Công Thức Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp Khối Đa Diện Là Gì?

Công Thức Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp là công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán hình học không gian. Bạn đang tìm kiếm công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện? Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ tổng hợp chi tiết nhất các công thức, ví dụ minh họa và hướng dẫn áp dụng giúp bạn chinh phục dạng toán này. Hãy cùng khám phá những kiến thức hữu ích này nhé.

1. Mặt Cầu Ngoại Tiếp và Điều Kiện Tồn Tại

1.1. Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp là gì?

Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó. Hiểu một cách đơn giản, nếu một khối đa diện nằm hoàn toàn bên trong một mặt cầu và tất cả các đỉnh của nó đều chạm vào mặt cầu, thì mặt cầu đó được gọi là mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện.

1.2. Điều kiện để một khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp là gì?

Điều kiện cần và đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của khối chóp phải là một đa giác nội tiếp.

Alt: Hình ảnh minh họa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp với đáy là đa giác nội tiếp

Chứng minh điều này đòi hỏi kiến thức hình học không gian sâu hơn, bạn có thể tìm hiểu thêm trong các bài giảng chuyên sâu.

2. Công Thức Tổng Quát Tính Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp Tứ Diện

2.1. Công thức Crelle là gì?

Công thức Crelle thể hiện mối quan hệ giữa thể tích và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện:

S = 6VR

Trong đó:

• S là diện tích của tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là tích độ dài các cặp cạnh đối diện của tứ diện.
• V là thể tích khối tứ diện.
• R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đó.

Ví dụ: Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=5, CD=sqrt{10}, AC=2sqrt{2}, BD=3sqrt{3}, AD=sqrt{22}, BC=sqrt{13}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đã cho.

Giải:

Xét tam giác có độ dài các cạnh $a=AB.CD=5sqrt{10}; b=AC.BD=6sqrt{6}; c=AD.BC=sqrt{286} Rightarrow p=dfrac{a+b+c}{2}$

Diện tích tam giác này là $S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = 15sqrt{51}$.

Tính thể tích khối tứ diện này theo các góc tại đỉnh A:

Ta có:
$left{ begin{array}{l}x = cos widehat {BAC} = dfrac{{A{B^2} + A{C^2} – B{C^2}}}{{2AB.AC}} = dfrac{{{5^2} + {{left( {2sqrt 2 } right)}^2} – {{left( {sqrt {13} } right)}^2}}}{{2.5.2sqrt 2 }} = dfrac{1}{{sqrt 2 }}y = cos widehat {CAD} = dfrac{{A{C^2} + A{D^2} – C{D^2}}}{{2AC.AD}} = dfrac{{{{left( {2sqrt 2 } right)}^2} + {{left( {sqrt {22} } right)}^2} – {{left( {sqrt {10} } right)}^2}}}{{2.2sqrt 2 .sqrt {22} }} = dfrac{5}{{2sqrt {11} }}z = cos widehat {DAB} = dfrac{{A{D^2} + A{B^2} – B{D^2}}}{{2AD.AB}} = dfrac{{{{left( {sqrt {22} } right)}^2} + {5^2} – {{left( {3sqrt 3 } right)}^2}}}{{2.sqrt {22} .5}} = sqrt {dfrac{2}{{11}}} end{array} right.$

Khi đó $V = dfrac{1}{6}AB.AC.ADsqrt{1+2xyz-x^2-y^2-z^2} = 5$.

Vì vậy áp dụng công thức Crelle ta có $S = 6VR Rightarrow R = dfrac{15sqrt{51}}{30} = dfrac{sqrt{51}}{2}$.

2.2. Hạn chế của công thức Crelle là gì?

Công thức Crelle tuy tổng quát nhưng việc tính toán diện tích S và thể tích V có thể khá phức tạp, đặc biệt với các hình tứ diện có cấu trúc phức tạp.

3. Các Trường Hợp Đặc Biệt và Công Thức Tính Nhanh

3.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:

R = √(Rd² + (h/2)²)

Trong đó:

• Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.
• h là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Alt: Hình ảnh minh họa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, thể hiện rõ Rd và h

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=3a, BC=4a, SA=12a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.

Giải:

Ta có $R_d = dfrac{AC}{2} = dfrac{sqrt{AB^2 + BC^2}}{2} = dfrac{sqrt{9a^2 + 16a^2}}{2} = dfrac{5a}{2}$.

Vậy $R = sqrt{R_d^2 + (dfrac{h}{2})^2} = sqrt{(dfrac{5a}{2})^2 + (dfrac{12a}{2})^2} = dfrac{13a}{2}$.

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=a, widehat{ASB}=widehat{ASC}=90°, widehat{BSC}=60°$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Giải:

Ta có $left{ begin{array}{l} SA perp SB SA perp SC end{array} right. Rightarrow SA perp (SBC)$.

Vì vậy $R = sqrt{R_{SBC}^2 + (dfrac{SA}{2})^2} = sqrt{(dfrac{BC}{2sin widehat{BSC}})^2 + (dfrac{SA}{2})^2} = sqrt{(dfrac{a}{2.dfrac{sqrt{3}}{2}})^2 + (dfrac{a}{2})^2} = sqrt{dfrac{7}{12}}a$.

Diện tích mặt cầu $S = 4pi R^2 = dfrac{7pi a^2}{3}$.

Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB=4a, BC=3sqrt{2}a, widehat{ABC}=45°; widehat{SAC}=widehat{SBC}=90°$, đồng thời sin của góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ bằng $dfrac{sqrt{2}}{4}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Giải:

Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Ta có $AC perp SA, AC perp SD Rightarrow AC perp (SAD) Rightarrow AC perp AD$. Tương tự $BC perp SB, BC perp SD Rightarrow BC perp (SBD) Rightarrow BC perp BD$

Suy ra $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $CD$ do đó $R{S.ABC} = R{S.ABCD} = sqrt{R_{ABCD}^2 + (dfrac{SD}{2})^2} (*)$

Alt: Hình ảnh minh họa các yếu tố trong ví dụ 3, giúp hình dung bài toán

Bán kính $R_{ABCD}$ chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Ta có $AC = sqrt{BA^2 + BC^2 – 2BA.BC.cos widehat{ABC}} = sqrt{(4a)^2 + (3sqrt{2}a)^2 – 2.4a.3sqrt{2}a.dfrac{1}{sqrt{2}}} = sqrt{10}a$

Vậy $R{ABCD} = R{ABC} = dfrac{AC}{2sin widehat{ABC}} = dfrac{sqrt{10}a}{2.dfrac{1}{sqrt{2}}} = sqrt{5}a$

Ta tính $SD$ dựa trên giả thiết sin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ bằng $dfrac{sqrt{2}}{4}$. Ý tưởng là tính thể tích khối chóp đã cho theo hai cách, trong đó một cách dùng đến góc giữa hai mặt phẳng này.

Đặt $SD = x, (x>0) Rightarrow V{S.ABC} = dfrac{1}{3}S{ABC}.SD = dfrac{1}{3}(dfrac{1}{2}BA.BC.sin widehat{ABC}).SD = 2a^2x (1)$

Và $BC = 3sqrt{2}a Rightarrow BD = sqrt{CD^2 – BC^2} = sqrt{2}a Rightarrow SB = sqrt{SD^2 + BD^2} = sqrt{x^2 + 2a^2}$

$SC = sqrt{SD^2 + CD^2} = sqrt{x^2 + 20a^2} Rightarrow S_{SBC} = dfrac{1}{2}BS.BC = dfrac{3sqrt{2}a}{2}sqrt{x^2 + 2a^2}$

Và $AB=4a, AC=sqrt{10} Rightarrow AD = sqrt{CD^2 – CA^2} = sqrt{10}a$

$Rightarrow SA = sqrt{SD^2 + AD^2} = sqrt{x^2 + 10a^2} Rightarrow S_{SAB} = 2asqrt{x^2 + a^2}$

$Rightarrow V{S.ABC} = dfrac{2S{SAB}.S_{SBC}.sin ((SAB),(SBC))}{3SB} = a^2sqrt{x^2 + a^2} (2)$

So sánh $(1), (2) Rightarrow x = dfrac{sqrt{3}a}{3}$. Thay vào (*) $Rightarrow R{S.ABC} = R{S.ABCD} = sqrt{(sqrt{5}a)^2 + (dfrac{1}{2sqrt{3}}a)^2} = dfrac{sqrt{183}a}{6}$.

3.2. Khối tứ diện vuông

Khối tứ diện vuông $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc, bán kính mặt cầu ngoại tiếp được tính bởi:

R = (√(OA² + OB² + OC²))/2

Alt: Hình ảnh minh họa khối tứ diện vuông OABC với OA, OB, OC đôi một vuông góc

Ví dụ 1: Cho khối chóp tam giác $S.ABC$ có $SA, AB, AC$ đôi một vuông góc. Biết rằng $SA=24; AB=6; AC=8$. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

Giải:

Áp dụng công thức cho chóp có cạnh bên vuông góc với đáy hoặc đặc biệt ở đây là tứ diện vuông đỉnh A ta có $S = 4pi R^2 = 4pi dfrac{AS^2 + AB^2 + AC^2}{4} = (AS^2 + AB^2 + AC^2)pi = (24^2 + 6^2 + 8^2)pi = 676pi$.

Ví dụ 2: Khối tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc và có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng $sqrt{3}$. Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $OABC$ bằng bao nhiêu?

Giải:

Ta có $R = dfrac{sqrt{OA^2 + OB^2 + OC^2}}{2} = sqrt{3} Leftrightarrow OA^2 + OB^2 + OC^2 = 12$.

Mặt khác $V_{OABC} = dfrac{1}{6}.OA.OB.OC$ và theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

$12 = OA^2 + OB^2 + OC^2 ge 3sqrt[3]{OA^2.OB^2.OC^2} Rightarrow OA.OB.OC le 8$.

Do đó $V_{OABC} le dfrac{8}{6} = dfrac{4}{3}$.

3.3. Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp là:

R = √(Rd² + (h/2)²)

Trong đó:

• Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.
• h là độ dài cạnh bên.

Đặc biệt:

• Khối lập phương cạnh $a$ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là $R = dfrac{sqrt{3}a}{2}$.
• Khối hộp chữ nhật có kích thước $a, b, c$ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là $R = dfrac{sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$.

Ví dụ 1: Cho mặt cầu bán kính $R$ ngoại tiếp một hình lập phương cạnh $a$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Giải:

Ta có $R = sqrt{R_d^2 + (dfrac{h}{2})^2} = sqrt{(dfrac{a}{sqrt{2}})^2 + (dfrac{a}{2})^2} = dfrac{asqrt{3}}{2}$. Vậy $a = dfrac{2sqrt{3}R}{3}$.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A’B’C’$ có các cạnh đều bằng $a$. Tính diện tích $S$ của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.

Giải:

Có $S = 4pi R^2 = 4pi (R_d^2 + (dfrac{h}{2})^2) = 4pi ((dfrac{a}{sqrt{3}})^2 + (dfrac{a}{2})^2) = dfrac{7pi a^2}{3}$.

Ví dụ 3: Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao $h$ không đổi và đáy là tứ giác $ABCD$, trong đó $A, B, C, D$ thay đổi sao cho $overrightarrow{IA}.overrightarrow{IC} = overrightarrow{IB}.overrightarrow{ID} = -h^2$, với $I$ là giao điểm của hai đường chéo. Xác định giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho.

Giải:

Alt: Hình ảnh minh họa khối lăng trụ đứng và các yếu tố liên quan trong ví dụ 3

Ta có $R = sqrt{R_d^2 + (dfrac{h}{2})^2}$, trong đó $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy thì ta có

$overrightarrow{IA}.overrightarrow{IC} = overrightarrow{IB}.overrightarrow{ID} = -h^2 = OI^2 – R_d^2 Leftrightarrow R_d^2 = OI^2 + h^2 ge h^2$.

Do đó $R ge sqrt{h^2 + dfrac{h^2}{4}} = dfrac{hsqrt{5}}{2}$.

Dấu bằng đạt tại $O equiv I$.

3.4. Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng

R = √(Rd² + (h/2)²)

Khối tứ diện $(H_1)$ có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng $(H2)$, khi đó $R{(H1)} = R{(H_2)} = sqrt{R_d^2 + (dfrac{h}{2})^2}$.

Áp dụng cho khối tứ diện gần đều $ABCD$ có $AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c$ thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp là $R = sqrt{dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{8}}$.

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $AB=A’A=2a, AC=a, widehat{BAC}=120°$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BC C’B’$.

Giải:

Ta có $R{A.BC C’B’} = R{ABC.A’B’C’} = sqrt{R_{ABC}^2 + (dfrac{A’A}{2})^2}$ trong đó $A’A=2a$ và

$R_{ABC} = dfrac{BC}{2sin widehat{BAC}} = dfrac{sqrt{AB^2 + AC^2 – 2AB.AC.cos widehat{BAC}}}{2sin widehat{BAC}} = dfrac{sqrt{4a^2 + a^2 – 2.2a.a.dfrac{-1}{2}}}{2.dfrac{sqrt{3}}{2}} = sqrt{dfrac{7}{3}}a$

Vậy $R_{A.BC C’B’} = sqrt{(sqrt{dfrac{7}{3}}a)^2 + (dfrac{2a}{2})^2} = dfrac{sqrt{30}a}{3}$.

3.5. Công thức cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy

$R = sqrt{R_d^2 + (dfrac{a}{2}.cot x)^2}$ trong đó $R_d$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $a, x$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy, góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.

Hoặc có thể sử dụng công thức $R = sqrt{R_d^2 + R_b^2 – dfrac{a^2}{4}}$, trong đó $R_b$ là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và $a$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, tam giác $SAD$ đều cạnh $sqrt{2}a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.

Giải. Ta có $R = sqrt{(dfrac{sqrt{2}a}{sqrt{2}})^2 + (dfrac{sqrt{2}a}{2}.cot 60°)^2} = sqrt{(dfrac{sqrt{2}a}{sqrt{2}})^2 + (dfrac{sqrt{2}a}{2sqrt{3}})^2} = dfrac{asqrt{42}}{6}$.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Biết $AB=A’A=a, AC=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $M A’B’C’$.

Giải. Chóp $M.A’B’C’$ có mặt bên $(M A’C’) perp (A’B’C’)$ do đó

$S = 4pi R^2 = 4pi (R{A’B’C’}^2 + R{M A’C’}^2 – (dfrac{A’C’}{2})^2) = 4pi ((dfrac{sqrt{5}a}{2})^2 + a^2 – (dfrac{2a}{2})^2) = 5pi a^2$.

trong đó $R{A’B’C’} = dfrac{B’C’}{2} = dfrac{sqrt{5}a}{2}; M A’ = M C’ = sqrt{2}a, A’C’ = 2a Rightarrow M A’ perp M C’ Rightarrow R{M A’C’} = dfrac{A’C’}{2} = a$.

Ví dụ 3: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng đáy là điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $SM=3$, đồng thời bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho bằng $dfrac{13}{2}$. Giá trị của $SB.SC$ bằng bao nhiêu?

Giải. Ta có $(SBC) perp (ABC)$ theo đoạn giao tuyến $BC$ nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp là $R = sqrt{R{ABC}^2 + R{SBC}^2 – (dfrac{BC}{2})^2}$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $R{ABC} = dfrac{BC}{2} Rightarrow R = R{SBC} = dfrac{13}{2}$.

Áp dụng hệ thức lượng có $R{SBC} = dfrac{SB.SC.BC}{4S{SBC}} = dfrac{SB.SC.BC}{4.dfrac{1}{2}SM.BC} = dfrac{SB.SC}{2SM} = dfrac{13}{2} Rightarrow SB.SC = 13SM = 39$.

Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=BC=AC=BD=2a, AD=sqrt{3}a$. Hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$ vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đã cho.

Giải. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD Rightarrow BM perp CD, (BC=BD) Rightarrow BM perp (ACD)$

Alt: Hình ảnh minh họa hình tứ diện và các yếu tố liên quan trong ví dụ 4

Mặt khác $BC=BD=BA=2a Rightarrow M$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ACD Rightarrow Delta ACD$ vuông tại $A Rightarrow CD = sqrt{AC^2 + AD^2} = sqrt{7}a$.

Áp dụng công thức cho chóp có mặt bên vuông góc đáy ta có diện tích mặt cầu là

$S = 4pi R^2 = 4pi [R{ACD}^2 + R{BCD}^2 – (dfrac{CD}{2})^2] = 4pi R{BCD}^2, (R{ACD} = dfrac{CD}{2})$

$= 4pi (dfrac{CD}{2sin widehat{CBD}})^2 = dfrac{7pi a^2}{1 – (dfrac{2^2 + 2^2 – sqrt{7}^2}{2.2.2})^2} = dfrac{64}{9}pi a^2$.

3.6. Khối chóp đều hoặc khối chóp có độ dài các cạnh bên bằng nhau

Khối chóp đều hoặc khối chóp có độ dài các cạnh bên bằng nhau có $R = dfrac{cb^2}{2h}$, trong đó $cb$ là độ dài cạnh bên và $h$ là chiều cao khối chóp, được xác định bởi $h = sqrt{cb^2 – R_d^2}$.

Ví dụ 1: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đều cạnh $sqrt{3}a$.

Giải. Ta có $cb = sqrt{3}a, h = sqrt{cb^2 – R_d^2} = sqrt{3a^2 – (dfrac{sqrt{3}a}{sqrt{3}})^2} = sqrt{2}a Rightarrow R = dfrac{3a^2}{2sqrt{2}a} = dfrac{3sqrt{2}a}{4}$.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $asqrt{2}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

Giải. Áp dụng công thức cho chóp đều có $R = dfrac{cb^2}{2h} = dfrac{cb^2}{2sqrt{cb^2 – R_d^2}} = dfrac{(sqrt{2}a)^2}{2sqrt{(sqrt{2}a)^2 – (dfrac{a}{sqrt{3}})^2}} = dfrac{sqrt{15}a}{5}$.

Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $sqrt{3}$ và cạnh bên bằng $x$ với $x>1$. Thể tích của khối cầu xác định bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có giá trị nhỏ nhất thuộc khoảng nào dưới đây?

Giải. Áp dụng công thức tính cho trường hợp chóp có các cạnh bên bằng nhau thể tích khối cầu xác định bởi

$V = dfrac{4}{3}pi R^3 = dfrac{4}{3}pi (dfrac{cb^2}{2h})^3 = dfrac{4}{3}pi (dfrac{x^2}{2sqrt{x^2 – (dfrac{sqrt{3}}{sqrt{3}})^2}})^3 = g(x) = pi dfrac{x^6}{6sqrt{(x^2-1)^3}} ge underset{(1;+infty )}{min} , g(x) = g(sqrt{2}) = dfrac{4pi}{3}$.

Ví dụ 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3, AD=4$ và các cạnh bên của hình chóp cùng tạo với mặt đáy một góc $60°$. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Giải. Vì các cạnh bên cùng tạo với mặt đáy một góc $60°$ nên các cạnh bên có độ dài bằng nhau và khi đó hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt đáy trùng với tâm ngoại tiếp đáy là $O = AC cap BD$.

Ta có $AC = sqrt{AB^2 + AD^2} = 5 Rightarrow AO = dfrac{5}{2}$ và $(SA, (ABCD)) = widehat{SAO} = 60° Rightarrow cb = SA = dfrac{OA}{cos 60°} = 5; h = SO = OAtan 60° = dfrac{5}{2}sqrt{3}$

Áp dụng công thức cho chóp có độ dài các cạnh bên bằng nhau ta có thể tích khối cầu là $V = dfrac{4}{3}pi R^3 = dfrac{4}{3}pi (dfrac{cb^2}{2h})^3 = dfrac{4}{3}pi (dfrac{5^2}{2 times dfrac{5}{2}sqrt{3}})^3 = dfrac{500sqrt{3}pi}{27}$.

Ví dụ 5: Cho khối lăng trụ đều $ABC.A’B’C’$ có độ dài cạnh đáy bằng $1$, độ dài cạnh bên bằng $3$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $A’BC$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $GABC$.

Giải. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$ ta có $dfrac{MG}{M A’} = dfrac{MO}{MA} = dfrac{1}{3} Rightarrow OG // A’A Rightarrow OG perp (ABC)$.

Mặt khác $O$ cũng là tâm ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ do đó $G.ABC$ là chóp tam giác đều và $OG = dfrac{1}{3}A’A = 1 Rightarrow GA = GB = GC = sqrt{OG^2 + OA^2} = sqrt{1^2 + (dfrac{1}{sqrt{3}})^2} = dfrac{2}{sqrt{3}}$

Alt: Hình ảnh minh họa khối lăng trụ đều và các yếu tố liên quan trong ví dụ 5

Do đó áp dụng công thức cho khối chóp đều ta có diện tích mặt cầu ngoại tiếp là $S = 4pi R^2 = 4pi (dfrac{cb^2}{2h})^2 = 4pi (dfrac{(dfrac{2}{sqrt{3}})^2}{2.1})^2 = dfrac{16}{9}pi$.

Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=2, widehat{ASB}=90°, widehat{BSC}=60°, widehat{CSA}=120°$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Giải. Vì $SA=SB=SC=2, widehat{ASB}=90°, widehat{BSC}=60°, widehat{CSA}=120°$ nên dùng pitago và định lý hàm số cosin

$Rightarrow AB = 2sqrt{2}, BC=2, CA=2sqrt{3} Rightarrow AB^2 + BC^2 = CA^2 Rightarrow Delta ABC$ vuông tại $B Rightarrow R_d = dfrac{AC}{2} = sqrt{3}$

Áp dụng công thức cho chóp có cạnh bên bằng nhau ta có diện tích mặt cầu là

$S = 4pi R^2 = 4pi (dfrac{cb^2}{2h})^2 = 4pi (dfrac{cb^2}{2sqrt{cb^2 – R_d^2}})^2 = 4pi (dfrac{2^2}{2sqrt{2^2 – (sqrt{3})^2}})^2 = 16pi$.

Ví dụ 7: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $AB=a$, góc giữa mặt bên với mặt phẳng đáy bằng $60°$. Tính bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của hình chóp $S.ABC$.

Giải. Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm cạnh $BC$.

Ta có $SO perp (ABC); ((SBC),(ABC)) = widehat{SMO} = 60° Rightarrow SO = OMtan 60° = dfrac{a}{2sqrt{3}}sqrt{3} = dfrac{a}{2}$

$Rightarrow SA^2 = SO^2 + OA^2 = (dfrac{a}{2})^2 + (dfrac{a}{sqrt{3}})^2 = dfrac{7a^2}{12} Rightarrow R = dfrac{SA^2}{2SO} = dfrac{dfrac{7}{12}a^2}{a} = dfrac{7}{12}a$.

4. Lời Khuyên và Lưu Ý Khi Giải Bài Toán

• Nhận diện dạng hình: Xác định chính xác dạng của khối đa diện (tứ diện, chóp, lăng trụ…) và các yếu tố đặc biệt (vuông góc, đều…) để áp dụng công thức phù hợp.
• Tính toán cẩn thận: Các công thức có thể phức tạp, hãy thực hiện các phép tính một cách cẩn thận để tránh sai sót.
• Vẽ hình minh họa: Việc vẽ hình minh họa rõ ràng giúp bạn hình dung bài toán và xác định các yếu tố cần thiết.
• Kiểm tra lại kết quả: Sau khi tính toán, hãy kiểm tra lại kết quả bằng cách sử dụng các phương pháp khác hoặc so sánh với các bài toán tương tự.

5. Ứng Dụng Thực Tế của Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp

5.1. Trong thiết kế kiến trúc và xây dựng

Việc tính toán bán kính mặt cầu ngoại tiếp có thể được ứng dụng trong thiết kế các công trình kiến trúc có hình dạng phức tạp, đảm bảo tính thẩm mỹ và kỹ thuật.

5.2. Trong ngành công nghiệp ô tô

Trong thiết kế và sản xuất ô tô, việc tính toán các yếu tố hình học không gian, bao gồm bán kính mặt cầu ngoại tiếp, có thể giúp tối ưu hóa thiết kế, cải thiện tính khí động học và an toàn.

Alt: Hình ảnh minh họa ứng dụng của hình học không gian trong thiết kế ô tô, cải thiện tính khí động học

5.3. Trong lĩnh vực hàng không vũ trụ

Trong lĩnh vực hàng không vũ trụ, việc tính toán chính xác các yếu tố hình học là vô cùng quan trọng để đảm bảo an toàn và hiệu quả của các phương tiện.

6. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)

1. Câu hỏi: Khi nào thì một khối đa diện có mặt cầu ngoại tiếp?

   Trả lời: Một khối đa diện có mặt cầu ngoại tiếp khi tất cả các đỉnh của nó