Trong Các Dãy Số Sau Dãy Số Nào Là Cấp Số Nhân?

Trong Các Dãy Số Sau Dãy Số Nào Là Cấp Số Nhân? Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ giúp bạn làm rõ vấn đề này, đồng thời cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấp số nhân và cách xác định chúng một cách dễ dàng. Với những kiến thức này, bạn không chỉ giải quyết bài toán mà còn hiểu rõ hơn về ứng dụng của nó trong thực tế, đặc biệt trong lĩnh vực tài chính và vận tải. Cùng khám phá ngay về dãy số và cấp số nhân thôi nào!

1. Cấp Số Nhân Là Gì?

Cấp số nhân là một dãy số trong đó mỗi số hạng (trừ số hạng đầu tiên) đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số không đổi, gọi là công bội. Nói một cách đơn giản, để xác định dãy số nào là cấp số nhân trong các lựa chọn, bạn cần kiểm tra xem tỷ lệ giữa hai số hạng liên tiếp có phải là một hằng số hay không.

1.1. Định Nghĩa Cấp Số Nhân

Cấp số nhân (CSN) là một dãy số, trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q, gọi là công bội.

Công thức tổng quát: (u_n = u_1 cdot q^{(n-1)}), trong đó:
- (u_n) là số hạng thứ n
- (u_1) là số hạng đầu tiên
- (q) là công bội
- (n) là vị trí của số hạng trong dãy
Điều kiện để dãy số là cấp số nhân: (frac{u_{n+1}}{u_n} = q) (const) với mọi n ≥ 1

1.2. Ví Dụ Về Cấp Số Nhân

Dãy số: 2, 4, 8, 16, 32,… là một cấp số nhân với số hạng đầu (u_1 = 2) và công bội (q = 2).
Dãy số: 1, -3, 9, -27, 81,… là một cấp số nhân với số hạng đầu (u_1 = 1) và công bội (q = -3).

1.3. Tính Chất Của Cấp Số Nhân

Số hạng tổng quát: (u_n = u_1 cdot q^{n-1})
Tổng của n số hạng đầu tiên:
- Nếu (q neq 1): (S_n = u_1 cdot frac{1 – q^n}{1 – q})
- Nếu (q = 1): (S_n = n cdot u_1)
Tính chất trung bình nhân: Trong một cấp số nhân, bình phương của một số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng tích của hai số hạng kề nó: (uk^2 = u{k-1} cdot u_{k+1})

2. Cách Xác Định Một Dãy Số Có Phải Là Cấp Số Nhân Hay Không?

Để xác định một dãy số có phải là cấp số nhân hay không, bạn có thể thực hiện theo các bước sau:

2.1. Kiểm Tra Tỷ Lệ Giữa Các Số Hạng Liên Tiếp

Tính tỷ lệ giữa hai số hạng liên tiếp bất kỳ trong dãy số. Nếu tỷ lệ này là một hằng số (không đổi) thì dãy số đó là cấp số nhân.

Ví dụ:

Cho dãy số: 3, 6, 12, 24, 48,…

(frac{6}{3} = 2)
(frac{12}{6} = 2)
(frac{24}{12} = 2)
(frac{48}{24} = 2)

Vì tỷ lệ giữa các số hạng liên tiếp đều bằng 2, dãy số này là một cấp số nhân với công bội (q = 2).

2.2. Tìm Công Bội (q)

Nếu tỷ lệ giữa các số hạng liên tiếp là một hằng số, đó chính là công bội (q) của cấp số nhân.

Ví dụ:

Trong dãy số 3, 6, 12, 24, 48,… công bội (q = 2).

2.3. Sử Dụng Công Thức Tổng Quát

Bạn có thể sử dụng công thức tổng quát (u_n = u_1 cdot q^{n-1}) để kiểm tra xem các số hạng trong dãy có tuân theo quy luật của cấp số nhân hay không.

Ví dụ:

Cho dãy số 2, 6, 18, 54,…

(u_1 = 2)
Giả sử (q = 3) (tính từ (frac{6}{2}))
Kiểm tra:
- (u_2 = 2 cdot 3^{(2-1)} = 6) (đúng)
- (u_3 = 2 cdot 3^{(3-1)} = 18) (đúng)
- (u_4 = 2 cdot 3^{(4-1)} = 54) (đúng)

Vì các số hạng đều thỏa mãn công thức, dãy số này là một cấp số nhân.

2.4. Các Trường Hợp Đặc Biệt

Nếu tất cả các số hạng trong dãy đều bằng nhau, dãy số đó vừa là cấp số cộng (với công sai (d = 0)) vừa là cấp số nhân (với công bội (q = 1)).
Nếu một dãy số có số hạng bằng 0, cần xem xét kỹ lưỡng vì công bội có thể không xác định hoặc bằng 0.

3. Bài Tập Thực Hành Xác Định Cấp Số Nhân

Để giúp bạn nắm vững kiến thức, hãy cùng Xe Tải Mỹ Đình thực hành với một số bài tập sau: