này bằng phương pháp hình chiếu, cùng các ví dụ minh họa chi tiết và bài tập vận dụng đa dạng. Bài viết này không chỉ cung cấp kiến thức chuyên môn mà còn hỗ trợ bạn ôn tập và làm bài tập hiệu quả về khoảng cách trong hình học. Hãy cùng khám phá những kiến thức hữu ích này và tìm hiểu thêm về hình học không gian nhé.
1. Phương Pháp Tính Khoảng Cách Từ A Đến Mặt Phẳng (SBC) Bằng Hình Chiếu
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, việc xác định hình chiếu của điểm đó trên mặt phẳng là vô cùng quan trọng. Dưới đây là phương pháp tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α) sử dụng hình chiếu, với các bước giải chi tiết:
Bước 1: Xác định yếu tố vuông góc ban đầu
Giả sử bạn có SA vuông góc với Δ, trong đó S thuộc (α) và Δ nằm trong (α).
Bước 2: Dựng đường vuông góc phụ
Dựng AK vuông góc với Δ. Từ đó, suy ra Δ vuông góc với mặt phẳng (SAK), và do đó, (α) vuông góc với (SAK). Giao tuyến của (α) và (SAK) là đường thẳng SK.
Bước 3: Tìm hình chiếu
Dựng AP vuông góc với SK. Khi đó, AP vuông góc với mặt phẳng (α), và khoảng cách từ A đến (α) chính là độ dài đoạn thẳng AP. Vậy, d(A, (α)) = AP.
Hình ảnh minh họa các bước tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
2. Các Ví Dụ Minh Họa Cụ Thể
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về phương pháp trên, hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) xem xét các ví dụ minh họa sau đây:
2.1. Ví dụ 1: Khoảng cách từ A đến (SBC) trong tam giác đều
Đề bài: Cho tam giác đều ABC cạnh a nằm trong mặt phẳng (P). Trên tia Ax vuông góc với (P), lấy điểm S sao cho SA = a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn giải:
-
Bước 1: Gọi M là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.
-
Bước 2: Chứng minh BC vuông góc với (SAM). Ta có BC vuông góc với AM (do ABC là tam giác đều) và BC vuông góc với SA (do SA vuông góc với (ABC)). Do đó, BC vuông góc với (SAM). Suy ra BC vuông góc với AH.
-
Bước 3: Chứng minh AH vuông góc với (SBC). Vì AH vuông góc với SM và BC (chứng minh trên), nên AH vuông góc với (SBC).
-
Bước 4: Tính AH. Tam giác SAM vuông tại A có AH là đường cao, nên:
1/AH² = 1/SA² + 1/AM²
Trong đó AM = (a√3)/2. Thay số và tính được AH = (a√21)/7.
Kết luận: Khoảng cách từ A đến (SBC) là (a√21)/7.
Hình ảnh minh họa các bước giải ví dụ 1
Hình ảnh minh họa các bước chứng minh và tính toán trong ví dụ 1
Hình ảnh minh họa hình chiếu vuông góc của A trên SM
2.2. Ví dụ 2: Khoảng cách từ A đến (SCD) trong hình chóp có đáy là hình chữ nhật
Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2a, SA = a. Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Hướng dẫn giải:
-
Bước 1: Chứng minh (SAD) vuông góc với CD. Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với CD. Mặt khác, AD vuông góc với CD. Do đó, (SAD) vuông góc với CD.
-
Bước 2: Dựng AH vuông góc với SD tại H. Khi đó, AH vuông góc với (SCD).
-
Bước 3: Tính AH. Tam giác SAD vuông tại A có AH là đường cao, nên:
1/AH² = 1/SA² + 1/AD²
Thay số và tính được AH = (2a√5)/5.
Kết luận: Khoảng cách từ A đến (SCD) là (2a√5)/5.
Hình ảnh minh họa hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật
Hình ảnh minh họa các bước chứng minh và tính toán trong ví dụ 2
Hình ảnh minh họa AH vuông góc với mặt phẳng SCD
2.3. Ví dụ 3: Khoảng cách từ S đến (ABC) trong hình chóp đều
Đề bài: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S đến (ABC).
Hướng dẫn giải:
-
Bước 1: Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Vì S.ABC là hình chóp đều nên SO vuông góc với (ABC).
-
Bước 2: Tính SO. Tam giác SOA vuông tại O, có:
SO² = SA² – OA²
Trong đó OA = (2/3)AM = a√3 (với AM là đường trung tuyến của tam giác đều ABC). Thay số và tính được SO = a.
Kết luận: Khoảng cách từ S đến (ABC) là a.
Hình ảnh minh họa hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng 3a
Hình ảnh minh họa cách tính khoảng cách từ S đến (ABC)
2.4. Ví dụ 4: Khoảng cách từ A đến (SBC) khi SA, AB, BC vuông góc đôi một
Đề bài: Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a√3, AB = a√3. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Hướng dẫn giải:
-
Bước 1: Dựng AH vuông góc với SB.
-
Bước 2: Chứng minh AH vuông góc với (SBC). Ta có AH vuông góc với SB, BC vuông góc với (SAB) nên BC vuông góc với AH. Do đó, AH vuông góc với (SBC).
-
Bước 3: Tính AH. Tam giác SAB vuông tại A có AH là đường cao, nên:
1/AH² = 1/SA² + 1/AB²
Thay số và tính được AH = (a√3)/2.
Kết luận: Khoảng cách từ A đến (SBC) là (a√3)/2.
Hình ảnh minh họa hình chóp S.ABC với các cạnh vuông góc
Hình ảnh minh họa các bước chứng minh và tính toán khoảng cách
Hình ảnh minh họa tam giác vuông SAB có đường cao AH
2.5. Ví dụ 5: Khoảng cách từ A đến (SCD) trong hình chóp có SA vuông góc đáy
Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = 2a, SA = a. Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Hướng dẫn giải:
-
Bước 1: Dựng AH vuông góc với SD.
-
Bước 2: Chứng minh CD vuông góc với (SAD). Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với CD. Mặt khác, AD vuông góc với CD. Do đó, CD vuông góc với (SAD). Suy ra CD vuông góc với AH.
-
Bước 3: Chứng minh AH vuông góc với (SCD). Vì AH vuông góc với SD và CD (chứng minh trên), nên AH vuông góc với (SCD).
-
Bước 4: Tính AH. Tam giác SAD vuông tại A có AH là đường cao, nên:
1/AH² = 1/SA² + 1/AD²
Thay số và tính được AH = (2a√5)/5.
Kết luận: Khoảng cách từ A đến (SCD) là (2a√5)/5.
Hình ảnh minh họa hình chóp S.ABCD có SA vuông góc đáy
Hình ảnh minh họa các bước chứng minh và tính toán trong ví dụ 5
Hình ảnh minh họa CD vuông góc với (SAD), AH vuông góc với SD
2.6. Ví dụ 6: Khoảng cách từ tâm O đến mặt bên trong hình chóp tam giác đều
Đề bài: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên.
Hướng dẫn giải:
-
Bước 1: Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, OA = OB = OC (do ABC là tam giác đều). Vì S.ABC là hình chóp đều nên SA = SB = SC. Do đó, SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, SO vuông góc với (ABC) và SO = a√3.
-
Bước 2: Gọi M là trung điểm của BC. Dựng OH vuông góc với SM, ta có BC vuông góc với (SOM) nên (SBC) vuông góc với (SOM). Suy ra d(O; (SBC)) = OH.
-
Bước 3: Tính OH. Ta có OM = (1/3)AM = (a√3)/3. Xét tam giác vuông SOM có đường cao OH, ta có:
1/OH² = 1/SO² + 1/OM²
Thay số và tính được OH = (a√30)/10.
Kết luận: Khoảng cách từ O đến (SBC) là (a√30)/10.
Hình ảnh minh họa hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy 2a
Hình ảnh minh họa các bước giải và tính khoảng cách OH
Hình ảnh minh họa hình chiếu vuông góc OH trên SM
3. Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) xin đưa ra một số bài tập vận dụng sau:
Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách từ A đến (BCD).
Lời giải:
- Gọi O là trọng tâm tam giác BCD. Vì BCD là tam giác đều nên OB = OC = OD.
- Lại có AB = AC = AD = a.
- Suy ra AO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, do đó AO vuông góc với (BCD).
Hình ảnh minh họa tứ diện đều ABCD cạnh a
Hình ảnh minh họa các bước tính khoảng cách từ A đến (BCD)
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
Lời giải:
- Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ OK vuông góc BC (K ∈ BC).
- Mà BC vuông góc SO nên suy ra hai mặt phẳng (SOK) và (SBC) vuông góc nhau theo giao tuyến SK.
- Trong mặt phẳng (SOK), kẻ OH vuông góc SK (H ∈ SK).
Suy ra: OH vuông góc (SBC) ⇒ d(O, (SBC)) = OH
Hình ảnh minh họa hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi
Hình ảnh minh họa các bước giải bài toán và tính khoảng cách
Hình ảnh minh họa cách tính các yếu tố cần thiết trong mặt phẳng
Hình ảnh minh họa tam giác SOK vuông tại O
Hình ảnh minh họa công thức tính khoảng cách OH
Câu 3: Cho hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60°; tam giác ABC cân tại C, tam giác ABD cân ở D. Đường cao DM của tam giác ABD bằng 12 cm. Tính khoảng cách từ D đến (ABC).
Lời giải:
- Gọi M là trung điểm AB. Do tam giác ABC cân tại C và tam giác ABD cân tại D nên CM vuông góc AB; DM vuông góc AB suy ra: AB vuông góc (CDM)
- Do hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60° nên ∠CMD = 60°
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên CM ⇒ DH = d(D, (ABC))
Hình ảnh minh họa hai tam giác ABC và ABD
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính khoảng cách từ A đến (B’CD’).
Lời giải:
- Ta có: AB’ = AC = AD’ = B’D’ = B’C = CD’ = a√2 ⇒ Tứ diện AB’CD’ là tứ diện đều.
- Gọi I là trung điểm B’C và G là trọng tâm tam giác B’CD’.
- Ta có : AC = AD’ = AB’ và GB’ = GC = GD’ nên AG ⊥ (B’CD’)
Hình ảnh minh họa hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
Hình ảnh minh họa các bước tính toán và xác định
Hình ảnh minh họa tam giác B’CD’ đều cạnh a√2
Hình ảnh minh họa tam giác vuông AGD’
Hình ảnh minh họa tính AG sử dụng định lý Pythagoras
Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = a. Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45°. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy (ABC).
Lời giải:
- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) , vì mặt bên (SBC) vuông góc với (ABC) nên H ∈ BC
- Dựng HI ⊥ AB, HJ ⊥ AC, theo đề bài ta có ∠SIH = ∠SJH = 45°.
- Do đó: ΔSHI = ΔSHJ (cạnh góc vuông – góc nhọn)
Hình ảnh minh họa hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân
Hình ảnh minh họa các bước tính toán và xác định các yếu tố
Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b cạnh đáy bằng d, với d < b. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC).
Lời giải:
- Gọi I là trung điểm của BC và H là trọng tâm tam giác ABC.
- Do S.ABC là hình chóp đều nên SH ⊥ (ABC) ⇒ d(S, (ABC)) = SH
Hình ảnh minh họa hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên và cạnh đáy
Hình ảnh minh họa tính SH trong tam giác vuông SHI
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách từ A1 đến mặt phẳng (C1D1M) bằng bao nhiêu?
Lời giải:
- Gọi N là trung điểm cạnh DD1 và Ta có: ΔA1ND1 = ΔD1MD (c.g.c)
Hình ảnh minh họa hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có M là trung điểm AD
Hình ảnh minh họa các bước chứng minh và tính khoảng cách
Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng:
Lời giải:
- Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
- Do S.ABC là hình chóp đều nên SG ⊥ (ABC)
Hình ảnh minh họa hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên
Hình ảnh minh họa tính SG trong tam giác vuông SAG
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a√2. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên:
Lời giải:
- Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và M là trung điểm của CD
- Do hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD)
Hình ảnh minh họa hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và chiều cao
Hình ảnh minh họa kẻ OH vuông góc với SM
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc ∠BAD = 120°, đường cao SO = a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).
Lời giải:
- Vì hình thoi ABCD có ∠BAD bằng 120° nên ∠ABC = 60° ⇒ tam giác ABC đều cạnh a.
- Kẻ đường cao AM của tam giác ABC ⇒ AM = a√3/2
- Kẻ OI ⊥ BC tại I ⇒ OI = AM/2 = a√3/4 .
- Kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SBC)
Hình ảnh minh họa hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi
Hình ảnh minh họa các bước tính khoảng cách
Hình ảnh minh họa xét tam giác vuông SOI
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ∠ABC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABD, ∠ASC = 90°. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) tính theo a bằng
Lời giải:
- Ta có đáy ABCD là hình thoi, góc ∠ABC = 120° nên ∠ABD = 60° và tam giác ABD đều cạnh a
- Ta có: AC = a√3, AG = a√3/3
Hình ảnh minh họa hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a
Hình ảnh minh họa các bước xác định khoảng cách và tính toán
Hình ảnh minh họa các yếu tố cần thiết trong hình chóp S.ABD
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°. Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho BM = 3MA. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCM)?
Lời giải:
- Ta có: BC ⊥ AB nên BC ⊥ (SAB)
Khi đó; SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30° nên ∠CSB = 30°
Hình ảnh minh họa hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA vuông góc
Hình ảnh minh họa tính các yếu tố và xác định khoảng cách
Hình ảnh minh họa AH là khoảng cách từ A đến (SBC)
Câu 13: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3 HD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng SA = 2√3.a và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 30°. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) tính theo a bằng
Lời giải:
- SC có hình chiếu vuông góc lên mp(ABCD) là HC ⇒ (SC, (ABCD)) = ∠SCH = 30°
Đặt AD = 4x (x > 0)
Hình ảnh minh họa hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và mặt bên SAD
Hình ảnh minh họa tính các yếu tố cần thiết để giải bài toán
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60°. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAC) là
Lời giải:
- Do góc giữa SA và mp(ABC) là 60° nên ∠SAH = 60°
- Ta có; CI = CA.sin60° = (a√3)/2; AI = AB/2 = a/2
Hình ảnh minh họa hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều và H là trung điểm
Hình ảnh minh họa tính các yếu tố cần thiết cho việc giải bài toán
Hình ảnh minh họa tính SH dựa trên các yếu tố đã biết
Hình ảnh minh họa tính khoảng cách từ H đến (SAC)
4. Bài Tập Tự Luyện
Để nâng cao kỹ năng giải toán, bạn có thể thử sức với các bài tập tự luyện sau:
- Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SA ⊥ (ABC), AB = 2a, AC = 3a, SA = 4a. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
- Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a, SA ⊥ (ABC), AB = 2a, ∠ABC = 120°. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
- Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với (P) lấy điểm S sao cho SA = a. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
- Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
- Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, ABC là tam giác vuông đỉnh B có AB = a. Biết SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
- Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách từ A đến (BCD)?
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC = 60. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Trên cạnh SC lấy điểm M sao cho MC = 2MS. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAB).
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2
