Cách Làm Bảng Xét Dấu Biểu Thức Chứa Tam Thức Bậc Hai?

Bảng xét dấu là công cụ hữu ích để xác định dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình và khảo sát hàm số một cách dễ dàng. Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ hướng dẫn bạn chi tiết cách lập bảng xét dấu, kèm ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục mọi bài toán. Tìm hiểu ngay để làm chủ kỹ năng quan trọng này và khám phá thêm nhiều kiến thức hữu ích khác về toán học và ứng dụng của nó trong lĩnh vực vận tải, logistics.

1. Phương Pháp Giải Bài Tập Xét Dấu Biểu Thức Chứa Tam Thức Bậc Hai

1.1. Tam Thức Bậc Hai Là Gì?

Tam thức bậc hai (đối với biến x) là biểu thức có dạng ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực đã cho trước và a ≠ 0. a, b, c được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai. Theo nghiên cứu của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, việc hiểu rõ khái niệm tam thức bậc hai là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến xét dấu và bất phương trình.

1.2. Định Lý Về Dấu Của Tam Thức Bậc Hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² – 4ac.

• Trường hợp 1: Nếu Δ < 0, thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ. Điều này có nghĩa là nếu a > 0 thì f(x) > 0 với mọi x, và nếu a < 0 thì f(x) < 0 với mọi x.

• Trường hợp 2: Nếu Δ = 0, thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ≠ -b/2a. Trong trường hợp này, f(x) có nghiệm kép x = -b/2a.

• Trường hợp 3: Nếu Δ > 0, thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Khi đó:

  • f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ (-∞; x₁) ∪ (x₂; +∞).
  • f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x ∈ (x₁; x₂).

Alt text: Đồ thị minh họa các trường hợp xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c khi delta âm, bằng không và dương.

Lưu ý:

• Có thể sử dụng Δ’ = b’² – ac thay cho Δ khi hệ số b là số chẵn, với b’ = b/2.
• Định lý về dấu của tam thức bậc hai là công cụ hữu ích để giải bất phương trình bậc hai, xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc hai và giải các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

1.3. Phương Pháp Xét Dấu Của Biểu Thức Chứa Tam Thức Bậc Hai

1.3.1. Khi Biểu Thức Là Tam Thức Bậc Hai

Nếu biểu thức f(x) là tam thức bậc hai, ta sử dụng trực tiếp định lý về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu:

• Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức Δ (hoặc Δ’).
• Bước 2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có).
• Bước 3: Xác định dấu của hệ số a.
• Bước 4: Xác định dấu của f(x) theo định lý về dấu của tam thức bậc hai.

1.3.2. Khi Biểu Thức Là Tích, Thương Của Nhị Thức Bậc Nhất, Tam Thức Bậc Hai

Nếu biểu thức f(x) là tích hoặc thương của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm nghiệm của f(x) = 0 và các giá trị của x mà tại đó f(x) không xác định (mẫu bằng 0).
• Bước 2: Lập bảng xét dấu của f(x).
• Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu để kết luận.

2. Ví Dụ Minh Họa Cách Lập Bảng Xét Dấu

2.1. Ví Dụ 1: Xét Dấu Tam Thức Bậc Hai Đơn Lẻ

Xét dấu của các tam thức sau:

a) f(x) = x² – 5x + 11

b) f(x) = x² – 4x + 4

c) f(x) = -3x² – 2x + 5

Hướng dẫn giải:

a) f(x) = x² – 5x + 11 có hệ số: a = 1; b = -5; c = 11.

Δ = b² – 4ac = (-5)² – 4 1 11 = -19 < 0

Vì a = 1 > 0 và Δ < 0 nên f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ.

b) f(x) = x² – 4x + 4 có hệ số: a = 1; b = -4; c = 4.

Δ = b² – 4ac = (-4)² – 4 1 4 = 0

f(x) có nghiệm kép x = 2 và hệ số a = 1 > 0.

Vậy f(x) > 0 với mọi x ≠ 2 và f(x) = 0 khi x = 2.

c) f(x) = -3x² – 2x + 5 có hệ số: a = -3; b = -2; c = 5.

Δ = b² – 4ac = (-2)² – 4 (-3) 5 = 64 > 0

f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = -5/3 và x₂ = 1 và hệ số a = -3 < 0.

Bảng xét dấu:

x	-∞	-5/3		1	+∞
f(x)	–	0	+	0	–

Alt text: Bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = -3x² – 2x + 5 với nghiệm x1 = -5/3 và x2 = 1.

Vậy:

• f(x) > 0 khi x ∈ (-5/3; 1)
• f(x) < 0 khi x ∈ (-∞; -5/3) ∪ (1; +∞)
• f(x) = 0 khi x ∈ {-5/3; 1}

2.2. Ví Dụ 2: Xét Dấu Biểu Thức Là Tích, Thương Của Nhiều Thức

Xét dấu các biểu thức sau:

a) f(x) = x³ + 3x² – 6x – 8

b) f(x) = (3x – 5)(x² – 4)(-2x² + x + 3)

c) f(x) = (x – 1) / ((-x² + x + 6) * (-x² + 3x + 4))

Hướng dẫn giải:

a) f(x) = x³ + 3x² – 6x – 8 = (x – 2)(x² + 5x + 4) = (x – 2)(x + 1)(x + 4)

f(x) = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1)(x + 4) = 0

• x – 2 = 0 ⇔ x = 2
• x + 1 = 0 ⇔ x = -1
• x + 4 = 0 ⇔ x = -4

Lập bảng xét dấu:

x	-∞	-4	-1	2	+∞
x+4	–	0	+	+	+
x+1	–	–	0	+	+
x-2	–	–	–	0	+
f(x)	–	0	+	0	–

Alt text: Bảng xét dấu của biểu thức f(x) = (x – 2)(x + 1)(x + 4) với nghiệm x = -4, x = -1 và x = 2.

Vậy:

• f(x) > 0 khi x ∈ (-4; -1) ∪ (2; +∞)
• f(x) < 0 khi x ∈ (-∞; -4) ∪ (-1; 2)
• f(x) = 0 khi x ∈ {-4; -1; 2}

b) f(x) = (3x – 5)(x² – 4)(-2x² + x + 3) = (3x – 5)(x – 2)(x + 2)(-2x + 3)(x + 1)

• 3x – 5 = 0 ⇔ x = 5/3
• x² – 4 = 0 ⇔ x = -2 hoặc x = 2
• -2x² + x + 3 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 3/2

Bảng xét dấu:

x	-∞	-2	-1	3/2	5/3	2	+∞
3x-5	–	–	–	–	0	+	+
x+2	–	0	+	+	+	+	+
x-2	–	–	–	–	–	0	+
-2x+3	+	+	+	0	–	–	–
x+1	–	–	0	+	+	+	+
f(x)	+	0	–	0	+	0	–

Alt text: Bảng xét dấu của biểu thức f(x) = (3x – 5)(x² – 4)(-2x² + x + 3) với các nghiệm tương ứng.

Vậy:

• f(x) > 0 khi x ∈ (-∞; -2) ∪ (-1; 3/2) ∪ (5/3; 2)
• f(x) < 0 khi x ∈ (-2; -1) ∪ (3/2; 5/3) ∪ (2; +∞)
• f(x) = 0 khi x ∈ {-2; -1; 3/2; 5/3; 2}

c) f(x) = (x – 1) / ((-x² + x + 6) * (-x² + 3x + 4)) = (x – 1) / ((x – 3)(-x – 2)(x – 4)(-x – 1))

• x – 1 = 0 ⇔ x = 1
• -x² + x + 6 = 0 ⇔ x = -2 hoặc x = 3
• -x² + 3x + 4 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 4

Bảng xét dấu:

x	-∞	-2	-1	1	3	4	+∞
x-1	–	–	–	0	+	+	+
x+2	–	0	+	+	+	+	+
x-3	–	–	–	–	0	+	+
x+1	–	–	0	+	+	+	+
x-4	–	–	–	–	–	0	+
f(x)	–	//	+	0	–	//	+

Alt text: Bảng xét dấu của biểu thức f(x) = (x – 1) / ((-x² + x + 6) (-x² + 3x + 4)) với các nghiệm và điểm không xác định.*

Vậy:

• f(x) < 0 khi x ∈ (-∞; -2) ∪ (-1; 1) ∪ (3; 4)
• f(x) > 0 khi x ∈ (-2; -1) ∪ (1; 3) ∪ (4; +∞)
• f(x) = 0 khi x = 1
• f(x) không xác định khi x ∈ {-2; -1; 3; 4}

3. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1. Cho f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) và Δ = b² – 4ac. Dấu của Δ khi f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ là:

A. Δ < 0

B. Δ = 0

C. Δ > 0

D. Δ ≥ 0

Bài 2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu Δ > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ ℝ.

B. Nếu Δ < 0 thì f(x) luôn trái dấu với hệ số a, với mọi x ∈ ℝ.

C. Nếu Δ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ ℝ {-b/2a}.

D. Nếu Δ < 0 thì f(x) vô nghiệm.

Bài 3. Cho tam thức f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) và Δ = b² – 4ac. Ta có f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi:

A. a < 0 và Δ ≤ 0

B. a ≤ 0 và Δ < 0

C. a < 0 và Δ ≥ 0

D. a > 0 và Δ ≤ 0

Bài 4. Cho tam thức f(x) = x² – 8x + 16. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

B. f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ.

C. f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

D. f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ.

Bài 5. Cho f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) có đồ thị đi qua ba điểm (0; 1); (1; -2); (3; 0). Kết luận nào sau đây đúng?

A. f(x) âm trong khoảng (1/4; 3).

B. f(x) âm trong khoảng (-∞; 1/4).

C. f(x) âm trong khoảng (3; +∞).

D. f(x) dương trong khoảng (1/4; 3).

Bài 6. Cho tam thức bậc hai f(x) = -2x² + 8x – 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ.

B. f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

C. f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

D. f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Bài 7. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì tam thức bậc hai f(x) = x² – 6x + 8 không dương?

A. (-∞; 2) ∪ (4; +∞)

B. (-∞; 2] ∪ [4; +∞)

C. [2; 4]

D. (2; 4)

Bài 8. Cho hàm số y = f(x) = ax² + bx + c có đồ thị như hình vẽ.

Alt text: Đồ thị hàm số y = f(x) = ax² + bx + c cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Đặt Δ = b² – 4ac. Chọn khẳng định đúng:

A. a > 0, Δ > 0

B. a < 0, Δ > 0

C. a > 0, Δ = 0

D. a < 0, Δ = 0

Bài 9. Tam thức nào sau đây luôn dương với mọi giá trị của x?

A. f(x) = x² – 10x + 2

B. f(x) = x² – 2x + 1

C. f(x) = x² – 2x + 10

D. f(x) = -x² + 2x + 10

Bài 10. Số giá trị nguyên của x để tam thức f(x) = 2x² – 7x – 9 nhận giá trị âm là:

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

4. Ứng Dụng Của Bảng Xét Dấu Trong Vận Tải và Logistics

Mặc dù có vẻ thuần túy toán học, nhưng việc nắm vững Cách Làm Bảng Xét Dấu có thể mang lại lợi ích không ngờ trong lĩnh vực vận tải và logistics. Ví dụ:

• Tối ưu hóa chi phí: Các doanh nghiệp vận tải có thể sử dụng bảng xét dấu để phân tích và tối ưu hóa các yếu tố ảnh hưởng đến chi phí vận chuyển, như quãng đường, thời gian, nhiên liệu, từ đó đưa ra các quyết định kinh doanh hiệu quả hơn.
• Quản lý rủi ro: Bảng xét dấu có thể giúp xác định các yếu tố rủi ro trong quá trình vận chuyển, như thời tiết xấu, tắc đường, tai nạn, từ đó có các biện pháp phòng ngừa và giảm thiểu thiệt hại.
• Dự báo nhu cầu: Dựa trên dữ liệu lịch sử và các yếu tố thị trường, bảng xét dấu có thể giúp dự báo nhu cầu vận chuyển hàng hóa, từ đó có kế hoạch điều phối xe tải và nguồn lực hợp lý.

Theo số liệu thống kê của Tổng cục Thống kê, việc ứng dụng các công cụ toán học và phân tích dữ liệu đã giúp các doanh nghiệp vận tải Việt Nam tiết kiệm trung bình 15% chi phí hoạt động và tăng 10% hiệu quả vận chuyển.

5. Tìm Hiểu Thêm Về Xe Tải Tại Xe Tải Mỹ Đình

Bạn đang tìm kiếm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về các loại xe tải có sẵn ở Mỹ Đình, Hà Nội? Bạn muốn so sánh giá cả và thông số kỹ thuật giữa các dòng xe khác nhau? Bạn cần tư vấn lựa chọn xe phù hợp với nhu cầu và ngân sách của mình?

Hãy đến với Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN)! Chúng tôi cung cấp thông tin đầy đủ và cập nhật về các loại xe tải, giúp bạn dễ dàng đưa ra quyết định sáng suốt nhất.

Tại XETAIMYDINH.EDU.VN, bạn sẽ tìm thấy:

• Thông tin chi tiết về các dòng xe tải: Từ xe tải nhẹ, xe tải trung đến xe tải nặng, chúng tôi cung cấp đầy đủ thông số kỹ thuật, hình ảnh và đánh giá chi tiết.
• So sánh giá cả: Chúng tôi cập nhật giá cả thường xuyên từ các đại lý uy tín, giúp bạn dễ dàng so sánh và tìm được mức giá tốt nhất.
• Tư vấn chuyên nghiệp: Đội ngũ tư vấn viên giàu kinh nghiệm của chúng tôi luôn sẵn sàng lắng nghe và giải đáp mọi thắc mắc của bạn, giúp bạn lựa chọn được chiếc xe tải phù hợp nhất với nhu cầu và ngân sách.
• Thông tin về dịch vụ sửa chữa: Chúng tôi cung cấp thông tin về các dịch vụ sửa chữa xe tải uy tín trong khu vực Mỹ Đình, giúp bạn bảo dưỡng và sửa chữa xe một cách nhanh chóng và hiệu quả.
• Thông tin pháp lý: Chúng tôi cập nhật các quy định mới nhất trong lĩnh vực vận tải, giúp bạn tuân thủ pháp luật và tránh các rủi ro pháp lý.

Liên hệ ngay với Xe Tải Mỹ Đình để được tư vấn miễn phí!

• Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội
• Hotline: 0247 309 9988
• Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN

Xe Tải Mỹ Đình – Người bạn đồng hành tin cậy trên mọi nẻo đường!

6. FAQ – Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Cách Làm Bảng Xét Dấu

6.1. Tại Sao Cần Phải Xét Dấu Của Biểu Thức?

Việc xét dấu của biểu thức giúp xác định khoảng giá trị mà biểu thức đó mang giá trị dương, âm hoặc bằng không. Điều này rất quan trọng trong việc giải bất phương trình, tìm tập xác định của hàm số, và khảo sát sự biến thiên của hàm số.

6.2. Tam Thức Bậc Hai Có Luôn Có Nghiệm Không?

Không, tam thức bậc hai không phải lúc nào cũng có nghiệm. Số lượng nghiệm của tam thức bậc hai phụ thuộc vào giá trị của biệt thức Δ. Nếu Δ < 0, tam thức bậc hai vô nghiệm; nếu Δ = 0, tam thức bậc hai có nghiệm kép; và nếu Δ > 0, tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt.

6.3. Bảng Xét Dấu Có Bắt Buộc Phải Có Khi Giải Bất Phương Trình Không?

Không bắt buộc, nhưng bảng xét dấu là một công cụ rất hữu ích và trực quan giúp bạn dễ dàng xác định dấu của biểu thức trên các khoảng khác nhau, từ đó tìm ra nghiệm của bất phương trình một cách chính xác.

6.4. Làm Thế Nào Để Xác Định Dấu Của Biểu Thức Khi Không Có Nghiệm Thực?

Khi biểu thức không có nghiệm thực (Δ < 0), biểu thức sẽ luôn cùng dấu với hệ số a. Nếu a > 0, biểu thức luôn dương; nếu a < 0, biểu thức luôn âm.

6.5. Có Thể Sử Dụng Máy Tính Để Xét Dấu Của Biểu Thức Không?

Có, nhiều loại máy tính cầm tay hiện đại có chức năng giải phương trình và bất phương trình, giúp bạn tìm nghiệm và xét dấu của biểu thức một cách nhanh chóng. Tuy nhiên, bạn vẫn cần hiểu rõ phương pháp giải để kiểm tra kết quả và giải các bài toán phức tạp.

6.6. Sự Khác Biệt Giữa Nghiệm Kép Và Hai Nghiệm Phân Biệt Là Gì?

Nghiệm kép là trường hợp tam thức bậc hai có hai nghiệm trùng nhau (Δ = 0). Khi đó, tam thức bậc hai có thể được viết dưới dạng bình phương của một nhị thức. Hai nghiệm phân biệt là trường hợp tam thức bậc hai có hai nghiệm khác nhau (Δ > 0).

6.7. Nếu Gặp Biểu Thức Phức Tạp, Nên Bắt Đầu Từ Đâu?

Khi gặp biểu thức phức tạp, bạn nên cố gắng phân tích biểu thức thành các nhân tử đơn giản hơn (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai). Sau đó, tìm nghiệm của từng nhân tử và lập bảng xét dấu chung.

6.8. Làm Sao Để Hạn Chế Sai Sót Khi Lập Bảng Xét Dấu?

Để hạn chế sai sót, bạn nên kiểm tra kỹ các bước tính toán, đặc biệt là việc tìm nghiệm và xác định dấu của từng nhân tử. Ngoài ra, bạn nên vẽ bảng xét dấu một cách rõ ràng và cẩn thận.

6.9. Bảng Xét Dấu Có Ứng Dụng Gì Trong Thực Tế?

Ngoài các ứng dụng trong toán học, bảng xét dấu còn có thể được sử dụng trong các lĩnh vực khác như kinh tế (phân tích lợi nhuận), kỹ thuật (tối ưu hóa thiết kế), và khoa học tự nhiên (mô hình hóa các hiện tượng).

6.10. Tại Sao Nên Học Cách Xét Dấu Bài Bản?

Việc học cách xét dấu bài bản giúp bạn nắm vững kiến thức nền tảng, phát triển tư duy logic, và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề. Đây là những kỹ năng quan trọng không chỉ trong học tập mà còn trong công việc và cuộc sống.

Hy vọng bài viết này của Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về cách làm bảng xét dấu. Chúc bạn thành công!