Phương Trình Có Nghiệm Duy Nhất Khi Nào là câu hỏi được nhiều người quan tâm. Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ giúp bạn hiểu rõ điều kiện để phương trình, hệ phương trình có nghiệm duy nhất, cùng các ví dụ minh họa dễ hiểu và bài tập tự luyện hữu ích. Với những kiến thức này, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình và hệ phương trình.
1. Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Có Nghiệm Duy Nhất Khi Nào?
Phương trình bậc nhất một ẩn có nghiệm duy nhất khi nào? Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0 (với a khác 0) luôn có nghiệm duy nhất x = -b/a. Điều kiện a khác 0 là yếu tố then chốt để đảm bảo nghiệm này là duy nhất.
1.1. Điều kiện để phương trình bậc nhất một ẩn có nghiệm duy nhất
Để phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 có nghiệm duy nhất, hệ số a phải khác 0. Khi đó, nghiệm của phương trình là x = -b/a.
Ví dụ:
- 2x + 4 = 0 có nghiệm duy nhất x = -2.
- -3x + 9 = 0 có nghiệm duy nhất x = 3.
- 0x + 5 = 0 (a = 0) không có nghiệm hoặc có vô số nghiệm, tùy thuộc vào giá trị của b.
1.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình (m-1)x + 5 = 0 có nghiệm duy nhất.
Giải:
Để phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần m – 1 ≠ 0, suy ra m ≠ 1.
Ví dụ 2: Giải phương trình 3x – 7 = 0.
Giải:
Phương trình có nghiệm duy nhất x = 7/3.
Ví dụ 3: Xác định xem phương trình 0x + 8 = 0 có nghiệm duy nhất không.
Giải:
Vì hệ số của x bằng 0, phương trình không có nghiệm duy nhất. Thực tế, phương trình này vô nghiệm.
1.3. Ứng dụng thực tế của phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình bậc nhất một ẩn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học kỹ thuật, bao gồm:
- Tính toán kinh tế: Xác định điểm hòa vốn, tính toán lợi nhuận.
- Vật lý: Giải các bài toán về chuyển động thẳng đều, tính vận tốc, thời gian.
- Hóa học: Tính lượng chất tham gia phản ứng, xác định nồng độ dung dịch.
- Xây dựng: Tính toán kích thước, khối lượng vật liệu.
Ví dụ, trong lĩnh vực vận tải, phương trình bậc nhất một ẩn có thể được sử dụng để tính toán quãng đường mà một xe tải đi được trong một khoảng thời gian nhất định với vận tốc không đổi. Nếu một xe tải di chuyển với vận tốc 60 km/h, quãng đường xe đi được sau 3 giờ có thể được tính bằng phương trình:
S = 60 t = 60 3 = 180 km
Như vậy, sau 3 giờ, xe tải sẽ đi được 180 km.
2. Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Có Nghiệm Duy Nhất Khi Nào?
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất khi nào? Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
ax + by = c
a'x + b'y = c'Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất khi tỉ số các hệ số của x và y khác nhau, tức là: a/a’ ≠ b/b’.
2.1. Điều kiện để hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất
Để hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là:
a/a' ≠ b/b'Hoặc tương đương:
ab' - a'b ≠ 0Điều này có nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình phải cắt nhau tại một điểm duy nhất trên mặt phẳng tọa độ.
2.2. Các trường hợp khác của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Ngoài trường hợp có nghiệm duy nhất, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn còn có thể rơi vào hai trường hợp sau:
- Vô nghiệm: Khi a/a’ = b/b’ ≠ c/c’. Trong trường hợp này, hai đường thẳng song song và không có điểm chung.
- Vô số nghiệm: Khi a/a’ = b/b’ = c/c’. Trong trường hợp này, hai đường thẳng trùng nhau và mọi điểm trên đường thẳng đều là nghiệm của hệ phương trình.
2.3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét hệ phương trình:
2x + 3y = 7
x - y = 1Ta có: a/a’ = 2/1 = 2, b/b’ = 3/-1 = -3. Vì 2 ≠ -3 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2: Xét hệ phương trình:
x + 2y = 3
2x + 4y = 6Ta có: a/a’ = 1/2, b/b’ = 2/4 = 1/2, c/c’ = 3/6 = 1/2. Vì a/a’ = b/b’ = c/c’ nên hệ phương trình có vô số nghiệm.
Ví dụ 3: Xét hệ phương trình:
x + y = 1
2x + 2y = 3Ta có: a/a’ = 1/2, b/b’ = 1/2, c/c’ = 1/3. Vì a/a’ = b/b’ ≠ c/c’ nên hệ phương trình vô nghiệm.
2.4. Ứng dụng thực tế của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến kinh tế, kỹ thuật và khoa học. Dưới đây là một số ví dụ cụ thể:
- Bài toán về pha trộn:
- Một cửa hàng có hai loại cà phê: loại A giá 80.000 VNĐ/kg và loại B giá 120.000 VNĐ/kg. Người ta muốn pha trộn hai loại này để được 10kg cà phê hỗn hợp có giá 90.000 VNĐ/kg. Hỏi cần bao nhiêu kg mỗi loại?
- Gọi x là số kg cà phê loại A và y là số kg cà phê loại B. Ta có hệ phương trình:
x + y = 10 80000x + 120000y = 90000 * 10 - Giải hệ phương trình này, ta sẽ tìm được số kg mỗi loại cà phê cần dùng.
- Bài toán về vận tốc và thời gian:
- Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc x km/h và một xe con đi từ B về A với vận tốc y km/h. Hai xe gặp nhau sau 2 giờ. Biết quãng đường AB dài 200 km. Tìm vận tốc mỗi xe.
- Ta có hệ phương trình:
2x + 2y = 200 - Nếu có thêm một dữ kiện khác (ví dụ: vận tốc xe con nhanh hơn xe tải 10 km/h), ta sẽ có thêm một phương trình và có thể giải hệ để tìm ra vận tốc của mỗi xe.
- Bài toán về cân bằng cung cầu:
- Trong kinh tế học, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể được sử dụng để mô hình hóa và giải quyết các bài toán về cân bằng cung cầu trên thị trường.
- Giả sử, phương trình cung là P = aQ + b và phương trình cầu là P = cQ + d, trong đó P là giá, Q là lượng hàng hóa, a, b, c, d là các hằng số. Để tìm điểm cân bằng, ta giải hệ phương trình này.
Xe Tải Mỹ Đình hiểu rằng việc áp dụng toán học vào thực tế giúp bạn hình dung rõ hơn về các ứng dụng của nó. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng đưa ra những ví dụ thực tế và dễ hiểu nhất.
3. Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn Có Nghiệm Duy Nhất Khi Nào?
Phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm duy nhất khi nào? Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0). Số nghiệm của phương trình này phụ thuộc vào giá trị của biệt thức Δ = b² – 4ac.
3.1. Điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm duy nhất
Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi biệt thức Δ = b² – 4ac = 0. Khi đó, nghiệm duy nhất của phương trình là x = -b/2a.
3.2. Các trường hợp khác của phương trình bậc hai một ẩn
- Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x₁ = (-b + √Δ) / 2a x₂ = (-b - √Δ) / 2a - Δ < 0: Phương trình vô nghiệm (không có nghiệm thực).
3.3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét phương trình x² – 4x + 4 = 0.
Ta có: a = 1, b = -4, c = 4.
Δ = (-4)² – 4 1 4 = 16 – 16 = 0.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -(-4) / (2 * 1) = 2.
Ví dụ 2: Xét phương trình 2x² + 5x + 3 = 0.
Ta có: a = 2, b = 5, c = 3.
Δ = 5² – 4 2 3 = 25 – 24 = 1.
Vì Δ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x₁ = (-5 + √1) / (2 2) = -1
x₂ = (-5 – √1) / (2 2) = -3/2
Ví dụ 3: Xét phương trình x² + x + 1 = 0.
Ta có: a = 1, b = 1, c = 1.
Δ = 1² – 4 1 1 = 1 – 4 = -3.
Vì Δ < 0 nên phương trình vô nghiệm.
3.4. Ứng dụng thực tế của phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:
- Vật lý: Tính toán quỹ đạo của vật thể chuyển động dưới tác dụng của trọng lực.
- Kỹ thuật: Thiết kế cầu, đường, các công trình xây dựng.
- Tài chính: Tính toán lãi kép, giá trị hiện tại của dòng tiền.
Ví dụ, trong lĩnh vực xây dựng, phương trình bậc hai có thể được sử dụng để tính toán kích thước của một cấu trúc vòm sao cho nó chịu được tải trọng tối đa. Giả sử, độ cao của vòm được mô tả bởi phương trình:
h(x) = -ax² + bx + c
Trong đó, h(x) là độ cao tại vị trí x, a, b, c là các hằng số. Để tìm độ cao tối đa của vòm, ta cần tìm giá trị của x sao cho đạo hàm của h(x) bằng 0. Điều này dẫn đến một phương trình bậc hai, và việc giải phương trình này sẽ giúp kỹ sư xác định được kích thước tối ưu của vòm.
4. Các Dạng Toán Nâng Cao Về Nghiệm Duy Nhất
Ngoài các dạng phương trình cơ bản, các bài toán về nghiệm duy nhất có thể trở nên phức tạp hơn khi kết hợp với các yếu tố khác, như tham số, điều kiện ràng buộc. Dưới đây là một số dạng toán nâng cao thường gặp:
4.1. Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước
Ví dụ: Cho phương trình x² – 2mx + m – 2 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x > 1.
Giải:
Để phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần Δ = (-2m)² – 4 1 (m – 2) = 0.
Suy ra: 4m² – 4m + 8 = 0 <=> m² – m + 2 = 0.
Phương trình này có Δ’ = (-1)² – 4 1 2 = -7 < 0, nên không có giá trị m nào thỏa mãn.
Tuy nhiên, nếu đề bài yêu cầu phương trình có nghiệm kép (nghiệm duy nhất) thỏa mãn x > 1, ta giải như sau:
Δ = 0 <=> m² – m + 2 = 0 (vô nghiệm, như trên đã chứng minh)
Vậy không có giá trị m nào để phương trình có nghiệm duy nhất lớn hơn 1.
4.2. Biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số
Ví dụ: Biện luận số nghiệm của phương trình (m – 1)x² + 2(m + 1)x + m = 0 theo tham số m.
Giải:
- Trường hợp 1: m = 1. Phương trình trở thành 4x + 1 = 0, có nghiệm duy nhất x = -1/4.
- Trường hợp 2: m ≠ 1. Phương trình là phương trình bậc hai.
- Δ’ = (m + 1)² – (m – 1)m = m² + 2m + 1 – m² + m = 3m + 1.
- Nếu Δ’ > 0 <=> 3m + 1 > 0 <=> m > -1/3: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Nếu Δ’ = 0 <=> 3m + 1 = 0 <=> m = -1/3: Phương trình có nghiệm kép x = – (m + 1) / (m – 1) = – (-1/3 + 1) / (-1/3 – 1) = – (2/3) / (-4/3) = 1/2.
- Nếu Δ’ < 0 <=> 3m + 1 < 0 <=> m < -1/3: Phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
- m = 1: Phương trình có nghiệm duy nhất x = -1/4.
- m > -1/3 và m ≠ 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- m = -1/3: Phương trình có nghiệm kép x = 1/2.
- m < -1/3: Phương trình vô nghiệm.
4.3. Giải hệ phương trình chứa tham số để tìm nghiệm duy nhất
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau và tìm m để hệ có nghiệm duy nhất:
x + my = 2
mx - y = 1Giải:
Nhân phương trình thứ hai với m, ta được: m²x – my = m.
Cộng phương trình này với phương trình thứ nhất, ta được: x + m²x = 2 + m <=> x(1 + m²) = 2 + m <=> x = (2 + m) / (1 + m²).
Thay x vào phương trình thứ nhất, ta được: (2 + m) / (1 + m²) + my = 2 <=> my = 2 – (2 + m) / (1 + m²) = (2 + 2m² – 2 – m) / (1 + m²) = (2m² – m) / (1 + m²) <=> y = (2m – 1) / (1 + m²) (nếu m ≠ 0).
Nếu m = 0, hệ trở thành:
x = 2
-y = 1 <=> y = -1Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m:
x = (2 + m) / (1 + m²)
y = (2m - 1) / (1 + m²)5. Bài Tập Tự Luyện Về Nghiệm Duy Nhất
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập tự luyện sau:
- Tìm m để phương trình (m + 2)x – 3 = 0 có nghiệm duy nhất.
- Giải và biện luận số nghiệm của phương trình mx + 2 = 3x – 1 theo tham số m.
- Tìm m để phương trình x² – mx + 4 = 0 có nghiệm duy nhất.
- Giải hệ phương trình sau và tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất:
2x - y = m
x + 2y = 1- Cho phương trình (m – 2)x² + 2(m – 1)x + m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất thỏa mãn x = 2y:
x + my = 5 mx - y = 1 - Biện luận số nghiệm của phương trình |x² – 4x + 3| = m theo tham số m.
- Cho phương trình (m + 1)x² – 2(m – 1)x + m – 3 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
- Giải hệ phương trình sau và tìm m để hệ có nghiệm duy nhất:
mx + y = m x + my = 1 - Tìm m để phương trình x² – 2(m + 1)x + m² + 2 = 0 có nghiệm duy nhất lớn hơn 3.
6. FAQ Về Phương Trình Có Nghiệm Duy Nhất
Dưới đây là một số câu hỏi thường gặp về phương trình có nghiệm duy nhất:
- Khi nào phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất?
- Phương trình bậc nhất ax + b = 0 có nghiệm duy nhất khi a ≠ 0.
- Điều kiện để hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất là gì?
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất khi a/a’ ≠ b/b’.
- Phương trình bậc hai có nghiệm duy nhất khi nào?
- Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi Δ = b² – 4ac = 0.
- Làm thế nào để tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất?
- Bạn cần thiết lập điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất (ví dụ: a ≠ 0 cho phương trình bậc nhất, Δ = 0 cho phương trình bậc hai) và giải phương trình để tìm tham số.
- Hệ phương trình vô nghiệm thì điều gì xảy ra?
- Hệ phương trình vô nghiệm khi không có cặp số (x, y) nào thỏa mãn cả hai phương trình trong hệ.
- Hệ phương trình có vô số nghiệm khi nào?
- Hệ phương trình có vô số nghiệm khi hai phương trình trong hệ tương đương nhau (biểu diễn cùng một đường thẳng).
- Tại sao điều kiện a/a’ ≠ b/b’ lại đảm bảo hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
- Điều kiện này đảm bảo hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình cắt nhau tại một điểm duy nhất.
- Nếu Δ < 0, phương trình bậc hai có nghiệm không?
- Nếu Δ < 0, phương trình bậc hai không có nghiệm thực.
- Phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất không?
- Phương trình bậc nhất hai ẩn (một phương trình) không có nghiệm duy nhất mà có vô số nghiệm. Để có nghiệm duy nhất, cần có ít nhất hai phương trình tạo thành hệ phương trình.
- Ứng dụng của việc tìm nghiệm duy nhất của phương trình trong thực tế là gì?
- Việc tìm nghiệm duy nhất của phương trình có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như trong kinh tế (tìm điểm cân bằng cung cầu), trong kỹ thuật (tính toán kích thước cấu trúc), trong vật lý (tính toán quỹ đạo chuyển động).
7. Vì Sao Nên Tìm Hiểu Về Xe Tải Tại XETAIMYDINH.EDU.VN?
Nếu bạn đang tìm kiếm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về xe tải ở khu vực Mỹ Đình, Hà Nội, XETAIMYDINH.EDU.VN là địa chỉ không thể bỏ qua. Chúng tôi cung cấp:
- Thông tin đa dạng: Từ các dòng xe tải phổ biến đến các mẫu xe chuyên dụng, từ thông số kỹ thuật đến giá cả cạnh tranh.
- Tư vấn chuyên nghiệp: Đội ngũ chuyên gia giàu kinh nghiệm sẵn sàng giải đáp mọi thắc mắc của bạn, giúp bạn lựa chọn được chiếc xe tải phù hợp nhất với nhu cầu và ngân sách.
- Dịch vụ hỗ trợ toàn diện: Chúng tôi cung cấp thông tin về các dịch vụ sửa chữa, bảo dưỡng xe tải uy tín trong khu vực, giúp bạn yên tâm vận hành xe.
8. Liên Hệ Với Xe Tải Mỹ Đình Để Được Tư Vấn
Đừng ngần ngại liên hệ với Xe Tải Mỹ Đình ngay hôm nay để được tư vấn và giải đáp mọi thắc mắc về xe tải. Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những thông tin chính xác, hữu ích và dịch vụ hỗ trợ tận tâm nhất.
Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội.
Hotline: 0247 309 9988
Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN
Xe Tải Mỹ Đình luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trên mọi nẻo đường!
