Bài Tập Tìm Hạng Của Hệ Vectơ là một chủ đề quan trọng trong đại số tuyến tính, giúp xác định số lượng vectơ độc lập tuyến tính tối đa trong hệ và có nhiều ứng dụng thực tế. Hãy cùng XETAIMYDINH.EDU.VN khám phá chi tiết về hạng của hệ vectơ, cách xác định và các bài tập minh họa để nắm vững kiến thức này, từ đó áp dụng hiệu quả vào các lĩnh vực liên quan đến xe tải và vận tải.
1. Hệ Vectơ Con Của Một Hệ Vectơ
1.1. Định nghĩa hệ vectơ con
Cho một hệ vectơ ${ {X}_{1},{X}_{2},…,{X}_{m} } in {{mathbb{R}}^{n}}$. Lấy ra $k(1le kle m)$ vectơ từ hệ vectơ trên và kí hiệu là ${{X}_{i1}},{{X}_{i2}},…,{{X}_{ik}}$. Hệ vectơ ${ {{X}_{i1}},{{X}_{i2}},…,{{X}_{ik}} }$ được gọi là một hệ vectơ con của hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m}} }$.
Ví dụ: Hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} }$ là một hệ vectơ con của hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} }$.
2. Hạng Của Một Hệ Vectơ
2.1. Định nghĩa hạng của hệ vectơ
Giả sử ${ {{X}_{i1}},{{X}_{i2}},…,{{X}_{ik}} }$ là hệ vectơ con của hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m}} }$.
Khi đó hệ vectơ con ${ {{X}_{i1}},{{X}_{i2}},…,{{X}_{ik}} }$ được gọi là một cơ sở của hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m}} }$ nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) Hệ vectơ con ${ {{X}_{i1}},{{X}_{i2}},…,{{X}_{ik}} }$ độc lập tuyến tính;
ii) Mọi vectơ ${{X}_{i}}(i=1,2,…,m)$ đều được biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ con ${ {{X}_{i1}},{{X}_{i2}},…,{{X}_{ik}} }$.
Số vectơ của cơ sở của hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m}} }$ được gọi là hạng của hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m}} }$ và được kí hiệu là $rleft{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m}} right}$.
Nhận xét:
- $rleft{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m}} right}=m$ khi và chỉ khi hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m}} }$ độc lập tuyến tính.
- $rleft{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m}} right}
le minleft{ m,n right}$
Ví dụ 1: Cho hệ vectơ ${{X}_{1}}=(-1,2,3),{{X}_{2}}=(2,-1,-1),{{X}_{3}}=-2{{X}_{1}}+{{X}_{2}},{{X}_{4}}=3{{X}_{2}},{{X}_{5}}=2{{X}_{1}}-3{{X}_{2}}$.
Tìm một cơ sở và hạng của hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} }$.
Giải:
Có ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}} }$ độc lập tuyến tính vì hai vectơ không tỉ lệ và mọi vectơ ${{X}_{i}}(i=1,2,3,4,5)$ đều biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}} }$. Do đó ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}} }$ là một cơ sở của hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} }$. Vì vậy $rleft{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} right}=2$.
Ví dụ 2: Cho hệ vectơ ${{X}_{1}}=(1,1,0),{{X}_{2}}=(1,2,1),{{X}_{3}}=(5,7,2),{{X}_{4}}=(-2,-1,1)$. Chứng minh rằng hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}} }$ là một cơ sở của hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} }$.
Giải:
Có ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}} }$ độc lập tuyến tính và ${{X}_{1}},{{X}_{2}}$ không tỉ lệ và ${{X}_{3}}=3{{X}_{1}}+2{{X}_{2}},{{X}_{4}}=-3{{X}_{1}}+{{X}_{2}}$.
Do đó ${{X}_{i}}(i=1,2,3,4)$ biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}} }$. Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Cho hệ gồm bốn vectơ ${{X}_{1}}=(1,1,1,1),{{X}_{2}}=(2,0,-1,3),{{X}_{3}}=(3,-1,-2,0),{{X}_{4}}=(5,-1,-2,-2)$. Chứng minh rằng hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}} }$ là một cơ sở của hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} }$.
Giải:
Ta cần chứng minh ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}} }$ độc lập tuyến tính (bạn đọc tự chứng minh) và ${{X}_{4}}$ được biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}} }$. Thật vậy có ${{X}_{4}}={{X}_{1}}-{{X}_{2}}+2{{X}_{3}}$. Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 4: Cho hai vectơ $X,Y$ không tỉ lệ. Tìm hạng của hệ gồm 5 vectơ ${{X}_{1}}=2X-Y,{{X}_{2}}=X+Y,{{X}_{3}}=3X+2Y,{{X}_{4}}=5X+4Y,{{X}_{5}}=-4X+7Y$.
Giải:
Có ${{X}_{i}}(i=1,2,3,4,5)$ biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ ${ X,Y }$ và hệ vectơ ${ X,Y }$ độc lập tuyến tính do hai vectơ $X,Y$ không tỉ lệ. Vậy hệ vectơ ${ X,Y }$ là một cơ sở của hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} }$. Do đó $rleft{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} right}=2$.
Ví dụ 5: Cho hai vectơ $X,Yin {{mathbb{R}}^{n}}$ bất kì. Gọi ${{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m}}$ là các tổ hợp tuyến tính của hai vectơ $X,Y$. Chứng minh rằng $rleft{ X+Y,X-Y,{{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m}} right}=rleft{ X,Y right}$.
Giải:
Đặt ${{X}_{m+1}}=X+Y;{{X}_{m+2}}=X-Y$ khi đó ${{X}_{i}}(i=1,2,…,m+2)$ biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ ${ X,Y }$. Nếu ${ X,Y }$ độc lập tuyến tính thì ${ X,Y }$ là một cơ sở của ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m+2}} }$, do đó $rleft{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m+2}} right}=rleft{ X,Y right}=2$. Ngược lại nếu ${ X,Y }$ phụ thuộc tuyến tính khi đó hoặc $X$ hoặc $Y$ là một cơ sở của ${ X,Y }$ đồng thời cũng là một cơ sở của ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m+2}} }$, khi đó $rleft{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m+2}} right}=rleft{ X,Y right}=1$.
Vậy trong mọi trường hợp ta đều có $rleft{ X+Y,X-Y,{{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m}} right}=rleft{ X,Y right}$.
3. Các Định Lí Về Hạng Của Hệ Vectơ
3.1. Định lí 1
Hạng của một hệ vectơ bằng r khi và chỉ khi trong hệ vectơ đó tồn tại một hệ con gồm r vectơ độc lập tuyến tính và mọi hệ vectơ con có số vectơ lớn hơn r (nếu có) đều phụ thuộc tuyến tính.
3.2. Định lí 2
Cho hai hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m}} };left{ {{Y}_{1}},{{Y}_{2}},…,{{Y}_{k}} }$. Nếu mọi vectơ ${{X}_{i}}(i=1,2,…,m)$ đều được biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ ${ {{Y}_{1}},{{Y}_{2}},…,{{Y}_{k}} }$ thì $rleft{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},…,{{X}_{m}} right}le rleft{ {{Y}_{1}},{{Y}_{2}},…,{{Y}_{k}} right}$.
3.3. Định lí 3
Khi thêm vào một hệ vectơ một vectơ được biểu diễn tuyến tính qua các vectơ trong hệ thì hạng của hệ vectơ không đổi.
4. Ứng dụng của việc tìm hạng của hệ vectơ trong lĩnh vực xe tải và vận tải
Việc tìm hạng của hệ vectơ có nhiều ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực xe tải và vận tải, giúp tối ưu hóa các hoạt động và đưa ra các quyết định chính xác hơn. Dưới đây là một số ứng dụng cụ thể:
- Tối ưu hóa lộ trình vận tải: Xác định các tuyến đường độc lập tuyến tính để tối ưu hóa việc phân bổ xe tải và giảm chi phí vận chuyển.
- Quản lý đội xe: Đánh giá sự độc lập về mặt công năng của các loại xe trong đội xe để đảm bảo tính đa dạng và hiệu quả.
- Phân tích dữ liệu vận tải: Tìm ra các yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến hiệu suất vận tải, loại bỏ các yếu tố dư thừa hoặc trùng lặp.
- Dự báo nhu cầu vận tải: Xây dựng mô hình dự báo chính xác hơn bằng cách xác định các yếu tố độc lập tuyến tính có ảnh hưởng đến nhu cầu vận tải.
- Đánh giá hiệu quả đầu tư: Xác định các dự án đầu tư vào lĩnh vực vận tải có tính độc lập và khả năng sinh lời cao nhất.
Ví dụ, theo nghiên cứu của Trường Đại học Giao thông Vận tải, Khoa Vận tải Kinh tế, vào tháng 4 năm 2025, việc áp dụng phương pháp tìm hạng của hệ vectơ vào tối ưu hóa lộ trình vận tải có thể giúp giảm chi phí nhiên liệu từ 10-15%.
5. Khảo Sát Hạng Của Hệ Vectơ Bằng Hạng Ma Trận
5.1. Phương pháp tìm hạng bằng ma trận
Để tìm hạng của một hệ vectơ, ta lập ma trận nhận các vectơ của hệ làm vectơ cột hoặc vectơ dòng. Hạng của hệ vectơ bằng hạng của ma trận.
Ví dụ 1: Tìm hạng và chỉ ra một cơ sở của hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} }$ với ${{X}_{1}}=(2,1,0,4),{{X}_{2}}=(-4,-2,1,-7),{{X}_{3}}=(3,1,-1,4),{{X}_{4}}=(1,-4,3,-4),{{X}_{5}}=(0,2,1,5)$.
Giải:
Lập ma trận A nhận các vectơ đã cho làm hệ vectơ cột:
$A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&{ – 4}&3&1&0 \ 1&{ – 2}&1&{ – 4}&2 \ 0&1&{ – 1}&3&1 \ 4&{ – 7}&4&{ – 4}&5 end{array}} right)xrightarrow{{{mathbf{ – }}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}}}left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 2}&2&5&{ – 2} \ 1&{ – 2}&1&{ – 4}&2 \ 0&1&{ – 1}&3&1 \ 4&{ – 7}&4&{ – 4}&5 end{array}} right)$
$xrightarrow{begin{subarray}{l} {mathbf{ – }}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}} \ {mathbf{ – 4}}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{4}}} end{subarray} }left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 2}&2&5&{ – 2} \ 0&0&{ – 1}&{ – 9}&4 \ 0&1&{ – 1}&3&1 \ 0&1&{ – 4}&{ – 24}&{13} end{array}} right)$
$xrightarrow{{{mathbf{doi_cho_}}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}}{mathbf{& }}{{mathbf{d}}_{mathbf{3}}}}}left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 2}&2&5&{ – 2} \ 0&1&{ – 1}&3&1 \ 0&0&{ – 1}&{ – 9}&4 \ 0&1&{ – 4}&{ – 24}&{13} end{array}} right)$
$xrightarrow{{{mathbf{ – }}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{4}}}}}left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 2}&2&5&{ – 2} \ 0&1&{ – 1}&3&1 \ 0&0&{ – 1}&{ – 9}&4 \ 0&0&{ – 3}&{ – 27}&{12} end{array}} right)xrightarrow{{{mathbf{ – 3}}{{mathbf{d}}_{mathbf{3}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{4}}}}}left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 2}&2&5&{ – 2} \ 0&1&{ – 1}&3&1 \ 0&0&{ – 1}&{ – 9}&4 \ 0&0&0&0&0 end{array}} right).$
Vậy $rleft{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} right}=r(A)=3$ và ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}} }$ là một cơ sở của hệ vectơ đã cho.
Ví dụ 2: Tìm hạng và chỉ ra một cơ sở của hệ vectơ ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}},{{X}_{6}} }$ với
$left{ begin{gathered} {X_1} = (3,1,1,2,0) hfill \ {X_2} = (2,4,4,11,13) hfill \ {X_3} = (5,2,2,4,1) hfill \ {X_4} = (7, – 9, – 9,3, – 13) hfill \ {X_5} = (9,1,8,3,2) hfill \ {X_6} = (1,0,1,2,2) hfill \ end{gathered} right..$
Giải:
Lập ma trận A nhận các vectơ đã cho làm hệ vectơ cột:
[begin{gathered} A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 3&2&5&7&9&1 \ 1&4&2&{ – 9}&1&0 \ 1&4&2&{ – 9}&8&1 \ 2&{11}&4&3&3&2 \ 0&{13}&1&{ – 13}&2&2 end{array}} right)xrightarrow{{{mathbf{ – }}{{mathbf{d}}_{mathbf{4}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}}}left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 9}&1&4&6&{ – 1} \ 1&4&2&{ – 9}&1&0 \ 1&4&2&{ – 9}&8&1 \ 2&{11}&4&3&3&2 \ 0&{13}&1&{ – 13}&2&2 end{array}} right) hfill \ xrightarrow{begin{subarray}{l} {mathbf{ – }}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}} \ {mathbf{ – }}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{3}}} \ {mathbf{ – 2}}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{4}}} end{subarray} }left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 9}&1&4&6&{ – 1} \ 0&{13}&1&{ – 13}&{ – 5}&1 \ 0&{13}&1&{ – 13}&2&2 \ 0&{29}&2&{ – 5}&{ – 9}&4 \ 0&{13}&1&{ – 13}&2&2 end{array}} right)xrightarrow{begin{subarray}{l} {mathbf{ – }}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{3}}} \ {mathbf{ – }}frac{{{mathbf{29}}}}{{{mathbf{13}}}}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{4}}} \ {mathbf{ – }}{{mathbf{d}}_{mathbf{3}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{5}}} end{subarray} }left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 9}&1&4&6&{ – 1} \ 0&{13}&1&{ – 13}&{ – 5}&1 \ 0&0&0&0&7&1 \ 0&0&{ – frac{3}{{13}}}&{24}&{frac{{28}}{{13}}}&{frac{{23}}{{13}}} \ 0&0&0&0&0&0 end{array}} right). hfill \ end{gathered} ]
Do đó $rleft{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}},{{X}_{6}} right}=r(A)=4$ và ${ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{5}} }$ là một cơ sở của hệ vectơ đã cho.
Ví dụ 3: Cho ma trận $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&1&{ – 1}&3 \ m&1&{ – 3}&1 \ { – 2}&1&2&3 \ { – 3}&4&1&2 end{array}} right).$ Tìm $m$ để hệ vectơ cột ${ A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c},A_{4}^{c} }$ của ma trận $A$ phụ thuộc tuyến tính. Khi đó chỉ ra hạng và một cơ sở và hệ vectơ đó.
Giải:
Ta có $det (A)=6(5m-19).$
Hệ vectơ ${ A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c},A_{4}^{c} }$ phụ thuộc tuyến tính $rleft{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c},A_{4}^{c} }
Khi đó $D_{123}^{234} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 1}&3 \ 1&{ – 3}&1 \ 1&2&3 end{array}} right| = 6 ne 0 Rightarrow rleft{ {A_1^c,A_2^c,A_3^c,A_4^c} right} = 3$ và ${ A_{2}^{c},A_{3}^{c},A_{4}^{c} }$ là một cơ sở của hệ vectơ ${ A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c},A_{4}^{c} }$.
Ví dụ 4: Cho ma trận $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&2&1 \ 2&1&0 \ 1&0&{ – 4} end{array}} right).$ Chứng minh rằng hệ vectơ cột của ma trận $A$ là một cơ sở của không gian vectơ ${{mathbb{R}}^{3}},$ từ đó tìm tọa độ của vectơ $X=left( 6,2,-3 right)$ đối với cơ sở này.
Giải:
Có $det (A) = left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&2&1 \ 2&1&0 \ 1&0&{ – 4} end{array}} right| = 19 ne 0 Rightarrow rleft{ {A_1^c,A_2^c,A_3^c} right} = r(A) = 3 Rightarrow left{ {A_1^c,A_2^c,A_3^c} right}$ độc lập tuyến tính do đó ${ A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c} }$ là một cơ sở của không gian vectơ ${{mathbb{R}}^{3}}.$
Ta có $X = xA_1^c + yA_2^c + zA_2^c Leftrightarrow left{ begin{gathered} – x + 2y + z = 6 hfill \ 2x + y = 2 hfill \ x – 4z = – 3 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} x = – dfrac{5}{{19}} hfill \ y = dfrac{{48}}{{19}} hfill \ z = dfrac{{13}}{{19}} hfill \ end{gathered} right..$
Do đó tọa độ của vectơ $X=left( 6,2,-3 right)$ đối với cơ sở ${ A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c} }$ là
[left( -dfrac{5}{19},dfrac{48}{19},dfrac{13}{19} right).]
Ví dụ 5: Cho hệ vectơ ${{X}_{1}}=left( 3,-2,k,-1 right);{{X}_{2}}=left( -4,1,2,k right);{{X}_{3}}=left( 4,-1,-3,-2 right).$
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $k$ thì không có vectơ nào trong hệ vectơ đã cho biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ.
b) Gọi $D$ là ma trận nhận các vectơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}}$ lần lượt là các vectơ dòng. Hãy giải hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số mở rộng $D$ theo quy tắc Cramer.
c) Biết rằng ${{X}_{4}}=2017{{X}_{1}}+2018{{X}_{2}}+2019{{X}_{3}}.$ Tính định thức của ma trận lần lượt nhận các vectơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}}$ là các vectơ dòng.
Giải. a) Xét ma trận nhận các vectơ đã cho là các vectơ dòng
[D = left( {begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 2}&k&{ – 1} \ { – 4}&1&2&k \ 4&{ – 1}&{ – 3}&{ – 2} end{array}} right).]
Ta có
[D_{123}^{123} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 2}&k \ { – 4}&1&2 \ 4&{ – 1}&{ – 3} end{array}} right| = 5 ne 0,forall k in mathbb{R} Rightarrow rleft{ {{X_1},{X_2},{X_3}} right} = rleft{ D right} = 3.]
Vì vậy
[left{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}} right}] độc lập tuyến tính hay không có bất kì vectơ nào trong hệ biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ.
b) Hệ tuyến tính có ma trận hệ số mở rộng
[D = left( {begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 2}&k&{ – 1} \ { – 4}&1&2&k \ 4&{ – 1}&{ – 3}&{ – 2} end{array}} right).]
Theo quy tắc Cramer nghiệm của hệ được xác định bởi
[x = dfrac{{{d_x}}}{d} = dfrac{{left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&{ – 2}&k \ k&1&2 \ { – 2}&{ – 1}&{ – 3} end{array}} right|}}{{left| {begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 2}&k \ { – 4}&1&2 \ 4&{ – 1}&{ – 3} end{array}} right|}} = dfrac{{ – {k^2} – 4k + 9}}{5}]
và
[y = dfrac{{{d_y}}}{d} = dfrac{{left| {begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 1}&k \ { – 4}&k&2 \ 4&{ – 2}&{ – 3} end{array}} right|}}{{left| {begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 2}&k \ { – 4}&1&2 \ 4&{ – 1}&{ – 3} end{array}} right|}} = dfrac{{ – 4{k^2} – k + 16}}{5};z = dfrac{{{d_z}}}{d} = dfrac{{left| {begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 2}&{ – 1} \ { – 4}&1&k \ 4&{ – 1}&{ – 2} end{array}} right|}}{{left| {begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 2}&k \ { – 4}&1&2 \ 4&{ – 1}&{ – 3} end{array}} right|}} = 2 – k.]
c) Định thức cần tính dạng
[left| begin{gathered} {X_1} hfill \ {X_2} hfill \ {X_3} hfill \ 2017{X_1} + 2018{X_2} + 2019{X_3} hfill \ end{gathered} right| = left| begin{gathered} {X_1} hfill \ {X_2} hfill \ {X_3} hfill \ {O_4} hfill \ end{gathered} right|left( {{
