Công Thức Tính Góc Giữa 2 Vecto là công cụ hữu ích trong hình học và vật lý. Tại XETAIMYDINH.EDU.VN, chúng tôi sẽ cung cấp công thức, cách tính góc giữa hai vecto một cách chi tiết và dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả. Bài viết này cũng sẽ giới thiệu về tích vô hướng, hệ tọa độ vecto và ứng dụng của chúng.
1. Góc Giữa Hai Vecto Là Gì Và Tại Sao Cần Tính?
Góc giữa hai vecto là góc tạo bởi hai đường thẳng chứa hai vecto đó khi chúng được vẽ chung gốc. Việc tính toán góc này đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực:
- Trong hình học: Xác định mối quan hệ giữa các đối tượng hình học, tính diện tích, thể tích.
- Trong vật lý: Phân tích lực, tính công, xác định hướng chuyển động.
- Trong đồ họa máy tính: Tính toán ánh sáng, tạo hiệu ứng 3D.
- Trong kỹ thuật: Thiết kế kết cấu, điều khiển robot.
2. Định Nghĩa Và Các Phương Pháp Tính Góc Giữa Hai Vecto
2.1. Định Nghĩa Góc Giữa Hai Vecto
Cho hai vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ đều khác vecto-không. Từ một điểm O bất kỳ, ta vẽ các vecto $overrightarrow{OA} = overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{OB} = overrightarrow{b}$. Khi đó số đo của góc AOB, được gọi là số đo góc giữa hai vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$, hoặc đơn giản là góc giữa hai vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$.
Góc giữa hai vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ ký hiệu là $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b})$.
2.2. Các Phương Pháp Tính Góc
Có hai phương pháp chính để tính góc giữa hai vecto:
- Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vecto.
- Phương pháp 2: Sử dụng công thức tích vô hướng (áp dụng trong hệ tọa độ).
3. Công Thức Tính Góc Giữa Hai Vecto Chi Tiết Nhất
3.1. Công Thức Tính Góc Dựa Trên Tích Vô Hướng
Cho hai vecto $overrightarrow{a} = (x_1; y_1)$ và $overrightarrow{b} = (x_2; y_2)$. Khi đó, công thức tính cosin của góc giữa hai vecto là:
$$cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = frac{overrightarrow{a} cdot overrightarrow{b}}{|overrightarrow{a}| cdot |overrightarrow{b}|} = frac{x_1x_2 + y_1y_2}{sqrt{x_1^2 + y_1^2} cdot sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$
Từ đó suy ra góc giữa hai vecto:
$$(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = arccosleft(frac{x_1x_2 + y_1y_2}{sqrt{x_1^2 + y_1^2} cdot sqrt{x_2^2 + y_2^2}}right)$$
Ví dụ: Tính góc giữa hai vecto $overrightarrow{a} = (1; 1)$ và $overrightarrow{b} = (1; 0)$.
$$cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = frac{1 cdot 1 + 1 cdot 0}{sqrt{1^2 + 1^2} cdot sqrt{1^2 + 0^2}} = frac{1}{sqrt{2} cdot 1} = frac{sqrt{2}}{2}$$
Vậy $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = arccosleft(frac{sqrt{2}}{2}right) = 45^circ$.
3.2. Lưu Ý Quan Trọng Khi Sử Dụng Công Thức
- Góc giữa hai vecto luôn thuộc đoạn $[0^circ; 180^circ]$.
- Nếu $overrightarrow{a} cdot overrightarrow{b} = 0$ thì hai vecto vuông góc với nhau.
- Nếu $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ cùng hướng thì $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = 0^circ$.
- Nếu $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ ngược hướng thì $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = 180^circ$.
4. Ứng Dụng Của Công Thức Tính Góc Giữa Hai Vecto
4.1. Trong Hình Học Phẳng Và Không Gian
- Xác định tính vuông góc: Kiểm tra xem hai đường thẳng, hai mặt phẳng, hay đường thẳng và mặt phẳng có vuông góc với nhau hay không.
- Tính góc giữa hai đường thẳng: Sử dụng vecto chỉ phương của hai đường thẳng để tính góc.
- Tính góc giữa hai mặt phẳng: Sử dụng vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng để tính góc.
- Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Sử dụng vecto chỉ phương của đường thẳng và vecto pháp tuyến của mặt phẳng để tính góc.
4.2. Trong Vật Lý
- Tính công của lực: Công của lực được tính bằng công thức $A = F cdot s cdot cos(alpha)$, trong đó $alpha$ là góc giữa vecto lực $overrightarrow{F}$ và vecto độ dời $overrightarrow{s}$.
- Phân tích lực: Phân tích một lực thành các thành phần theo các phương khác nhau, sử dụng góc giữa các vecto.
- Tính vận tốc tương đối: Xác định vận tốc của một vật so với một hệ quy chiếu khác, sử dụng phép cộng vecto và góc giữa các vecto.
4.3. Ví Dụ Minh Họa Ứng Dụng Thực Tế
Ví dụ 1: Một xe tải kéo một rơ moóc với lực kéo 1000N. Góc giữa dây kéo và phương ngang là 30 độ. Tính công của lực kéo khi xe di chuyển 100m.
Giải:
Công của lực kéo là:
A = F s cos(α) = 1000 100 cos(30°) = 100000 * (√3 / 2) ≈ 86602.54 J
Ví dụ 2: Xác định góc giữa hai cạnh của một miếng đất hình tam giác, biết tọa độ các đỉnh là A(1; 2), B(4; 6), C(7; 2).
Giải:
Tính vecto AB = (4-1; 6-2) = (3; 4)
Tính vecto AC = (7-1; 2-2) = (6; 0)
cos(BAC) = (AB . AC) / (|AB| |AC|) = (36 + 40) / (√(3^2 + 4^2) √(6^2 + 0^2)) = 18 / (5 * 6) = 3/5
Vậy góc BAC = arccos(3/5) ≈ 53.13°
5. Bài Tập Vận Dụng Và Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Bài 1. Tính góc giữa vecto $overrightarrow{a}$ và vecto $overrightarrow{c}$, biết vecto $overrightarrow{c} = overrightarrow{a} – overrightarrow{b}$ và cho các vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ thỏa mãn $|overrightarrow{a}| = 4$, $|overrightarrow{b}| = 2$ và $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = 60^circ$.
Hướng dẫn giải
Ta có: $overrightarrow{c} = overrightarrow{a} – overrightarrow{b}$
Nên $c^2 = (overrightarrow{a} – overrightarrow{b})^2 = a^2 – 2overrightarrow{a}overrightarrow{b} + b^2 = |overrightarrow{a}|^2 – 2|overrightarrow{a}| . |overrightarrow{b}| . cos(overrightarrow{a},overrightarrow{b}) + |overrightarrow{b}|^2$
Suy ra $c^2 = 4^2 – 2.4.2.cos60^circ + 2^2 = 16 – 8 + 4 = 12$ hay $|overrightarrow{c}| = sqrt{12} = 2sqrt{3}$.
Ta lại có: $overrightarrow{a} . overrightarrow{c} = overrightarrow{a} . (overrightarrow{a} – overrightarrow{b}) = a^2 – overrightarrow{a} . overrightarrow{b}$ hay $overrightarrow{a} . overrightarrow{c} = 16 – 4 = 12$
Do đó: $overrightarrow{a} . overrightarrow{c} = |overrightarrow{a}| . |overrightarrow{c}| . cos (overrightarrow{a}, overrightarrow{c})$
Hay $12 = 4 . 2sqrt{3}. cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{c})$
Do đó, $cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{c}) = frac{12}{8sqrt{3}} = frac{sqrt{3}}{2}$
Vậy góc giữa 2 vecto bằng $30^circ$.
Bài 2. Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều có độ dài là 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai vecto $overrightarrow{OM}$ và $overrightarrow{BC}$.
Hướng dẫn giải
Lấy N là trung điểm của AC suy ra MN // BC.
Ta có: $(overrightarrow{OM} , overrightarrow{BC}) = (overrightarrow{OM} , overrightarrow{MN}) = 180^circ – widehat{OMN}$
Xét tam giác OMN có OM = ON = $frac{sqrt{2}}{2}$; MN = $frac{1}{2}BC = frac{sqrt{2}}{2}$
Suy ra cos$widehat{OMN} = frac{1}{2}$ hoặc $widehat{OMN} = 60^circ$.
Do đó $(overrightarrow{OM}, overrightarrow{BC}) = 120^circ$.
Bài 3. Tính góc giữa 2 vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$, biết rằng 2 vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện $|3overrightarrow{a} + 2overrightarrow{b}| = sqrt{7}$.
Hướng dẫn giải
Ta có: $|3overrightarrow{a} + 2overrightarrow{b}| = sqrt{7}$ hay $(3overrightarrow{a}+2overrightarrow{b})^2 = 7$ nên $9a^2 + 12overrightarrow{a}overrightarrow{b} + 4b^2 = 7$
Vì $a^2 = |overrightarrow{a}|^2 =1$; $b^2 = |overrightarrow{b}|^2 =1$.
Nên $4 . 1 + 12overrightarrow{a}overrightarrow{b} + 9 . 1 = 7$ nên $12overrightarrow{a}overrightarrow{b} = 7 – 4 – 9 = -6$ hay $overrightarrow{a}overrightarrow{b} = -frac{1}{2}$.
Do đó: $cos(overrightarrow{a}; overrightarrow{b}) = frac{overrightarrow{a}.overrightarrow{b}}{|overrightarrow{a}|.|overrightarrow{b}|} = -frac{1}{2}$.
Vậy góc giữa 2 vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ là $120^circ$.
Bài 4. Cho hình thoi ABCD có $widehat{BAD} = 120^circ$. Tính góc giữa hai vecto $overrightarrow{DC}$ và $overrightarrow{AD}$.
Hướng dẫn giải
Ta có AB // DC và AB = DC (vì ABCD là hình thoi)
Suy ra $overrightarrow{DC} = overrightarrow{AB}$ nên $(overrightarrow{DC}, overrightarrow{AD}) = (overrightarrow{AB}, overrightarrow{AD})$.
Mà $(overrightarrow{AB}, overrightarrow{AD}) = widehat{BAD} = 120^circ$.
Do đó $(overrightarrow{DC}, overrightarrow{AD}) = 120^circ$.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD có AC = BD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AD. Biết rằng MN = $asqrt{3}$. Tính góc giữa AC và BD.
Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của AB, ta có IM = IN = a
Áp dụng định lý của Cosin cho tam giác IMN ta có:
$coswidehat{MIN} = frac{IM^2 + IN^2 – MN^2}{2 . IM . IN} = frac{a^2 + a^2 – 3a^2}{2 . a . a} = -frac{1}{2}$
=> $widehat{MIN} = 120^circ$.
Vậy góc giữa AC và BD bằng $120^circ$.
Bài 6. Cho các vecto $overrightarrow{a} = overrightarrow{i} + overrightarrow{j}$ ; $overrightarrow{b} = 2overrightarrow{i} + 3overrightarrow{j}$. Tính góc giữa hai vecto $overrightarrow{a}$, $overrightarrow{b}$.
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vecto $overrightarrow{a} = (2;5)$ ; $overrightarrow{b} = (3; 7)$. Tính góc giữa hai vecto $overrightarrow{a}$; $overrightarrow{b}$.
Bài 8. Cho hai vecto $overrightarrow{a}$; $overrightarrow{b}$ có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện $|3overrightarrow{a} + 5overrightarrow{b}| = sqrt{19}$. Tính góc giữa hai vecto $overrightarrow{a}$; $overrightarrow{b}$.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $asqrt{3}$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy tại A, SA = $asqrt{2}$. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Góc giữa hai đường thẳng SD và BC nằm trong khoảng nào?
6. Các Lỗi Thường Gặp Khi Tính Góc Và Cách Khắc Phục
- Nhầm lẫn giữa vecto và độ dài: Cần phân biệt rõ vecto (có hướng và độ dài) và độ dài của vecto (chỉ có giá trị độ lớn).
- Sai dấu khi tính tích vô hướng: Kiểm tra kỹ dấu của các thành phần khi tính tích vô hướng.
- Không kiểm tra điều kiện của góc: Đảm bảo góc tính được nằm trong khoảng $[0^circ; 180^circ]$.
- Sử dụng sai công thức: Chọn công thức phù hợp với dữ kiện bài toán (tọa độ, độ dài, góc).
- Tính toán sai các giá trị lượng giác: Sử dụng máy tính hoặc bảng lượng giác để tra cứu chính xác.
7. Mẹo Và Thủ Thuật Tính Góc Nhanh Chóng
- Sử dụng máy tính cầm tay: Máy tính có chức năng tính toán vecto và góc giữa hai vecto giúp tiết kiệm thời gian.
- Nhận diện các trường hợp đặc biệt: Nếu hai vecto cùng phương, vuông góc, hoặc tạo thành các góc đặc biệt (30°, 45°, 60°, 90°), có thể tính góc một cách nhanh chóng.
- Sử dụng hình vẽ minh họa: Vẽ hình giúp hình dung bài toán và kiểm tra tính hợp lý của kết quả.
- Chia nhỏ bài toán: Nếu bài toán phức tạp, hãy chia thành các bước nhỏ hơn để dễ dàng giải quyết.
8. Tổng Kết Và Lời Khuyên
Nắm vững công thức và phương pháp tính góc giữa hai vecto là rất quan trọng trong học tập và ứng dụng thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng và tư duy.
Tại XETAIMYDINH.EDU.VN, chúng tôi luôn sẵn sàng cung cấp thông tin chi tiết và cập nhật nhất về các loại xe tải, giá cả và dịch vụ liên quan. Đừng ngần ngại liên hệ với chúng tôi để được tư vấn và giải đáp mọi thắc mắc.
Bạn đang gặp khó khăn trong việc lựa chọn xe tải phù hợp?
Bạn muốn tìm hiểu thêm về các dòng xe tải mới nhất trên thị trường?
Hãy truy cập ngay XETAIMYDINH.EDU.VN để được tư vấn miễn phí và nhận ưu đãi hấp dẫn:
- Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội.
- Hotline: 0247 309 9988.
- Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những thông tin chính xác, đáng tin cậy và hữu ích nhất!
9. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ) Về Góc Giữa Hai Vecto
1. Góc giữa hai vecto là gì?
Góc giữa hai vecto là góc tạo bởi hai đường thẳng chứa hai vecto đó khi chúng được vẽ chung gốc.
2. Công thức tính góc giữa hai vecto là gì?
Công thức tính cosin của góc giữa hai vecto $overrightarrow{a} = (x_1; y_1)$ và $overrightarrow{b} = (x_2; y_2)$ là:
$$cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = frac{overrightarrow{a} cdot overrightarrow{b}}{|overrightarrow{a}| cdot |overrightarrow{b}|} = frac{x_1x_2 + y_1y_2}{sqrt{x_1^2 + y_1^2} cdot sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$
3. Góc giữa hai vecto có giá trị như thế nào?
Góc giữa hai vecto luôn thuộc đoạn $[0^circ; 180^circ]$.
4. Khi nào hai vecto vuông góc với nhau?
Hai vecto vuông góc với nhau khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
5. Khi nào hai vecto cùng hướng?
Hai vecto cùng hướng khi góc giữa chúng bằng $0^circ$.
6. Khi nào hai vecto ngược hướng?
Hai vecto ngược hướng khi góc giữa chúng bằng $180^circ$.
7. Ứng dụng của việc tính góc giữa hai vecto trong hình học là gì?
Ứng dụng trong việc xác định tính vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng, đường thẳng và mặt phẳng.
8. Ứng dụng của việc tính góc giữa hai vecto trong vật lý là gì?
Ứng dụng trong việc tính công của lực, phân tích lực, tính vận tốc tương đối.
9. Có những lỗi nào thường gặp khi tính góc giữa hai vecto?
Nhầm lẫn giữa vecto và độ dài, sai dấu khi tính tích vô hướng, không kiểm tra điều kiện của góc, sử dụng sai công thức, tính toán sai các giá trị lượng giác.
10. Làm thế nào để tính góc giữa hai vecto một cách nhanh chóng?
Sử dụng máy tính cầm tay, nhận diện các trường hợp đặc biệt, sử dụng hình vẽ minh họa, chia nhỏ bài toán.
