Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác trên đoạn là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11. Tại XETAIMYDINH.EDU.VN, chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập liên quan. Hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình khám phá bí quyết chinh phục dạng toán này, mở ra những ứng dụng tuyệt vời trong thực tiễn, đồng thời nâng cao khả năng tư duy và giải quyết vấn đề của bạn.
1. Phương Pháp Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Hàm Số Lượng Giác
Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác, bạn cần nắm vững các kiến thức và kỹ năng sau. Theo nghiên cứu của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, việc hiểu rõ tính chất của các hàm số lượng giác cơ bản là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
1.1. Tính Chất Của Các Hàm Số Lượng Giác Cơ Bản
-
Hàm số sin(x) và cos(x): Với mọi x, ta luôn có -1 ≤ cos(x) ≤ 1 và -1 ≤ sin(x) ≤ 1. Điều này có nghĩa là giá trị của sin(x) và cos(x) luôn nằm trong đoạn [-1; 1].
Alt text: Đồ thị minh họa sự biến thiên của hàm số sin(x) và cos(x) trong khoảng [-π, π]
-
Hàm số |cos(x)| và |sin(x)|: Với mọi x, ta có 0 ≤ |cos(x)| ≤ 1 và 0 ≤ |sin(x)| ≤ 1. Giá trị tuyệt đối của sin(x) và cos(x) luôn không âm và nhỏ hơn hoặc bằng 1.
1.2. Bất Đẳng Thức Bunyakovsky (Buniakovski)
Cho hai bộ số (a₁, a₂) và (b₁, b₂), ta có bất đẳng thức sau:
(a₁.b₁ + a₂.b₂)² ≤ (a₁² + a₂²).(b₁² + b₂²)
Dấu “=” xảy ra khi a₁/b₁ = a₂/b₂. Bất đẳng thức này rất hữu ích trong việc tìm GTLN, GTNN của các biểu thức lượng giác có dạng tổng hoặc tích. Theo nghiên cứu của Viện Toán học Việt Nam, bất đẳng thức Bunyakovsky là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết nhiều bài toán tối ưu trong toán học, vật lý và kỹ thuật.
1.3. Tập Giá Trị Của Hàm Số
Giả sử hàm số y = f(x) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó, tập giá trị của hàm số là [m; M]. Việc xác định tập giá trị giúp ta giới hạn phạm vi giá trị của hàm số và tìm kiếm GTLN, GTNN hiệu quả hơn.
1.4. Điều Kiện Có Nghiệm Của Phương Trình a.sin(x) + b.cos(x) = c
Phương trình a.sin(x) + b.cos(x) = c có nghiệm khi và chỉ khi a² + b² ≥ c². Điều kiện này giúp ta xác định tính khả thi của phương trình và tìm ra các giá trị thỏa mãn.
2. Các Bước Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Hàm Số Lượng Giác Trên Đoạn
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác trên một đoạn [a; b], ta thực hiện các bước sau:
- Tính đạo hàm của hàm số: Tìm y’ = f'(x).
- Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các nghiệm xᵢ.
- Kiểm tra điều kiện: Chọn các nghiệm xᵢ thuộc đoạn [a; b].
- Tính giá trị hàm số tại các điểm: Tính f(a), f(b) và f(xᵢ).
- So sánh và kết luận: Giá trị lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN (M), giá trị nhỏ nhất là GTNN (m) của hàm số trên đoạn [a; b].
3. Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác, chúng ta sẽ xét một số ví dụ cụ thể.
3.1. Ví Dụ 1
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 1 – 2|cos(3x)|.
-
Giải:
Với mọi x, ta có -1 ≤ cos(3x) ≤ 1 nên 0 ≤ |cos(3x)| ≤ 1.
⇒ 0 ≥ -2|cos(3x)| ≥ -2
⇒ 1 ≥ 1 – 2|cos(3x)| ≥ -1
Vậy M = 1 và m = -1.
Chọn B.
Alt text: Đồ thị hàm số y = 1 – 2|cos(3x)| minh họa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
3.2. Ví Dụ 2
Hàm số y = 1 + 2cos(2x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = x₀. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. x₀ = π + k2π, k ∈ Z.
B. x₀ = π/2 + kπ, k ∈ Z.
C. x₀ = k2π, k ∈ Z.
D. x₀ = kπ, k ∈ Z.
-
Giải:
Ta có -1 ≤ cos(x) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cos²(x) ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1 + 2cos²(x) ≤ 3
Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1.
Dấu “=” xảy ra khi cos(x) = 0 ⇒ x = π/2 + kπ, k ∈ Z.
Chọn B.
3.3. Ví Dụ 3
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = sin²(x) + 2cos²(x).
A. M = 3; m = 0
B. M = 2; m = 0
C. M = 2; m = 1
D. M = 3; m = 1
-
Giải:
Ta có: y = sin²(x) + 2cos²(x) = (sin²(x) + cos²(x)) + cos²(x) = 1 + cos²(x).
Do: -1 ≤ cos(x) ≤ 1 nên 0 ≤ cos²(x) ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos²(x) + 1 ≤ 2
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M = 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m = 1.
Chọn C.
3.4. Ví Dụ 4
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 4sin(x) – 3.
A. M = 1; m = -7
B. M = 7; m = -1
C. M = 3; m = -4
D. M = 4; m = -3
-
Giải:
Ta có: -1 ≤ sin(x) ≤ 1 nên -4 ≤ 4sin(x) ≤ 4
Suy ra: -7 ≤ 4sin(x) – 3 ≤ 1
Do đó: M = 1 và m = -7
Chọn A.
3.5. Ví Dụ 5
Tìm tập giá trị T của hàm số y = -2cos²(x) + 10.
A. [5; 9]
B. [6; 10]
C. [8; 12]
D. [10; 14]
-
Giải:
Với mọi x ta có: -1 ≤ cos²(x) ≤ 1 nên -2 ≤ -2cos²(x) ≤ 2
⇒ 8 ≤ -2cos²(x) + 10 ≤ 12
Do đó tập giá trị của hàm số đã cho là: T = [8; 12]
Chọn C.
3.6. Ví Dụ 6
Tính độ dài giá trị của hàm số y = 10 – 2cos²(x).
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
-
Giải:
Với mọi x ta có: -1 ≤ cos²(x) ≤ 1 nên -2 ≤ -2cos²(x) ≤ 2
Suy ra: 8 ≤ 10 – 2cos²(x) ≤ 12
Do đó, tập giá trị của hàm số đã cho là: [8; 12] và độ dài đoạn giá trị của hàm số là: 12 – 8 = 4
Chọn D.
3.7. Ví Dụ 7
Tính tổng giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số sau: y = √3 sin(2016x + 2019).
A. – 4032
B. √3
C. -√3
D. 0
-
Giải:
Với mọi x ta có: -1 ≤ sin(2016x + 2019) ≤ 1
⇒ -√3 ≤ √3sin(2016x + 2019) ≤ √3
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -√3 và giá trị lớn nhất của hàm số là √3
⇒ Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là -√3 + √3 = 0
Chọn D.
3.8. Ví Dụ 8
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 1/(1 + sin(x)).
A. m = 1/2
B. m = 1/√2
C. m = 1
D. m = √2
-
Giải:
Điều kiện xác định: sin(x) ≠ -1 hay x ≠ (-π)/2 + k2π
Với mọi x thỏa mãn điều kiện ta có: -1 < sin(x) ≤ 1 ⇒ 0 < 1 + sin(x) ≤ 2
Nếu mẫu 1 + sin(x) > 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 1 + sin(x) đạt giá trị lớn nhất
Hay 1 + sin(x) = 2
Khi đó ymin = 1/2
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 1/2 khi sin(x) = 1
Chọn A.
3.9. Ví Dụ 9
Tìm giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số: y = 2018sin(9x + π/100) + 2000
A. m = 18; M = 4018
B. m = -18; M = 18
C. m = -18; M = 4018
D. Đáp án khác
-
Giải:
Hàm số xác định trên R.
Với mọi x ta có: -1 ≤ sin(9x + π/100) ≤ 1 nên -2018 ≤ 2018sin(9x + π/100) ≤ 2018
⇒ -18 ≤ 2018sin(9x + π/100) + 2000 ≤ 4018
⇒ giá trị nhỏ nhất của hàm số là -18 khi sin(9x + π/100) = -1
Giá trị lớn nhất của hàm số là 4018 khi sin(9x + π/100) = 1
Chọn C.
3.10. Ví Dụ 10
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = √sin(x) – √cos(x).
A. m = -1; M = 1.
B. m = 0; M = 1
C. m = -1; M = 0
D. m = -1 và M không tồn tại.
-
Giải:
Với mọi x thỏa mãn điều kiện: sin(x) > 0 và cos(x) > 0. Ta có:
y² = sin(x) + cos(x) – 2√(sin(x).cos(x))
Đặt t = sin(x) + cos(x) = √2sin(x + π/4) ⇒ -√2 ≤ t ≤ √2
Khi đó: sin(x).cos(x) = (t² – 1)/2
Do đó: y² = t – 2√((t² – 1)/2)
Xét hàm số f(t) = t – 2√((t² – 1)/2) với -√2 ≤ t ≤ √2
Khảo sát hàm số ta được: min f(t) = -1 và max f(t) = 1
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là m = – 1 khi: (sin(x) = 0 và cos(x) = 1 ⇒ x = k2π.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất là M = 1 khi (sin(x) = 1 và cos(x) = 0 ⇒ x = π/2 + k2π.
Chọn A.
Alt text: Phân tích đồ thị hàm số lượng giác để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
4. Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
Câu 1: Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 8sin²(x) + 3cos²(x). Tính P = M – 2m.
A. P = -1
B. P = 1
C. P = 2
D. P = 0
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 4sin²(x) + 3cos(2x).
A. M = 3
B. M = 1
C. M = 5
D. M = 4
Câu 3: Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin²(x) – 4sin(x) + 5. Tính M + m.
A. 3
B. 8
C. 10
D. 12
Câu 4: Cho hàm số y = cos²(x) – cos(x) có tập giá trị là T. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc T.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 5: Hàm số y = cos(2x) + 2sin(x) + 2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x₀. Mệnh đề nào sau đây là đúng.
A. x = (-π)/2 + k2π.
B. x = π/2 + k2π.
C. x = kπ
D. x = k2π
Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số y = sin⁴(x) – 2cos²(x) + 1.
A. M = 2; m = -2
B. M = 1; m = 0
C. M = 4; m = -1
D. M = 2; m = -1
Câu 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4sin⁴(x) – cos⁴(x).
A. -3
B. -1
C. 3
D. 5
Câu 8: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2( sin(x) – cos(x)). Tính P = M + 2m.
A. 2
B. -2√2
C. -√2
D. 4√2
Câu 9: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √(1 – cos²(x)) + 1 là:
A. 2 và 1
B. 0 và 3
C. 1 và 3
D. 1 và 1 + √2
Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4sin²(x) + 6cos²(x) + 2 là
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
Câu 11: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2sin²(x) + cos(2x)
A. max y = 4, min y = 3/4
B. max y = 3, min y = 2
C. max y = 4, min y = 2
D. max y = 3, min y = 3/4
Câu 12: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3sin(x) + 4cos(x) + 1
A. max y = 6, min y = -2
B. max y = 4, min y = -44
C. max y = 6, min y = -4
D. max y = 6, min y = -1
Câu 13: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2sin²(x) + 3sin(2x) – 4cos(2x)
A. min y = -3√2 -1, max y = 3√2 + 1
B. min y = -3√2 -1, max y = 3√2 – 1
C. min y = -3√2, max y = 3√2 – 1
D. min y = -3√2 -2, max y = 3√2 – 1
Câu 14: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin²(x) + 3sin(2x) + 3cos(2x)
A. min y = 2+√10, max y = 2-√10
B. min y = 2+√5, max y = 2+√5
C. min y = 2+√2, max y = 2-√2
D. min y = 2+√7, max y = 2-√7
Câu 15: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = sin(x) + √(2 – sin²)
A. min y = 0, max y = 3
B. min y = 0, max y = 4
C. min y = 0, max y = 6
D. min y = 0, max y = 2
Câu 16: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = (sin(2x) + 2cos(2x) + 3) / (2sin(2x) – cos(2x) + 4)
A. min y = -2/11, max y = 2
B. min y = 2/11, max y = 3
C. min y = 2/11, max y = 4
D. min y = 2/11, max y = 2
Câu 17: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (2sin²(3x) + 4sin(3x)cos(3x) + 1) / (sin(6x) + 4cos(6x) + 10)
A. min y = (11-9√7)/83, max y = (11+9√7)/83
B. min y = (22-9√7)/11, max y = (22+9√7)/11
C. min y = (33-9√7)/83, max y = (33+9√7)/83
D. min y = (22-9√7)/83, max y = (22+9√7)/83
5. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3 – 5|cos(2x)|.
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 2 + 3cos(2x).
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3sin²(x) + 2cos²(x).
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = (cosx+2sinx+3)/(2cosx−sinx+4).
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3sinx + 4cosx + 1.
6. FAQ – Câu Hỏi Thường Gặp
Dưới đây là một số câu hỏi thường gặp liên quan đến việc tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác:
Câu hỏi 1: Làm thế nào để nhận biết một bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác?
Trả lời: Bài toán thường yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (max) hoặc giá trị nhỏ nhất (min) của một hàm số có chứa các biểu thức lượng giác như sin(x), cos(x), tan(x), cot(x).
Câu hỏi 2: Phương pháp nào hiệu quả nhất để tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác?
Trả lời: Có nhiều phương pháp, nhưng phổ biến nhất là sử dụng tính chất của các hàm số lượng giác cơ bản, bất đẳng thức (Bunyakovsky, Cauchy), hoặc khảo sát hàm số (tìm đạo hàm, xét dấu).
Câu hỏi 3: Khi nào thì nên sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky?
Trả lời: Bất đẳng thức Bunyakovsky thường được sử dụng khi hàm số có dạng tổng hoặc tích của các biểu thức lượng giác.
Câu hỏi 4: Làm thế nào để kiểm tra tính đúng đắn của kết quả tìm được?
Trả lời: Bạn có thể vẽ đồ thị của hàm số bằng phần mềm hoặc máy tính cầm tay để kiểm tra trực quan, hoặc thay các giá trị x khác nhau vào hàm số để so sánh.
Câu hỏi 5: Có những lỗi sai nào thường gặp khi giải bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác?
Trả lời: Một số lỗi thường gặp bao gồm: không xét điều kiện xác định của hàm số, sai sót trong tính toán đạo hàm, không kiểm tra các điểm tới hạn, hoặc áp dụng sai bất đẳng thức.
Câu hỏi 6: Làm thế nào để giải các bài toán phức tạp hơn về GTLN, GTNN của hàm số lượng giác?
Trả lời: Đối với các bài toán phức tạp, bạn cần kết hợp nhiều kỹ năng và kiến thức khác nhau, đồng thời rèn luyện khả năng tư duy linh hoạt và sáng tạo.
Câu hỏi 7: Tại sao việc tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác lại quan trọng?
Trả lời: Kỹ năng này không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán trong chương trình học, mà còn có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như vật lý, kỹ thuật, kinh tế, và khoa học máy tính.
Câu hỏi 8: Tôi có thể tìm thêm tài liệu và bài tập về chủ đề này ở đâu?
Trả lời: Bạn có thể tìm kiếm trên internet, tham khảo sách giáo khoa và sách bài tập, hoặc truy cập các trang web giáo dục uy tín như XETAIMYDINH.EDU.VN để có thêm nhiều nguồn tài liệu hữu ích.
Câu hỏi 9: Làm thế nào để cải thiện kỹ năng giải toán về GTLN, GTNN của hàm số lượng giác?
Trả lời: Cách tốt nhất là luyện tập thường xuyên, giải nhiều bài tập khác nhau, và học hỏi kinh nghiệm từ những người có kinh nghiệm.
Câu hỏi 10: Tôi nên làm gì nếu gặp khó khăn trong quá trình giải bài tập?
Trả lời: Đừng ngần ngại hỏi thầy cô, bạn bè, hoặc tìm kiếm sự giúp đỡ trên các diễn đàn trực tuyến.
7. Liên Hệ Ngay Với Xe Tải Mỹ Đình Để Được Tư Vấn Chi Tiết
Bạn đang gặp khó khăn trong việc tìm kiếm thông tin về xe tải ở Mỹ Đình? Bạn muốn được tư vấn lựa chọn xe phù hợp với nhu cầu và ngân sách của mình? Hãy đến với XETAIMYDINH.EDU.VN ngay hôm nay!
Chúng tôi cung cấp thông tin chi tiết và cập nhật về các loại xe tải có sẵn ở Mỹ Đình, Hà Nội, so sánh giá cả và thông số kỹ thuật giữa các dòng xe, tư vấn lựa chọn xe phù hợp với nhu cầu và ngân sách, giải đáp các thắc mắc liên quan đến thủ tục mua bán, đăng ký và bảo dưỡng xe tải, cung cấp thông tin về các dịch vụ sửa chữa xe tải uy tín trong khu vực.
Liên hệ với chúng tôi ngay để được tư vấn miễn phí:
- Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội
- Hotline: 0247 309 9988
- Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN
Xe Tải Mỹ Đình luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trên mọi nẻo đường!
Alt text: Hình ảnh logo và thông tin liên hệ của Xe Tải Mỹ Đình
