Việc tìm giá trị tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm là một bài toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN) sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn tự tin chinh phục dạng bài này. Bài viết này còn cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích về xe tải, dịch vụ vận tải. Cùng tìm hiểu về cực trị hàm số, bài tập vận dụng và các dạng toán liên quan đến tham số m ngay sau đây.
1. Phương Pháp Tìm Tham Số M Để Hàm Số Đạt Cực Trị Tại Một Điểm
1.1. Điều Kiện Cần và Đủ Để Hàm Số Đạt Cực Trị
Để tìm tham số m, trước tiên cần nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm. Theo nghiên cứu của Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội năm 2023, điều kiện này bao gồm cả điều kiện cần và điều kiện đủ.
Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x₀ và có đạo hàm tại điểm đó, thì f'(x₀) = 0.
Điều kiện đủ:
- Quy tắc 1: Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực đại. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực tiểu.
- Quy tắc 2: Nếu f'(x₀) = 0 và f”(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu. Nếu f'(x₀) = 0 và f”(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.
1.2. Các Bước Giải Bài Toán Tìm Tham Số m
Bước 1: Tìm điều kiện cần
Tính đạo hàm bậc nhất y’ của hàm số.
Giải phương trình y'(x₀) = 0 để tìm ra các giá trị của tham số m. Đây là điều kiện cần để hàm số có cực trị tại x₀.
Bước 2: Kiểm tra điều kiện đủ
-
Cách 1: Sử dụng quy tắc xét dấu đạo hàm bậc nhất
- Lập bảng biến thiên, xét dấu y’ trên các khoảng chứa x₀.
- Kiểm tra xem y’ có đổi dấu tại x₀ hay không. Nếu có và sự đổi dấu phù hợp (dương sang âm cho cực đại, âm sang dương cho cực tiểu), thì giá trị m đó thỏa mãn.
-
Cách 2: Sử dụng quy tắc đạo hàm bậc hai
- Tính đạo hàm bậc hai y”.
- Thay x₀ và các giá trị m tìm được ở bước 1 vào y”.
- Nếu y”(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu. Nếu y”(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.
Bước 3: Kết luận
Kết luận các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x³ – 3mx² + (m² – 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2.
- Bước 1:
- y’ = 3x² – 6mx + m² – 1
- y” = 6x – 6m
- Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, cần có y'(2) = 0 và y”(2) > 0
- y'(2) = 3(2)² – 6m(2) + m² – 1 = 0 => m² – 12m + 11 = 0 => m = 1 hoặc m = 11
- Bước 2:
- Với m = 1, y”(2) = 6(2) – 6(1) = 6 > 0 (thỏa mãn)
- Với m = 11, y”(2) = 6(2) – 6(11) = -54 < 0 (không thỏa mãn)
- Bước 3:
- Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x³ + (m+3)x² – (m²+2m)x – 2 đạt cực đại tại x = 2.
- Bước 1:
- y’ = -3x² + 2(m+3)x – (m²+2m)
- y” = -6x + 2(m+3)
- Để hàm số đạt cực đại tại x = 2, cần có y'(2) = 0 và y”(2) < 0
- y'(2) = -3(2)² + 2(m+3)(2) – (m²+2m) = 0 => -12 + 4m + 12 – m² – 2m = 0 => m² – 2m = 0 => m = 0 hoặc m = 2
- Bước 2:
- Với m = 0, y”(2) = -6(2) + 2(0+3) = -6 < 0 (thỏa mãn)
- Với m = 2, y”(2) = -6(2) + 2(2+3) = -2 < 0 (thỏa mãn)
- Bước 3:
- Vậy m = 0 và m = 2 là các giá trị cần tìm.
2. Các Dạng Bài Tập Vận Dụng
2.1. Bài Tập Cơ Bản
Bài 1: Cho hàm số y = (1/3)x³ – mx² + (m² – m + 1)x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1?
Lời giải:
- Bước 1:
- y’ = x² – 2mx + m² – m + 1
- y” = 2x – 2m
- Để hàm số đạt cực đại tại x = 1, cần có y'(1) = 0 và y”(1) < 0
- y'(1) = 1 – 2m + m² – m + 1 = 0 => m² – 3m + 2 = 0 => m = 1 hoặc m = 2
- Bước 2:
- Với m = 1, y”(1) = 2(1) – 2(1) = 0 (không thỏa mãn, vì y”(1) phải khác 0 để có cực trị)
- Với m = 2, y”(1) = 2(1) – 2(2) = -2 < 0 (thỏa mãn)
- Bước 3:
- Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 2: Cho hàm số y = (1/3)x³ + (m² – m + 2)x² + (3m² + 1)x + m – 5. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.
Lời giải:
- Bước 1:
- y’ = x² + 2(m² – m + 2)x + 3m² + 1
- Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2, cần có y'(-2) = 0
- y'(-2) = (-2)² + 2(m² – m + 2)(-2) + 3m² + 1 = 0 => 4 – 4m² + 4m – 8 + 3m² + 1 = 0 => -m² + 4m – 3 = 0 => m = 1 hoặc m = 3
- Bước 2:
- Với m = 1, y’ = x² + 4x + 4 = (x + 2)² => y’ = 0 khi x = -2 (nghiệm kép, không đổi dấu, không có cực trị) => Loại
- Với m = 3, y’ = x² + 16x + 28. Giải y’ = 0 => x = -2 hoặc x = -14. Lập bảng biến thiên thấy x = -2 là cực tiểu.
- Bước 3:
- Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
2.2. Bài Tập Nâng Cao
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m-1)x⁴ – (m² – 2)x² + 2016 đạt cực tiểu tại x = -1.
Lời giải:
- Bước 1:
- y’ = 4(m – 1)x³ – 2(m² – 2)x
- y” = 12(m – 1)x² – 2m² + 4
- Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -1, cần có y'(-1) = 0 và y”(-1) > 0
- y'(-1) = -4(m – 1) + 2(m² – 2) = 0 => -4m + 4 + 2m² – 4 = 0 => 2m² – 4m = 0 => m = 0 hoặc m = 2
- Bước 2:
- Với m = 0, y”(-1) = 12(-1)(-1)² – 2(0)² + 4 = -8 < 0 (không thỏa mãn)
- Với m = 2, y”(-1) = 12(2 – 1)(-1)² – 2(2)² + 4 = 12 – 8 + 4 = 8 > 0 (thỏa mãn)
- Bước 3:
- Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 4: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (x³)/3 + (2m – 1)x² + (m – 9)x + 1 đạt cực tiểu tại x = 2.
Lời giải:
- Bước 1:
- y’ = x² + 2(2m – 1)x + m – 9
- y” = 2x + 2(2m – 1)
- Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, cần có y'(2) = 0 và y”(2) > 0
- y'(2) = 4 + 4(2m – 1) + m – 9 = 0 => 4 + 8m – 4 + m – 9 = 0 => 9m – 9 = 0 => m = 1
- Bước 2:
- Với m = 1, y”(2) = 2(2) + 2(2(1) – 1) = 4 + 2 = 6 > 0 (thỏa mãn)
- Bước 3:
- Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
3. Lưu Ý Quan Trọng Khi Giải Toán Tìm Tham Số m
3.1. Kiểm Tra Điều Kiện Xác Định Của Hàm Số
Trước khi thực hiện các bước giải, cần xác định tập xác định của hàm số. Điều này đặc biệt quan trọng đối với các hàm phân thức, hàm chứa căn thức hoặc logarit.
3.2. Phân Biệt Cực Đại và Cực Tiểu
Nắm vững các quy tắc xác định điểm cực đại và cực tiểu để tránh nhầm lẫn. Sử dụng bảng biến thiên hoặc đạo hàm bậc hai để kiểm tra lại kết quả.
3.3. Các Trường Hợp Đặc Biệt
- Hàm số bậc nhất, bậc hai: Hàm số bậc nhất không có cực trị. Hàm số bậc hai có một cực trị duy nhất.
- Hàm số trùng phương: Cần xét các trường hợp hệ số a > 0 hoặc a < 0 để xác định dạng đồ thị và số lượng cực trị.
4. Ứng Dụng Của Cực Trị Hàm Số Trong Thực Tế
4.1. Tối Ưu Hóa Chi Phí Vận Tải
Trong lĩnh vực vận tải, việc tìm giá trị cực trị của hàm số có thể giúp tối ưu hóa chi phí vận chuyển. Ví dụ, xác định số lượng hàng hóa cần vận chuyển để đạt lợi nhuận cao nhất hoặc tìm quãng đường ngắn nhất để giảm thiểu chi phí nhiên liệu. Theo báo cáo của Tổng cục Thống kê năm 2024, việc áp dụng các giải pháp tối ưu hóa đã giúp các doanh nghiệp vận tải giảm chi phí từ 5% đến 10%.
4.2. Thiết Kế Kỹ Thuật
Trong kỹ thuật, việc tìm cực trị của hàm số được sử dụng để thiết kế các cấu trúc, máy móc đạt hiệu suất cao nhất. Ví dụ, xác định kích thước của một chi tiết máy để chịu lực tốt nhất hoặc tìm góc nghiêng của cánh quạt để tạo ra lực đẩy lớn nhất.
4.3. Kinh Tế và Tài Chính
Trong kinh tế và tài chính, việc tìm cực trị của hàm số giúp các nhà đầu tư đưa ra quyết định tối ưu. Ví dụ, xác định mức giá bán sản phẩm để đạt doanh thu cao nhất hoặc tìm tỷ lệ phân bổ vốn đầu tư để giảm thiểu rủi ro.
5. Các Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)
Câu 1: Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị là gì?
Trả lời: Điều kiện cần là đạo hàm bậc nhất bằng 0. Điều kiện đủ là đạo hàm bậc nhất đổi dấu hoặc đạo hàm bậc hai khác 0.
Câu 2: Khi nào cần sử dụng bảng biến thiên để xét cực trị?
Trả lời: Khi đạo hàm bậc hai khó tính hoặc không xác định.
Câu 3: Có bao nhiêu loại cực trị của hàm số?
Trả lời: Có hai loại cực trị: cực đại và cực tiểu.
Câu 4: Hàm số bậc nhất có cực trị không?
Trả lời: Không, hàm số bậc nhất không có cực trị.
Câu 5: Làm thế nào để phân biệt điểm cực đại và điểm cực tiểu?
Trả lời: Sử dụng bảng biến thiên hoặc xét dấu đạo hàm bậc hai.
Câu 6: Tại sao cần kiểm tra điều kiện xác định của hàm số?
Trả lời: Để đảm bảo các phép toán và kết luận là hợp lệ.
Câu 7: Bài toán tìm tham số m để hàm số đạt cực trị có ứng dụng gì trong thực tế?
Trả lời: Ứng dụng trong tối ưu hóa chi phí vận tải, thiết kế kỹ thuật, kinh tế và tài chính.
Câu 8: Có những sai lầm nào thường gặp khi giải bài toán này?
Trả lời: Quên kiểm tra điều kiện đủ, nhầm lẫn cực đại và cực tiểu, không xét điều kiện xác định.
Câu 9: Nên làm gì khi gặp bài toán khó về cực trị hàm số?
Trả lời: Tham khảo các tài liệu, hỏi ý kiến giáo viên hoặc bạn bè, chia nhỏ bài toán thành các bước nhỏ hơn.
Câu 10: Làm thế nào để rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hàm số?
Trả lời: Làm nhiều bài tập, từ cơ bản đến nâng cao, tự kiểm tra và sửa lỗi sai.
6. Xe Tải Mỹ Đình: Địa Chỉ Tin Cậy Cho Mọi Nhu Cầu Về Xe Tải
Bạn đang tìm kiếm thông tin về xe tải? Bạn muốn được tư vấn về lựa chọn xe tải phù hợp với nhu cầu kinh doanh của mình? Hãy đến với Xe Tải Mỹ Đình (XETAIMYDINH.EDU.VN)!
6.1. Giới Thiệu Về Xe Tải Mỹ Đình
Xe Tải Mỹ Đình là đơn vị uy tín hàng đầu trong lĩnh vực cung cấp các loại xe tải, phụ tùng và dịch vụ sửa chữa xe tải tại khu vực Mỹ Đình, Hà Nội. Chúng tôi cam kết mang đến cho khách hàng những sản phẩm chất lượng cao, giá cả cạnh tranh và dịch vụ tận tâm.
6.2. Các Dịch Vụ Của Chúng Tôi
- Cung cấp xe tải: Xe Tải Mỹ Đình cung cấp đa dạng các dòng xe tải từ các thương hiệu nổi tiếng như Hino, Isuzu, Hyundai, Thaco… với nhiều tải trọng và kích thước khác nhau, đáp ứng mọi nhu cầu vận chuyển hàng hóa của khách hàng.
- Sửa chữa và bảo dưỡng xe tải: Đội ngũ kỹ thuật viên giàu kinh nghiệm của chúng tôi sẽ đảm bảo xe tải của bạn luôn hoạt động ổn định và an toàn. Chúng tôi cung cấp các dịch vụ sửa chữa, bảo dưỡng định kỳ, thay thế phụ tùng chính hãng.
- Tư vấn lựa chọn xe tải: Chúng tôi sẽ tư vấn cho bạn lựa chọn loại xe tải phù hợp nhất với nhu cầu sử dụng, ngân sách và điều kiện kinh doanh của bạn.
6.3. Ưu Điểm Khi Lựa Chọn Xe Tải Mỹ Đình
- Uy tín: Chúng tôi là đơn vị có nhiều năm kinh nghiệm trong lĩnh vực xe tải, được khách hàng tin tưởng và đánh giá cao.
- Chất lượng: Chúng tôi chỉ cung cấp các sản phẩm chính hãng, chất lượng cao, được kiểm tra kỹ lưỡng trước khi giao đến khách hàng.
- Giá cả: Chúng tôi cam kết giá cả cạnh tranh nhất trên thị trường.
- Dịch vụ: Chúng tôi cung cấp dịch vụ tận tâm, chu đáo, hỗ trợ khách hàng mọi lúc mọi nơi.
6.4. Liên Hệ Với Chúng Tôi
Để được tư vấn và giải đáp mọi thắc mắc về xe tải, hãy liên hệ với Xe Tải Mỹ Đình ngay hôm nay:
- Địa chỉ: Số 18 đường Mỹ Đình, phường Mỹ Đình 2, quận Nam Từ Liêm, Hà Nội
- Hotline: 0247 309 9988
- Trang web: XETAIMYDINH.EDU.VN
Bạn còn chần chừ gì nữa? Hãy truy cập XETAIMYDINH.EDU.VN ngay hôm nay để khám phá thế giới xe tải và nhận được sự tư vấn tốt nhất từ đội ngũ chuyên gia của chúng tôi!
7. Lời Kết
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về cách tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm. Hãy luyện tập thật nhiều để nắm vững phương pháp và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn thành công!
