Hàm Số Cực Trị Là Gì Và Ứng Dụng Trong Thực Tế?

Bạn đang gặp khó khăn với các bài toán về Hàm Số Cực Trị? Bạn muốn hiểu rõ hơn về khái niệm này và ứng dụng của nó trong thực tế? Đừng lo lắng, Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ giúp bạn giải đáp mọi thắc mắc. Chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện về hàm số cực trị, từ định nghĩa cơ bản đến các dạng bài tập nâng cao, giúp bạn tự tin chinh phục mọi kỳ thi. Hãy cùng khám phá sâu hơn về cực trị hàm số, điểm cực trị và giá trị cực trị.

1. Hàm Số Cực Trị Là Gì?

Hàm số cực trị là gì mà khiến nhiều người bối rối? Hiểu một cách đơn giản, cực trị của hàm số là giá trị mà tại đó hàm số “đổi chiều” khi biến thiên. Nói cách khác, đó là điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất (cực đại) hoặc nhỏ nhất (cực tiểu) trong một khoảng lân cận.

Xét về mặt hình học, cực trị của hàm số biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến điểm khác và ngược lại trên đồ thị hàm số. Điều quan trọng cần nhớ là giá trị cực đại và cực tiểu không nhất thiết là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tuyệt đối của hàm số trên toàn bộ tập xác định.

Tổng quát, cho hàm số f xác định trên D (D ⊂ R) và x₀ ∈ D:

x₀ là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a; b) chứa x₀ sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x ∈ (a; b) {x₀}. Khi đó, f(x₀) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a; b) chứa x₀ sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (a; b) {x₀}. Khi đó, f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Một số lưu ý quan trọng về cực trị hàm số:

Điểm cực đại (hoặc điểm cực tiểu) x₀ được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) f(x₀) của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực tiểu hoặc cực đại tại nhiều điểm trên tập xác định.
Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x₀) không phải là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập xác định. f(x₀) chỉ là giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a; b) chứa x₀.
Nếu điểm x₀ là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm M (x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

Alt: Đồ thị hàm số bậc 3 minh họa điểm cực đại và cực tiểu.

2. Lý Thuyết Tổng Quan Về Cực Trị Của Hàm Số Lớp 12

Để nắm vững kiến thức về cực trị của hàm số lớp 12, bạn cần hiểu rõ các định lý và khái niệm liên quan. Phần này sẽ tổng hợp những kiến thức quan trọng nhất, giúp bạn có nền tảng vững chắc để giải quyết các bài tập.

2.1. Các Định Lý Liên Quan

Các định lý về cực trị hàm số thường được áp dụng rất nhiều trong quá trình giải bài tập. Dưới đây là ba định lý cơ bản mà bạn cần nắm vững:

Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x₀. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x₀ thì đạo hàm của hàm số tại điểm x₀ bằng 0: f'(x₀) = 0.

Lưu ý:

Điều ngược lại của định lý 1 không đúng. Đạo hàm f'(x) có thể bằng 0 tại điểm x₀ nhưng hàm số f(x) chưa chắc đã đạt cực trị tại điểm x₀.
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm nhưng tại đó hàm số lại không có đạo hàm.

Định lý 2: Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x₀ (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x₀.

Alt: Đồ thị hàm số minh họa điều kiện để hàm số đạt cực tiểu.

Ngược lại, nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x₀ (theo chiều giảm) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x₀.

Alt: Đồ thị hàm số minh họa điều kiện để hàm số đạt cực đại.

Định lý 3: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀, f'(x₀) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x₀.

Nếu f”(x₀) < 0 thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x₀.
Nếu f”(x₀) > 0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x₀.
Nếu f”(x₀) = 0 thì ta chưa thể kết luận và cần phải lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số.

2.2. Số Điểm Cực Trị Của Hàm Số

Tùy thuộc vào từng dạng hàm số mà số điểm cực trị sẽ khác nhau. Ví dụ, hàm bậc hai có thể có một điểm cực trị, hàm bậc ba có thể có hai điểm cực trị, hoặc có những hàm số không có điểm cực trị nào.

Đối với số điểm cực trị của hàm số, cần lưu ý:

Điểm cực đại (cực tiểu) x₀ chính là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x₀) gọi chung là cực trị. Có thể có cực đại hoặc cực tiểu của hàm số tại nhiều điểm.
Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x₀) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f mà chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a; b) chứa x₀.
Nếu một điểm cực trị của f là x₀ thì điểm (x₀; f(x₀)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

3. Điều Kiện Để Hàm Số Có Điểm Cực Trị

Để hàm số có điểm cực trị, cần thỏa mãn cả điều kiện cần và điều kiện đủ.

Điều kiện cần: Cho hàm số f đạt cực trị tại điểm x₀. Nếu điểm x₀ là điểm đạo hàm của f thì f'(x₀) = 0.

Lưu ý:

Điểm x₀ có thể khiến đạo hàm f’ bằng 0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại x₀.
Hàm số không có đạo hàm nhưng vẫn có thể đạt cực trị tại một điểm.
Tại điểm đạo hàm của hàm số bằng 0 thì hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại 1 điểm hoặc không có đạo hàm.
Nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại (x₀; f(x₀)) và hàm số đạt cực trị tại x₀ thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.
Điều kiện đủ: Giả sử hàm số có đạo hàm trên các khoảng (a; x₀) và (x₀; b) và hàm số liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀ thì khi đó:
Điểm x₀ là cực tiểu của hàm số f(x) thỏa mãn:

Alt: Bảng biến thiên minh họa điều kiện đủ để hàm số đạt cực tiểu.

Diễn giải theo bảng biến thiên: Khi x đi qua điểm x₀ và f'(x) đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực tiểu tại x₀.

Điểm x₀ là cực đại của hàm số f(x) khi:

Alt: Bảng biến thiên minh họa điều kiện đủ để hàm số đạt cực đại.

Diễn giải theo bảng biến thiên: Khi x đi qua điểm x₀ và f'(x) đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại tại điểm x₀.

4. Tìm Điểm Cực Trị Của Hàm Số

Để tìm cực trị của hàm số f(x) bất kỳ, ta sử dụng 2 quy tắc sau:

4.1. Tìm Cực Trị Của Hàm Số Theo Quy Tắc 1

Tìm đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm xᵢ (i = 1, 2, 3, …) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Xét dấu của đạo hàm f'(x). Nếu f'(x) thay đổi dấu khi x đi qua x₀ thì hàm số có cực trị tại điểm x₀.

4.2. Tìm Cực Trị Của Hàm Số Theo Quy Tắc 2

Tìm đạo hàm f'(x).
Giải phương trình f'(x) = 0, tìm các nghiệm xᵢ (i = 1, 2, 3, …).
Tính f”(xᵢ) với mỗi xᵢ:
- Nếu f”(xᵢ) < 0 thì xᵢ là điểm tại đó hàm số đạt cực đại.
- Nếu f”(xᵢ) > 0 thì xᵢ là điểm tại đó hàm số đạt cực tiểu.

5. Cách Giải Các Dạng Bài Tập Toán Cực Trị Của Hàm Số

5.1. Dạng Bài Tập Tìm Điểm Cực Trị Của Hàm Số

Đây là dạng toán cơ bản nhất về cực trị của hàm số lớp 12. Để giải dạng bài này, bạn áp dụng 2 quy tắc kèm theo quy trình tìm cực trị của hàm số đã nêu trên.

Cực trị của hàm bậc 2

Hàm số bậc 2 có dạng: y = ax² + bx + c (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 2ax + b

y’ đổi dấu tại điểm x₀ = -b/2a
Hàm số đạt cực trị tại điểm x₀ = -b/2a

Alt: Đồ thị hàm số bậc hai minh họa điểm cực trị.

Cực trị của hàm bậc 3

Hàm số bậc 3 có dạng: y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) xác định trên D = R. Ta có: y’ = 3ax² + 2bx + c → Δ

Δ ≤ 0: y’ không đổi dấu → hàm số không có cực trị
Δ > 0: y’ đổi dấu 2 lần → hàm số có cực trị (1 cực đại và 1 cực tiểu)

Cách tìm đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số bậc ba

Ta có thể phân tích: y = f(x) = (Ax + B)f'(x) + Cx + D bằng phương pháp chia đa thức f(x) cho đạo hàm của chính nó là đa thức f'(x).

Giả sử hàm số đạt cực trị tại 2 điểm x₁ và x₂

Ta có: f(x₁) = (Ax₁ + B)f'(x₁) + Cx₁ + D → f(x₁) = Cx₁ + D vì f'(x₁) = 0

Tương tự: f(x₂) = Cx₂ + D do f'(x₂) = 0

Từ đó, ta kết luận 2 cực trị của hàm số bậc 3 nằm trên đường thẳng dạng f(x) = Cx + D

Alt: Đồ thị hàm số bậc ba và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Cực trị của hàm số bậc 4

Hàm số trùng phương có dạng y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) có miền xác định D = R.

Ta có đạo hàm của hàm số y’ = 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b)

Khi y’ = 0 ta có:

x = 0
2ax² + b = 0 ⇔ x² = -b/2a

Khi -b/2a ≤ 0 ⇔ b/2a ≥ 0 thì y’ chỉ duy nhất 1 lần đổi dấu tại x = x₀ = 0 ⇒ Hàm số đạt cực trị tại x = 0

Khi -b/2a < 0 ⇔ b/2a > 0 thì y’ đổi dấu 3 lần ⇒ Hàm số sẽ có 3 cực trị

Cực trị của hàm lượng giác

Để làm được dạng bài tìm cực trị của hàm số lượng giác, bạn thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số (điều kiện để hàm số có nghĩa)
Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x). Sau đó giải phương trình y’ = 0, giả sử nghiệm của phương trình là x₀.
Bước 3: Tìm đạo hàm cấp 2 y”.
Tính y”(x₀) rồi dựa vào định lý 2 để đưa ra kết luận về cực trị hàm số lượng giác.

Cực trị của hàm Logarit

Các bước giải cực trị của hàm Logarit bao gồm:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số y’, rồi giải phương trình y’ = 0 (với nghiệm x = x₀)
Bước 3: Tìm đạo hàm cấp 2 y”.
Tính y”(x₀) rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 3.

5.2. Bài Tập Cực Trị Của Hàm Số Có Điều Kiện Cho Trước

Để giải bài tập này, bạn thực hiện theo quy trình tìm cực trị tổng quát của hàm số có điều kiện sau:

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số đã cho.
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số y’ = f'(x).
Bước 3: Kiểm tra bằng cách sử dụng một trong hai quy tắc để tìm cực trị, từ đó xét điều kiện của tham số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xét ví dụ minh họa sau để hiểu rõ hơn về cách giải bài toán tìm cực trị của hàm số có điều kiện:

Ví dụ: Cho hàm số y = x³ + 3mx² + 3(m² – 1)x + 2. Hãy tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số đã cho có cực tiểu tại x = 2.

Giải:

Xét điều kiện của hàm số: D = R

Ta có: y’ = 3x² + 6mx + 3(m² – 1)

Mà hàm số lại có cực tiểu tại x = 2

⇒ {y'(2) = 0; y”(2) > 0}

⇔ {12 + 12m + 3(m² – 1) = 0; 12 + 6m > 0}

⇔ {m² – 12m + 11 = 0; 12 – 6m > 0}

⇔ m = 1

5.3. Tìm Số Cực Trị Của Hàm Số Bằng Phương Pháp Biện Luận m

Đối với bài toán biện luận m, bạn cần chia ra 2 dạng hàm số để có cách giải tương ứng. Cụ thể như sau:

Xét trường hợp cực trị của hàm số bậc ba có:

Đề bài cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

y’ = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’ = b² – 3ac

Phương trình (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số không có cực trị.
Hàm số bậc 3 không có cực trị khi b² – 3ac ≤ 0.
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt suy ra hàm số có 2 cực trị.
Có 2 cực trị khi b² – 3ac > 0.
Xét trường hợp cực trị hàm số bậc bốn trùng phương có:

Đề bài cho hàm số y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) có đồ thị (C)

Ta có đạo hàm y’ = 4ax³ + 2bx

y’ = 0 có 1 nghiệm x = 0 và (C) có một điểm cực trị khi và chỉ khi -b/2a > 0 ⇔ ab ≥ 0
y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và (C) có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi -b/2a > 0 ⇔ ab < 0

Với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết trên, Xe Tải Mỹ Đình tin rằng bạn đã có cái nhìn rõ ràng hơn về hàm số cực trị và cách giải các bài tập liên quan.

Bạn vẫn còn thắc mắc về các loại xe tải phù hợp với nhu cầu vận chuyển của mình? Bạn muốn tìm hiểu về các dịch vụ sửa chữa và bảo dưỡng xe tải uy tín tại khu vực Mỹ Đình? Hãy truy cập ngay XETAIMYDINH.EDU.VN hoặc liên hệ hotline 0247 309 9988 để được tư vấn và hỗ trợ tốt nhất. Địa chỉ của chúng tôi là Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội. Xe Tải Mỹ Đình luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trên mọi nẻo đường!