Bài Toán Tâm Tỉ Cự Lớp 12 là một dạng toán hình học không gian quan trọng, thường xuất hiện trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT. Xe Tải Mỹ Đình sẽ giúp bạn hiểu rõ về khái niệm, phương pháp giải và các ứng dụng của nó, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán liên quan. Bạn sẽ khám phá các bài toán về quỹ tích, vị trí tương đối và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất liên quan đến tâm tỉ cự.
1. Tâm Tỉ Cự Là Gì?
Tâm tỉ cự của một hệ điểm là một điểm đặc biệt được xác định dựa trên vị trí của các điểm và các hệ số tỉ lệ tương ứng. Điểm này thỏa mãn một đẳng thức vectơ đặc trưng, giúp giải quyết nhiều bài toán hình học không gian một cách hiệu quả.
1.1. Định Nghĩa Tâm Tỉ Cự
Cho hệ n điểm $A_1, A_2, …, A_n$ trong không gian và n số thực $alpha_1, alpha_2, …, alpha_n$ sao cho $alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n neq 0$. Điểm I được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm $A_1, A_2, …, A_n$ với các hệ số $alpha_1, alpha_2, …, alpha_n$ nếu thỏa mãn đẳng thức vectơ sau:
$alpha_1overrightarrow{IA_1} + alpha_2overrightarrow{IA_2} + … + alpha_noverrightarrow{IA_n} = overrightarrow{0}$
1.2. Sự Tồn Tại và Duy Nhất Của Tâm Tỉ Cự
Tâm tỉ cự của một hệ điểm luôn tồn tại và là duy nhất. Để chứng minh điều này, ta có thể biến đổi đẳng thức vectơ trên như sau:
Chọn một điểm O bất kỳ trong không gian, ta có:
$alpha_1(overrightarrow{OA_1} – overrightarrow{OI}) + alpha_2(overrightarrow{OA_2} – overrightarrow{OI}) + … + alpha_n(overrightarrow{OA_n} – overrightarrow{OI}) = overrightarrow{0}$
Suy ra:
$(alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n)overrightarrow{OI} = alpha_1overrightarrow{OA_1} + alpha_2overrightarrow{OA_2} + … + alpha_noverrightarrow{OA_n}$
Do $alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n neq 0$, ta có:
$overrightarrow{OI} = frac{alpha_1overrightarrow{OA_1} + alpha_2overrightarrow{OA_2} + … + alpha_noverrightarrow{OA_n}}{alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n}$
Công thức này cho thấy vectơ $overrightarrow{OI}$ được xác định duy nhất, do đó điểm I tồn tại và là duy nhất.
1.3. Các Trường Hợp Đặc Biệt Của Tâm Tỉ Cự
-
Trường hợp 2 điểm: Cho hai điểm A, B và hai số thực $alpha$, $beta$ sao cho $alpha + beta neq 0$. Tâm tỉ cự I của hệ hai điểm A, B thỏa mãn:
$alphaoverrightarrow{IA} + betaoverrightarrow{IB} = overrightarrow{0}$
Từ đó suy ra: $overrightarrow{AI} = frac{beta}{alpha + beta}overrightarrow{AB}$. Điều này có nghĩa là điểm I nằm trên đường thẳng AB và chia đoạn AB theo tỉ số $-frac{beta}{alpha}$.
-
Trường hợp 3 điểm: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và ba số thực $alpha$, $beta$, $gamma$ sao cho $alpha + beta + gamma neq 0$. Tâm tỉ cự I của hệ ba điểm A, B, C thỏa mãn:
$alphaoverrightarrow{IA} + betaoverrightarrow{IB} + gammaoverrightarrow{IC} = overrightarrow{0}$
Trong trường hợp $alpha$, $beta$, $gamma$ đều dương, I là một điểm nằm bên trong tam giác ABC. Đặc biệt, nếu $alpha = beta = gamma$, I là trọng tâm của tam giác ABC.
Alt: Hình ảnh minh họa tâm tỉ cự của hai điểm A, B trên đường thẳng.
2. Các Bài Toán Cơ Bản Về Tâm Tỉ Cự
2.1. Xác Định Tâm Tỉ Cự Khi Biết Các Điểm Và Hệ Số
Để xác định tọa độ của tâm tỉ cự I khi biết tọa độ của các điểm $A_1(x_1, y_1, z_1), A_2(x_2, y_2, z_2), …, A_n(x_n, y_n, z_n)$ và các hệ số $alpha_1, alpha_2, …, alpha_n$, ta sử dụng công thức sau:
$x_I = frac{alpha_1x_1 + alpha_2x_2 + … + alpha_nx_n}{alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n}$
$y_I = frac{alpha_1y_1 + alpha_2y_2 + … + alpha_ny_n}{alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n}$
$z_I = frac{alpha_1z_1 + alpha_2z_2 + … + alpha_nz_n}{alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n}$
Ví dụ:
Cho ba điểm $A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), C(7, 8, 9)$ và các hệ số $alpha = 1, beta = 2, gamma = 3$. Tìm tọa độ tâm tỉ cự I của hệ ba điểm này.
Giải:
Áp dụng công thức trên, ta có:
$x_I = frac{1 cdot 1 + 2 cdot 4 + 3 cdot 7}{1 + 2 + 3} = frac{1 + 8 + 21}{6} = frac{30}{6} = 5$
$y_I = frac{1 cdot 2 + 2 cdot 5 + 3 cdot 8}{1 + 2 + 3} = frac{2 + 10 + 24}{6} = frac{36}{6} = 6$
$z_I = frac{1 cdot 3 + 2 cdot 6 + 3 cdot 9}{1 + 2 + 3} = frac{3 + 12 + 27}{6} = frac{42}{6} = 7$
Vậy tọa độ của tâm tỉ cự I là $(5, 6, 7)$.
2.2. Chứng Minh Ba Điểm Thẳng Hàng, Bốn Điểm Đồng Phẳng
Tâm tỉ cự có thể được sử dụng để chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc bốn điểm đồng phẳng.
- Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại các số $alpha$, $beta$, $gamma$ không đồng thời bằng 0 sao cho $alpha + beta + gamma = 0$ và $alphaoverrightarrow{OA} + betaoverrightarrow{OB} + gammaoverrightarrow{OC} = overrightarrow{0}$ với mọi điểm O.
- Chứng minh bốn điểm đồng phẳng: Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số $alpha$, $beta$, $gamma$, $delta$ không đồng thời bằng 0 sao cho $alpha + beta + gamma + delta = 0$ và $alphaoverrightarrow{OA} + betaoverrightarrow{OB} + gammaoverrightarrow{OC} + deltaoverrightarrow{OD} = overrightarrow{0}$ với mọi điểm O.
Ví dụ:
Cho bốn điểm $A(1, 0, 1), B(2, 1, 0), C(0, 1, 1), D(1, 1, 1)$. Chứng minh rằng bốn điểm này đồng phẳng.
Giải:
Ta cần tìm các số $alpha, beta, gamma, delta$ sao cho $alpha + beta + gamma + delta = 0$ và $alphaoverrightarrow{OA} + betaoverrightarrow{OB} + gammaoverrightarrow{OC} + deltaoverrightarrow{OD} = overrightarrow{0}$ với mọi điểm O.
Chọn $O(0, 0, 0)$, ta có:
$alpha(1, 0, 1) + beta(2, 1, 0) + gamma(0, 1, 1) + delta(1, 1, 1) = (0, 0, 0)$
Điều này tương đương với hệ phương trình:
$begin{cases}
alpha + 2beta + delta = 0
beta + gamma + delta = 0
alpha + gamma + delta = 0
end{cases}$
Giải hệ phương trình này, ta tìm được một nghiệm là $alpha = 1, beta = -1, gamma = 0, delta = -1$.
Kiểm tra lại, ta thấy $alpha + beta + gamma + delta = 1 – 1 + 0 – 1 = -1 neq 0$. Tuy nhiên, nếu ta nhân tất cả các hệ số với -1, ta được $alpha = -1, beta = 1, gamma = 0, delta = 1$ và $alpha + beta + gamma + delta = 1$.
Để thỏa mãn điều kiện $alpha + beta + gamma + delta = 0$, ta có thể chọn nghiệm khác, ví dụ $alpha = 1, beta = -1, gamma = -1, delta = 1$. Khi đó, $alpha + beta + gamma + delta = 0$.
Vậy bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
2.3. Tìm Tập Hợp Điểm (Quỹ Tích)
Một ứng dụng quan trọng của tâm tỉ cự là tìm tập hợp các điểm thỏa mãn một điều kiện nào đó.
Ví dụ:
Cho hai điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho $|overrightarrow{MA} + overrightarrow{MB}| = AB$.
Giải:
Gọi I là trung điểm của AB. Ta có:
$overrightarrow{MA} + overrightarrow{MB} = 2overrightarrow{MI}$
Theo đề bài, $|2overrightarrow{MI}| = AB$, suy ra $2MI = AB$, hay $MI = frac{AB}{2}$.
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I (trung điểm của AB) có bán kính bằng $frac{AB}{2}$.
Alt: Hình ảnh minh họa tập hợp điểm M trên đường tròn có tâm là trung điểm của AB.
3. Các Dạng Bài Toán Nâng Cao Về Tâm Tỉ Cự
3.1. Bài Toán Về Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất
Trong nhiều bài toán, ta cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một biểu thức liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến các điểm khác. Tâm tỉ cự thường là công cụ hữu hiệu để giải quyết các bài toán này.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý trong không gian. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = MA^2 + MB^2 + MC^2$.
Giải:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có:
$overrightarrow{MA} + overrightarrow{MB} + overrightarrow{MC} = 3overrightarrow{MG}$
$P = MA^2 + MB^2 + MC^2 = (overrightarrow{MA})^2 + (overrightarrow{MB})^2 + (overrightarrow{MC})^2$
$= (overrightarrow{MG} + overrightarrow{GA})^2 + (overrightarrow{MG} + overrightarrow{GB})^2 + (overrightarrow{MG} + overrightarrow{GC})^2$
$= 3MG^2 + 2overrightarrow{MG}(overrightarrow{GA} + overrightarrow{GB} + overrightarrow{GC}) + GA^2 + GB^2 + GC^2$
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên $overrightarrow{GA} + overrightarrow{GB} + overrightarrow{GC} = overrightarrow{0}$. Do đó:
$P = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$
Để P đạt giá trị nhỏ nhất, $MG^2$ phải nhỏ nhất, tức là $MG = 0$, hay $M equiv G$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $GA^2 + GB^2 + GC^2$, đạt được khi M là trọng tâm của tam giác ABC.
3.2. Bài Toán Kết Hợp Với Các Yếu Tố Hình Học Khác
Tâm tỉ cự có thể kết hợp với các yếu tố hình học khác như đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu để tạo ra các bài toán phức tạp hơn.
Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), $SA = asqrt{3}$. Gọi M là điểm di động trên cạnh BC. Xác định vị trí của M để khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMC) là lớn nhất.
Giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (SMC). Ta có $AH = d(A, (SMC))$.
Ta cần tìm vị trí của M trên BC sao cho AH lớn nhất.
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta có:
$frac{1}{AH^2} = frac{1}{AS^2} + frac{1}{AM^2}$
Để AH lớn nhất, $frac{1}{AH^2}$ phải nhỏ nhất, tức là $frac{1}{AM^2}$ phải nhỏ nhất, hay AM phải lớn nhất.
Vì M nằm trên cạnh BC, AM lớn nhất khi M là trung điểm của BC.
Vậy M là trung điểm của BC thì khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMC) là lớn nhất.
3.3. Bài Toán Về Tỉ Số Thể Tích
Tâm tỉ cự cũng có thể được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích của các khối đa diện.
Ví dụ:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng:
$V{IBCD} = V{IABC} = frac{1}{4}V_{ABCD}$
Giải:
Vì I là trung điểm của MN, ta có:
$overrightarrow{AI} = frac{1}{2}(overrightarrow{AM} + overrightarrow{AN}) = frac{1}{2}(frac{1}{2}overrightarrow{AB} + frac{1}{2}(overrightarrow{AC} + overrightarrow{AD})) = frac{1}{4}(overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} + overrightarrow{AD})$
Ta có:
$V_{IABC} = frac{1}{6}|left[overrightarrow{IA}, overrightarrow{IB}, overrightarrow{IC}right]|$
$= frac{1}{6}|left[overrightarrow{IA}, overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}right]|$
$= frac{1}{6}|left[frac{1}{4}(overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} + overrightarrow{AD}), overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}right]|$
$= frac{1}{24}|left[overrightarrow{AD}, overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}right]|$
$= frac{1}{4}V_{ABCD}$
Tương tự, ta có thể chứng minh $V{IBCD} = frac{1}{4}V{ABCD}$.
Alt: Hình ảnh minh họa tứ diện ABCD với các điểm M, N, I.
4. Phương Pháp Giải Quyết Bài Toán Tâm Tỉ Cự
4.1. Bước 1: Xác Định Rõ Các Điểm Và Hệ Số
Đọc kỹ đề bài và xác định rõ các điểm đã cho và các hệ số tương ứng. Nếu đề bài chưa cho rõ hệ số, hãy tìm cách thiết lập chúng dựa trên các điều kiện đã cho.
4.2. Bước 2: Tìm Tâm Tỉ Cự Hoặc Thiết Lập Mối Quan Hệ Với Tâm Tỉ Cự
Sử dụng định nghĩa và các tính chất của tâm tỉ cự để tìm ra tâm tỉ cự của hệ điểm hoặc thiết lập mối quan hệ giữa các điểm và tâm tỉ cự.
4.3. Bước 3: Biến Đổi Và Rút Gọn Biểu Thức
Sử dụng các phép biến đổi vectơ, các công thức hình học để rút gọn biểu thức cần tính hoặc chứng minh.
4.4. Bước 4: Kết Luận
Dựa vào kết quả đã tìm được để đưa ra kết luận cho bài toán.
5. Các Lưu Ý Quan Trọng Khi Giải Toán Tâm Tỉ Cự
- Nắm vững định nghĩa và tính chất của tâm tỉ cự: Đây là kiến thức cơ bản và quan trọng nhất để giải quyết các bài toán liên quan.
- Sử dụng thành thạo các phép biến đổi vectơ: Các phép biến đổi vectơ là công cụ không thể thiếu trong quá trình giải toán.
- Vẽ hình minh họa: Vẽ hình minh họa giúp bạn hình dung rõ hơn về bài toán và tìm ra hướng giải quyết.
- Kiểm tra lại kết quả: Sau khi giải xong, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
6. Ứng Dụng Thực Tế Của Tâm Tỉ Cự
Mặc dù là một khái niệm trừu tượng, tâm tỉ cự có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau.
- Trong kỹ thuật: Tâm tỉ cự được sử dụng trong thiết kế cơ khí để xác định trọng tâm của các bộ phận máy móc, giúp đảm bảo sự cân bằng và ổn định.
- Trong xây dựng: Tâm tỉ cự được sử dụng để tính toán trọng lực tác dụng lên các công trình xây dựng, giúp đảm bảo an toàn và độ bền.
- Trong đồ họa máy tính: Tâm tỉ cự được sử dụng để tạo ra các hiệu ứng hình ảnh, chẳng hạn như hiệu ứng biến dạng hoặc phối cảnh.
7. Tổng Kết
Bài toán tâm tỉ cự lớp 12 là một dạng toán quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Để giải quyết tốt các bài toán này, bạn cần nắm vững định nghĩa, tính chất của tâm tỉ cự và thành thạo các phép biến đổi vectơ.
Xe Tải Mỹ Đình hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về bài toán tâm tỉ cự lớp 12. Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại liên hệ với chúng tôi để được tư vấn và giải đáp.
8. Tại Sao Nên Tìm Hiểu Về Xe Tải Tại Xe Tải Mỹ Đình?
Bạn đang tìm kiếm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về các loại xe tải ở Mỹ Đình, Hà Nội? Bạn muốn so sánh giá cả và thông số kỹ thuật giữa các dòng xe, hoặc cần tư vấn lựa chọn xe phù hợp với nhu cầu và ngân sách của mình?
Đến với Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN), bạn sẽ được:
- Cung cấp thông tin chi tiết và cập nhật về các loại xe tải có sẵn ở Mỹ Đình, Hà Nội.
- So sánh giá cả và thông số kỹ thuật giữa các dòng xe.
- Tư vấn lựa chọn xe phù hợp với nhu cầu và ngân sách.
- Giải đáp các thắc mắc liên quan đến thủ tục mua bán, đăng ký và bảo dưỡng xe tải.
- Cung cấp thông tin về các dịch vụ sửa chữa xe tải uy tín trong khu vực.
Với đội ngũ chuyên gia giàu kinh nghiệm và am hiểu về thị trường xe tải, Xe Tải Mỹ Đình cam kết mang đến cho bạn những thông tin chính xác và hữu ích nhất, giúp bạn đưa ra quyết định sáng suốt khi mua xe tải.
Đừng chần chừ, hãy truy cập XETAIMYDINH.EDU.VN ngay hôm nay để khám phá thế giới xe tải và tìm cho mình chiếc xe ưng ý nhất!
Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội
Hotline: 0247 309 9988
Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN
9. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ) Về Bài Toán Tâm Tỉ Cự Lớp 12
9.1. Tâm tỉ cự là gì và nó khác gì so với trọng tâm?
Tâm tỉ cự là một điểm đặc biệt được xác định dựa trên vị trí của các điểm và các hệ số tỉ lệ tương ứng, trong khi trọng tâm là trường hợp đặc biệt của tâm tỉ cự khi tất cả các hệ số tỉ lệ đều bằng nhau.
9.2. Làm thế nào để xác định tọa độ của tâm tỉ cự trong không gian?
Để xác định tọa độ của tâm tỉ cự, bạn cần biết tọa độ của các điểm và các hệ số tương ứng, sau đó áp dụng công thức tính tọa độ tâm tỉ cự.
9.3. Tâm tỉ cự có ứng dụng gì trong việc chứng minh các bài toán hình học?
Tâm tỉ cự có thể được sử dụng để chứng minh ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng, hoặc để tìm tập hợp các điểm thỏa mãn một điều kiện nào đó.
9.4. Phương pháp nào thường được sử dụng để giải quyết các bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất liên quan đến tâm tỉ cự?
Trong các bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, ta thường sử dụng tâm tỉ cự để biến đổi biểu thức cần tìm giá trị, sau đó áp dụng các bất đẳng thức hoặc phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
9.5. Làm thế nào để kết hợp tâm tỉ cự với các yếu tố hình học khác như đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu?
Để kết hợp tâm tỉ cự với các yếu tố hình học khác, ta cần thiết lập mối quan hệ giữa tâm tỉ cự và các yếu tố đó, sau đó sử dụng các tính chất của tâm tỉ cự và các yếu tố hình học để giải quyết bài toán.
9.6. Có những lưu ý quan trọng nào khi giải toán tâm tỉ cự?
Khi giải toán tâm tỉ cự, cần nắm vững định nghĩa và tính chất của tâm tỉ cự, sử dụng thành thạo các phép biến đổi vectơ, vẽ hình minh họa và kiểm tra lại kết quả.
9.7. Tâm tỉ cự có ứng dụng gì trong thực tế ngoài lĩnh vực toán học?
Tâm tỉ cự có ứng dụng trong kỹ thuật (xác định trọng tâm), xây dựng (tính toán trọng lực), và đồ họa máy tính (tạo hiệu ứng hình ảnh).
9.8. Làm thế nào để tìm tâm tỉ cự của một hệ điểm khi các hệ số không được cho trực tiếp?
Nếu các hệ số không được cho trực tiếp, bạn cần tìm cách thiết lập chúng dựa trên các điều kiện đã cho trong bài toán, chẳng hạn như tỉ lệ độ dài các đoạn thẳng hoặc tỉ lệ diện tích các hình.
9.9. Bài toán tâm tỉ cự thường xuất hiện trong các kỳ thi nào?
Bài toán tâm tỉ cự thường xuất hiện trong các kỳ thi học kỳ, thi học sinh giỏi và đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT.
9.10. Làm thế nào để luyện tập và nâng cao kỹ năng giải toán tâm tỉ cự?
Để luyện tập và nâng cao kỹ năng giải toán tâm tỉ cự, bạn nên làm nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao, tham khảo các tài liệu và sách tham khảo, và trao đổi với bạn bè và thầy cô giáo.
10. Các Định Lý Và Công Thức Hỗ Trợ Giải Bài Toán Tâm Tỉ Cự
10.1. Định Lý 1: Về Sự Tồn Tại Và Duy Nhất Của Tâm Tỉ Cự
Phát biểu: Cho hệ n điểm $A_1, A_2, …, A_n$ trong không gian và n số thực $alpha_1, alpha_2, …, alpha_n$ sao cho $alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n neq 0$. Khi đó, tồn tại duy nhất một điểm I sao cho:
$alpha_1overrightarrow{IA_1} + alpha_2overrightarrow{IA_2} + … + alpha_noverrightarrow{IA_n} = overrightarrow{0}$
Chứng minh: Chọn một điểm O bất kỳ trong không gian. Khi đó, ta có:
$alpha_1(overrightarrow{OA_1} – overrightarrow{OI}) + alpha_2(overrightarrow{OA_2} – overrightarrow{OI}) + … + alpha_n(overrightarrow{OA_n} – overrightarrow{OI}) = overrightarrow{0}$
Suy ra:
$(alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n)overrightarrow{OI} = alpha_1overrightarrow{OA_1} + alpha_2overrightarrow{OA_2} + … + alpha_noverrightarrow{OA_n}$
Vì $alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n neq 0$, ta có:
$overrightarrow{OI} = frac{alpha_1overrightarrow{OA_1} + alpha_2overrightarrow{OA_2} + … + alpha_noverrightarrow{OA_n}}{alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n}$
Công thức này xác định duy nhất vectơ $overrightarrow{OI}$, do đó điểm I tồn tại và là duy nhất.
10.2. Định Lý 2: Tính Chất Tuyến Tính Của Tâm Tỉ Cự
Phát biểu: Cho hệ n điểm $A_1, A_2, …, A_n$ có tâm tỉ cự I với các hệ số $alpha_1, alpha_2, …, alpha_n$. Khi đó, với mọi điểm O trong không gian, ta có:
$alpha_1overrightarrow{OA_1} + alpha_2overrightarrow{OA_2} + … + alpha_noverrightarrow{OA_n} = (alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n)overrightarrow{OI}$
Chứng minh: Ta có:
$alpha_1overrightarrow{OA_1} + alpha_2overrightarrow{OA_2} + … + alpha_noverrightarrow{OA_n} = alpha_1(overrightarrow{OI} + overrightarrow{IA_1}) + alpha_2(overrightarrow{OI} + overrightarrow{IA_2}) + … + alpha_n(overrightarrow{OI} + overrightarrow{IA_n})$
$= (alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n)overrightarrow{OI} + (alpha_1overrightarrow{IA_1} + alpha_2overrightarrow{IA_2} + … + alpha_noverrightarrow{IA_n})$
Vì I là tâm tỉ cự của hệ điểm $A_1, A_2, …, A_n$, nên $alpha_1overrightarrow{IA_1} + alpha_2overrightarrow{IA_2} + … + alpha_noverrightarrow{IA_n} = overrightarrow{0}$. Do đó:
$alpha_1overrightarrow{OA_1} + alpha_2overrightarrow{OA_2} + … + alpha_noverrightarrow{OA_n} = (alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n)overrightarrow{OI}$
10.3. Công Thức Tọa Độ Tâm Tỉ Cự
Phát biểu: Cho hệ n điểm $A_1(x_1, y_1, z_1), A_2(x_2, y_2, z_2), …, A_n(x_n, y_n, z_n)$ và n số thực $alpha_1, alpha_2, …, alpha_n$ sao cho $alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n neq 0$. Tọa độ của tâm tỉ cự I là:
$x_I = frac{alpha_1x_1 + alpha_2x_2 + … + alpha_nx_n}{alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n}$
$y_I = frac{alpha_1y_1 + alpha_2y_2 + … + alpha_ny_n}{alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n}$
$z_I = frac{alpha_1z_1 + alpha_2z_2 + … + alpha_nz_n}{alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n}$
Chứng minh: Từ định nghĩa tâm tỉ cự, ta có:
$alpha_1overrightarrow{IA_1} + alpha_2overrightarrow{IA_2} + … + alpha_noverrightarrow{IA_n} = overrightarrow{0}$
Chọn gốc tọa độ O. Khi đó, ta có:
$alpha_1(overrightarrow{OA_1} – overrightarrow{OI}) + alpha_2(overrightarrow{OA_2} – overrightarrow{OI}) + … + alpha_n(overrightarrow{OA_n} – overrightarrow{OI}) = overrightarrow{0}$
Suy ra:
$(alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n)overrightarrow{OI} = alpha_1overrightarrow{OA_1} + alpha_2overrightarrow{OA_2} + … + alpha_noverrightarrow{OA_n}$
Chiếu lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz, ta được:
$(alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n)x_I = alpha_1x_1 + alpha_2x_2 + … + alpha_nx_n$
$(alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n)y_I = alpha_1y_1 + alpha_2y_2 + … + alpha_ny_n$
$(alpha_1 + alpha_2 + … + alpha_n)z_I = alpha_1z_1 + alpha_2z_2 + … + alpha_nz_n$
Từ đó suy ra công thức tọa độ tâm tỉ cự.
10.4. Định Lý 3: Về Vị Trí Tương Đối Của Tâm Tỉ Cự
Phát biểu: Cho hai điểm A, B và hai số thực $alpha$, $beta$ sao cho $alpha + beta neq 0$. Tâm tỉ cự I của hệ hai điểm A, B thỏa mãn:
$overrightarrow{AI} = frac{beta}{alpha + beta}overrightarrow{AB}$
Chứng minh: Theo định nghĩa tâm tỉ cự, ta có:
$alphaoverrightarrow{IA} + betaoverrightarrow{IB} = overrightarrow{0}$
Suy ra:
$alpha(overrightarrow{IA} – overrightarrow{IB}) = -betaoverrightarrow{IB}$
$alphaoverrightarrow{BA} = -(alpha + beta)overrightarrow{IB}$
$overrightarrow{AB} = frac{alpha + beta}{alpha}overrightarrow{BI}$
$overrightarrow{AI} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BI} = overrightarrow{AB} – frac{alpha}{alpha + beta}overrightarrow{AB} = frac{beta}{alpha + beta}overrightarrow{AB}$
11. Lời Khuyên Từ Xe Tải Mỹ Đình
Để chinh phục thành công các bài toán tâm tỉ cự lớp 12, hãy luôn trang bị cho mình một nền tảng kiến thức vững chắc, rèn luyện kỹ năng giải toán linh hoạt và áp dụng các định lý, công thức một cách sáng tạo. Xe Tải Mỹ Đình luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục tri thức!
