Công Thức Oxyz là nền tảng quan trọng trong hình học giải tích không gian, giúp bạn dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến tọa độ, vectơ và các hình khối. Tại Xe Tải Mỹ Đình, chúng tôi hiểu rõ tầm quan trọng của kiến thức này và cung cấp thông tin chi tiết, dễ hiểu nhất để hỗ trợ bạn. Bài viết sau đây của XETAIMYDINH.EDU.VN sẽ hệ thống lại toàn bộ kiến thức về công thức Oxyz, từ định nghĩa cơ bản đến các ứng dụng nâng cao, cùng với các bài tập minh họa giúp bạn nắm vững kiến thức. Chúng tôi còn cung cấp thêm các thông tin liên quan đến tọa độ không gian, hình học giải tích, và vectơ trong không gian.
1. Tọa Độ Điểm Và Vectơ Trong Không Gian Oxyz
1.1. Hệ Tọa Độ Oxyz Là Gì?
Hệ tọa độ Oxyz là hệ tọa độ Descartes ba chiều, được tạo thành từ ba trục số Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Điểm gốc O, nơi ba trục giao nhau, được gọi là gốc tọa độ. Ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt được gọi là trục hoành, trục tung và trục cao.
Alt: Hình ảnh minh họa hệ tọa độ Oxyz với ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc.
Mỗi điểm M trong không gian Oxyz được xác định bởi một bộ ba số (x; y; z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của điểm M. Bộ ba số này được gọi là tọa độ của điểm M, ký hiệu là M(x; y; z).
Theo nghiên cứu của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Khoa Toán – Tin, vào tháng 5 năm 2023, việc nắm vững hệ tọa độ Oxyz là tiền đề để tiếp cận các khái niệm hình học không gian phức tạp hơn.
1.2. Vectơ Trong Không Gian Oxyz
Vectơ trong không gian Oxyz là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối. Vectơ có điểm đầu A(xA; yA; zA) và điểm cuối B(xB; yB; zB) có tọa độ là:
(overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A))
Alt: Công thức toán học biểu diễn cách tính tọa độ vectơ AB từ tọa độ điểm A và B.
Độ dài của vectơ (overrightarrow{AB}) được tính theo công thức:
(|overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2})
Ví dụ, vectơ (overrightarrow{u} = (2; -1; 3)) có độ dài là:
(|overrightarrow{u}| = sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = sqrt{14})
Các Phép Toán Với Vectơ:
- Tổng hai vectơ: (overrightarrow{a}(x_1; y_1; z_1) + overrightarrow{b}(x_2; y_2; z_2) = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2))
- Hiệu hai vectơ: (overrightarrow{a}(x_1; y_1; z_1) – overrightarrow{b}(x_2; y_2; z_2) = (x_1 – x_2; y_1 – y_2; z_1 – z_2))
- Tích của một số với một vectơ: (k.overrightarrow{a}(x; y; z) = (kx; ky; kz))
1.3. Ứng Dụng Của Tọa Độ Điểm Và Vectơ
-
Tìm trung điểm của đoạn thẳng: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì tọa độ của I là:
(I(frac{x_A + x_B}{2}; frac{y_A + y_B}{2}; frac{z_A + z_B}{2}))
-
Tìm trọng tâm của tam giác: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC, thì tọa độ của G là:
(G(frac{x_A + x_B + x_C}{3}; frac{y_A + y_B + y_C}{3}; frac{z_A + z_C + z_C}{3}))
-
Kiểm tra tính chất hình học: Kiểm tra xem ABCD có là hình bình hành hay không bằng cách so sánh hai vectơ: (overrightarrow{AB} = overrightarrow{DC}).
2. Tích Vô Hướng, Tích Có Hướng Và Ứng Dụng
2.1. Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ
Cho hai vectơ (overrightarrow{u}(x_1; y_1; z_1)) và (overrightarrow{v}(x_2; y_2; z_2)), tích vô hướng của chúng được định nghĩa là:
(overrightarrow{u} . overrightarrow{v} = |overrightarrow{u}| . |overrightarrow{v}| . cos(overrightarrow{u}, overrightarrow{v}) = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2)
Alt: Biểu thức toán học về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Oxyz.
Ứng Dụng Của Tích Vô Hướng:
-
Tính góc giữa hai vectơ:
(cos(overrightarrow{u}, overrightarrow{v}) = frac{overrightarrow{u} . overrightarrow{v}}{|overrightarrow{u}| . |overrightarrow{v}|})
-
Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: Hai vectơ (overrightarrow{u}) và (overrightarrow{v}) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
(overrightarrow{u} . overrightarrow{v} = 0 Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0)
2.2. Tích Có Hướng Của Hai Vectơ
Cho hai vectơ (overrightarrow{u}(x_1; y_1; z_1)) và (overrightarrow{v}(x_2; y_2; z_2)), tích có hướng của chúng là một vectơ, ký hiệu là ([overrightarrow{u}, overrightarrow{v}]), có tọa độ được tính như sau:
[overrightarrow{u}, overrightarrow{v}] = (begin{vmatrix} y_1 & z_1 \ y_2 & z_2 end{vmatrix}; begin{vmatrix} z_1 & x_1 \ z_2 & x_2 end{vmatrix}; begin{vmatrix} x_1 & y_1 \ x_2 & y_2 end{vmatrix}) = (y_1z_2 – y_2z_1; z_1x_2 – z_2x_1; x_1y_2 – x_2y_1))
Alt: Công thức toán học để tính tích có hướng của hai vectơ bằng định thức.
Ứng Dụng Của Tích Có Hướng:
-
Tính diện tích tam giác: Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức:
(S_{ABC} = frac{1}{2}|[overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}]|)
-
Tính diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành ABCD được tính bằng công thức:
(S_{ABCD} = |[overrightarrow{AB}, overrightarrow{AD}]|)
-
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai vectơ (overrightarrow{u}) và (overrightarrow{v}) là ([overrightarrow{u}, overrightarrow{v}]).
2.3. Tích Hỗn Tạp
Tích hỗn tạp của ba vectơ (overrightarrow{u}, overrightarrow{v}, overrightarrow{w}) là một số vô hướng, được ký hiệu là ([overrightarrow{u}, overrightarrow{v}].overrightarrow{w}) và được tính như sau:
[overrightarrow{u}, overrightarrow{v}].overrightarrow{w} = (y_1z_2 – y_2z_1)x_3 + (z_1x_2 – z_2x_1)y_3 + (x_1y_2 – x_2y_1)z_3]
Ứng Dụng Của Tích Hỗn Tạp:
-
Kiểm tra tính đồng phẳng của ba vectơ: Ba vectơ (overrightarrow{u}, overrightarrow{v}, overrightarrow{w}) đồng phẳng khi và chỉ khi:
[overrightarrow{u}, overrightarrow{v}].overrightarrow{w} = 0]
-
Tính thể tích khối hộp: Thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ được tính bằng công thức:
(V_{ABCD.A’B’C’D’} = |[overrightarrow{AB}, overrightarrow{AD}].overrightarrow{AA’}|)
-
Tính thể tích tứ diện: Thể tích của tứ diện ABCD được tính bằng công thức:
(V_{ABCD} = frac{1}{6}|[overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}].overrightarrow{AD}|)
3. Phương Trình Mặt Cầu
3.1. Dạng Tổng Quát Của Phương Trình Mặt Cầu
Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình dạng tổng quát là:
((x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2)
Alt: Công thức tổng quát của phương trình mặt cầu trong hệ tọa độ Oxyz.
3.2. Dạng Khai Triển Của Phương Trình Mặt Cầu
Phương trình mặt cầu còn có thể được viết dưới dạng khai triển:
(x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0)
Với điều kiện (a^2 + b^2 + c^2 – d > 0), phương trình này biểu diễn một mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính (R = sqrt{a^2 + b^2 + c^2 – d}).
3.3. Các Bài Toán Liên Quan Đến Mặt Cầu
-
Tìm tâm và bán kính mặt cầu: Từ phương trình mặt cầu, xác định các hệ số a, b, c, d và sử dụng công thức để tìm tâm I(a; b; c) và bán kính R.
-
Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính: Thay tọa độ tâm và bán kính vào phương trình tổng quát.
-
Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng: So sánh khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng với bán kính mặt cầu.
- Nếu d(I, (P)) > R: Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
- Nếu d(I, (P)) = R: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại tiếp điểm M, là hình chiếu của I lên (P).
- Nếu d(I, (P)) < R: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính (r = sqrt{R^2 – d^2}) và tâm H là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P).
4. Phương Trình Mặt Phẳng
4.1. Phương Trình Tổng Quát Của Mặt Phẳng
Mặt phẳng đi qua điểm (M_0(x_0; y_0; z_0)) và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow{n}(A; B; C)) có phương trình tổng quát là:
(A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0)
Alt: Công thức biểu diễn phương trình mặt phẳng trong không gian ba chiều.
Phương trình này cũng có thể được viết dưới dạng:
(Ax + By + Cz + D = 0)
Trong đó (D = -Ax_0 – By_0 – Cz_0).
4.2. Phương Trình Mặt Phẳng Theo Đoạn Chắn
Mặt phẳng ((alpha)) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình theo đoạn chắn là:
(frac{x}{a} + frac{y}{b} + frac{z}{c} = 1) (với abc ≠ 0)
4.3. Vị Trí Tương Đối Của Hai Mặt Phẳng
Cho hai mặt phẳng ((alpha)): Ax + By + Cz + D = 0 và ((alpha’)): A’x + B’y + C’z + D’ = 0, ta có các trường hợp sau:
-
((alpha)) trùng với ((alpha’)) khi và chỉ khi:
(frac{A}{A’} = frac{B}{B’} = frac{C}{C’} = frac{D}{D’})
-
((alpha)) song song với ((alpha’)) khi và chỉ khi:
(frac{A}{A’} = frac{B}{B’} = frac{C}{C’} ≠ frac{D}{D’})
-
((alpha)) cắt ((alpha’)) khi và chỉ khi:
(frac{A}{A’} ≠ frac{B}{B’}) hoặc (frac{B}{B’} ≠ frac{C}{C’}) hoặc (frac{A}{A’} ≠ frac{C}{C’})
-
((alpha)) vuông góc với ((alpha’)) khi và chỉ khi:
(AA’ + BB’ + CC’ = 0)
4.4. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Mặt Phẳng
Cho mặt phẳng ((alpha)): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M(xM; yM; zM), khoảng cách từ M đến ((alpha)) được tính theo công thức:
(d(M, (alpha)) = frac{|Ax_M + By_M + Cz_M + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}})
5. Phương Trình Đường Thẳng
5.1. Phương Trình Tham Số Của Đường Thẳng
Đường thẳng đi qua điểm (M_0(x_0; y_0; z_0)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow{u}(a; b; c)) có phương trình tham số là:
[begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \ z = z_0 + ct end{cases} (t in mathbb{R})]
5.2. Phương Trình Chính Tắc Của Đường Thẳng
Đường thẳng đi qua điểm (M_0(x_0; y_0; z_0)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow{u}(a; b; c)) (với a, b, c ≠ 0) có phương trình chính tắc là:
(frac{x – x_0}{a} = frac{y – y_0}{b} = frac{z – z_0}{c})
5.3. Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng
Cho đường thẳng d đi qua điểm (M_0) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow{u}), đường thẳng d’ đi qua điểm (M’_0) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow{u’}), ta có:
-
d và d’ đồng phẳng khi và chỉ khi:
[overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}].overrightarrow{M_0M’_0} = 0]
-
d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi:
[overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}].overrightarrow{M_0M’_0} ≠ 0]
-
d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi:
[begin{cases} [overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}] ≠ overrightarrow{0} \ [overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}].overrightarrow{M_0M’_0} = 0 end{cases}]
-
d và d’ song song khi và chỉ khi:
[begin{cases} [overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}] = overrightarrow{0} \ [overrightarrow{u}, overrightarrow{M_0M’_0}] ≠ overrightarrow{0} end{cases}]
5.4. Khoảng Cách
-
Từ điểm đến đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ((Delta)) được tính bằng công thức:
(d(M; Delta) = frac{|[overrightarrow{u}, overrightarrow{MM_0}]|}{|overrightarrow{u}|})
-
Giữa hai đường thẳng chéo nhau: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ((Delta)) và ((Delta’)) được tính bằng công thức:
(d(Delta; Delta’) = frac{|[overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}].overrightarrow{M_0M’_0}|}{|[overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}]|})
6. Bài Tập Vận Dụng Công Thức Oxyz
Để nắm vững kiến thức về công thức Oxyz, hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình giải một số bài tập vận dụng sau đây:
Bài 1: Cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6).
a) Tìm tọa độ vectơ (overrightarrow{AB}).
b) Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Lời giải:
a) (overrightarrow{AB} = (4 – 1; 5 – 2; 6 – 3) = (3; 3; 3))
b) (AB = |overrightarrow{AB}| = sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = sqrt{27} = 3sqrt{3})
Bài 2: Cho tam giác ABC với A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1).
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Lời giải:
a) (overrightarrow{AB} = (-1; 1; 0)), (overrightarrow{AC} = (-1; 0; 1))
[overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}] = (1; 1; 1)]
(S_{ABC} = frac{1}{2}|[overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}]| = frac{1}{2}sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = frac{sqrt{3}}{2})
b) (G(frac{1 + 0 + 0}{3}; frac{0 + 1 + 0}{3}; frac{0 + 0 + 1}{3}) = (frac{1}{3}; frac{1}{3}; frac{1}{3}))
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; -2; 3) và bán kính R = 5.
Lời giải:
Phương trình mặt cầu là:
((x – 1)^2 + (y + 2)^2 + (z – 3)^2 = 5^2)
(Leftrightarrow x^2 – 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 + z^2 – 6z + 9 = 25)
(Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 4y – 6z – 11 = 0)
7. FAQ Về Công Thức Oxyz
7.1. Công thức Oxyz dùng để làm gì?
Công thức Oxyz được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến hình học không gian, bao gồm tính khoảng cách, góc, diện tích, thể tích, và xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học.
7.2. Làm thế nào để xác định tọa độ của một điểm trong không gian Oxyz?
Để xác định tọa độ của một điểm M trong không gian Oxyz, ta chiếu điểm M lên ba trục Ox, Oy, Oz. Tọa độ của điểm M là bộ ba số (x; y; z), trong đó x, y, z lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz.
7.3. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là gì?
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ vuông góc với mặt phẳng đó. Vectơ pháp tuyến được sử dụng để xác định hướng của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng.
7.4. Làm thế nào để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian Oxyz?
Để tính khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng ((Delta)) trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức:
(d(M; Delta) = frac{|[overrightarrow{u}, overrightarrow{MM_0}]|}{|overrightarrow{u}|})
Trong đó (overrightarrow{u}) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ((Delta)) và (M_0) là một điểm bất kỳ trên đường thẳng ((Delta)).
7.5. Khi nào hai đường thẳng được gọi là song song trong không gian Oxyz?
Hai đường thẳng được gọi là song song trong không gian Oxyz khi chúng có vectơ chỉ phương cùng phương và không có điểm chung.
7.6. Làm thế nào để viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng?
Để viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C, ta thực hiện các bước sau:
- Tính hai vectơ (overrightarrow{AB}) và (overrightarrow{AC}).
- Tính tích có hướng của hai vectơ ([overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}]). Vectơ này là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Sử dụng tọa độ của một trong ba điểm A, B, C và vectơ pháp tuyến để viết phương trình mặt phẳng.
7.7. Ứng dụng của tích có hướng trong hình học không gian là gì?
Tích có hướng có nhiều ứng dụng trong hình học không gian, bao gồm:
- Tính diện tích tam giác và hình bình hành.
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Kiểm tra tính đồng phẳng của ba vectơ.
7.8. Phương trình chính tắc của đường thẳng là gì và khi nào nó được sử dụng?
Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
(frac{x – x_0}{a} = frac{y – y_0}{b} = frac{z – z_0}{c})
Phương trình này được sử dụng khi biết một điểm trên đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng, và các thành phần của vectơ chỉ phương khác 0.
7.9. Tại sao cần học công thức Oxyz?
Học công thức Oxyz giúp chúng ta giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và chính xác. Nó cũng là nền tảng để học các môn học khác như vật lý và kỹ thuật.
7.10. Có những nguồn tài liệu nào để học công thức Oxyz?
Có rất nhiều nguồn tài liệu để học công thức Oxyz, bao gồm sách giáo khoa, sách tham khảo, các trang web giáo dục trực tuyến và các video bài giảng.
8. Tại Sao Nên Tìm Hiểu Về Xe Tải Tại Xe Tải Mỹ Đình?
Bạn đang tìm kiếm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về xe tải ở Mỹ Đình, Hà Nội? Bạn muốn so sánh giá cả, thông số kỹ thuật giữa các dòng xe và được tư vấn lựa chọn xe phù hợp với nhu cầu và ngân sách? Bạn cần giải đáp các thắc mắc liên quan đến thủ tục mua bán, đăng ký và bảo dưỡng xe tải?
XETAIMYDINH.EDU.VN là địa chỉ tin cậy dành cho bạn! Chúng tôi cung cấp:
- Thông tin chi tiết và cập nhật: Về các loại xe tải có sẵn ở Mỹ Đình, Hà Nội.
- So sánh giá cả và thông số kỹ thuật: Giúp bạn dễ dàng lựa chọn xe phù hợp.
- Tư vấn chuyên nghiệp: Từ đội ngũ chuyên gia giàu kinh nghiệm.
- Giải đáp mọi thắc mắc: Liên quan đến thủ tục mua bán, đăng ký và bảo dưỡng xe tải.
- Thông tin về dịch vụ sửa chữa uy tín: Trong khu vực Mỹ Đình.
Liên hệ ngay với Xe Tải Mỹ Đình để được tư vấn và giải đáp mọi thắc mắc!
Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội
Hotline: 0247 309 9988
Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN
Xe Tải Mỹ Đình – Đồng hành cùng bạn trên mọi nẻo đường!
