Số Hạng Tổng Quát Cấp Số Nhân là công thức toán học quan trọng, giúp bạn dễ dàng tìm ra bất kỳ số hạng nào trong dãy số nhân mà không cần tính toán tuần tự. Cùng Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) khám phá chi tiết về định nghĩa, công thức, ứng dụng thực tế và các bài tập minh họa để nắm vững kiến thức này. Bài viết này cũng sẽ đề cập đến cấp số nhân lùi vô hạn và tổng cấp số nhân, những khái niệm liên quan mật thiết đến số hạng tổng quát.
Mục lục:
- Định Nghĩa Số Hạng Tổng Quát Cấp Số Nhân?
- Công Thức Số Hạng Tổng Quát Cấp Số Nhân?
- Ứng Dụng Thực Tế Của Số Hạng Tổng Quát Cấp Số Nhân?
- Ví Dụ Minh Họa Về Số Hạng Tổng Quát Cấp Số Nhân?
- Các Dạng Bài Tập Về Số Hạng Tổng Quát Cấp Số Nhân?
- Công Thức Tính Tổng N Số Hạng Đầu Tiên Của Cấp Số Nhân?
- Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn Là Gì?
- Bài Tập Vận Dụng Nâng Cao Về Cấp Số Nhân?
- Những Lưu Ý Quan Trọng Khi Giải Bài Tập Cấp Số Nhân?
- FAQ: Câu Hỏi Thường Gặp Về Số Hạng Tổng Quát Cấp Số Nhân?
1. Định Nghĩa Số Hạng Tổng Quát Cấp Số Nhân?
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là một công thức toán học cho phép xác định bất kỳ số hạng nào trong dãy số, dựa vào số hạng đầu tiên và công bội. Hiểu một cách đơn giản, nó là “chìa khóa” để mở ra mọi giá trị trong cấp số nhân mà không cần phải tính toán từng bước.
1.1. Cấp Số Nhân Là Gì?
Theo sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11, cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q, gọi là công bội.
Ví dụ: Dãy số 2, 6, 18, 54,… là một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3.
1.2. Vai Trò Của Số Hạng Tổng Quát
Số hạng tổng quát đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu và ứng dụng cấp số nhân:
- Tìm số hạng bất kỳ: Cho phép tìm trực tiếp giá trị của số hạng thứ n mà không cần tính toán các số hạng trước đó.
- Xác định tính chất của dãy: Giúp xác định quy luật và tính chất của cấp số nhân, chẳng hạn như tính tăng, giảm, hoặc không đổi.
- Giải quyết các bài toán thực tế: Được sử dụng để mô hình hóa và giải quyết nhiều vấn đề trong thực tế, từ tài chính đến vật lý.
- Tính toán nhanh chóng: Giảm thiểu thời gian và công sức tính toán, đặc biệt khi làm việc với các cấp số nhân có số lượng lớn số hạng.
1.3. Tại Sao Cần Hiểu Rõ Định Nghĩa?
Hiểu rõ định nghĩa số hạng tổng quát cấp số nhân là bước đầu tiên và quan trọng nhất để:
- Nắm vững kiến thức nền tảng về cấp số nhân.
- Áp dụng công thức một cách chính xác và hiệu quả.
- Giải quyết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
- Ứng dụng kiến thức vào thực tế một cách sáng tạo.
2. Công Thức Số Hạng Tổng Quát Cấp Số Nhân?
Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là:
*un = u1 q^(n-1)**
Trong đó:
- un: Số hạng thứ n của cấp số nhân.
- u1: Số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
- q: Công bội của cấp số nhân (tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp).
- n: Vị trí của số hạng cần tìm trong dãy số (n là số nguyên dương).
2.1. Giải Thích Chi Tiết Các Thành Phần
- un (Số hạng thứ n): Đây là giá trị mà chúng ta muốn tìm. Nó phụ thuộc vào vị trí n của số hạng đó trong dãy số.
- u1 (Số hạng đầu tiên): Giá trị đầu tiên của dãy số. Nó là “điểm khởi đầu” để xây dựng toàn bộ cấp số nhân.
- q (Công bội): Tỷ số không đổi giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy số. Nó quyết định tốc độ tăng hoặc giảm của cấp số nhân.
- n (Vị trí của số hạng): Cho biết số hạng cần tìm nằm ở vị trí thứ mấy trong dãy số. n luôn là một số nguyên dương.
2.2. Ví Dụ Minh Họa Công Thức
Xét cấp số nhân: 3, 6, 12, 24, …
- u1 = 3 (số hạng đầu tiên)
- q = 2 (công bội, vì 6/3 = 2, 12/6 = 2, …)
Để tìm số hạng thứ 5 (u5), ta áp dụng công thức:
- u5 = u1 q^(5-1) = 3 2^4 = 3 * 16 = 48
Vậy, số hạng thứ 5 của cấp số nhân này là 48.
2.3. Các Biến Thể Của Công Thức
Ngoài công thức gốc, ta có thể biến đổi để tìm các thành phần khác:
- Tìm số hạng đầu tiên (u1): u1 = un / q^(n-1)
- Tìm công bội (q): q = (un / u1)^(1/(n-1))
- Tìm vị trí của số hạng (n): Công thức này phức tạp hơn và thường phải sử dụng logarit: n = logq(un/u1) + 1
2.4. Lưu Ý Khi Sử Dụng Công Thức
- Xác định đúng u1 và q: Đây là bước quan trọng nhất. Nếu xác định sai, kết quả sẽ hoàn toàn khác.
- Chú ý đến dấu của q: Nếu q âm, các số hạng sẽ có dấu xen kẽ.
- Sử dụng máy tính: Đối với các bài toán phức tạp, hãy sử dụng máy tính để tránh sai sót trong tính toán.
- Kiểm tra lại kết quả: Sau khi tìm được số hạng, hãy kiểm tra lại bằng cách tính toán một vài số hạng lân cận để đảm bảo tính chính xác.
3. Ứng Dụng Thực Tế Của Số Hạng Tổng Quát Cấp Số Nhân?
Số hạng tổng quát cấp số nhân không chỉ là một công thức toán học khô khan, mà còn có rất nhiều ứng dụng thú vị trong đời sống và các lĩnh vực khoa học khác nhau.
3.1. Lĩnh Vực Tài Chính
- Tính lãi kép: Lãi kép là một ứng dụng điển hình của cấp số nhân. Số tiền lãi sau mỗi kỳ được cộng vào vốn gốc, và lãi của kỳ tiếp theo được tính trên số vốn mới này. Công thức số hạng tổng quát giúp tính nhanh số tiền thu được sau một khoảng thời gian dài.
Ví dụ: Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 6% một năm, lãi kép hàng năm. Sau 10 năm, số tiền cả gốc và lãi sẽ là: 100 * (1 + 0.06)^10 ≈ 179.08 triệu đồng. - Tính giá trị tài sản tăng trưởng: Giá trị của một số loại tài sản như bất động sản, cổ phiếu có thể tăng trưởng theo cấp số nhân (ít nhất là trong một giai đoạn nhất định). Công thức số hạng tổng quát giúp dự đoán giá trị của tài sản trong tương lai.
- Tính toán các khoản vay trả góp: Mặc dù không trực tiếp sử dụng công thức số hạng tổng quát, nhưng các công thức tính toán khoản vay trả góp cũng dựa trên nguyên tắc của cấp số nhân.
3.2. Lĩnh Vực Khoa Học
- Mô hình hóa sự tăng trưởng dân số: Trong điều kiện lý tưởng (không có dịch bệnh, chiến tranh, …), dân số có thể tăng trưởng theo cấp số nhân.
Theo Tổng cục Thống kê, dân số Việt Nam năm 2023 là khoảng 100.3 triệu người. Nếu tỷ lệ tăng dân số là 1% mỗi năm, dự kiến dân số năm 2033 sẽ là: 100.3 (1 + 0.01)^10 ≈ 110.7 triệu người.* - Phân rã phóng xạ: Quá trình phân rã của các chất phóng xạ tuân theo quy luật cấp số nhân. Thời gian bán rã là thời gian cần thiết để một nửa số nguyên tử phóng xạ phân rã.
- Lan truyền dịch bệnh: Trong giai đoạn đầu, số lượng người mắc bệnh truyền nhiễm có thể tăng theo cấp số nhân.
3.3. Lĩnh Vực Công Nghệ
- Tính toán độ phức tạp thuật toán: Một số thuật toán có độ phức tạp tăng theo cấp số nhân, ví dụ như thuật toán vét cạn (brute force) để giải một số bài toán.
- Dung lượng lưu trữ dữ liệu: Trong một số hệ thống lưu trữ, dung lượng có thể tăng theo cấp số nhân để đáp ứng nhu cầu ngày càng tăng.
3.4. Các Ứng Dụng Khác
- Bài toán chia kẹo Euler: Một bài toán cổ điển liên quan đến việc chia đều các vật phẩm cho một số người, trong đó số lượng vật phẩm tăng theo cấp số nhân.
- Thiết kế kiến trúc: Một số công trình kiến trúc sử dụng các tỷ lệ dựa trên cấp số nhân để tạo ra sự hài hòa và cân đối.
4. Ví Dụ Minh Họa Về Số Hạng Tổng Quát Cấp Số Nhân?
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức số hạng tổng quát, chúng ta sẽ cùng xem xét một vài ví dụ cụ thể.
Ví Dụ 1: Tìm Số Hạng Thứ n
Đề bài: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 5 và q = 2. Tìm số hạng thứ 7 (u7).
Lời giải:
Áp dụng công thức: un = u1 * q^(n-1)
Thay số: u7 = 5 2^(7-1) = 5 2^6 = 5 * 64 = 320
Vậy, số hạng thứ 7 của cấp số nhân này là 320.
Ví Dụ 2: Tìm Số Hạng Đầu Tiên
Đề bài: Cho cấp số nhân (un) với u5 = 48 và q = 2. Tìm số hạng đầu tiên (u1).
Lời giải:
Áp dụng công thức biến đổi: u1 = un / q^(n-1)
Thay số: u1 = 48 / 2^(5-1) = 48 / 2^4 = 48 / 16 = 3
Vậy, số hạng đầu tiên của cấp số nhân này là 3.
Ví Dụ 3: Tìm Công Bội
Đề bài: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 2 và u4 = 54. Tìm công bội (q).
Lời giải:
Áp dụng công thức biến đổi: q = (un / u1)^(1/(n-1))
Thay số: q = (54 / 2)^(1/(4-1)) = 27^(1/3) = 3
Vậy, công bội của cấp số nhân này là 3.
Ví Dụ 4: Bài Toán Thực Tế
Đề bài: Một người gửi tiết kiệm 50 triệu đồng với lãi suất 7% một năm, lãi kép hàng năm. Hỏi sau 5 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền cả gốc và lãi?
Lời giải:
Đây là một bài toán về cấp số nhân với:
- u1 = 50 triệu đồng (số tiền gốc)
- q = 1 + 0.07 = 1.07 (tỷ lệ tăng trưởng hàng năm)
- n = 6 (số năm + 1, vì ta tính cả năm đầu tiên)
Áp dụng công thức: un = u1 * q^(n-1)
Thay số: u6 = 50 1.07^(6-1) = 50 1.07^5 ≈ 70.13 triệu đồng
Vậy, sau 5 năm, người đó nhận được khoảng 70.13 triệu đồng cả gốc và lãi.
Ví Dụ 5: Bài Toán Nâng Cao
Đề bài: Cho cấp số nhân (un) có u2 = 6 và u4 = 24. Tìm u1 và q.
Lời giải:
Ta có hệ phương trình:
- u2 = u1 * q = 6
- u4 = u1 * q^3 = 24
Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, ta được:
- q^2 = 4 => q = 2 hoặc q = -2
Với q = 2, ta có: u1 = 6 / 2 = 3
Với q = -2, ta có: u1 = 6 / (-2) = -3
Vậy, có hai cấp số nhân thỏa mãn điều kiện đề bài:
- u1 = 3, q = 2
- u1 = -3, q = -2
5. Các Dạng Bài Tập Về Số Hạng Tổng Quát Cấp Số Nhân?
Các bài tập về số hạng tổng quát cấp số nhân rất đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, đòi hỏi người học phải nắm vững lý thuyết và vận dụng linh hoạt các công thức.
5.1. Dạng 1: Tìm Số Hạng Thứ n Khi Biết u1 và q
Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu áp dụng trực tiếp công thức số hạng tổng quát.
- Phương pháp: Xác định u1, q, và n, sau đó thay vào công thức un = u1 * q^(n-1) để tính un.
- Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) với u1 = -2 và q = 3. Tìm u5.
Giải: u5 = -2 3^(5-1) = -2 3^4 = -2 * 81 = -162
5.2. Dạng 2: Tìm u1 Hoặc q Khi Biết Các Số Hạng Khác
Dạng bài này yêu cầu biến đổi công thức hoặc giải hệ phương trình để tìm u1 hoặc q.
- Phương pháp:
- Nếu biết un, n, và q, áp dụng công thức u1 = un / q^(n-1) để tìm u1.
- Nếu biết un, n, và u1, áp dụng công thức q = (un / u1)^(1/(n-1)) để tìm q.
- Nếu biết hai số hạng không liên tiếp (ví dụ: u2 và u5), lập hệ phương trình và giải để tìm u1 và q.
- Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) với u3 = 12 và q = -2. Tìm u1.
Giải: u1 = 12 / (-2)^(3-1) = 12 / (-2)^2 = 12 / 4 = 3
5.3. Dạng 3: Xác Định Một Dãy Số Có Phải Là Cấp Số Nhân Hay Không
Dạng bài này yêu cầu kiểm tra xem một dãy số có tuân theo quy luật của cấp số nhân hay không.
- Phương pháp: Tính tỷ số giữa các số hạng liên tiếp. Nếu tỷ số này không đổi, thì dãy số đó là cấp số nhân.
- Ví dụ: Xét dãy số 2, 6, 18, 54, …
Giải: 6/2 = 3, 18/6 = 3, 54/18 = 3. Vì tỷ số giữa các số hạng liên tiếp đều bằng 3, nên dãy số này là cấp số nhân với công bội q = 3.
5.4. Dạng 4: Bài Toán Ứng Dụng Thực Tế
Dạng bài này liên quan đến các tình huống thực tế như tính lãi kép, tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ, …
- Phương pháp: Xác định các yếu tố của bài toán (u1, q, n, …), sau đó áp dụng công thức số hạng tổng quát để giải quyết.
- Ví dụ: Một quần thể vi khuẩn tăng trưởng với tốc độ 20% mỗi giờ. Ban đầu có 1000 vi khuẩn. Hỏi sau 5 giờ, số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?
Giải: u1 = 1000, q = 1 + 0.2 = 1.2, n = 6 (tính cả giờ đầu tiên)
u6 = 1000 1.2^(6-1) = 1000 1.2^5 ≈ 2488 vi khuẩn
5.5. Dạng 5: Bài Toán Tổng Hợp và Nâng Cao
Dạng bài này kết hợp nhiều kiến thức khác nhau về cấp số nhân, đòi hỏi khả năng tư duy và vận dụng linh hoạt.
- Phương pháp: Phân tích kỹ đề bài, xác định các mối liên hệ giữa các yếu tố, sử dụng các công thức và kỹ năng giải toán để tìm ra đáp án.
- Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) có u1 + u3 = 20 và u2 + u4 = 60. Tìm u1 và q.
Giải: Ta có hệ phương trình:- u1 + u1 * q^2 = 20
- u1 q + u1 q^3 = 60
Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, ta được: - q = 3
Thay q = 3 vào phương trình đầu tiên, ta được: - u1 + u1 * 3^2 = 20 => u1 = 2
Vậy, u1 = 2 và q = 3.
6. Công Thức Tính Tổng N Số Hạng Đầu Tiên Của Cấp Số Nhân?
Ngoài số hạng tổng quát, công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân cũng rất quan trọng và hữu ích.
6.1. Công Thức Tính Tổng
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Sn) được tính theo công thức:
*Sn = u1 (1 – q^n) / (1 – q)** (với q ≠ 1)
Trong trường hợp q = 1, thì Sn = n * u1 (dãy số trở thành dãy số không đổi).
6.2. Giải Thích Công Thức
- Sn: Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
- u1: Số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
- q: Công bội của cấp số nhân.
- n: Số lượng số hạng cần tính tổng.
6.3. Ví Dụ Minh Họa
Xét cấp số nhân: 2, 6, 18, 54, … (u1 = 2, q = 3)
Tính tổng 5 số hạng đầu tiên (S5):
- S5 = 2 (1 – 3^5) / (1 – 3) = 2 (1 – 243) / (-2) = 2 * (-242) / (-2) = 242
Vậy, tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này là 242.
6.4. Ứng Dụng Của Công Thức Tính Tổng
- Tính tổng các khoản đầu tư: Giúp tính tổng số tiền thu được từ một khoản đầu tư tăng trưởng theo cấp số nhân.
- Giải các bài toán về dãy số: Được sử dụng để giải các bài toán phức tạp hơn liên quan đến cấp số nhân.
- Mô hình hóa các hiện tượng tăng trưởng: Có thể được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng tăng trưởng theo cấp số nhân, như sự lan truyền của virus hoặc sự phát triển của một dự án kinh doanh.
6.5. Lưu Ý Khi Sử Dụng Công Thức Tính Tổng
- Đảm bảo q ≠ 1: Nếu q = 1, công thức trên không áp dụng được. Trong trường hợp này, dãy số là dãy số không đổi và tổng đơn giản là n * u1.
- Chú ý đến dấu của q: Nếu q âm, các số hạng sẽ có dấu xen kẽ, ảnh hưởng đến kết quả của tổng.
- Sử dụng máy tính: Đối với các bài toán phức tạp, hãy sử dụng máy tính để tránh sai sót trong tính toán.
7. Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn Là Gì?
Cấp số nhân lùi vô hạn là một dạng đặc biệt của cấp số nhân, trong đó công bội q có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 (|q| < 1), và dãy số có vô số số hạng.
7.1. Định Nghĩa
Một cấp số nhân (un) được gọi là lùi vô hạn nếu nó có vô số số hạng và công bội q thỏa mãn |q| < 1.
Ví dụ: 1, 1/2, 1/4, 1/8, … là một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và q = 1/2.
7.2. Tính Chất Quan Trọng
Tính chất quan trọng nhất của cấp số nhân lùi vô hạn là tổng của tất cả các số hạng của nó hội tụ về một giá trị hữu hạn.
7.3. Công Thức Tính Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (S∞) được tính theo công thức:
S∞ = u1 / (1 – q) (với |q| < 1)
7.4. Giải Thích Công Thức
- S∞: Tổng của vô số số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn.
- u1: Số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
- q: Công bội của cấp số nhân (với |q| < 1).
7.5. Ví Dụ Minh Họa
Xét cấp số nhân lùi vô hạn: 1, 1/2, 1/4, 1/8, … (u1 = 1, q = 1/2)
Tính tổng của cấp số nhân này:
- S∞ = 1 / (1 – 1/2) = 1 / (1/2) = 2
Vậy, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này là 2.
7.6. Ứng Dụng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn
- Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn: Một số thập phân vô hạn tuần hoàn có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
Ví dụ: 0.3333… = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + … (u1 = 3/10, q = 1/10) - Giải các bài toán hình học: Một số bài toán hình học liên quan đến việc chia nhỏ một hình thành vô số phần có thể được giải bằng cách sử dụng cấp số nhân lùi vô hạn.
- Mô hình hóa các quá trình hội tụ: Cấp số nhân lùi vô hạn có thể được sử dụng để mô hình hóa các quá trình hội tụ trong vật lý, kỹ thuật, và tài chính.
7.7. Lưu Ý Khi Sử Dụng Công Thức
- Đảm bảo |q| < 1: Nếu |q| ≥ 1, công thức trên không áp dụng được và tổng của cấp số nhân không hội tụ.
- Hiểu rõ khái niệm hội tụ: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là một giới hạn, không phải là tổng thực tế của vô số số hạng.
8. Bài Tập Vận Dụng Nâng Cao Về Cấp Số Nhân?
Để nâng cao kỹ năng giải toán về cấp số nhân, chúng ta sẽ cùng xem xét một số bài tập vận dụng nâng cao.
Bài Tập 1
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3 và q = 2. Tìm số hạng nhỏ nhất lớn hơn 1000.
Lời giải:
Ta cần tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho:
un = u1 * q^(n-1) > 1000
3 * 2^(n-1) > 1000
2^(n-1) > 1000/3 ≈ 333.33
Lấy logarit cơ số 2 cả hai vế:
n – 1 > log2(333.33) ≈ 8.38
n > 9.38
Vì n là số nguyên dương, nên n nhỏ nhất là 10.
Vậy, số hạng nhỏ nhất lớn hơn 1000 là u10 = 3 2^(10-1) = 3 2^9 = 3 * 512 = 1536.
Bài Tập 2
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 5 và q = -1/2. Tính tổng của tất cả các số hạng dương.
Lời giải:
Vì q < 0, các số hạng của cấp số nhân sẽ có dấu xen kẽ. Ta chỉ cần tính tổng của các số hạng dương.
Các số hạng dương là: u1, u3, u5, …
Đây là một cấp số nhân mới với số hạng đầu là u1 = 5 và công bội là q’ = q^2 = (-1/2)^2 = 1/4.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này là:
S∞ = u1 / (1 – q’) = 5 / (1 – 1/4) = 5 / (3/4) = 20/3
Vậy, tổng của tất cả các số hạng dương là 20/3.
Bài Tập 3
Cho cấp số nhân (un) có u1 = a, q = b (a, b > 0). Biết u2 + u3 = 6 và u3 + u4 = 12. Tính a và b.
Lời giải:
Ta có hệ phương trình:
- u2 + u3 = a b + a b^2 = 6
- u3 + u4 = a b^2 + a b^3 = 12
Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, ta được:
b = 2
Thay b = 2 vào phương trình đầu tiên, ta được:
a 2 + a 2^2 = 6
6a = 6
a = 1
Vậy, a = 1 và b = 2.
Bài Tập 4
Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì ba số ea, eb, ec theo thứ tự lập thành một cấp số nhân (với e > 0, e ≠ 1).
Lời giải:
Vì a, b, c lập thành cấp số cộng, nên:
b – a = c – b
2b = a + c
Xét ba số ea, eb, ec:
Ta cần chứng minh: eb / ea = ec / eb
<=> (eb)^2 = ea * ec
<=> e^(2b) = e^(a+c)
<=> 2b = a + c
Điều này đúng vì a, b, c lập thành cấp số cộng.
Vậy, ea, eb, ec lập thành cấp số nhân.
Bài Tập 5
Một quả bóng được thả từ độ cao 10 mét. Sau mỗi lần chạm đất, nó nảy lên độ cao bằng 3/4 độ cao của lần nảy trước. Tính tổng quãng đường mà quả bóng đã đi được cho đến khi nó dừng hẳn.
Lời giải:
Quãng đường đi xuống: 10 + 10 (3/4) + 10 (3/4)^2 + …
Quãng đường đi lên: 10 (3/4) + 10 (3/4)^2 + 10 * (3/4)^3 + …
Tổng quãng đường: 10 + 2 [10 (3/4) + 10 (3/4)^2 + 10 (3/4)^3 + …]
Phần trong ngoặc vuông là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 10 * (3/4) = 7.5 và q = 3/4.
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S∞ = 7.5 / (1 – 3/4) = 7.5 / (1/4) = 30
Tổng quãng đường: 10 + 2 * 30 = 70 mét
Vậy, tổng quãng đường mà quả bóng đã đi được là 70 mét.
9. Những Lưu Ý Quan Trọng Khi Giải Bài Tập Cấp Số Nhân?
Để giải bài tập cấp số nhân một cách chính xác và hiệu quả, cần lưu ý những điều sau:
9.1. Nắm Vững Lý Thuyết
- Hiểu rõ định nghĩa cấp số nhân, số hạng đầu, công bội, số hạng tổng quát, và tổng n số hạng đầu tiên.
- Nắm vững các công thức và biết cách biến đổi chúng để giải các bài toán khác nhau.
- Phân biệt cấp số nhân hữu hạn và vô hạn, cấp số nhân lùi vô hạn.
9.2. Đọc Kỹ Đề Bài
- Xác định rõ các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm.
- Phân tích mối liên hệ giữa các yếu tố để tìm ra phương pháp giải phù hợp.
- Chú ý đến các điều kiện ràng buộc (ví dụ: q ≠ 1, |q| < 1).
9.3. Lựa Chọn Công Thức Phù Hợp
- Chọn công thức phù hợp với dạng bài tập và các yếu tố đã cho.
- Biến đổi công thức một cách chính xác để tìm ra ẩn số cần tìm.
9.4. Kiểm Tra Kết Quả
- Sau khi tìm được kết quả, hãy kiểm tra lại bằng cách thay vào công thức gốc hoặc tính toán các số hạng lân cận.
- Đảm bảo kết quả phù hợp với điều kiện đề bài và có ý nghĩa trong ngữ cảnh của bài toán.
9.5. Sử Dụng Máy Tính
- Sử dụng máy tính để thực hiện các phép tính phức tạp, đặc biệt là khi làm việc với lũy thừa và logarit.
- Kiểm tra lại các phép tính bằng máy tính để tránh sai sót.
9.6. Rèn Luyện Kỹ Năng Giải Toán
- Làm nhiều bài tập khác nhau để làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng giải toán.
- Tham khảo các tài liệu và lời giải mẫu để học hỏi kinh nghiệm.
- Thảo luận với bạn bè và thầy cô để giải đáp thắc mắc và nâng cao kiến thức.
10. FAQ: Câu Hỏi Thường Gặp Về Số Hạng Tổng Quát Cấp Số Nhân?
Dưới đây là một số câu hỏi thường gặp về số hạng tổng quát cấp số nhân, cùng với câu trả lời chi tiết.
Câu 1: Làm thế nào để phân biệt cấp số cộng và cấp số nhân?
Trả lời: Cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi (công sai). Cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi (công bội).
Câu 2: Công bội q có thể là số âm không?
Trả lời: Có, công bội q có thể là số âm. Nếu q âm, các số hạng của cấp số nhân sẽ có dấu xen kẽ.
Câu 3: Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân không áp dụng được khi nào?
Trả lời: Công thức Sn = u1 (1 – q^n) / (1 – q) không áp dụng được khi q = 1. Trong trường hợp này, dãy số là dãy số không đổi và tổng đơn giản là n u1.
Câu 4: Cấp số nhân lùi vô hạn là gì? Điều kiện để một cấp số nhân là lùi vô hạn?
Trả lời: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có vô số số hạng và công bội q thỏa mãn |q| < 1.
Câu 5: Làm thế nào để tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn?
Trả lời: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (S∞) được tính theo công thức: S∞ = u1 / (1 – q) (với |q| < 1).
Câu 6: Số hạng tổng quát cấp số nhân có ứng dụng gì trong thực tế?
Trả lời: Số hạng tổng quát cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, như tính lãi kép, mô hình hóa sự tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ, tính toán độ phức tạp thuật toán, …
Câu 7: Khi giải bài tập cấp số nhân, cần lưu ý điều gì?
Trả lời: Khi giải bài tập cấp số nhân, cần nắm vững lý thuyết, đọc kỹ đề bài, lựa chọn công thức phù hợp, kiểm tra kết quả, và sử dụng máy tính khi cần thiết.
Câu 8: Có những dạng bài tập nào về số hạng tổng quát cấp số nhân?
Trả lời: Các dạng bài tập về số hạng tổng quát cấp số nhân rất đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, bao gồm: tìm số hạng thứ n, tìm u1 hoặc q, xác định một dãy số có phải là cấp số nhân hay không, bài toán ứng dụng thực tế, và bài toán tổng hợp và nâng cao.
Câu 9: Làm thế nào để rèn luyện kỹ năng giải toán về cấp số nhân?
*Trả lời
