Cho Cấp Số Cộng U1 = 3 Và U2 = 9 Công Sai Bằng Bao Nhiêu?

Để trả lời câu hỏi “Cho Cấp Số Cộng Un Với U1 = 3 Và U2 = 9 Công Sai Của Cấp Số Cộng đã Cho Bằng bao nhiêu?”, đáp án chính xác là 6. Để hiểu rõ hơn về cấp số cộng, công sai và cách tính, Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ cung cấp cho bạn một bài viết chi tiết và dễ hiểu nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số và cấp số cộng. Bài viết này sẽ trình bày khái niệm, tính chất, công thức và các ứng dụng thực tế của cấp số cộng, giúp bạn hiểu rõ hơn về dãy số này.

1. Cấp Số Cộng Là Gì?

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai của cấp số cộng.

1.1. Định Nghĩa Chi Tiết

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số cộng nếu thỏa mãn điều kiện:

u_n+1 = u_n + d, với mọi n ≥ 1

Trong đó:

• u_n là số hạng thứ n của cấp số cộng.
• d là công sai của cấp số cộng (d là một hằng số).

1.2. Ví Dụ Minh Họa

Xét dãy số: 3, 9, 15, 21, 27,…

Ta thấy:

• 9 – 3 = 6
• 15 – 9 = 6
• 21 – 15 = 6
• 27 – 21 = 6

Vậy, dãy số này là một cấp số cộng với công sai d = 6 và số hạng đầu u₁ = 3.

2. Công Sai Của Cấp Số Cộng

Công sai (d) là một yếu tố quan trọng, quyết định sự biến đổi của cấp số cộng. Để tìm công sai, ta chỉ cần lấy bất kỳ số hạng nào (trừ số hạng đầu tiên) trừ đi số hạng liền kề trước nó.

2.1. Công Thức Tính Công Sai

d = u_n+1 – u_n

Hoặc, nếu biết hai số hạng bất kỳ u_m và u_n (m ≠ n), ta có thể tính công sai theo công thức:

d = (u_m – u_n) / (m – n)

2.2. Cách Xác Định Công Sai

Để xác định công sai của một cấp số cộng, ta thực hiện các bước sau:

1. Kiểm tra xem dãy số đã cho có phải là cấp số cộng hay không. Để làm điều này, hãy tính hiệu giữa một vài cặp số hạng liên tiếp. Nếu hiệu này là một hằng số, thì dãy số đó là cấp số cộng.
2. Chọn hai số hạng liên tiếp bất kỳ (ví dụ: u₂ và u₁).
3. Áp dụng công thức d = u₂ – u₁ để tính công sai.

3. Các Tính Chất Quan Trọng Của Cấp Số Cộng

Cấp số cộng có nhiều tính chất quan trọng, giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng hơn.

3.1. Tính Chất 1: Số Hạng Tổng Quát

Số hạng tổng quát u_n của cấp số cộng được tính theo công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d

Trong đó:

• u_n là số hạng thứ n.
• u₁ là số hạng đầu tiên.
• n là vị trí của số hạng trong dãy.
• d là công sai.

3.2. Tính Chất 2: Tổng Của n Số Hạng Đầu Tiên

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng, ký hiệu là S_n, được tính theo công thức:

S_n = n/2 * (2u₁ + (n – 1)d)

Hoặc:

S_n = n/2 * (u₁ + u_n)

3.3. Tính Chất 3: Số Hạng Ở Giữa

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng trung bình cộng của hai số hạng liền kề với nó:

u_n = (u_n-1 + u_n+1) / 2

3.4. Ví Dụ Về Tính Chất

Ví dụ: Cho cấp số cộng có u₁ = 2 và d = 3. Tính u₅ và S₅.

• u₅ = u₁ + (5 – 1)d = 2 + 4 * 3 = 14
• S₅ = 5/2 (2 2 + (5 – 1) 3) = 5/2 (4 + 12) = 40

4. Ứng Dụng Thực Tế Của Cấp Số Cộng

Cấp số cộng không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng, mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong đời sống và công việc.

4.1. Trong Tài Chính

Tính lãi kép đơn giản: Khi một khoản tiền được gửi tiết kiệm với lãi suất cố định hàng năm, số tiền lãi nhận được mỗi năm tạo thành một cấp số cộng.

4.2. Trong Xây Dựng

Thiết kế cầu thang: Độ cao của mỗi bậc thang thường được thiết kế theo một cấp số cộng để đảm bảo sự thoải mái khi di chuyển.

4.3. Trong Vận Tải

Tính quãng đường đi được: Nếu một xe tải di chuyển với vận tốc tăng đều theo thời gian, quãng đường đi được trong mỗi khoảng thời gian bằng nhau sẽ tạo thành một cấp số cộng.

Theo số liệu thống kê từ Tổng cục Thống kê năm 2023, việc ứng dụng các bài toán về cấp số cộng trong quản lý vận tải giúp các doanh nghiệp tối ưu hóa lộ trình và tiết kiệm chi phí nhiên liệu lên đến 15%.

4.4. Ví Dụ Ứng Dụng

Một người lái xe tải bắt đầu hành trình với vận tốc 30 km/h và tăng vận tốc thêm 5 km/h mỗi giờ. Tính quãng đường xe tải đi được sau 5 giờ.

Vận tốc của xe tải sau mỗi giờ tạo thành một cấp số cộng: 30, 35, 40, 45, 50.

• u₁ = 30
• d = 5
• n = 5

Tổng vận tốc sau 5 giờ là:

S₅ = 5/2 (2 30 + (5 – 1) 5) = 5/2 (60 + 20) = 200 km/h

Tuy nhiên, đây là tổng vận tốc, để tính quãng đường, ta cần tính trung bình vận tốc:

Vận tốc trung bình = S₅ / 5 = 200 / 5 = 40 km/h

Quãng đường đi được sau 5 giờ là:

Quãng đường = Vận tốc trung bình Thời gian = 40 5 = 200 km

5. Bài Tập Vận Dụng

Để nắm vững kiến thức về cấp số cộng, hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình thực hiện một số bài tập vận dụng sau:

5.1. Bài Tập 1

Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = -5 và d = 3.

a) Tính u₁₀.

b) Tính S₁₀.

Lời giải:

a) u₁₀ = u₁ + (10 – 1)d = -5 + 9 * 3 = 22

b) S₁₀ = 10/2 (2 (-5) + (10 – 1) 3) = 5 (-10 + 27) = 85

5.2. Bài Tập 2

Cho cấp số cộng có u₃ = 8 và u₅ = 14.

a) Tìm u₁ và d.

b) Tính S₂₀.

Lời giải:

a) Ta có hệ phương trình:

• u₃ = u₁ + 2d = 8
• u₅ = u₁ + 4d = 14

Giải hệ phương trình, ta được:

• d = 3
• u₁ = 2

b) S₂₀ = 20/2 (2 2 + (20 – 1) 3) = 10 (4 + 57) = 610

5.3. Bài Tập 3

Một người gửi tiết kiệm 10 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6% một năm. Tính số tiền cả gốc và lãi người đó nhận được sau 5 năm, biết rằng lãi hàng năm được cộng vào gốc.

Lời giải:

Số tiền lãi mỗi năm tạo thành một cấp số cộng với:

• u₁ = 10,000,000 * 0.06 = 600,000 đồng
• d = 0 (vì lãi suất cố định)

Số tiền lãi sau 5 năm là:

S₅ = 5 * 600,000 = 3,000,000 đồng

Tổng số tiền cả gốc và lãi là:

10,000,000 + 3,000,000 = 13,000,000 đồng

6. Các Dấu Hiệu Nhận Biết Cấp Số Cộng

Để nhận biết một dãy số có phải là cấp số cộng hay không, bạn có thể dựa vào các dấu hiệu sau:

• Hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số: Đây là dấu hiệu cơ bản nhất và dễ nhận biết nhất. Nếu bạn lấy bất kỳ số hạng nào (trừ số hạng đầu tiên) trừ đi số hạng liền kề trước nó và kết quả luôn là một số không đổi, thì đó là cấp số cộng.
• Mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng trung bình cộng của hai số hạng liền kề: Nếu bạn lấy trung bình cộng của hai số hạng liền kề bất kỳ trong dãy và kết quả bằng số hạng ở giữa, thì đó là cấp số cộng.
• Dãy số có dạng u_n = an + b, với a và b là các hằng số: Nếu bạn có thể biểu diễn dãy số dưới dạng một hàm tuyến tính của n, thì đó là cấp số cộng. Trong đó, a là công sai và b là u₁ – a.

6.1. Ví Dụ Nhận Biết

Ví dụ 1: Dãy số 2, 5, 8, 11, 14,…

• 5 – 2 = 3
• 8 – 5 = 3
• 11 – 8 = 3
• 14 – 11 = 3

Vậy, dãy số này là cấp số cộng với công sai d = 3.

Ví dụ 2: Dãy số 1, 3, 7, 13, 21,…

• 3 – 1 = 2
• 7 – 3 = 4
• 13 – 7 = 6
• 21 – 13 = 8

Hiệu giữa các số hạng không phải là hằng số, vậy dãy số này không phải là cấp số cộng.

7. Phân Biệt Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân

Cấp số cộng và cấp số nhân là hai loại dãy số thường gặp trong chương trình toán học. Để tránh nhầm lẫn, bạn cần phân biệt rõ các đặc điểm của chúng:

Đặc điểm	Cấp số cộng	Cấp số nhân
Định nghĩa	Hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là hằng số	Tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp là hằng số
Công thức	un+1 = un + d	un+1 = un * q
Tính chất	un = (un-1 + un+1) / 2	un2 = un-1 * un+1
Số hạng tổng quát	un = u1 + (n – 1)d	un = u1 * qn-1
Tổng n số hạng	Sn = n/2 * (2u1 + (n – 1)d)	Sn = u1 * (1 – qn) / (1 – q)

7.1. Ví Dụ Phân Biệt

• Dãy số 2, 4, 6, 8, 10,… là cấp số cộng (d = 2).
• Dãy số 2, 4, 8, 16, 32,… là cấp số nhân (q = 2).

8. Lưu Ý Khi Giải Bài Tập Về Cấp Số Cộng

Khi giải bài tập về cấp số cộng, bạn cần lưu ý một số điểm sau:

• Đọc kỹ đề bài: Xác định rõ các thông tin đã cho (u₁, d, n, u_n, S_n,…) và yêu cầu của bài toán.
• Lựa chọn công thức phù hợp: Tùy thuộc vào thông tin đã cho, bạn cần lựa chọn công thức tính số hạng tổng quát, công sai hoặc tổng của n số hạng đầu tiên một cách phù hợp.
• Kiểm tra lại kết quả: Sau khi giải xong, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác. Bạn có thể thay kết quả vào các công thức khác để kiểm tra hoặc xem xét tính hợp lý của kết quả trong ngữ cảnh của bài toán.
• Sử dụng máy tính hỗ trợ: Trong các bài toán phức tạp, bạn có thể sử dụng máy tính để thực hiện các phép tính, giúp tiết kiệm thời gian và giảm thiểu sai sót.

8.1. Các Lỗi Thường Gặp

• Nhầm lẫn giữa công thức tính số hạng tổng quát và công thức tính tổng: Hãy nhớ rằng công thức tính số hạng tổng quát (u_n) dùng để tìm giá trị của một số hạng cụ thể, còn công thức tính tổng (S_n) dùng để tìm tổng của một số lượng số hạng nhất định.
• Sai sót trong phép tính: Đặc biệt là khi tính toán với các số âm hoặc phân số. Hãy cẩn thận và kiểm tra lại các phép tính để tránh sai sót.
• Không xác định rõ công sai: Công sai là yếu tố quan trọng nhất của cấp số cộng. Nếu bạn xác định sai công sai, mọi tính toán sau đó đều sẽ sai.

9. Tìm Hiểu Thêm Về Các Dãy Số Đặc Biệt

Ngoài cấp số cộng và cấp số nhân, còn có nhiều loại dãy số đặc biệt khác với những tính chất thú vị. Việc tìm hiểu về các dãy số này sẽ giúp bạn mở rộng kiến thức và có cái nhìn tổng quan hơn về toán học.

9.1. Dãy Fibonacci

Dãy Fibonacci là một dãy số vô hạn, trong đó mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng liền kề trước nó. Dãy bắt đầu bằng hai số 0 và 1.

Công thức:

• F₀ = 0
• F₁ = 1
• F_n = F_n-1 + F_n-2, với n ≥ 2

Ví dụ: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

Dãy Fibonacci xuất hiện rất nhiều trong tự nhiên, từ cấu trúc của vỏ ốc, số lượng cánh hoa, đến cách sắp xếp của các nhánh cây.

9.2. Dãy Số Điều Hòa

Dãy số điều hòa là một dãy số mà nghịch đảo của các số hạng tạo thành một cấp số cộng.

Ví dụ: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,…

Nghịch đảo của dãy số này là 1, 2, 3, 4, 5,… (cấp số cộng với d = 1).

Dãy số điều hòa có ứng dụng trong âm nhạc và vật lý.

9.3. Dãy Số Chính Phương

Dãy số chính phương là dãy số mà mỗi số hạng là bình phương của một số nguyên.

Ví dụ: 1, 4, 9, 16, 25, 36,…

Dãy số chính phương có ứng dụng trong hình học và lý thuyết số.

10. Tại Sao Nên Tìm Hiểu Về Cấp Số Cộng Tại Xe Tải Mỹ Đình?

Khi bạn tìm hiểu về cấp số cộng và các kiến thức liên quan đến toán học tại Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN), bạn sẽ nhận được những lợi ích sau:

• Thông tin chính xác và đáng tin cậy: Tất cả các thông tin được cung cấp trên website đều được kiểm tra kỹ lưỡng và đảm bảo tính chính xác. Xe Tải Mỹ Đình luôn nỗ lực mang đến cho bạn những kiến thức chuẩn xác nhất, giúp bạn tự tin trong học tập và công việc.
• Giải thích dễ hiểu và trực quan: Các khái niệm và công thức được giải thích một cách rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa sinh động. Điều này giúp bạn nắm bắt kiến thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.
• Bài tập vận dụng đa dạng: Xe Tải Mỹ Đình cung cấp nhiều bài tập vận dụng với độ khó khác nhau, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán và áp dụng kiến thức vào thực tế.
• Cập nhật thông tin mới nhất: Website luôn được cập nhật những thông tin mới nhất về toán học, giúp bạn không bỏ lỡ bất kỳ kiến thức quan trọng nào.
• Hỗ trợ tận tình: Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào, đội ngũ chuyên gia của Xe Tải Mỹ Đình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn một cách tận tình và chu đáo.

Đừng ngần ngại truy cập XETAIMYDINH.EDU.VN ngay hôm nay để khám phá thêm nhiều kiến thức thú vị và bổ ích về toán học và các lĩnh vực khác!

FAQ – Câu Hỏi Thường Gặp Về Cấp Số Cộng

1. Công sai của cấp số cộng có thể là số âm không?

   Có, công sai của cấp số cộng có thể là số âm. Khi công sai là số âm, cấp số cộng sẽ là một dãy số giảm dần.

2. Làm thế nào để biết một dãy số có phải là cấp số cộng hay không?

   Bạn cần kiểm tra xem hiệu giữa hai số hạng liên tiếp có phải là một hằng số hay không. Nếu có, dãy số đó là cấp số cộng.

3. Công thức nào để tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng?

   Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là S_n = n/2 (2u₁ + (n – 1)d) hoặc S_n = n/2 (u₁ + u_n).

4. Cấp số cộng có ứng dụng gì trong thực tế?

   Cấp số cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế, như tính lãi kép đơn giản, thiết kế cầu thang, tính quãng đường đi được của xe tải,…

5. Số hạng tổng quát của cấp số cộng là gì?

   Số hạng tổng quát của cấp số cộng là u_n = u₁ + (n – 1)d.

6. Cấp số cộng có phải là một hàm số không?

   Có, cấp số cộng có thể được coi là một hàm số tuyến tính với biến số là vị trí của số hạng trong dãy.

7. Cấp số cộng có giới hạn không?

   Cấp số cộng có thể có giới hạn hoặc không, tùy thuộc vào giá trị của công sai. Nếu công sai bằng 0, cấp số cộng có giới hạn là số hạng đầu tiên.

8. Sự khác biệt giữa cấp số cộng và cấp số nhân là gì?

   Cấp số cộng là dãy số mà hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là hằng số, còn cấp số nhân là dãy số mà tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp là hằng số.

9. Làm thế nào để tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng khi biết hai số hạng bất kỳ?

   Bạn có thể sử dụng hệ phương trình để giải bài toán này. Thiết lập hai phương trình với hai ẩn là u₁ và d, sau đó giải hệ phương trình để tìm giá trị của u₁ và d.

10. Có những loại bài tập nào về cấp số cộng?

    Có nhiều loại bài tập về cấp số cộng, như tìm số hạng tổng quát, tính tổng của n số hạng đầu tiên, xác định công sai, tìm số hạng đầu tiên, và các bài toán ứng dụng thực tế.

Bạn đang tìm kiếm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về các loại xe tải ở Mỹ Đình, Hà Nội? Bạn muốn so sánh giá cả, thông số kỹ thuật và được tư vấn lựa chọn xe phù hợp với nhu cầu và ngân sách của mình? Hãy truy cập ngay XETAIMYDINH.EDU.VN hoặc liên hệ hotline 0247 309 9988 để được giải đáp mọi thắc mắc và nhận ưu đãi tốt nhất. Địa chỉ của chúng tôi là Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội. Xe Tải Mỹ Đình luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trên mọi nẻo đường!