Phương Trình đường Thẳng Oxy là công cụ toán học mô tả một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ, và Xe Tải Mỹ Đình sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về nó. Bài viết này tại XETAIMYDINH.EDU.VN sẽ cung cấp kiến thức chi tiết về phương trình đường thẳng, các dạng biểu diễn, ứng dụng thực tế và cách giải các bài toán liên quan. Cùng khám phá những điều thú vị về phương trình đường thẳng và làm chủ công cụ hữu ích này nhé. Tham khảo ngay để nắm vững kiến thức, ứng dụng vào thực tế và giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương đối.
1. Phương Trình Đường Thẳng Oxy Là Gì?
Phương trình đường thẳng Oxy là biểu thức toán học thể hiện mối quan hệ giữa các điểm trên một đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy, cho phép xác định và mô tả đường thẳng một cách chính xác. Hiểu rõ phương trình đường thẳng là nền tảng quan trọng trong hình học giải tích.
1.1. Vectơ Chỉ Phương Và Vectơ Pháp Tuyến Của Đường Thẳng
Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến là hai khái niệm then chốt để xác định phương trình đường thẳng.
- Vectơ chỉ phương: Vectơ $overrightarrow{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Delta$ nếu $overrightarrow{u} neq overrightarrow{0}$ và giá của $overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với $Delta$.
- Vectơ pháp tuyến: Vectơ $overrightarrow{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $Delta$ nếu $overrightarrow{n} neq overrightarrow{0}$ và $overrightarrow{n}$ vuông góc với vectơ chỉ phương của $Delta$.
Lưu ý quan trọng:
- Nếu đường thẳng $Delta$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = (a; b)$ thì $Delta$ sẽ nhận $overrightarrow{u} = (b; -a)$ hoặc $overrightarrow{u} = (-b; a)$ là một vectơ chỉ phương.
- Nếu $overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Delta$ thì $koverrightarrow{u}$ (với $k neq 0$) cũng là vectơ chỉ phương của $Delta$.
- Nếu $overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $Delta$ thì $koverrightarrow{n}$ (với $k neq 0$) cũng là vectơ pháp tuyến của $Delta$.
Ví dụ minh họa:
a) Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u} = (frac{23}{-13})$. Tìm một vectơ pháp tuyến của d.
b) Cho đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = (3; 7)$. Tìm ba vectơ chỉ phương của d’.
Hướng dẫn giải:
a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u} = (frac{23}{-13})$. Suy ra d cũng có vectơ chỉ phương $3overrightarrow{u} = (2; -1)$ và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = (1; 2)$. Vậy d có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = (1; 2)$.
b)
- d’ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = (3; 7)$. Suy ra d’ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u} = (-7; 3); -overrightarrow{u} = (7; -3)$.
- d’ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u} = (-7; 3)$. Suy ra d’ cũng có vectơ chỉ phương $2overrightarrow{u} = (-14; 6)$. Vậy ba vectơ chỉ phương của d’ là $overrightarrow{u} = (-7; 3); -overrightarrow{u} = (7; -3); 2overrightarrow{u} = (-14; 6)$.
1.2. Phương Trình Tham Số Của Đường Thẳng
Phương trình tham số là một cách biểu diễn đường thẳng thông qua một tham số.
Trong mặt phẳng Oxy, phương trình tham số của đường thẳng $Delta$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0)$, có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u} = (u_1; u_2)$ là:
$$begin{cases}
x = x_0 + u_1t
y = y_0 + u_2t
end{cases}$$
Trong đó, t là tham số.
Lưu ý: Ứng với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng $Delta$ và ngược lại.
Ví dụ minh họa:
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3) và nhận $overrightarrow{u} = (2; 9)$ làm vectơ chỉ phương.
b) Trong các điểm A(2; 5), B(3; 12), C(-4; 6) thì điểm nào thuộc đường thẳng d?
Hướng dẫn giải:
a) Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3) và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u} = (2; 9)$. Vậy phương trình tham số của đường thẳng d:
$$begin{cases}
x = 1 + 2t
y = 3 + 9t
end{cases}$$
b)
- Thay tọa độ điểm A vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:
$$begin{cases}
2 = 1 + 2t
5 = 3 + 9t
end{cases} Leftrightarrow begin{cases}
t = frac{1}{2}
t = frac{2}{9}
end{cases}$$
Khi đó A(2; 5) $notin$ d.
- Thay tọa độ điểm B vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:
$$begin{cases}
3 = 1 + 2t
12 = 3 + 9t
end{cases} Leftrightarrow begin{cases}
t = 1
t = 1
end{cases}$$
Khi đó B(3; 12) $in$ d.
- Thay tọa độ điểm C vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:
$$begin{cases}
-4 = 1 + 2t
6 = 3 + 9t
end{cases} Leftrightarrow begin{cases}
t = -frac{5}{2}
t = frac{1}{3}
end{cases}$$
Khi đó C(-4; 6) $notin$ d.
Vậy chỉ có điểm B thuộc đường thẳng d.
1.3. Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng
Phương trình tổng quát là một dạng khác để biểu diễn đường thẳng.
Trong mặt phẳng Oxy, mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng: ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0.
Lưu ý:
- Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = (a; b)$.
- Khi cho phương trình đường thẳng ax + by + c = 0, ta hiểu a và b không đồng thời bằng 0.
Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Delta$ trong mỗi trường hợp sau:
a) Đường thẳng $Delta$ đi qua điểm H(2; 1) và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = (-2; -1)$.
b) Đường thẳng $Delta$ đi qua điểm K(5; -8) và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u} = (3; -4)$.
c) Đường thẳng $Delta$ đi qua hai điểm M(6; 3), N(9; 1).
Hướng dẫn giải:
a) Đường thẳng $Delta$ đi qua điểm H(2; 1) và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = (-2; -1)$ nên ta có phương trình tổng quát của $Delta$ là: -2(x – 2) – 1(y – 1) = 0
$Leftrightarrow$ -2x – y + 5 = 0. Vậy phương trình tổng quát của $Delta$ là -2x – y + 5 = 0.
b) $Delta$ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u} = (3; -4)$ nên $Delta$ nhận $overrightarrow{n} = (4; 3)$ làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng $Delta$ đi qua điểm K(5; -8) và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = (4; 3)$ nên ta có phương trình tổng quát của $Delta$ là: 4(x – 5) + 3(y + 8) = 0
$Leftrightarrow$ 4x + 3y + 4 = 0. Vậy phương trình tổng quát của $Delta$ là 4x + 3y + 4 = 0.
c) Với M(6; 3), N(9; 1) ta có: $overrightarrow{MN} = (3; -2)$.
$Delta$ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{MN} = (3; -2)$ nên $Delta$ nhận $overrightarrow{n} = (2; 3)$ làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng $Delta$ đi qua điểm M(6; 3) và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = (2; 3)$ nên phương trình tổng quát của $Delta$ là: 2(x – 6) + 3(y – 3) = 0
$Leftrightarrow$ 2x + 3y – 21 = 0. Vậy phương trình tổng quát của $Delta$ là 2x + 3y – 21 = 0.
Nhận xét:
- Phương trình đường thẳng $Delta$ đi qua hai điểm $A(x_A; y_A), B(x_B; y_B)$ có dạng:
$frac{x – x_A}{x_B – x_A} = frac{y – y_A}{y_B – y_A}$ (với $x_B neq x_A, y_B neq y_A$).
- Nếu đường thẳng $Delta$ cắt trục Ox và Oy tại A(a; 0) và B(0; b) (a, b khác 0) thì phương trình $Delta$ có dạng:
$frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$ (1).
Phương trình (1) còn được gọi là phương trình đoạn chắn.
Ví dụ:
+) Đường thẳng $Delta$ đi qua hai điểm P(2; 5), Q(1; 8).
Suy ra phương trình đường thẳng $Delta$: $frac{x – 2}{1 – 2} = frac{y – 5}{8 – 5} Leftrightarrow frac{x – 2}{-1} = frac{y – 5}{3}$.
Vậy phương trình đường thẳng $Delta$ là $frac{x – 2}{-1} = frac{y – 5}{3}$.
+) Đường thẳng $Delta$ đi qua hai điểm X(-4; 0) và Y(0; 5).
Vậy phương trình đoạn chắn của $Delta$: $frac{x}{-4} + frac{y}{5} = 1$.
1.4. Liên Hệ Giữa Đồ Thị Hàm Số Bậc Nhất Và Đường Thẳng
Đồ thị hàm số bậc nhất có mối liên hệ mật thiết với phương trình đường thẳng.
Ta đã biết đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + y0 (k $neq$ 0) là một đường thẳng d đi qua điểm M(0; y0) và có hệ số góc k. Ta có thể viết: y = kx + y0 $Leftrightarrow$ kx – y + y0 = 0.
Như vậy, đồ thị hàm bậc nhất y = kx + y0 là một đường thẳng có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = (k; -1)$ và có phương trình tổng quát là kx – y + y0 = 0. Đường thẳng này không vuông góc với Ox và Oy.
Ngược lại, cho đường thẳng d có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 với a và b đều khác 0, khi đó ta có thể viết: ax + by + c = 0 $Leftrightarrow y = -frac{a}{b}x – frac{c}{b} Leftrightarrow$ y = kx + y0.
Như vậy d là đồ thị của hàm bậc nhất y = kx + y0 với hệ số góc $k = -frac{a}{b}$ và tung độ gốc $y_0 = -frac{c}{b}$.
Ví dụ:
+) Cho đường thẳng d có phương trình: y = 2x + 1 $Leftrightarrow$ 2x – y + 1 = 0.
Ta suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $overrightarrow{n} = (2; -1)$.
+) Cho đường thẳng d’ có phương trình: x + 5y – 2 = 0 $Leftrightarrow y = -frac{1}{5}x + frac{2}{5}$.
Khi đó ta có d là đồ thị của hàm bậc nhất y = kx + y0, với hệ số góc $k = -frac{1}{5}$ và tung độ gốc $y_0 = frac{2}{5}$.
Chú ý:
- Nếu a = 0 và b $neq$ 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành $y = -frac{c}{b}$.
Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm $(0; -frac{c}{b})$.
- Nếu b = 0 và a $neq$ 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành $x = -frac{c}{a}$.
Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm $(-frac{c}{a}; 0)$.
Trong cả hai trường hợp trên, đường thẳng d không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.
2. Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng
Vị trí tương đối của hai đường thẳng cho biết chúng có song song, cắt nhau hay trùng nhau.
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng $Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0 (a_1^2 + b_1^2 > 0)$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_1}$ và đường thẳng $Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0 (a_2^2 + b_2^2 > 0)$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_2}$.
Ta có thể dùng phương pháp tọa độ để xét vị trí tương đối của $Delta_1$ và $Delta_2$ như sau:
-
Nếu $overrightarrow{n_1}$ và $overrightarrow{n_2}$ cùng phương thì $Delta_1$ và $Delta_2$ song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tùy ý trên $Delta_1$.
- Nếu P $in$ $Delta_2$ thì $Delta_1 equiv Delta_2$.
- Nếu P $notin$ $Delta_2$ thì $Delta_1 // Delta_2$.
-
Nếu $overrightarrow{n_1}$ và $overrightarrow{n_2}$ không cùng phương thì $Delta_1$ và $Delta_2$ cắt nhau tại một điểm $M(x_0; y_0)$ với $(x_0; y_0)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$$begin{cases}
a_1x + b_1y + c_1 = 0
a_2x + b_2y + c_2 = 0
end{cases}$$
Chú ý:
a) Nếu $overrightarrow{n_1}.overrightarrow{n_2} = 0$ thì $overrightarrow{n_1} perp overrightarrow{n_2}$, suy ra $Delta_1 perp Delta_2$.
b) Để xét hai vectơ $overrightarrow{n_1}(a_1; b_1)$ và $overrightarrow{n_2}(a_2; b_2)$ cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức $a_1b_2 – a_2b_1$:
- Nếu $a_1b_2 – a_2b_1 = 0$ thì hai vectơ cùng phương.
- Nếu $a_1b_2 – a_2b_1 neq 0$ thì hai vectơ không cùng phương.
Trong trường hợp tất cả các hệ số $a_1, a_2, b_1, b_2$ đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:
- Nếu $frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2}$ thì hai vectơ cùng phương.
- Nếu $frac{a_1}{a_2} neq frac{b_1}{b_2}$ thì hai vectơ không cùng phương.
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) $Delta_1: 4x – 10y + 1 = 0$ và $Delta_2: x + y + 2 = 0$.
b) $Delta_1: 12x – 6y + 6 = 0$ và $Delta_2: 2x – y + 5 = 0$.
Hướng dẫn giải:
a) $Delta_1: 4x – 10y + 1 = 0$ và $Delta_2: x + y + 2 = 0$.
$Delta_1$ và $Delta_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $overrightarrow{n_1} = (4; -10)$ và $overrightarrow{n_2} = (1; 1)$.
Ta có $frac{4}{1} neq frac{-10}{1}$.
Suy ra $overrightarrow{n_1}$ và $overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ không cùng phương.
Khi đó ta có $Delta_1$ và $Delta_2$ cắt nhau tại một điểm M.
Giải hệ phương trình:
$$begin{cases}
4x – 10y + 1 = 0
x + y + 2 = 0
end{cases} Leftrightarrow begin{cases}
x = -frac{3}{2}
y = -frac{1}{2}
end{cases}$$
Suy ra $M(-frac{3}{2}; -frac{1}{2})$.
Vậy $Delta_1$ cắt $Delta_2$ tại điểm $M(-frac{3}{2}; -frac{1}{2})$.
b) $Delta_1: 12x – 6y + 6 = 0$ và $Delta_2: 2x – y + 5 = 0$.
$Delta_1$ và $Delta_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $overrightarrow{n_1} = (12; -6)$ và $overrightarrow{n_2} = (2; -1)$.
Ta có $frac{12}{2} = frac{-6}{-1}$.
Suy ra $overrightarrow{n_1}$ và $overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ cùng phương.
Khi đó ta có $Delta_1$ và $Delta_2$ song song hoặc trùng nhau.
Chọn $M(0; 1) in Delta_1$.
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng $Delta_2$, ta được: $2.0 – 1 + 5 = 4 neq 0$.
Suy ra $M(0; 1) notin Delta_2$.
Vậy $Delta_1 // Delta_2$.
- $Delta_1$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_1} = (8; 10)$.
$Delta_2$ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u_2} = (5; -4)$.
Suy ra $Delta_2$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_2} = (4; 5)$.
Ta có $frac{8}{4} = frac{10}{5}$.
Suy ra $overrightarrow{n_1}$ và $overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ cùng phương.
Khi đó ta có $Delta_1$ và $Delta_2$ song song hoặc trùng nhau.
Chọn $M(-6; 6) in Delta_2$.
Thế tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng $Delta_1$, ta được: $8.(-6) + 10.6 – 12 = 0$.
Suy ra $M(-6; 6) in Delta_1$.
Vậy $Delta_1 equiv Delta_2$.
- $Delta_1$ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u_1} = (-5; 4)$.
Suy ra $Delta_1$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_1} = (4; 5)$.
- $Delta_2$ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u_2} = (4; 5)$.
Suy ra $Delta_2$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_2} = (5; -4)$.
$Delta_1$ và $Delta_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $overrightarrow{n_1} = (4; 5)$ và $overrightarrow{n_2} = (5; -4)$.
Ta có $overrightarrow{n_1}.overrightarrow{n_2} = 4.5 + 5.(-4) = 0$.
Suy ra $overrightarrow{n_1} perp overrightarrow{n_2}$.
Do đó $Delta_1 perp Delta_2$.
$Delta_1$ đi qua điểm A(-1; 2) và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_1} = (4; 5)$.
Suy ra phương trình tổng quát của $Delta_1$: 4(x + 1) + 5(y – 2) = 0 $Leftrightarrow$ 4x + 5y – 6 = 0.
Tương tự, ta tìm được phương trình tổng quát của $Delta_2$: 5x – 4y + 38 = 0.
Gọi M(x; y) là giao điểm của $Delta_1$ và $Delta_2$.
Suy ra tọa độ điểm M thỏa hệ phương trình:
$$begin{cases}
4x + 5y – 6 = 0
5x – 4y + 38 = 0
end{cases} Leftrightarrow begin{cases}
x = -frac{166}{41}
y = frac{182}{41}
end{cases}$$
Khi đó ta có tọa độ là $M(-frac{166}{41}; frac{182}{41})$.
Vậy $Delta_1$ và $Delta_2$ vuông góc với nhau tại điểm $M(-frac{166}{41}; frac{182}{41})$.
3. Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Góc giữa hai đường thẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích.
3.1. Khái Niệm Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Hai đường thẳng $Delta_1$ và $Delta_2$ cắt nhau tạo thành bốn góc.
- Nếu $Delta_1$ không vuông góc với $Delta_2$ thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng $Delta_1$ và $Delta_2$.
- Nếu $Delta_1$ vuông góc với $Delta_2$ thì ta nói góc giữa $Delta_1$ và $Delta_2$ bằng 90°.
Ta quy ước: Nếu $Delta_1$ và $Delta_2$ song song hoặc trùng nhau thì góc giữa $Delta_1$ và $Delta_2$ bằng 0°.
Như vậy góc $alpha$ giữa hai đường thẳng luôn thỏa mãn: 0° $leq$ $alpha$ $leq$ 90°.
Góc giữa hai đường thẳng $Delta_1$ và $Delta_2$ được kí hiệu là $(widehat{Delta_1, Delta_2})$ hoặc $(Delta_1, Delta_2)$.
Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có $widehat{CBD} = 30°$.
Tính các góc: (BD, BC), (AB, AD), (AD, BC), (AB, BD).
Hướng dẫn giải:
Ta có:
+) $widehat{CBD} = 30°$. Suy ra (BD, BC) = 30°.
+) Vì AB $perp$ AD nên (AB, AD) = 90°.
+) Vì AD // BC nên (AD, BC) = 0°.
+) Ta có $widehat{ABD} + widehat{DBC} = 90°$ (Vì AB $perp$ BC).
$Leftrightarrow widehat{ABD} = 90° – widehat{DBC} = 90° – 30° = 60°$.
Vì $widehat{ABD} = 60°$ nên (AB, BD) = 60°.
Vậy (BD, BC) = 30°, (AB, AD) = 90°, (AD, BC) = 0°, (AB, BD) = 60°.
3.2. Công Thức Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Đường thẳng $Delta_1$ và $Delta_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $overrightarrow{n_1} = (a_1; b_1), overrightarrow{n_2} = (a_2; b_2)$.
Ta có công thức: $cos(Delta_1, Delta_2) = frac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{sqrt{a_1^2 + b_1^2}.sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$.
Nhận xét: Nếu $Delta_1, Delta_2$ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u_1}, overrightarrow{u_2}$ thì $cos(Delta_1, Delta_2) = cos(overrightarrow{u_1}, overrightarrow{u_2})$.
Chú ý: Ta đã biết hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc. Do đó:
- Nếu $Delta_1$ và $Delta_2$ lần lượt có phương trình $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ thì ta có:
$(Delta_1, Delta_2) = 90° Leftrightarrow a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.
- Nếu $Delta_1$ và $Delta_2$ lần lượt có phương trình $y = k_1x + m_1$ và $y = k_2x + m_2$ thì ta có:
$(Delta_1, Delta_2) = 90° Leftrightarrow k_1k_2 = -1$.
Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng -1 thì vuông góc với nhau.
Ví dụ: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trong các trường hợp sau:
a) $d_1: x – 2y + 5 = 0$ và $d_2: 3x – y = 0$.
Hướng dẫn giải:
a) $d_1: x – 2y + 5 = 0$ và $d_2: 3x – y = 0$
$d_1, d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $overrightarrow{n_1} = (1; -2), overrightarrow{n_2} = (3; -1)$.
Ta có $cos(d_1, d_2) = frac{|1.3 + (-2).(-1)|}{sqrt{1^2 + (-2)^2}.sqrt{3^2 + (-1)^2}} = frac{5}{sqrt{5}.sqrt{10}} = frac{sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $(d_1, d_2) = 45°$.
Vậy $(d_1, d_2) = 45°$.
$d_1$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_1} = (4; 3)$.
$d_2$ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u_2} = (-6; 8)$ nên có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_2} = (8; 6)$.
Ta có $overrightarrow{n_2} = 2overrightarrow{n_1}$.
Suy ra $overrightarrow{n_2} // overrightarrow{n_1}$.
Vậy $(d_1, d_2) = 0°$.
$d_1, d_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $overrightarrow{u_1} = (-1; 2), overrightarrow{u_2} = (-4; -2)$.
Vậy $(d_1, d_2) = 90°$.
4. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó đến đường thẳng.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $Delta$ có phương trình ax + by + c = 0 ($a^2 + b^2 > 0$) và điểm $M_0(x_0; y_0)$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến đường thẳng $Delta$, kí hiệu là $d(M_0, Delta)$, được tính bởi công thức: $d(M_0, Delta) = frac{|ax_0 + by_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}$.
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:
a) A(3; 4) và $Delta: 4x + 3y + 1 = 0$.
b) B(1; 2) và d: $3x – 4y + 1 = 0$.
Hướng dẫn giải:
a) Với A(3; 4) và $Delta: 4x + 3y + 1 = 0$ ta có:
$d(A, Delta) = frac{|4.3 + 3.4 + 1|}{sqrt{4^2 + 3^2}} = frac{25}{5} = 5$.
Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $Delta$ bằng 5.
b) Với B(1; 2) và d: $3x – 4y + 1 = 0$ ta có:
$d(B, d) = frac{|3.1 – 4.2 + 1|}{sqrt{3^2 + (-4)^2}} = frac{|-4|}{5} = frac{4}{5}$.
Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d bằng $frac{4}{5}$.
Bài Tập Về Phương Trình Đường Thẳng Oxy
Để củng cố kiến thức, hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình giải một số bài tập điển hình.
Bài 1. Cho $Delta ABC$ có A(-2; 3), B(2; 5), C(5; 1).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB và AC.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
c) Tính khoảng cách từ điểm B lần lượt đến cạnh AC và tính diện tích tam giác ABC.
d) Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
a)
- Với A(-2; 3), B(2; 5) ta có $overrightarrow{AB} = (4; 2)$.
Do đó đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_{AB}} = (2; -4)$.
Đường thẳng AB đi qua A(-2; 3
