Tính đơn điệu Của Hàm Số là một khái niệm quan trọng trong toán học, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự biến thiên của hàm số. Tại Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN), chúng tôi không chỉ cung cấp thông tin về xe tải mà còn chia sẻ kiến thức toán học hữu ích. Bài viết này sẽ đi sâu vào tính đơn điệu của hàm số, các quy tắc xét tính đơn điệu và các dạng bài tập thường gặp, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả vào giải toán.
1. Lý Thuyết Về Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
1.1. Định Nghĩa Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
Tính đơn điệu của hàm số mô tả sự tăng hoặc giảm của hàm số trên một khoảng xác định. Điều này có nghĩa là, khi giá trị của biến số (x) tăng, giá trị của hàm số (y) có xu hướng tăng (đồng biến) hoặc giảm (nghịch biến). Để hiểu rõ hơn, ta xem xét định nghĩa sau:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).
- Hàm số đồng biến (tăng) trên K: Nếu với mọi x1, x2 thuộc K, x1 < x2 thì f(x1) < f(x2). Điều này có nghĩa là khi x tăng, y cũng tăng.
- Hàm số nghịch biến (giảm) trên K: Nếu với mọi x1, x2 thuộc K, x1 < x2 thì f(x1) > f(x2). Điều này có nghĩa là khi x tăng, y giảm.
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
Đồ thị hàm số đồng biến và nghịch biến minh họa tính đơn điệu của hàm số
1.2. Các Điều Kiện Cần Và Đủ Để Hàm Số Đơn Điệu
Để xác định tính đơn điệu của hàm số, ta cần xem xét đạo hàm của hàm số đó.
a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K: thì f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K: thì f'(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
- Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K: thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
- Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K: thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
- Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc K: thì hàm số không đổi trên khoảng K (hàm hằng).
Theo nghiên cứu của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2023, việc nắm vững điều kiện cần và đủ giúp học sinh dễ dàng xác định tính đơn điệu của hàm số trong các bài toán.
2. Quy Tắc Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
Để xét tính đơn điệu của hàm số một cách hiệu quả, bạn có thể tuân theo các bước sau:
2.1. Tìm Tập Xác Định
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của x mà biểu thức f(x) có nghĩa. Việc tìm tập xác định giúp ta giới hạn phạm vi xét tính đơn điệu của hàm số.
- Hàm phân thức: Nếu P(x) là đa thức, thì 1/P(x) có nghĩa khi P(x) ≠ 0.
- Hàm căn thức: 1/√P(x) có nghĩa khi P(x) > 0 và √P(x) có nghĩa khi P(x) ≥ 0.
Việc xác định tập xác định là bước quan trọng để đảm bảo tính chính xác của các bước tiếp theo.
2.2. Tính Đạo Hàm
Đạo hàm của hàm số là công cụ quan trọng để xác định tính đơn điệu. Dưới đây là bảng công thức đạo hàm cơ bản:
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| xα | αxα-1 |
| uα | αuα-1.u’ |
| √x | 1/(2√x) |
| √u | u’/(2√u) |
| 1/x | -1/x2 |
| 1/u | -u’/u2 |
| sinx | cosx |
| sinu | u’.cosu |
| cosx | -sinx |
| cosu | -u’.sinu |
| tanx | 1/cos2x |
| tanu | u’/cos2u |
| cotx | -1/sin2x |
| cotu | -u’/sin2u |
| ex | ex |
| eu | u’.eu |
| ax | ax.lna |
| au | u’.au.lna |
| lnx | 1/x |
| lnu | u’/u |
| logax | 1/(x.lna) |
| logau | u’/(u.lna) |
Theo Sách giáo trình Giải tích 12, việc nắm vững công thức đạo hàm giúp học sinh tính toán nhanh chóng và chính xác.
2.3. Lập Bảng Biến Thiên
Bảng biến thiên là công cụ hữu hiệu để tóm tắt và trực quan hóa sự biến thiên của hàm số. Để lập bảng biến thiên, ta thực hiện các bước sau:
- Tính f'(x) và tìm các nghiệm của phương trình f'(x) = 0.
- Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần và điền vào hàng x của bảng biến thiên.
- Xét dấu của f'(x) trên các khoảng giữa các nghiệm và điền vào hàng f'(x) của bảng biến thiên.
- Dựa vào dấu của f'(x), xác định chiều biến thiên của hàm số và vẽ mũi tên tương ứng vào hàng f(x) của bảng biến thiên.
Nguyên tắc chung là:
- Nếu f'(x) > 0 thì hàm số đồng biến (mũi tên đi lên).
- Nếu f'(x) < 0 thì hàm số nghịch biến (mũi tên đi xuống).
Bảng biến thiên minh họa sự biến thiên của hàm số giúp xác định tính đơn điệu
2.4. Kết Luận Khoảng Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số
Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể dễ dàng kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Khoảng đồng biến là khoảng mà trên đó hàm số tăng, còn khoảng nghịch biến là khoảng mà trên đó hàm số giảm.
Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = (1/3)x3 – 3x2 + 8x – 2
Giải:
- Tập xác định: D = R
- Tính đạo hàm: y’ = x2 – 6x + 8
- Giải phương trình y’ = 0, ta được x = 2 hoặc x = 4
Bảng biến thiên:
| x | -∞ | 2 | 4 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y’ | + | 0 | – | 0 |
| y | 14/3 | 2 | ||
| ↑ | ↓ |
Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 2) và (4; +∞), nghịch biến trên khoảng (2; 4).
Ví dụ về khảo sát tính đơn điệu của hàm số bằng bảng biến thiên
3. Giải Các Dạng Bài Tập Về Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
3.1. Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Chứa Tham Số m
Dạng bài tập này yêu cầu xác định giá trị của tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng hoặc trên toàn tập xác định.
* Hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định
Phương pháp:
-
Đối với hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
- Tính f'(x) = 3ax2 + 2bx + c
- Hàm số đồng biến trên R ⇔ a > 0 và Δ’ ≤ 0
- Hàm số nghịch biến trên R ⇔ a < 0 và Δ’ ≤ 0
-
Đối với hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b) / (cx + d)
- Tính y’ = (ad – bc) / (cx + d)2
- Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y’ > 0 hay (ad – bc) > 0
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y’ < 0 hay (ad – bc) < 0
Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
Lời giải:
- Tập xác định: D = R
- Tính đạo hàm: f'(x) = 3x2 – 6mx + 3(2m – 1)
Đặt g(x) = 3x2 – 6mx + 3(2m – 1), ta có a = 3; b = -6m; c = 3(2m – 1);
Để hàm số đồng biến trên tập xác định, điều kiện là:
- a > 0 và Δ’ ≤ 0
- ⇔ a = 3 > 0 và Δ’ = (-3m)2 – 3.3(2m – 1) ≤ 0
- ⇔ 9m2 – 18m + 9 ≤ 0
- ⇔ m2 – 2m + 1 ≤ 0
- ⇔ (m – 1)2 ≤ 0
- ⇔ m = 1
Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R.
* Hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước
Phương pháp:
- Kiểm tra tập xác định: Vì bài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a; b).
- Tính f'(x) và tìm điều kiện của tham số để f'(x) ≥ 0 hoặc f'(x) ≤ 0 trên khoảng (a; b) theo yêu cầu bài toán.
Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 3(m + 1)x – (m + 1) (*)
Tìm m để hàm số đồng biến trên [1; +∞).
Lời giải:
Để hàm số đồng biến trên [1; +∞) thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞).
⇒ 3x2 – 6x – 3(m + 1) ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞)
⇒ x2 – 2x – 1 ≥ m, ∀x ∈ [1; +∞)
Đặt y(x) = x2 – 2x – 1 ⇒ y'(x) = 2x – 2
Cho y'(x) = 0 ⇒ x = 1
Ta có bảng biến thiên sau:
| x | 1 | +∞ |
|---|---|---|
| y’ | 0 | + |
| y | -2 | |
| ↑ |
Từ bảng biến thiên ta có y(x) ≥ m, ∀x ∈ [1; +∞)
Min [y(x)] = -2 ≥ m ⇒ m ≤ -2
Bảng biến thiên minh họa sự biến thiên của hàm số giúp xác định tính đơn điệu
3.2. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = |f(x)|
- f(x) cụ thể cho trước, ví dụ: |x2 – 4x|
- f(x) có tham số dạng tách rời, ví dụ: |x3 – m|
Bước 1: Khảo sát và lập bảng biến thiên của f(x)
Bước 2: Dùng phép suy bảng biến thiên của hàm số |f(x)|
- Giữ nguyên phần nằm trên y = 0
- Lấy đối xứng qua y = 0 phần bên dưới
- Nhìn vào bảng biến thiên của |f(x)| suy ra đồng biến, nghịch biến
Ví dụ: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = |x3 – 3x2 + m – 4| có 5 điểm cực trị là:
Giải:
Xét hàm số: f(x) = x3 – 3x2 + m – 4
Ta có f'(x) = 3x2 – 6x, f'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Bảng biến thiên của hàm số f(x):
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | – | 0 |
| f(x) | m – 4 | m – 8 | ||
| ↑ | ↓ |
Vì đồ thị hàm số y = |f(x)| có được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị hàm số của y = f(x) ở phía trên trục hoành, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị ở phía dưới lên trên qua trục Ox.
Để hàm số y = |x3 – 3x2 + m – 4| có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số y = f(x) phải cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt, tức là phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi:
(m – 8) < 0 < (m – 4) ⇔ 4 < m < 8
Vậy, đáp án là 4 < m < 8.
3.3. Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Trên Một Khoảng
Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1; 3].
- Để hàm số nghịch biến trên [-1; 3] thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ [-1; 3].
⇒ 3x2 – 6x – 3(m + 1) ≤ 0, ∀x ∈ [-1; 3].
⇒ x2 – 2x – m – 1 ≤ 0, ∀x ∈ [-1; 3].
⇒ x2 – 2x – 1 ≤ m, ∀x ∈ [-1; 3].
- Đặt y(x) = x2 – 2x – 1 ⇒ y'(x) = 2x – 2
- Cho y'(x) = 0 ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:
| x | -1 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|
| y’ | – | 0 | + |
| y | 2 | -2 | 2 |
| ↓ | ↑ |
Từ bảng biến thiên ta có: y(x) ≤ m, ∀x ∈ [-1; 3]
⇒ Max[y(x)] = 2 ≤ m ⇒ m ≥ 2
Vậy với m ≥ 2 thì hàm số sẽ đồng biến trên khoảng [-1; 3]
Bảng biến thiên thể hiện tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng cụ thể
4. Bài Tập Về Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
Dưới đây là một số bài tập giúp bạn củng cố kiến thức về tính đơn điệu của hàm số:
Câu 1: Hàm số y = -x3 + 3x2 – 1 đồng biến trên khoảng nào?
A. (-∞; 1)
B. (0; 2)
C. (2; +∞)
D. R
Câu 2: Các khoảng đồng biến của hàm số y = 2x3 – 6x là:
A. (-∞; -1); (1; +∞)
B. (-1; 1)
C. [-1; 1)
D. (0; 1)
Câu 3: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x3 – 3x – 1 là:
A. (-∞; -1)
B. (1; +∞)
C. (-1; 1)
D. (0; 1)
Câu 4: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = 2x3 – 6x + 20 là:
A. (-∞; -1); (1; +∞)
B. (-1; 1)
C. [-1; 1]
D. (0; 1)
Câu 5: Các khoảng đồng biến của hàm số y = -x3 + 3x2 + 1 là:
A. (-∞; 0); (2; +∞)
B. (0; 2)
C. [0; 2]
D. R
Câu 6: Các khoảng đồng biến của hàm số có dạng y = x3 – 5x2 + 7x – 3 là:
A. (-∞; 1); (7/3; +∞)
B. (1; 7/3)
C. [-5; 7]
D. (7; 3)
Câu 7: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x3 – 6x2 + 9x là:
A. (-∞; 1); (3; +∞)
B. (1; 3)
C. [-∞; 1)
D. (3; +∞)
Câu 8: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x3 – x2 + 2 là:
A. (-∞; 0); (2/3; +∞)
B. (0; 2/3)
C. (-∞; 0)
D. (8; +∞)
Câu 9: Các khoảng đồng biến của hàm số y = 3x – 4x3 là:
A. (-∞; -1/2); (1/2; +∞)
B. (-1/2; 1/2)
C. (-∞; -1/2)
D. (1/2; +∞)
Câu 10: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = 3x – 4x3 là:
A. (-∞; -1/2); (1/2; +∞)
B. (-1/2; 1/2)
C. (-∞; -1/2)
D. (1/2; +∞)
Câu 11: Các khoảng đồng biến của hàm số y = x3 – 12x + 12 là:
A. (-∞; -2); (2; +∞)
B. (-2; 2)
C. (-∞; -2)
D. (2; +∞)
Câu 12: Hàm số y = -x3 + 3x2 + 9x nghịch biến trên khoảng nào?
A. R
B. (-∞; -1) ∪ (3; +∞)
C. (3; +∞)
D. (-1; 3)
Câu 13: Hàm số y = (1/2)x4 + x3 – x + 5 đồng biến trên:
A. (-∞; -1) và (1/2; 2)
B. (-1/2; 1) và (2; +∞)
C. (-∞; -1) và (2; +∞)
D. (1/2; +∞)
Câu 14: Khoảng nghịch biến của hàm số y = (2 – x) / (1 + x) là:
A. R
B. (2; +∞)
C. (-∞; 2) và (2; +∞)
D. (-∞; -1) và (-1; +∞)
Câu 15: Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là đúng? Hàm số có dạng f(x) = (1/3)x3 – (1/2)x2 – 6x + 1
A. Hàm số đồng biến trên (-2; 3)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 3)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2; +∞)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -2)
FAQ Về Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
1. Tính đơn điệu của hàm số là gì?
Tính đơn điệu của hàm số mô tả sự tăng (đồng biến) hoặc giảm (nghịch biến) của hàm số trên một khoảng xác định.
2. Làm thế nào để xác định tính đơn điệu của hàm số?
Để xác định tính đơn điệu, ta cần tính đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định.
3. Điều kiện cần và đủ để hàm số đồng biến là gì?
Điều kiện cần: f'(x) ≥ 0 trên khoảng K và f'(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm.
Điều kiện đủ: f'(x) > 0 trên khoảng K.
4. Điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến là gì?
Điều kiện cần: f'(x) ≤ 0 trên khoảng K và f'(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm.
Điều kiện đủ: f'(x) < 0 trên khoảng K.
5. Bảng biến thiên dùng để làm gì trong việc xét tính đơn điệu?
Bảng biến thiên giúp tóm tắt và trực quan hóa sự biến thiên của hàm số, từ đó dễ dàng xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến.
6. Hàm số chứa tham số m có ảnh hưởng gì đến tính đơn điệu?
Tham số m có thể ảnh hưởng đến dấu của đạo hàm, do đó cần phải xét các trường hợp khác nhau của m để xác định tính đơn điệu của hàm số.
7. Làm thế nào để xét tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối?
Ta cần khảo sát hàm số bên trong dấu giá trị tuyệt đối trước, sau đó sử dụng phép suy bảng biến thiên để xác định tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
8. Có những dạng bài tập nào thường gặp về tính đơn điệu của hàm số?
Các dạng bài tập thường gặp bao gồm: xét tính đơn điệu trên tập xác định, xét tính đơn điệu trên một khoảng cho trước, và xét tính đơn điệu của hàm số chứa tham số hoặc dấu giá trị tuyệt đối.
9. Tại sao cần nắm vững tính đơn điệu của hàm số?
Việc nắm vững tính đơn điệu của hàm số giúp ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, và các bài toán thực tế.
10. Có nguồn tài liệu nào đáng tin cậy để học về tính đơn điệu của hàm số không?
Bạn có thể tham khảo các sách giáo trình toán học, các trang web giáo dục uy tín như VietJack, hoặc các khóa học trực tuyến trên VUIHOC.
Chúng tôi hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn cái nhìn tổng quan và chi tiết về tính đơn điệu của hàm số. Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào về xe tải hoặc cần tư vấn về các vấn đề liên quan, đừng ngần ngại liên hệ với Xe Tải Mỹ Đình qua hotline 0247 309 9988 hoặc truy cập trang web XETAIMYDINH.EDU.VN để được hỗ trợ tốt nhất. Địa chỉ của chúng tôi là Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội. Chúng tôi luôn sẵn lòng giải đáp mọi thắc mắc và cung cấp thông tin hữu ích cho bạn.
