**Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Là Gì Và Giải Ra Sao?**

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một khái niệm quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Bạn đang gặp khó khăn trong việc giải quyết dạng toán này? Đừng lo lắng! Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ cung cấp cho bạn cái nhìn tổng quan và chi tiết nhất về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, từ định nghĩa cơ bản đến các ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức, tự tin chinh phục mọi bài toán liên quan đến bất phương trình bậc nhất hai ẩn, đồng thời mở ra cánh cửa khám phá những ứng dụng thú vị của nó trong đời sống và công việc. Hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình khám phá miền nghiệm, hệ bất phương trình và bài tập ứng dụng nhé.

1. Định Nghĩa Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một biểu thức toán học có dạng tổng quát như sau:

• ax + by + c < 0
• ax + by + c > 0
• ax + by + c ≤ 0
• ax + by + c ≥ 0

Trong đó:

• x và y là hai ẩn số cần tìm.
• a, b, và c là các hệ số đã biết, với a và b không đồng thời bằng 0 (tức là a² + b² ≠ 0).

Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là cặp số (x₀; y₀) sao cho khi thay vào bất phương trình, ta được một khẳng định đúng. Ví dụ, cặp số (x₀; y₀) là một nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 nếu ax₀ + by₀ + c < 0. Tương tự, ta có định nghĩa nghiệm cho các dạng bất phương trình còn lại.

2. Miền Nghiệm Của Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

2.1. Khái niệm miền nghiệm

Miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy mà tọa độ của chúng là nghiệm của bất phương trình đó. Nói cách khác, nếu một điểm thuộc miền nghiệm, thì khi thay tọa độ của điểm đó vào bất phương trình, ta sẽ được một mệnh đề đúng.

2.2. Định lý quan trọng

Đường thẳng (d): ax + by + c = 0 chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng này chứa tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn ax + by + c > 0, và nửa mặt phẳng còn lại chứa tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn ax + by + c < 0.

Từ định lý này, ta có thể suy ra rằng nửa mặt phẳng (không kể bờ là đường thẳng (d)) chứa điểm M(x₀, y₀) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0 (hoặc ax + by + c < 0) nếu điểm M(x₀, y₀) là một nghiệm của bất phương trình đó.

2.3. Cách biểu diễn miền nghiệm

Để xác định và biểu diễn miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Vẽ đường thẳng (d): ax + by + c = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đây là đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
• Bước 2: Chọn một điểm M(x₀, y₀) bất kỳ không nằm trên đường thẳng (d).
  • Trường hợp 1: Nếu ax₀ + by₀ + c < 0, thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.
  • Trường hợp 2: Nếu ax₀ + by₀ + c > 0, thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0.

Lưu ý quan trọng:

• Đối với các bất phương trình có dạng ax + by + c ≤ 0 hoặc ax + by + c ≥ 0, miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ (đường thẳng (d)).
• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm, do đó miền nghiệm của nó là một vùng vô hạn trên mặt phẳng tọa độ.

Ví dụ minh họa:

Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình 2x - y ≤ 3.

Giải:

1. Vẽ đường thẳng (Δ): 2x - y = 3.
2. Chọn điểm O(0, 0). Thay vào bất phương trình, ta có 2(0) - 0 = 0 ≤ 3, điều này đúng.
3. Vậy, miền nghiệm của bất phương trình 2x - y ≤ 3 là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ O, kể cả bờ là đường thẳng (Δ).

Miền nghiệm của bất phương trình 2x – y ≤ 3

3. Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp gồm hai hoặc nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Nghiệm của hệ là tập hợp tất cả các cặp số (x, y) thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là giao của các miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ. Nói cách khác, một điểm thuộc miền nghiệm của hệ khi và chỉ khi nó thuộc miền nghiệm của tất cả các bất phương trình thành phần.

Để xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ và gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm đó.
• Bước 2: Miền không bị gạch (phần còn lại) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Ví dụ:

Biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất phương trình sau:

2x - y ≤ 3
2x + 5y ≤ 12x + 8

Hướng dẫn giải:

1. Biến đổi hệ bất phương trình:

2x - y ≤ 3
2x + 5y ≤ 12x + 8  <=> -10x + 5y ≤ 8

2. Vẽ các đường thẳng:

• (d₁): 2x - y = 3 hay y = 2x - 3
• (d₂): -10x + 5y = 8 hay y = 2x + 8/5

3. Xác định miền nghiệm:

Chọn điểm O(0; 0), ta thấy O không thuộc cả hai đường thẳng trên. Thay vào hệ bất phương trình, ta có:

• 2(0) - 0 ≤ 3 (đúng)
• -10(0) + 5(0) ≤ 8 (đúng)

Vậy, miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng trên và chứa điểm O.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

4. Một Số Bài Tập Về Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

4.1. Xác định miền nghiệm

Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm theo hình học của bất phương trình sau: -3x + 2y > 0.

Giải:

1. Vẽ đường thẳng -3x + 2y = 0. Đường thẳng này đi qua gốc tọa độ (0, 0). Để vẽ đường thẳng, ta cần tìm một điểm khác, ví dụ khi x = 2, ta có y = 3. Vậy đường thẳng đi qua hai điểm (0, 0) và (2, 3).
2. Chọn một điểm không nằm trên đường thẳng, ví dụ (1, 0). Thay vào bất phương trình, ta có -3(1) + 2(0) = -3 > 0, điều này sai.
3. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm (1, 0), không kể bờ.

Bài tập ví dụ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình sau:

x + y ≤ 4
x ≥ 0
y ≥ 0

Giải:

1. Vẽ các đường thẳng:
   • (d₁): x + y = 4
   • (d₂): x = 0 (trục tung)
   • (d₃): y = 0 (trục hoành)
2. Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình:
   • x + y ≤ 4: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và giới hạn bởi đường thẳng (d₁).
   • x ≥ 0: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên phải trục tung.
   • y ≥ 0: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên trên trục hoành.
3. Miền nghiệm của hệ là giao của ba miền nghiệm trên, là tam giác vuông có các đỉnh (0, 0), (4, 0), và (0, 4).

Bài tập ví dụ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

4.2. Ứng dụng vào bài toán kinh tế

Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn không chỉ là công cụ toán học trừu tượng mà còn có nhiều ứng dụng thực tế, đặc biệt trong lĩnh vực kinh tế. Chúng giúp chúng ta mô hình hóa và giải quyết các bài toán tối ưu hóa, tìm ra phương án sản xuất, kinh doanh hiệu quả nhất.

Ví dụ 1: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm I và II từ ba nhóm máy A, B, C. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm, mỗi loại cần sử dụng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong mỗi nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:

Nhóm máy	Số máy trong nhóm	Số máy cần cho một đơn vị sản phẩm I	Số máy cần cho một đơn vị sản phẩm II
A	10	2	2
B	4	0	2
C	12	2	4

Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm II lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi đạt được cao nhất.

Giải:

Gọi x là số đơn vị sản phẩm loại I, y là số đơn vị sản phẩm loại II sản xuất ra.

Khi đó, tiền lãi có được là L = 3x + 5y (nghìn đồng).

Theo đề bài:

• Nhóm A cần 2x + 2y máy.
• Nhóm B cần 0x + 2y máy.
• Nhóm C cần 2x + 4y máy.

Vì số máy tối đa ở nhóm A là 10 máy, nhóm B là 4 máy, nhóm C là 12 máy nên x, y phải thỏa mãn hệ bất phương trình:

2x + 2y ≤ 10
2y ≤ 4
2x + 4y ≤ 12
x, y ≥ 0

Bài toán trở thành: Trong các nghiệm của hệ bất phương trình trên, nghiệm (x₀; y₀) nào cho L = 3x + 5y lớn nhất?

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác ABCDE (tính cả miền trong).

Bài toán vận dụng bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giá trị lớn nhất của L đạt được tại một trong các đỉnh của ngũ giác ABCDE. Tính giá trị của biểu thức L = 3x + 5y tại các đỉnh:

• Đỉnh A(0; 2), L = 10
• Đỉnh B(2; 2), L = 16
• Đỉnh C(4; 1), L = 17
• Đỉnh D(5; 0), L = 15
• Đỉnh E(0; 0), L = 0

Vậy, L = 3x + 5y lớn nhất là 17 (nghìn đồng) khi x = 4; y = 1.

Kết luận: Để có tiền lãi cao nhất, xưởng cần sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm loại II.

Ví dụ 2: Một xưởng sản xuất 2 loại sản phẩm. Mỗi cân sản phẩm loại I cần 2 cân nguyên liệu và 30 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 40.000 đồng. Mỗi cân sản phẩm loại II cần 4 cân nguyên liệu và 15 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 30.000 đồng. Xưởng có 200 cân nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Hỏi giám đốc của xưởng nên cho sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu cân để có mức lợi nhuận cao nhất?

Hướng dẫn giải:

Gọi x (x ≥ 0) là số cân loại I cần sản xuất, y (y ≥ 0) là số cân loại II cần sản xuất.

Từ đề bài suy ra:

• Số nguyên liệu cần dùng là 2x + 4y
• Thời gian là 30x + 15y
• Mức lợi nhuận thu được là 40000x + 30000y

Theo giả thiết đề bài, xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc => 2x + 4y ≤ 200 hay x + 2y - 100 ≤ 0, 30x + 15y ≤ 1200 hay 2x + y - 80 ≤ 0.

Bài toán trở thành: Tìm x và y thỏa mãn hệ bất phương trình:

x + 2y - 100 ≤ 0
2x + y - 80 ≤ 0
x ≥ 0
y ≥ 0

sao cho H(x; y) = 40000x + 30000y đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng Oxy, vẽ các đường thẳng (d₁): x + 2y - 100 = 0 và (d₂): 2x + y - 80 = 0.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là phần mặt phẳng không được tô màu ở hình vẽ dưới đây.

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ứng dụng

Giá trị lớn nhất của H(x; y) = 40000x + 30000y đạt giá trị tại một trong các điểm (0; 0), (40; 0), (0; 50), (20; 40).

Ta có: H(0; 0) = 0, H(40; 0) = 1600000, H(0; 50) = 1500000, H(20; 40) = 2000000

Giá trị lớn nhất của H(x; y) = 2000000 khi (x; y) = (20; 40)

Vậy, xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại II để có mức lợi nhuận lớn nhất.

Những ví dụ trên cho thấy bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán tối ưu trong kinh tế và các lĩnh vực khác.

5. Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn (FAQ)

Câu 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có bao nhiêu nghiệm?

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm. Miền nghiệm của nó là một nửa mặt phẳng hoặc nửa mặt phẳng kể cả bờ.

Câu 2: Làm thế nào để xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Để xác định miền nghiệm, ta vẽ đường thẳng tương ứng với bất phương trình, sau đó chọn một điểm không nằm trên đường thẳng để kiểm tra xem nó có thuộc miền nghiệm hay không.

Câu 3: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp gồm hai hoặc nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Câu 4: Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được xác định như thế nào?

Miền nghiệm của hệ là giao của các miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ.

Câu 5: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có ứng dụng gì trong thực tế?

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn được sử dụng rộng rãi trong các bài toán tối ưu hóa trong kinh tế, ví dụ như lập kế hoạch sản xuất để đạt lợi nhuận cao nhất.

Câu 6: Làm thế nào để giải bài toán tối ưu hóa sử dụng bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Ta cần xác định hàm mục tiêu (ví dụ, lợi nhuận) và các ràng buộc (ví dụ, nguồn lực hạn chế) dưới dạng bất phương trình. Sau đó, tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình và xác định điểm trong miền nghiệm mà tại đó hàm mục tiêu đạt giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất).

Câu 7: Đường thẳng ax + by + c = 0 có vai trò gì trong việc giải bất phương trình ax + by + c > 0?

Đường thẳng ax + by + c = 0 là ranh giới chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng này là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0 (hoặc ax + by + c < 0).

Câu 8: Nếu điểm thử không thỏa mãn bất phương trình, ta kết luận điều gì?

Nếu điểm thử không thỏa mãn bất phương trình, thì nửa mặt phẳng chứa điểm đó không phải là miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ).

Câu 9: Tại sao cần phải kiểm tra điểm thử khi giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Việc kiểm tra điểm thử giúp ta xác định được nửa mặt phẳng nào là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu không có điểm thử, ta không thể biết được miền nghiệm nằm ở phía nào của đường thẳng.

Câu 10: Khi nào miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là nửa mặt phẳng kể cả bờ?

Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ khi bất phương trình có dạng ax + by + c ≤ 0 hoặc ax + by + c ≥ 0.

Hy vọng những giải thích và ví dụ trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn về bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bạn đang tìm kiếm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về xe tải ở Mỹ Đình? Bạn muốn được tư vấn lựa chọn xe phù hợp với nhu cầu và ngân sách của mình? Hãy truy cập ngay XETAIMYDINH.EDU.VN để được giải đáp mọi thắc mắc và nhận được sự hỗ trợ tốt nhất từ đội ngũ chuyên gia của chúng tôi. Xe Tải Mỹ Đình luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trên mọi nẻo đường! Liên hệ ngay với chúng tôi qua hotline 0247 309 9988 hoặc đến trực tiếp địa chỉ Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội để được phục vụ tận tình.