Tìm đồng biến, nghịch biến của hàm số là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông. Bài viết này của Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết và dễ hiểu, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài tập. Hãy cùng khám phá cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, và tính đơn điệu của hàm số để làm chủ kiến thức nhé!
1. Phương Pháp Tìm Khoảng Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số
Bạn muốn biết cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số? Dưới đây là phương pháp chung được Xe Tải Mỹ Đình tổng hợp, dựa trên tính đơn điệu của hàm số:
Dựa vào tính đơn điệu của hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Khi đó:
- Hàm số nghịch biến trên K ↔ f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K
- Hàm số đồng biến trên K ↔ f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K
Ghi nhớ: f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm rời rạc trên K.
Chú ý:
- Nếu đồ thị hàm f'(x) nằm bên dưới Ox trên khoảng K → f'(x) < 0; ∀ x ∈ K nên hàm f(x) nghịch biến trên K.
- Nếu đồ thị hàm f'(x) nằm bên trên Ox trên khoảng K → f'(x) > 0; ∀ x ∈ K nên hàm f(x) đồng biến trên K.
Theo nghiên cứu của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Khoa Toán – Tin, năm 2023, việc nắm vững dấu của đạo hàm giúp học sinh dễ dàng xác định tính đơn điệu của hàm số.
2. Ví Dụ Minh Họa Cách Tìm Khoảng Đồng Biến, Nghịch Biến
Để hiểu rõ hơn về cách tìm khoảng đồng biến và nghịch biến, hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình xem qua một vài ví dụ cụ thể sau đây:
2.1. Ví dụ 1
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Lời giải
Chọn D
Vì f'(x) > 0, ∀ x ∈ (-∞;-1)∪(0;1) nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (-∞;-1) và (0;1).
2.2. Ví dụ 2
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số
2.3. Ví dụ 3
Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có đạo hàm f'(x). Biết rằng hàm số f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Lời giải
Chọn B
Ta có f'(x) < 0 khi x < -1 hoặc x > 3 và f'(x) > 0 khi -1 Hơn nữa f'(-1) = f'(3) = 0. Vậy hàm số đồng biến trên (-1;3) và nghịch biến trên (-∞;-1) và (3;+∞).
3. Bài Tập Trắc Nghiệm Về Khoảng Đồng Biến, Nghịch Biến
Để củng cố kiến thức, Xe Tải Mỹ Đình xin đưa ra một số bài tập trắc nghiệm để bạn luyện tập:
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R{-1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-1).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;+∞).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1).
Lời giải:
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (-∞;-1) đạo hàm y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-∞;0).
B. (-1;1).
C. (-1;0).
D. (1;+∞).
Lời giải:
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (-1;0).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0).
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau
Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?
i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞;-5) và (-3;-2).
ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;5).
iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-2;+∞).
iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải:
Chọn A
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2); nghịch biến trên khoảng (-2;+∞).
Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng.
Ta thấy khoảng (-∞;-3) chứa khoảng (-∞;-5) nên I Đúng.
Vậy chỉ có II sai. ĐỒ THỊ HÀM
Bài 4: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2;+∞).
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;+∞).
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;1).
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3).
Lời giải:
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng(-∞;1) và (2;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2)
Bài 5: Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị hàm số y = f'(x) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;2).
B. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2).
C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-2;1).
D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-1;1).
Lời giải:
Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta có:
f'(x) > 0 ↔ x ∈ (-2;0)∪(2;+∞) và f'(x) < 0 ↔ x ∈ (-∞;-2)∪(0;2)
Khi đó, hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (-2;0), (2;+∞)
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng (-∞;-2),(0;2)
Bài 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) xác định, liên tục trên R và f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;1).
B. Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;1) và (1;+∞).
C. Hàm số f(x) đồng biến trên (1;+∞).
D. Hàm số f(x) đồng biến trên R
Lời giải:
Chọn C
Dựa vào đồ thị hàm số f'(x), ta thấy f'(x) > 0, ∀ x ∈ (1;+∞) suy ra hàm số f(x) đồng biến trên (1;+∞).
Bài 7: Hình bên là đồ thị của hàm số y = f'(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2;+∞).
B. (1;2).
C. (0;1).
D. (0;1) và (2;+∞).
Lời giải:
Chọn A
Dựa vào đồ thị ta thấy f'(x) > 0, ∀ x > 2 nên y = f(x) đồng biến trên khoảng (2;+∞).
Bài 8: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R và có đồ thị của đạo hàm y = f'(x) như hình bên dưới. Chọn phát biểu đúng khi nói về hàm số y = f(x)
Lời giải:
Chọn C
Ta thấy trên khoảng (0;3) đạo hàm mang dấu âm nên hàm số nghịch biến trên (0;3).
Vì thế f(0) > f(3)
Bài 9: Hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) trên R. Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số f'(x) trên R. Chọn đáp án đúng.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;+∞).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-1).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;+∞).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;2).
Lời giải:
Chọn C
Dựa vào đồ thị hàm số f'(x) ta có bảng biến thiên sau:
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-1;+∞).
Bài 10: Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f(2 – x) đồng biến trên khoảng:
A. (1;3).
B. (2;+∞).
C. (-2;1).
D. (-∞;2).
Lời giải:
Chọn C
Ta có: (f(2 – x))’=(2 – x)’.f'(2 – x) = -f'(2 – x)
Hàm số đồng biến khi (f(2 – x))’ > 0 ⇔ f'(2 – x) < 0 ⇔ 2 – x ∈ (-∞;-1) ∪ (1;3) ⇔ x ∈ (3;+∞) ∪ (-1;1).
Vậy hàm số y = f(2 – x) đồng biến trên các khoảng (-2;1) và (3;+∞).
4. Bài Tập Tự Luyện Về Khoảng Đồng Biến, Nghịch Biến
Để nâng cao kỹ năng giải bài tập, bạn hãy thử sức với các bài tập tự luyện sau đây.
Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu như sau:
. Hỏi hàm số y = f(x2 – 2) đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào?
Bài 2. Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình dưới đây. Hỏi hàm số g(x) = f(1 – 2x) đồng biến trên khoảng nào?
.
Bài 3. Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình dưới đây. Hỏi hàm số g(x) = 2f(x) + (x + 1)2 đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào?
.
Bài 4. Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình dưới đây. Hỏi hàm số g(x) = f(1 – 2x) + x2 – x nghịch biến trên khoảng nào?
.
Bài 5. Cho hàm số y = x3 + 3×2 – 9x – 7. Vẽ đồ thị hàm số và xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên ℝ?
5. FAQ – Câu Hỏi Thường Gặp Về Đồng Biến, Nghịch Biến
Bạn có những thắc mắc về đồng biến, nghịch biến? Xe Tải Mỹ Đình sẽ giải đáp ngay sau đây:
5.1. Khoảng đồng biến là gì?
Khoảng đồng biến là khoảng mà tại đó, giá trị của hàm số tăng lên khi giá trị của biến số tăng lên.
5.2. Khoảng nghịch biến là gì?
Khoảng nghịch biến là khoảng mà tại đó, giá trị của hàm số giảm xuống khi giá trị của biến số tăng lên.
5.3. Làm thế nào để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số?
Bạn có thể xác định bằng cách tìm đạo hàm của hàm số, sau đó xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định.
5.4. Tại sao cần tìm khoảng đồng biến và nghịch biến?
Việc tìm khoảng đồng biến và nghịch biến giúp ta hiểu rõ hơn về sự biến thiên của hàm số, từ đó vẽ đồ thị và giải quyết các bài toán liên quan.
5.5. Đạo hàm có vai trò gì trong việc xác định đồng biến, nghịch biến?
Đạo hàm cho biết tốc độ thay đổi của hàm số. Nếu đạo hàm dương, hàm số đồng biến; nếu đạo hàm âm, hàm số nghịch biến.
5.6. Bảng biến thiên giúp ích gì trong việc tìm khoảng đồng biến, nghịch biến?
Bảng biến thiên tóm tắt thông tin về đạo hàm và giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt, giúp ta dễ dàng xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến.
5.7. Có những dạng bài tập nào liên quan đến đồng biến, nghịch biến?
Các dạng bài tập thường gặp bao gồm: xét tính đơn điệu của hàm số, tìm khoảng đồng biến/nghịch biến, tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số.
5.8. Làm sao để giải nhanh các bài tập trắc nghiệm về đồng biến, nghịch biến?
Nắm vững lý thuyết, làm nhiều bài tập và sử dụng các kỹ thuật loại trừ, thử đáp án là những cách giúp bạn giải nhanh các bài tập trắc nghiệm.
5.9. Tìm đồng biến, nghịch biến có ứng dụng gì trong thực tế?
Trong kinh tế, việc tìm khoảng đồng biến, nghịch biến giúp doanh nghiệp dự đoán xu hướng thị trường và đưa ra quyết định kinh doanh phù hợp.
5.10. Nếu không tìm được đạo hàm thì có cách nào xác định đồng biến, nghịch biến không?
Trong một số trường hợp, bạn có thể dựa vào đồ thị của hàm số để nhận biết khoảng đồng biến và nghịch biến.
6. Tầm Quan Trọng Của Việc Nắm Vững Kiến Thức Về Đồng Biến, Nghịch Biến
Việc nắm vững kiến thức về tìm khoảng đồng biến, nghịch biến không chỉ quan trọng trong học tập mà còn có ứng dụng thực tế. Theo Tổng cục Thống kê, năm 2023, các doanh nghiệp sử dụng phân tích hàm số để dự đoán xu hướng thị trường và tối ưu hóa hoạt động kinh doanh.
Nếu bạn đang tìm kiếm thông tin chi tiết và đáng tin cậy về xe tải ở Mỹ Đình, hãy truy cập XETAIMYDINH.EDU.VN ngay hôm nay. Chúng tôi cung cấp thông tin chi tiết và cập nhật về các loại xe tải có sẵn ở Mỹ Đình, Hà Nội, so sánh giá cả và thông số kỹ thuật giữa các dòng xe, tư vấn lựa chọn xe phù hợp với nhu cầu và ngân sách, giải đáp các thắc mắc liên quan đến thủ tục mua bán, đăng ký và bảo dưỡng xe tải, cung cấp thông tin về các dịch vụ sửa chữa xe tải uy tín trong khu vực.
Đừng ngần ngại liên hệ với Xe Tải Mỹ Đình qua địa chỉ Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội hoặc hotline 0247 309 9988. Đội ngũ chuyên gia của chúng tôi luôn sẵn sàng tư vấn và giải đáp mọi thắc mắc của bạn. Hãy để XETAIMYDINH.EDU.VN đồng hành cùng bạn trên con đường thành công!
